Зск Зс ()- 77. — кинематическая вязкость. Такие жидкости принято называть ньютоновскими или нормальными
Множество реальных жидкостей, встречающихся в промышленности, при своем течении проявляют нелинейную, аномальную вязкость, а так же другие свойства, такие как пластичность, сдвиговая упругость и др. Жидкости такого типа называются нелинейно-вязкими или неньютоновскими. Сложность в изучении неньютоновских жидкостей заключается в том, что они не поддаются единой универсальной зависимости, подобной той, которая записана для жидкости Ньютона. Реальные неньютоновские материалы обычно обладают широким спектром свойств, структурно-механических характеристик и составов. Любая их классификация и любой подход к их изучению будет в известной степени идеализацией и упрощением действительного поведения вещества.
Существует много различных методов в изучении неньютоновских жидкостей. Один из весьма эффективных подходов — теоретико-реологический, когда для данного рода жидкости записывается реологическая модель и на ее основе объясняется поведение рассматриваемой жидкости. В настоящее время известно довольно много различных реологических моделей, или, как их еще называют, уравнений состояния, описывающих с известной степенью точности реальные неньютоновские системы. Наиболее простая и разумная классификация этих моделей была предложена Доджем [1] и описана Уилкинсоном У. Л. в работе [2], а так же Шульманом З. П. и Берковским Б. М. в монографии [3]. Неньютоновские жидкости в зависимости от характера поведения кривой течения, т. е. вида реологического уравнения т = /(у), где г -напряжения сдвига, а у = - скорости сдвига, разделяются на три большие группы:
1. жидкости, для которых скорость сдвига в каждой точке представляет некоторую функцию только от напряжения сдвига в той же точке-
2. системы, в которых скорость сдвига определяется не только величиной касательного напряжения, но и продолжительностью его действия, т. е. реологические характеристики таких жидкостей зависят от времени-
3. упруговязкие жидкости, обладающие свойствами, как твердого тела, так и частично обладающие упругостью. Другими словами, такие жидкости могут восстанавливать форму после снятия напряжения.
Данная диссертация посвящена изучению течений, возникающих в неньютоновских жидкостях, относящихся к первой группе, представленной классификации, при наличии -такого осложняющего фактора как вибрации. Причем жидкие системы данной группы удобно подразделять на три вида [2,3]: а. бингамовские пластики- б. псевдопластичные жидкости (псевдопластики) — в. дилатантные жидкости-
Реологические кривые характерные для плоскопараллельных течений этих жидкостей, представлены на рис. 1. Для сравнения приведен так же график для обычной ньютоновской жидкости.
Рис. 1 Кривые течения, отражающие зависимость т — напряжения сдвига от у^ди/дг — скорости сдвига, где и — продольная компонента скорости, г -поперечная координата. 1 — бингамовский пластик- 2 — псевдопластик- 3 -ньютоновская жидкость- 4 — дилатантная жидкость.
2. Обзор литературы
Широко известно знаменитое изречение древнегреческого ученого Гераклита: «паута рег» (панта реи), в переводе на русский «все течет». Последнее слово означает «течение» и служит основой термина «реология», который является названием науки о деформации и течении реальных жидкостей.
Первым реологом, согласно «папирусным документам», принято считать Аменемхета. Примерно в 1540 г. до нашей эры он создал для египетского фараона водяные часы, в которых время отмечалось по уровню воды в слегка конической воронке. Такая конфигурация достаточно точно учитывала зависимость текучести воды от температуры (в Египте разница между дневной и ночной температурами достигает 30° С). Наиболее широкое развитие реологические подходы в изучении движения сплошных сред получили в начале двадцатого столетия нашей эры.
Основной задачей реологии жидкостей является установление реологических уравнений состояния, т. е. функциональных зависимостей вида где Ту- тензор напряжений, е1} - тензор скоростей сдвига. В настоящее время известно множество разнообразных уравнений состояния, или, как их называют иначе, моделей. Упомянем лишь те, которые используются в данной работе.
