Двумерные задачи предельного равновесия анизотропной сыпучей среды

Диссертация посвящена анализу и обобщению соотношений теории предельного равновесия пластической среды со свойствами анизотропии и сыпучести, численному решению задач предельного сопротивления элементов конструкций и сооружений, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений с частными производными, при условии пластичности, учитывающем свойства анизотропии и сыпучести, развитию численных методов определения предельных нагрузок и полей напряжений в областях пластических деформаций твердых тел с вышеуказанными свойствами. Достижения в теории идеальной пластичности и обобщения на анизотропию и сыпучесть освещены в работах Д. Д. Ивлева [27−44], Г. И.Быковцева[10], Г. А. Гениева [12−16], М. И. Ерхова [26], А Ю. Ишлинского [45], В. Д. Клюшникова [50], Н. Н. Малинина [54], ЮН. Работнова [61], Л. И. Седова [64−65], В. В. Соколовского [66−67], Л. А. Толоконникова [71] и других ученых.

Актуальность темы

Проблема устойчивости инженерных сооружений и прочности элементов конструкций часто связана с учетом свойств анизотропии и сыпучести материалов, применяемых в соответствующих технологиях. При этом особое внимание уделяется развитию теории, методам расчета напряженно-деформированного состояния и, соответственно, установлению определяющих соотношений, используемых при инженерных расчетах устойчивости и прочности сооружений и элементов конструкций со свойствами анизотропии и сыпучести.

Среди феноменологических теорий идеальной пластичности со свойствами анизотропии можно выделить такие направления: во-первых, условия пластичности, обобщающие условие Мизеса [27], во-вторых, обобщающие условия Треска-Сен-Венана [74], и, в-третьих, обобщение представлений о существовании предела для компоненты касательного напряжения на опасной площадке [16]. Соответствующие соотношения подробно исследовались Г. Хиллом, Д. Д. Ивлевым, Г. А. Гениевым, И. Т. Артемьевым и другими учеными. Для плоской задачи каждая из рассматриваемых систем определяющих уравнений является статически определимой, принадлежит к гиперболическому типу с характеристиками, соответствующими линиям скольжения. Каждый из перечисленных феноменологических подходов соответствует представлениям о природе идеально-пластического течения, когда деформации происходят по опасным площадкам, на которых комбинации напряжений достигают предельных значений, определяемых сформулированными условиями пластичности. Известны и другие критерии прочности и пластичности анизотропных материалов, такие как, критерий прочности К. В. Захарова [18], критерии Марина [81], Фишера [80], критерий Нориса и Мак-Кинэна [83], Прагера [76], Е. К. Ашкенази [8] и другие. Исследованием критериев прочности и пластичности конструкционных материалов занимались также и И. И. Гольденблат, и А. В. Копнов [18]. Они отмечают, что многим из рассмотренных критериев прочности и пластичности анизотропных материалов присущи некоторые недостатки. Некоторые из критериев не учитывают особенности механических свойств анизотропных материалов, другие не подтверждаются экспериментами [18]. Следовательно, задача исследования прочности анизотропных материалов остается актуальной.

Анализу сыпучих свойств среды посвящены монографии С. С. Голушкевича [20], Б. И. Далматова [23], В. В. Соколовского [66], Н. А. Цытовича [77] и др. Учет сыпучих свойств актуален в связи с тем, что грунты основания обычно обладают в тысячи раз большей деформированностью и в сотни раз меньшей прочностью, чем материалы, из которых возводится сооружение. Следствием неправильной оценки качеств грунтов часто являются большие деформации конструкций сооружений и даже их разрушение.

Задачи теории предельного равновесия сыпучей среды принадлежат к числу задач, поставленных во времена, когда строительная механика еще только начинала развиваться как самостоятельная наука. Уже в 1773 году Кулон (Coulomb С. Application des regles de maximis et minimis a quelques problemes de statique, relatifs a l’architecture. Memoires de savants etrangers de l’Acad. des se. de Paris, 1773) ясно сформулировал основные принципы теории предельного равновесия и дал ее первые приложения к задачам о расчете сводов и о давлении земли на подпорную стенку. Задача о давлении земли на подпорную стенку долгое время была единственной задачей теории предельного равновесия сыпучей среды.

