Асимптотический анализ и осреднение на сочленениях сингулярно вырождающихся областей

§ 1 АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ И НАУЧНАЯ НОВИЗНА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

При решении многих практических вопросов, и прежде всего при расчете упругих конструкций, необходимо математическое исследование задач о сочленении сингулярно вырождающихся областей, т. е. областей, одно или несколько измерений которых существенно меньше остальных. Такое исследование подразумевает асимптотический анализ решений краевых задач в областях, зависящих от малого параметра е и стягивающихся при ечОк предельному множеству («скелету»), представимому в виде объединения множеств различных размерностей.

Явное вхождение естественного малого параметра делает задачи о сингулярно вырождающихся областях (деформация стержней, пластин, оболочек, течение жидкости в тонких каналах, и т. д.) весьма привлекательными для математического исследования. Однако, хотя история решения задач о тонких телах как об объектах меньшей размерности насчитывает более двух веков, математическая теория описывающая сочленение таких областей стала разрабатываться лишь сравнительно недавно. Основное развитие получило направление, связанное с изучением упругих тел. Математическому описанию упругих полей на сочленениях тел с различными предельными размерностями (multi-structures) посвящены монографии [135], [157], [153], статьи [137], [152], [140], [165], [154], [147] и др. Упомянем также работы, в которых исследуются задачи осреднения решетчатых и рамных конструкций [5], [105], [170], [139], [23] и др. Несмотря на то, что задачи о сочленении сингулярно вырождающихся областей стали привлекать повышенное внимание исследователей многие задачи все еще остаются либо не изученными в надлежащей общности либо вовсе не рассмотренными.

В диссертационной работе приводятся результаты исследований задач теории упругости и гидромеханики на сочленении областей различных предельных размерностей, а также задач теории осреднения в ситуации, когда исходный оператор и оператор предельной задачи действуют в пространстве функций различного числа измерений, либо в случае, когда исходная краевая задача имеет особенности коэффициентов или границы. Две первые главы посвящены построению асимптотики решения краевых задач для систем уравнений теории упругости и гидромеханики. В главе 1 изучаются сочленения упругих тел: произвольная система слабоискрив-ленных анизотропных тонких стержней исследуется в не рассматриваемой ранее в математических работах общности: изучается деформация стержневой конструкции при произвольном расположении стержней и максимально ослабленных требованиях к свойствам внешних сил, в частности, впервые рассматривается деформирование конструкции за счет нагрузок, приложенных к узлам. Выводятся весовые неравенства Корна, позволяющие составить классификацию элементов конструкции не известную ранее ни в механике, ни в математике. Полученные неравенства Корна дают возможность предугадывать асимптотические анзацы, в том числе и отличающиеся от используемых ранее в теории стержней. Во второй главе методы асимптотического анализа применяются к задаче о течении вязкой несжимаемой жидкости: исследуется краевая задача для системы уравнений Навье-Стокса в области с несколькими тонкими каналами. В частности, доказывается, что вблизи устья канала течение жидкости в области с конечными размерами описывается известным точным решением Джеффри-Гамеля системы уравнений Навье-Стокса в плоском диффузоре. Третья и четвертая главы посвящены задачам теории осреднения. В главе 3 сформулированы и решены новые задачи в областях с анизотропной фрактальной структурой: рассматриваются краевые задачи с коэффициентами обладающими свойством «ветвления» по одному направлению и краевые задачи в перфорированных областях при сгущающейся перфорации. В третьей главе исследуется также осреднение обыкновенных дифференциальных операторов заданных на сетке кривых (в частности выводится алгебраическая система для вычисления коэффициентов осредненного оператора), а также, впервые в терминах теории осреднения, описывается построение дискретных моделей сплошной среды (рассматривается осреднение разностных уравнений на решетке). В последней, четвертой главе диссертации рассматриваются задачи теории осреднения при наличии сингулярности коэффициентов или границы области: глава посвящена краевым задачам для вырождающихся на границе области эллиптических уравнений и краевым задачам для эллиптических уравнений в областях с малой полостью. В главе 4 задачи этих классов впервые изучаются в случае, когда коэффициенты исходных уравнений являются быстро осциллирующими.

1. Агранович Ш. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи матем. наук. 1964. Т. 19. № 3. С. 53−160.

2. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: Иностранная литература, 1962.

3. Анзорге Р., Гроткопф У., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Задача о встрече плоских волн в вершине трещины // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех., астр. 1987. № 1. С. 46−54.