Одно из первых реологических уравнений, описывающих вязкопластичные среды, было предложено в 1889 г. Ф. Н. Шведовым, а затем еще раз в 1916 г Бингамом [4]. Вид закона Шведова-Бингама для плоскопаралельного стационарного течения можно записать в форме т = т^п (у)+/иру т>т" у = 0 т < т0. Напечатано по книге Шульмана З. П. «Беседы о реофизике», Минск, «Наука и техника», 1976.
Здесь г — напряжения сдвига- у = ди/дг — скорость сдвига (г — поперечная координата) — цр — пластическая вязкость или коэффициент жесткости при сдвиге, численно равный тангенсу угла наклона кривой течения (рис. 1 кривая когда |г| < т0 жидкость движется, как твердое тело (твердая фаза).
Широко используемый в реологии степенной закон, описывающий поведение большого класса псевдопластичных и дилатантных жидкостей, впервые предложен Оствальдом [5] и усовершенствован Рейнером [6] где к — консистентность и п — показатель неньютоновости жидкости, (для псевдопластика п <1, кривая 2 на рис. 1, для дилатантной жидкости п> 1, кривая 3 на рис.1).
Поведение вязкопластичных тел Шведова-Бингама следует рассматривать как упрощение наблюдаемого поведения вязкопластичных жидкостей. С развитием и усовершенствованием техники реометрии обнаружилась нелинейность кривой течения в области малых скоростей сдвига. Для учета нелинейного фактора предлагались различные реологические законы, наиболее общим из которых является феноменологическое уравнение Шульмана [7]
Оно обобщает написанные выше реологические модели: Шведова-Бингама
В представленной диссертации движение псевдопластичных и вязкопластичных жидкостей будет описываться с помощью эмпирической формулы предложенной Уильямсоном [2,8]
I) — т0 — предел текучести, при |г| > г0 имеем зону вязкого течения (жидкая фаза), т = п = 1), Оствальда -де Виля (т0 = 0). где, А к В — некоторые реологические константы, определяемые для конкретных жидкостей, ¡-лт — вязкость при бесконечно большом сдвиге, определяется предельным наклоном кривой течения. Кемпбелл применил реологический закон (4) к течению расплавленного шоколада [9].
Все описанные выше модели превращаются в линейное реологическое уравнение Ньютона при: г0 = 0 в (1) — п = 1 в (2) — т0 = 0 и т = п = 1 в (3) — А- 0 в
4). В этом случае реологические параметры, к и ¡-л^ приобретают смысл динамической вязкости. Отметим здесь еще одно важное свойство реологического уравнения Уильямсона. Оно допускает предельный переход к уравнению Шведова-Бингама, если реологический параметр В —>0. Тогда параметры, А и ^ в (4) становятся по физическому смыслу аналогичны соответственно г0 и /лр в модели (1).
В первой главе диссертации степенное реологическое уравнение (2) использовано для описания поведения дилатантной жидкости в пределах вязкого пограничного слоя, возникающего при вибрациях жидкости вблизи твердого тела.
Впервые пульсационное течение вязкой ньютоновской жидкости вблизи твердой поверхности, а так же возникающее на его фоне осредненное течение, теоретически было исследовано Релеем [10, 11] при рассмотрении распространения акустической волны в канале. Затем Шлихтинг [12, 13] указал на генерацию таких течений в жидкости, находящейся около твердого осциллирующего цилиндра.
Теория пограничного слоя в ньютоновской жидкости развита в ставших уже классическими работах Шлихтинга Г. [13] и Лойцянского Л. Г. [14, 15]. Шлихтингом было показано [13], что высокочастотные вибрации твердого тела, погруженного в обычную ньютоновскую жидкость, приводят к генерации осредненного течения в вязком пограничном слое вблизи поверхности тела. Такое течение имеет вихревой характер и распространяется за пределы вязкого скин-слоя. В [16] задача о генерации средних течений была обобщена на случай трехмерных пульсационных течений с неоднородной фазой колебаний. Осреднение пульсационного течения в стоксовском слое определяет касательную к поверхности тела компоненту среднего течения на границе скин-слоя и основного потока. Она является шлихтинговским граничным условием для среднего потока жидкости в ядре.