Прогресс строительной техники (увеличение размеров и веса сооружений, необходимость возводить их на слабых основаниях, возведение больших земляных насыпей, изучение оползней и пр.) поставил перед теорией ряд новых задач, среди которых наиболее важными являются задачи об устойчивости оснований и глубине заложения фундаментов и задачи об устойчивости и рациональных или предельных очертаниях откосов. В работах Кеттера (Kotter F. Die Entwicklung der Lehre vom Erddruck. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 18 911 892- Kotter F. Die Bestimmung des Druckes an gekrummtengleitfiachen, eine Aufgabe aus der Lehre vom Erddruck. Berl. Ber., 1903; Kotter F. Ueber der Druck von Sand. Berl. Ber., 1909) дана строгая постановка задачи Кулона об определении давления земли на подпорную стенку. Рассматривая эту задачу, в отличие от Кулона, Кеттер отказывается от допущения, что поверхность обрушения — плоскость, и сводит ее к вариационной задаче, задаче об отыскании криволинейной поверхности обрушения, обладающей тем экстремальным свойством, что она в состоянии предельного равновесия занимает положение, при котором давление земли на стенку достигает наибольшего значения. Кеттеру удалось получить имеющий принципиальное значение результат. Он вывел дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять распределение напряжения по поверхности обрушения.

В работе Голушкевича С. С. [20] (1948 г.) отмечено, что в исследованиях тех лет по теории предельного равновесия сыпучей среды основные задачи этой теории ставились как задачи математической физики. В основном данные работы посвящались исследованию этих задач, но не разработке эффективных методов их решения. Голушкевич С. С. [20] для решения таких задач использует методы строительной механики и, в частности, графические методы, строит графические решения классических задач теории предельного равновесия (задач Ренкина, Прандтля и Паукера). В настоящее время для решения задач математической физики, поставленных для предельного равновесия сыпучей среды и относящихся к гиперболическому типу, применяется способ Массо (метод характеристик). Нелинейность задач этой теории позволяет получить аналитические решения только в простейших случаях. Графические методы, разработанные Голушкевичем С. С. [20], однако, могут быть более эффективными, чем способ Массо.

Ренкин первый поставил и решил задачу о предельном равновесии однородной тяжелой идеально сыпучей среды, ограниченной наклонной плоскостью, по которой равномерно распределено вертикальное давление (Rankine W. On the stability of loose earth. Lond., Phil. Trans. 1857).

Ренкин отказался от предположений Кулона о форме и экстремальных свойствах поверхности обрушения и определил давление земли на подпорную стенку, исходя из естественного предположения, что в тот момент, когда стенка находится в состоянии предельного равновесия, засыпка за ней находится в предельном напряженном состоянии не только на поверхности обрушения, но и во всей области, занятой призмой обрушения. Ренкин первый вывел уравнение, которому должно удовлетворять распределение напряжений во всех точках идеально сыпучей среды, когда она находится в предельном напряженном состоянии:

Л2 т2 = а2 ¦ sin2/?. В частном случае, когда р = О, 2 такое обобщенное уравнение Ренкина превращается в уравнение пластичности Сен-Венана. Ренкин также открыл свойство изогональности поверхностей скольжения, заполняющих область предельного напряженного состояния сыпучей среды.

Морис Леви (Levy M. Sur une theorie rationelle de l’equilibre des terres fraichement remuees et ses applications au calcul de la stabilite des murs de soutenement. Journale de Mathematique de Liouville, 1873) дал новое изложение теории Ренкина. Воспользовавшись приемом Эри, введя функцию напряжений, он свел задачу о предельном равновесии сыпучей среды к интегрированию дифференциального уравнения в частных производных второго порядка.

Белзецкий С И. указал на главное препятствие, стоящее на пути дальнейшего развития теории предельного равновесия (Белзецкий С. И. Статика сооружений, т. 1, вып. 1. Статика сыпучих тел и расчет подпорных стенок. Петербург, 1914). Оно заключалось в трудности исследования предельного напряженного состояния сыпучей среды в окрестности граничной прямой, на которой приложенное к поверхности сыпучей среды внешнее давление терпит разрыв. Эта трудность была преодолена в двадцатых годах, когда Прандтль показал, что линия разрыва непрерывности эпюры внешнего давления является центром пучка одного семейства кривых скольжения, заполняющих область, в которой сыпучая среда находится в особом предельном напряженном состоянии.

Задача Прандтля заключается в следующем: невесомая однородная сыпучая среда занимает область, заключенную между сторонами плоского двухгранного угла у. По одной грани равномерно распределено давление <�у отклоняющееся от нормали к ней на угол р. По другой грани равномерно распределено давление су", также отклоняющееся от нормали к грани на угол р. Необходимо установить, при каком соотношении между величинами сг' и а" сыпучая среда придет в состояние предельного равновесия, и определить форму поверхностей скольжения (Prandtl L. Ueber die Harte plastischer Korper. Gottingen Nachrichten. 1920; Prandtl L. Ueber die Eindringunsfestigkeit (Harte) plastischer Baustoffe und die Festigkeit von Schneiden. Zeitschr. f. angew. Math, und Mech., 1921).