Динамическому вибрационному воздействию на течение обычной ньютоновской жидкости посвящено довольно большое количество статей и научных книг. Отметим здесь лишь некоторые из них.
Влияние вибраций на конвекцию ньютоновской жидкости, находящейся в полости между двумя сферами в отсутствие поля тяжести, изучалось в [17]. В указанной работе рассматривались термовибрационные и шлихтинговские течения и их взаимодействие. Проведены как аналитические, так и численные исследования. Как было показано в работе Бириха Р. В. [18], в плоском слое жидкости с продольным градиентом температуры при линейных высокочастотных вибрациях возникает плоскопараллельное адвективное течение даже в отсутствии поля тяжести. Структура возникающего течения близка к гравитационному адвективному течению в плоском слое при продольных вибрациях [19], или конвективному течению в вертикальном слое с наклонным градиентом температуры. Интенсивность такого течения в зависимости от направления линейных вибраций и его устойчивость относительно монотонной гидродинамической моды нормальных возмущений исследована в работе [20]. В статье [21] показано, что высокочастотные поперечные вибрации повышают устойчивость плоскопараллельного адвективного течения между двумя твердыми плоскостями для всех значений числа Прандтля, кроме диапазона, в котором неустойчивость вызывается спиральной колебательной модой.
Экспериментальные исследования течений жидкостей, возникающих в пределах вязких стоксовых слоев около вибрирующего с высокой частотой цилиндра, который находится в обычной жидкости Ньютона, представлено в статье [22]. Там же исследуется устойчивость этих слоев. Теоретически устойчивость течений в пограничном слое, возникающем вблизи осциллирующего в обычной вязкой жидкости, цилиндра была рассмотрена в работе [23].
Систематическое описание основных положений термовибрационной конвекции было предпринято в монографии Гершуни Г. З и Любимова Д. В. [24]. В первой части работы рассмотрены задачи о влиянии однородных вибраций на возникновение конвективных течений и их устойчивость, при этом применялись уравнения конвекции в приближении Зеньковской-Симоненко [25]. Во второй части монографии показано, что в случае неоднородных вибраций, а так же наличия свободной поверхности раздела или границы раздела фаз уравнения термовибрационной конвекции отличаются от уравнений Зеньковской-Симоненко. В них появляются слагаемые более низкого порядка малости.
Одной из первых монографий по гидродинамике, тепло- и массобмену неньютоновских жидкостей в пределах динамического пограничного слоя является книга Шульмана З. П. и Берковского Б. М. [3]. В указанной работе изучается течение жидкостей, реология которых описывается моделью (2). Получены уравнения движения и теплопереноса таких жидкостей в пределах пограничного слоя, предложены также методы решения динамических и тепловых задач на основе этих уравнений. Найден и подробно исследован класс автомодельных задач пограничного слоя. Некоторые из них решены аналитически.
В статье [26] рассматривается конвективное течение степенной жидкости в вязком пограничном слое вблизи твердой стенки. Обнаружено, что скорость течения псевдопластичной жидкости в пограничном слое выше, чем ньютоновской и дилатантной жидкостях при одинаковых скоростях внешнего потока. В работах Ванга (Wang T. Y) исследуется устойчивость ламинарных конвективных течений степенной неньютоновской жидкости около горизонтальной [27] и вертикальной [28] нагретой пластины. Рассматриваются дилатантные жидкости с показателем неньютоновости 1 < п < 2 и псевдопластики, у которых 0 < п < 1. Подробно изучается влияние вязких пограничных слоев, возникающих вблизи твердой пластины, на устойчивость конвективного движения. Было обнаружено, что в псевдопластичной жидкости с ростом показателя неньютоновости увеличивается толщина пограничного слоя, а так же растет тепловой поток поперек него. В дилатантной жидкости увеличение п приводит к уменьшению толщина пограничного слоя и опять же к росту теплопотока.
Примером использования степенной реологической модели (2) для изучения течений возникающих в нелинейно-вязких жидкостях могут служить работы Семакина И. Г [29 — 33]. В статьях [29, 30] рассмотрена устойчивость конвективного течения нелинейно-вязкой жидкости на основе трехпараметрической модели: т = т]{[ + ау)"~1 у. Согласно этой модели при малых значениях у, в соответствии с экспериментальным поведением многих сред, имеет место линейная связь т и у- параметр т] играет роль начальной динамической вязкости. С ростом у указанная модель асимптотически переходит в степенную (2), причем при больших у она может рассматриваться как регуляризация степенной модели. Переход к ньютоновскому случаю наступает при п = 1 или, а = 0. В случае чисто степенной модели в работе [31] развит приближенный подход, основанный на введении понятия эффективной вязкости. Согласно этому подходу рассматривается истинное (неньютоновское) распределение скорости основного течения [32], а уравнения возмущений записываются в том же виде, что и для обычной ньютоновской жидкости с заменой вязкости на эффективную. В статье [33] методом конечных разностей изучались конечно-амплитудные движения степенной жидкости, развивающиеся после потери устойчивости основного течения- роль регуляризующего степенную модель фактора выполняет при этом дискретный шаг пространственной сетки. Конвективные движения, возникающие в степенной неньютоновской жидкости при вертикальном или почти вертикальном подогреве, исследовались так же в работах Любимовой Т. П. и Любимова Д. В. [34, 35].
В работе [36] изучается затопленная струя несжимаемой неизотермической неньютоновской жидкости. Задача решается численно для случая осевой симметрии. Расчеты показывают, что слияние струи с основным объемом жидкости для псевдопластика происходит быстрее, нежели для дилатантной жидкости. Установлена независимость спада центральной температуры струи от показателя неньютоновости.
Основанием использования реологической модели (4) для описания вязкопластичных жидкостей служит то обстоятельство, что она допускает предельный переход к модели Шведова-Бингама, когда В → 0, при этом сохраняет такое важное свойство вязкопластичных сред, как резкое уменьшение текучести при малых скоростях сдвига. Кривая течения жидкости Уильямсона не линейна в области малых у, а уравнение (4) является более простым по сравнению с реологическими моделями (2) и (3) и в то же время аналитическим.
Впервые реологическая модель Уильямсона была «опробована» для исследования течений вязкопластичной жидкости в работе [37], где проведено исследование плоскопараллельной конвекции жидкости (4) между вертикальными параллельными плоскостями при подогреве снизу. Данная конвективная задача хорошо изучена для ньютоновской жидкости [38], а так же для среды Шведова-Бингама [39, 40, 41]. В этих статьях рассматривалось одномерное [39, 40] или почти одномерное [41] течение. При исследовании существенно не одномерного конвективного движения вязкопластичной среды, например в замкнутой полости [37, 38], модель Шведова-Бингама не позволяет единым образом описать конвекцию жидкости во всей полости. Проведенное в [37] исследование позволило сделать вывод о возможности применения реологической модели Уильямсона для описания движения вязкопластичных сред.
Дальнейшее развитие исследований конвективных течений вязкопластичной жидкости, описанной моделью Уильямсона, была сделано в работах Любимовой Т. П. [42, 43]. В статье [42] численно исследовалась конвекция вязкопластичной жидкости в длинном горизонтальном цилиндре квадратного сечения при нагреве с боку. Работа [43] посвящена рассмотрению плоского конвективного движения в прямоугольной области, ограниченной вертикальными плоскостями х = 0 и х = а и горизонтальными у — 0 и у = 1а. На вертикальных участках границы поддерживаются постоянные (разные) температуры- на горизонтальных участках температура меняется по линейному закону. В [44] на основании вариационного принципа изучалось конвективное движение жидкости Шведова-Бингама в замкнутой области при нагреве с боку. Расчеты показали, что найденные в этой работе данные о распределении напряжений и скоростей деформации для движений слабой интенсивности качественно согласуются с результатами полученными численно в [42, 43].