В задаче Паукера рассматривается случай, когда плоскости ограничивающих сыпучую среду откосов сливаются в одну горизонтальную плоскость, а давления р' и р" вертикальны. Паукер первый поставил ее и дал ее приближенное решение. Точное решение этой задачи дано Прандтлем. Инженер В. И. Новоторцев обобщил решение Прандтля на случай, когда давление р' наклонно (Новоторцев В. И. Опыт применения теории пластичности к задачам об определении несущей способности оснований сооружений. Труды Научно-исследовательского института гидротехники, т. XXII, 1938).

В.В.Соколовский построил общий метод решения основных задач теории предельного равновесия сыпучей среды. Он обобщил результаты своих исследований в монографии «Статика сыпучей среды» [66]. Эти исследования написаны под сильным влиянием работы С. А. Христиановича (Христианович С. А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре. Мат.сб., нов. серия, т. I (43), вып. 4), посвященной исследованию близкой к теории предельного равновесия плоской задачи математической теории пластичности. В. В. Соколовский показал, что все основные задачи теории предельного равновесия (задачи о давлении земли на подпорную стенку, об устойчивости оснований и откосов, о предельных очертаниях откосов) представляют собой частные случаи одной задачи, которую В. В. Соколовский называл обобщенной задачей Прандтля.

В настоящее время теория сыпучести лежит в основе методов исследований инженерной практики, излагаемых во многих известных учебниках, например [23, 77].

В связи с разнообразием представлений об условиях пластичности и сыпучести возникает вопрос о том, являются ли методы описания предельных состояний исключающими другие возможные представления. В теории идеальной пластичности остается малоисследованным вопрос о предельном состоянии материала при произвольной комбинации компонент тензора напряжений <�тх, <�ту, % при плоской деформации, когда они подчиняются соотношению.

F (ax, сгу, %Ь0. (1).

Очевидно, соотношение (1) можно представить в виде комбинации инвариантов тензора напряжений, выразив компоненты тензора напряжения в декартовой системе координат следующим образом:

7Х = а + tsr2(p, сту =<7- среднее напряжение в рассматриваемой точке среды, t — величина максимального касательного напряжения, (р — направление площадки с максимальным касательным напряжением [27]. При этом соотношение (1) сводится к виду:

Gfcr, t, д>) = 0. (3).

Естественные материалы, такие как грунты, горные породы, лед, а также искусственно созданные материалы, такие как композиционные, полимерные, порошковые и другие обладают сложными физико-механическими свойствами, когда предельные состояния описываются разнообразными соотношениями типа (3). Исследование определяющих соотношений общего вида типа (3) является актуальной задачей.

Поскольку соотношения теории пластического течения достаточно сложны, точные решения возможны лишь для узкого класса задач [27]. Большая часть задач требует применения приближенных и численных методов в силу нелинейности систем дифференциальных уравнений и условий предельного сопротивления (условий пластичности, сыпучести и пр.) и в сложности граничных условий в общем случае. Эта особенность задач механики деформируемого твердого тела остается неустранимой, несмотря на стремление внести упрощения в формулировку соотношений, определяющих предельное состояние твердого тела. Тем более, что учет свойств сыпучести, анизотропии в отдельности и в комбинации приводит к усложнению в формулировке таких соотношений. В результате круг задач, для которых получено даже приближенное аналитическое решение, до настоящего времени еще достаточно узок. Очевидно также, что приближенные и аналитические решения не умаляют интереса к анализу решений, полученных без упрощающих задачу предположений, позволивших получить приближенное решение.

Появление и 'интенсивное развитие быстродействующих вычислительных средств создало благоприятные условия для развития численных методов расчета несущих способностей пластических конструкций, полей предельных напряжений. В первую очередь, следует назвать метод конечных разностей, позволивший обойти многие трудности аналитического решения сложных систем дифференциальных уравнений. Вызванное прогрессом вычислительной техники развитие численных методов позволило подойти к самой постановке и решению ряда задач механики деформируемого твердого тела, соответствующих моделям реальных технологических процессов, и инженерным расчетам, имеющим практическую значимость.

В связи с этим развитие численных методов расчета несущей способности элементов конструкций и инженерных сооружений (оснований, фундаментов, откосов и пр.) со свойствами сыпучести и анизотропии, расчет полей предельных напряжений в этих случаях является актуальным.