Во второй части первой главы диссертации изучается обтекание жидкостью Уильямсона твердого бесконечного цилиндра. В отличие от перечисленных выше работ, рассматривается влияние на картину течения жидкости такого осложняющего фактора, как вибрации. На основании полных уравнений движения проводилось прямое численное моделирование течения жидкости. Для повышения эффективности расчетов конечноразностный аналог системы уравнений движения записывался в переменных функции тока, вихря и компонент тензора вязких напряжений. Предлагаемый подход идейно близок к подходу, применяемому при построении дивергентных конечно-разностных схем [45]. Обоснование применения такой схемы для описания движения вязкопластичной жидкости Уильямсона было дано в работе [46]. Дивергентная схема была с успехом использована в различных задачах о конвекции уильямсоновской жидкости при наличии таких осложняющих факторов, как пористая среда, в которой движется жидкость [47]- зависимость реологических параметров жидкости от температуры при ее нагреве с боку [48] и снизу [49]- слабое гравитационное поле [50].
Некоторая систематизация исследований по нестационарному движению вязкопластичных сред была предпринята в монографии Огибалова П. М. и Мирзаджанзаде А. Х. [51]. Приведены постановки нестационарных краевых задач вязкопластичности, подробно рассмотрены эффективные методы их решения. Даны решения некоторых важных задач нефтепромысловой механики и проведен их гидродинамический анализ. Для описания движения вязкопластичных сред в ряде случаев использованы дифференциальные уравнения Генки-Ильюшина [52], в которых реологическая модель Шведова-Бингама (1) обобщена для случая произвольных течений. В монографии практически не описано задач, связанных с вибрациями.
Отметим так же несколько работ, в которых изучается обтекание твердых поверхностей неньютоновскими жидкостями с реологическими свойствами, отличными от тех, что рассматриваются в представленной диссертации. Продольное обтекание полубесконечной пластины упруговязкой жидкостью с учетом теплообмена исследуется в [53]. Авторами проведен численный анализ стационарного течения такой жидкости и распределения температуры в вязком пограничном слое, образующемся на твердой поверхности. Численному исследованию установившегося течения вязкоупругой жидкости около бесконечного цилиндра круглого сечения, который находится между двумя параллельными твердыми стенками, посвящена статья [54]. Расчеты проводились методом конечных элементов с использованием дивергентной схемы представления уравнений движения. Экспериментальные и численные исследования вторичных течений вязкоупругой жидкости в протяженных каналах различной формы описаны в работе [55]. Указанные течения возникают в движущейся по каналу вязкоупругой жидкости вследствие появляющейся в ней разности нормальных напряжений. В работе [56] анализируется движение жидкостей Фан-Тьена-Таннера [57] и Гисекуса [58] в пограничном слое, возникающем при стационарном движении жидкостей около плоской твердой поверхности. Исследовался случай больших чисел Вейсенберга. Авторами с помощью асимптотических методов получены уравнения движения указанных жидкостей в пределах пограничного слоя.
Во второй главе диссертационной работы рассматривается ламинарное движение тонкой пленки вязкопластичной жидкости по наклонной твердой поверхности, которая совершает поступательные вибрации в своей плоскости. Для описания жидкости использованы реологические уравнения состояния (1) и (4), при этом проводилось их сравнение.
Классическая задача о ламинарном движении пленки ньютоновской жидкости в поле тяжести, ограниченной с одной стороны твердой стенкой, а с другой — свободной поверхностью, приведена в [59]. Там же описана задача о распространении сдвиговой волны Стокса, когда вязкая ньютоновская жидкость соприкасается с твердой неограниченной плоской поверхностью, совершающей (в своей плоскости) гармонические колебания.
В 1959 г. была опубликована монография Дерягина Б. В. и Леви С. М. [60]. Значительное место в ней отведено технологическим и физико-химическим аспектам проблемы. Рассмотрение теоретических вопросов ограничено в основном реологически простыми (ньютоновскими) жидкостями. Для вазкопластичной жидкости Шведова-Бингама при весьма малом значении пластического фактора определены зависимости толщины слоя, остающегося на твердой поверхности. Поля скоростей, касательных напряжений и другие реодинамические характеристики не рассчитывались. Кроме того, не анализировались пленочные течения нелинейновязких неньютоновских жидкостей. Отметим здесь еще две специализированные монографии Воронцова Е. Г. и Танайко Ю. М. [61, 62], посвященные пленкам ньютоновских жидкостей, стекающих по неподвижным твердым поверхностям.
Одно из первых систематических описаний основных положений реодинамики и тепломассообмены пленок реологически сложных сред при ламинарном режиме их течения дано в книге Шульмана З. П. и Байкова В. И. [63]. Получены и проанализированы решения стационарных и нестационарных краевых задач течения и теплообмена для случаев: а) стекания пленки в ламинарном и ламинарно-волновом режимах- б) увлечение покоящейся жидкости движущимся телом- в) движение пленки при вибрациях стенки. Для описания реологических свойств неньютоновских жидкостей авторами указанной монографии использовалась модели (1) и (2). Влияние вибраций на движение пленки реологически сложной системы ограничено лишь рассмотрением примеров течений степенной жидкости при 0.15 < и <1 и идеально пластичного тела Сен-Венана. В работе [64] тех же авторов получено выражение для скорости стационарного безволнового режима движения пленки Шведова-Бингама и определено для этого случая положение границы раздела фаз. Была решена задача ламинарного волнового течения тонкой пленки вязкопластичной жидкости по вертикальной поверхности. Показано, что усиление пластических свойств подавляет волнообразование в пленке и при определенных условиях волновой режим стекания переходит в безволновой.
Разработке методов расчета и установления основных закономерностей гидродинамики и теплообмена в неньютоновских жидкостях при пленочном и свободноконвективном течении в гравитационном поле применительно к процессам химической технологии посвящена диссертационная работа Байкова В. И. [65]. Для гравитационно стекающих пленок в диссертации предложен общий метод расчета течения пленок и определения остатков неньютоновских неупругих жидкостей при опорожнении емкостей- установлены качественные различия в течениях пленок нелинейно-вязких и вязкопластичных жидкостей. Получены аналитические выражения для основных параметров ламинарного и ламинарноволнового течений, а также теплообмена пленок вязкопластичной жидкости. В работе предложены методы расчета гидродинамики неньютоновских пленок при динамических и термических воздействиях, проведен расчет основных характеристик течения в зависимости от реологических свойств и термочувствительности жидкости, параметров вибрации, касательного напряжения на границе раздела фаз. Динамическому же воздействию на течение пленки вязкопластичной жидкости посвящена статья [66]. Условия течения вязкопластичной пленки при гидродинамическом взаимодействии фаз обсуждались так же в работе [67].
Отметим здесь работы [68 — 70], в которых рассматриваются задачи связанные с применением пленочных течений в различных областях промышленности. В деревообрабатывающей промышленности применяется процесс нанесения лакокрасочных покрытий наливом, когда детали проходят под устройством, формирующем плоскую струю падающего вниз лакокрасочного материала. Основным параметром процесса является толщина покрытия. В статье [68] рассматривается стационарное, стабилизированное течение плоской струи жидкости Шульмана (3) вдоль подвижной наклонной пластины. Исследуется зависимость толщины пленки жидкости остающейся на твердой поверхности в зависимости от расхода лакокрасочного материала наливным устройством. Извлечение твердой подложки из жидкости широко используется в промышленной практике при получении ряда продуктов: кино-и фотоматериалов, керамических конденсаторов, декоративных и защитных покрытий. Толщина жидкостной пленки Шведова-Бингама, получаемой при извлечении из нее твердой подложки, была предметом экспериментальных исследований, описанных в работе [69]. При описании медленных течений в пленках многих веществ, подобных слоям краски, нефтяным пленкам, тонким слоям растворов и расплавов полимеров, изливающимся магматическим массам и т. д., необходимо принимать во внимание прежде всего зависимость вязкости жидкостей от скорости сдвига. Анализ роли именно этой черты реальных жидкостей проведен Городцовым В. А. в статье [70].