Методики численного расчета предельных полей напряжений приведены во многих монографиях [25, 48, 54, 58]. В настоящей диссертационной работе предлагается обобщение этих методов.

В работе [66] рассматривается условие предельного сопротивления сдвигу по данной площадке сыпучей среды с нормалью п, имеющее место при соблюдении между касательным тп и нормальным сгп напряжениями линейной зависимости [66] тп = сг^р + к = (ап+Н^р, (4) где, р — угол внутреннего трения, к — коэффициент сцепления сыпучей среды, Н = кс%р — так называемое временное сопротивление всестороннему равномерному растяжению по терминологии В. В. Соколовского [66].

Соотношение (4), используя инварианты 1, а тензора напряжений, можно привести к виду: г = + о->тр. (5).

В настоящей работе в качестве примера обобщения условия предельного сопротивления сыпучей среды при плоском напряженном состоянии (4) на анизотропные сыпучие среды предлагается следующее условие: г — (Н + сфтр + А&т.(4(р + Л). (6).

Константы р, Н характеризуют сопротивление сыпучей среды без учета анизотропии. Анизотропия материалов определяется зависимостью предельного сопротивления сдвигу на данной площадке от направления ср главного касательного напряжения Л — константа, определяющая направление главных осей анизотропии, то есть осей с экстремальными прочностными свойствами вдоль них. Существенность влияния анизотропии определяется константой А, которая представляет собой амплитуду анизотропных свойств среды.

Здесь главной осью анизотропии условно называем такое направление в анизотропном материале, в котором предельное максимальное касательное напряжение не зависит от амплитуды А, то есть для которого &т (4(р + Л) -О. Поэтому условно будем называть эту ось также нейтральной осью анизотропии.

В данной точке М твердого тела функция? = ?/ + А$т (А (р + Л), где и = (Н + а) зтр, может быть представлена в полярных координатах диаграммой (рис. 1). Окружность радиуса и соответствует предельному условию сыпучести, не зависящему от направления <�р, а периодическая замкнутая кривая иллюстрирует изменения предела текучести в зависимости от направления <�р. Так, если угол <�р измерять от произвольно выбранной оси х, то по отношению к этой оси максимум сопротивления ^ ^ достигается при г = и + А, то есть при &т (А (р + Л) = 1 и <�р = — - — = —— Л'.

То есть в данной интерпретации Л' - есть угол между осью х и выбранной нами главной осью. нейтральная ось анизотропии.

Рис. 1.

В случае (6) функция О (3) принимает вид:

0(с>, = + о)$тр + А$ш (4(р + Х) (7).

Цель работы: анализ феноменологических подходов в теории идеальной пластичности со свойствами анизотропии и сыпучести на основе обобщенного условия пластичностивывод определяющих и характеристических соотношений теориирешение некоторых классических задач на основе полученных соотношений, учитывающих свойства анизотропии и сыпучести материалов.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для условия пластичности общего вида С (ст, 1,(р), где ст, I, (ринварианты тензора напряжения дифференциальные уравнения равновесия сведены к дифференциальным уравнениям двух семейств характеристик и дифференциальным соотношениям для параметров, а и (р вдоль них.

2. Исходя из полученных соотношений, приведены характеристические соотношения для обобщения условия предельного сопротивления сыпучей среды на случай анизотропии.

3. Развита методика численного решения основных краевых задач теории идеальной пластичности: задачи Коши, Римана, смешанной задачи.

4. На основе приведенной методики решены задачи о предельном равновесии анизотропной сыпучей среды при действии плоского штампа на полупространство, на грань тупоугольного, остроугольного клиньев.

5. Исследованы частные случаи, вытекающие из общего условия анизотропной сыпучести: идеальная пластичность, анизотропия, сыпучесть. В частных случаях решения соответствуют известным решениям классических задач.

6. Развита методика численного решения задачи о предельном равновесии анизотропных сыпучих откосов при однородной и неоднородной нагрузках. На основе этих решений приведены рекомендации о влиянии свойств сыпучести и анизотропии на устойчивость сооружений.

7. Приведено обобщение теории осесимметричного течения при условии пластичности общего вида. Получены характеристические соотношения для условия пластичности общего вида, которые позволяют моделировать предельное состояние идеально пластических, анизотропных, сыпучих сред и сред с комбинациями сыпучести и анизотропии. В качестве конкретного примера условие пластической анизотропии принято в виде условия Мизеса-Хилла.

8. Приведена методика и результаты численного решения задачи о построении полей характеристик и полей предельных напряжений при вдавливании сферического штампа в пластическое анизотропное полупространство с учетом выпучивания поверхности среды.