В четвертой части второй главы диссертации рассматривается так же задача устойчивости плоскопараллельного течения пленки жидкости Уильямсона (4) по наклонной твердой поверхности, относительно плоских длинноволновых возмущений.
Из линейной теории для обычной ньютоновской жидкости [71] следует, что возмущения вида ехр (/Ьс — неустойчивы для значений чисел Рейнольдса Яе > 1.25tg{a), где, а угол наклона плоскости, отмеряемый от вертикали. При малых расходах изучение длинноволновых возмущений в ньютоновской жидкости сводится к решению нелинейного приближенного уравнения, описывающего изменение толщины пленки [72 — 74]. Аналитически установившиеся волны удается получить только для величин волновых чисел к, близких к значению нейтрального по линейной теории волнового числа кп [73, 74]. С помощью численных расчетов в работе [75] построены периодические решения для конечного интервала волновых чисел 0.5кп < к < кп. В статьях Цвелодуба О. Ю. [76, 77] эти решения найдены практически во всей неустойчивой по линейной теории области волновых чисел 0 < к < кп. В частности, получены солитонные решения упомянутого уравнения [77]. Численному исследованию развития начальных возмущений в тонком слое вязкой ньютоновской жидкости с течением времени посвящена работа [78]. Показано, что формирующаяся волновая структура проходит через сложные промежуточные формы, картина которых зависит от начальных условий. При больших временах в слое формируется волновой режим, близкий к оптимальному для данного значения волнового числа. Конечный результат развития от начальных данных зависит слабо.
Работы [79, 80] посвящены рассмотрению пленки ньютоновской жидкости, стекающей по осциллирующей наклонной твердой поверхности. В [79] приведен профиль основного течения пленки в случае, когда поверхность колеблется в своей плоскости со скоростью Г0со б^). В линейном приближении для таких колебаний плоскости получены условия устойчивости течения пленки жидкости.
Условия гидродинамической устойчивости периодического во времени течения пленки вязкопластичной жидкости в зависимости от ее расхода, частоты и амплитуды колебаний стенки, касательного напряжения на границе раздела фаз исследовались в уже упоминавшейся работе [65]. Там же показано, что колебания стенки дестабилизируют течения и вызывают развитие волн, при определенных частотах колебаний возможно подавление волнообразование в пленке.
В большинстве работ, посвященных движению пленок вязкопластичных материалов, например, упоминавшиеся здесь работы [60, 63 — 69], авторы используют модель Шведова-Бингама, которая имеет один, весьма существенный, недостаток. Между зонами имеется четкая граница раздела, на которой необходимо ставить дополнительные условия, связывающие решения в различных областях течения жидкости. При этом положение границы раздела фаз определяется в ходе решения задачи. Ситуация сильно осложняется, когда рассматриваются нестационарные задачи или задачи устойчивости течения вязкопластичных пленок. Модель (1) не позволяет корректно единым образом описать сложное нестационарное движение пленки во всей области течения. В этом случае представляется целесообразным применять реологические модели, сохраняющие физически важное свойство вязкопластичных сред — резкое уменьшение текучести при малых скоростях деформации и являющиеся, в то же время, аналитическими. Особенно интересны реологические уравнения, которые допускают предельный переход к модели Шведова-Бингама (1). Этим требованиям удовлетворяет модель Уильямсона (4).
Третья глава диссертационной работы посвящена исследованию механизмов генерации осредненных течений, возникающих на фоне высокочастотных мало-амплитудных вибраций вблизи поверхности раздела сред.
Исследованию поведения двухслойной системы несмешивающихся жидкостей посвящена статья Бириха Р. В. и Рудакова Р. Н. [81]. Ими рассмотрена структура нейтральных термокапилярных колебаний в такой системе, для случая плоской границы раздела. Показано, что они поддерживаются за счет сдвига фаз между колебаниями максимальных значений функции тока в слоях. Продемонстрировано влияние высокочастотных поперечных вибраций на границу устойчивости и структуру колебательных возмущений.
Вибрации сосуда, содержащего неоднородные по плотности среды, приводят не только к возбуждению пульсационных течений, но и генерируют, при определенных условиях, медленные осредненные течения. Так, высокочастотные вибрации твердого тела, погруженного в жидкость, как показано Релем, Шлихтингом и другими [10 — 13, 16, 82], приводят к тому, что в тонком вязком стоксовском слое вблизи твердого тела генерируется осредненное течение вихревого характера, распространяющееся за пределы этого скин-слоя. В [12, 13, 82] методами осреднения получены уравнения и эффективные граничные условия для осредненных течений такого типа при линейных поступательных вибрациях твердого тела. В [16] задача о генерации средних течений обобщена на случай трехмерных пульсационных течений с неоднородной фазой колебаний.
В работах [83 — 85] было экспериментально обнаружено явление возникновения неподвижного волнового рельефа на поверхности раздела двух жидкостей, подверженных горизонтальным вибрациям. Теоретически было показано, что в основе этого явления лежит неустойчивость Кельвина-Геймгольца на границе встречных потоков [86 — 89]. Подробно неустойчивость Кельвина-Геймгольца в нестационарном варианте исследована в [90]. Состояние с неподвижным волновым рельефом является в действительности квазиравновесным, т. е. поверхность раздела совершает малые (в меру малости амплитуды вибрации) колебания около осредненного положения. Аналогичное явление было обнаружено экспериментально в [91] для двухслойной системы взвесь — однородная жидкость. Там же была сделана попытка использовать для описания этого явления результаты работы [86], рассматривая двухслойную систему жидкость — взвесь как систему двух несмешивающихся жидкостей с нулевым поверхностным натяжением на границе раздела. В этом случае результаты [86] приводят к выводу об образовании волнового рельефа, причем длинна волны образующегося рельефа оказывается монотонно нарастающей с увеличением интенсивности вибраций, что согласуется с результатами экспериментов [91]. Однако такое описание не учитывает характерные черты динамики взвеси, а именно различие инерционных свойств жидкости и взвешенных частиц и эффект инерционных масс. Кроме того, в более поздних экспериментах [92] было показано, что образование волнового рельефа на границе взвесь — жидкость иногда сопровождается нестационарными явлениями, при которых волновой рельеф медленно движется, что также не описывается теоретической моделью [86]. Разработке последовательного теоретического подхода к описанию динамики взвеси на основе двухжидкостной модели и исследованию в рамках этой модели линейной устойчивости поверхности раздела жидкость — взвесь под действием высокочастотных горизонтальных вибраций посвящена работа [93]. Аналитически найдена граница устойчивости по отношению к монотонным возмущениям, численно по отношению к колебательным возмущениям. Оказалось, что колебательная неустойчивость более опасна, чем монотонная. С ростом интенсивности вибраций граница устойчивости сдвигается в длинноволновую область, что находится в согласии с данными эксперимента [92].
Вязкий стоксовский слой возникает при вибрациях не только вблизи твердых поверхностей, но и около свободной поверхности жидкости и поверхности раздела жидкостей. Высокочастотные вибрации сильно влияют на саму осредненную форму поверхности раздела сред (или свободной поверхности жидкости). В работах [86 — 89] получены уравнения и соответствующие граничные условия для определения равновесной формы поверхности раздела сред и свободной поверхности жидкости в поле высокочастотных мало-амплитудных вибраций, и приведено решение поставленной задачи для ряда конкретных ситуаций. В цитируемых работах не учитывалась вязкость сред, поскольку при высокочастотных и малоамплитудных вибрациях толщина стоксовского слоя, в котором заметно влияние вязкости, пренебрежимо мала по сравнению с характерными размерами гидродинамических структур. При определении средней равновесной формы поверхности раздела, влияние стоксовского слоя действительно несущественно. Но его наличие обусловливает генерацию средних течений, так что квазиравновесным состоянием системы в вибрационном поле, как правило, является состояние, в котором средняя поверхность раздела сред стационарна, но имеется слабое стационарное же среднее течение, генерирующееся в вязком скин-слое вблизи этой поверхности.