4. Бахвалов Н. С. Осреднение дифференциальных уравнений с быстроосциллиру-ющими коэффициентами // Доклады АН СССР. 1975. Т. 221. № 3. С. 516−519.

5. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. А. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

6. Беляев НМ. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965.

7. Бердичевский В. Л. Об энергии упругого стержня // Прикладная матем. и мех. 1981. Т. 40. вып. 4. С. 704−718.

8. Бернштейн С. А. Очерк третий: из истории расчета ферм. В кн. Избранные труды по строительной механике. М.: Госсройиздат, 1961.

9. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1968.

10. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднение // Алгебра и анализ. Т. 15. 2003, вып. 5.

11. Боговский М. Е. Решение первой краевой задачи для уравнения неразрывности несжимаемой среды // Доклады АН СССР. 1979. Т. 248, № 5. С. 10 371 040.

12. Ван Дайк М. Д. Методы возмущений в механике жидкости. М., 1967.

13. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений вырождающихся на границе области// Матем. сборник. 1954. Т.35, № 3. С. 513−568.

14. Вишик М. И., Грушин В. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений высших парядков. Матем. сборник. 1969. Т. 79, № 1. С. 3−36.

15. Вишик М. И., Грушин ВВ. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений высших порядков// Матем. сборник. 1969. Т. 80, № 4. С. 455−490.

16. Вишик М. И. Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром// Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5. С. 3−122.

17. Галактионов Е. В., Тропп Э. А. Асимптотический метод расчета термоупругих напряжений в тонком стержне // Известия АН СССР, Сер. физич. 1976. Т. 40, № 7. С. 1399−1406.

18. Глушко В. П., Савченко Ю. Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи. Итоги науки, сер. Математика, вып. Матем. анализ. 1985. С. 125−218.

19. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М:. Мир. 1980.

20. Елисеев В. В. К нелинейной динамике упругого стержня // Прикладная матем. и мех. 1988. Т. 52. вып. 4. С. 635−642.

21. Елисеев В. В., Орлов С. Г. Асимптотическое расщепление в пространственной задаче линейной упругости для удлиненных тел со структурой //'Прикладная матем. и мех. 1999. Т. 63. вып. 1. С. 93−101.

22. Жаков B.B. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости // Матем. сборник. 1996. Т. 186. № 8. С. 3−40.

23. Жаков В. В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных объектах // Известия РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66. № 2. С. 81−148.

24. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник O.A., Ха Тьен Нгоан Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов // Успехи матем. наук. 1979. Т. 34, № 5. С. 65−155.

25. Жиков В. В., Козлов С. М. Олейник O.A. G-сходимость параболлических операторов // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36. № 1. С. 11−58.

26. Жиков В. В., Козлов С. М, Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

27. Зыков A.A. Теория конечных графов, т. 1, Новосибирск: Наука. 1969.

28. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев.: Наукова думка, 1979.

29. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка в области с щелью. 1. Двумерный случай // Матем. сборник. 1976. Т. 99. № 4. С. 514−537.

30. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка в области с щелью. 2. Область с малым отверстием // Матем. сборник. 1977. Т. 103. № 2. С. 265−284.

31. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1981. Т. 6. С. 57−82.

32. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

33. Келдыш M.B. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Доклады АН СССР. 1951. Т. 77. № 2. С. 181−183.

34. Козлова М. В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости для тонкого неоднородного бруса // Вестник МГУ. Сер. матем., мех. 1989. № 5. С. 6−10.

35. Козлова М. В., Панасенко Г. П. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородном стержне // Журнал вычислительной матем. и матем. физики. 1991. Т. 31. № 10. С. 1592−1596.

36. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московского матем. о-ва. 1967. Т. 16. С. 209−298.

37. Кондратьев В. А., Олейник O.A. Об асимптотике на бесконечности решений с конечным интегралом Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1987. Т. 12. С. 149−163.

38. Кондратьев В. А., Олейник O.A. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна // Успехи матем. наук.1988. Т. 43. № 5. С. 55−98.

39. Кондратьев В. А., Олейник O.A. О зависимости констант в неравенстве Корна от параметра, характеризующего геометрию области // Успехи матем. наук.1989. Т. 44. № 6. С. 157−158.

40. Косевич A.M. Физическая механика реальных кристаллов Киев: Наукова думка. 1981.

41. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. 2, М.: Физматгиз, 1963.

42. Кучмент П. А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных // Успехи матем. наук. 1982. Т. 37, № 4. С. 3−52.

43. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

44. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

45. Ладыженская O.A., Солонников В. А. О нахождении решений краевых задач для стационарных уравнений Стокса и Навье-Стокса, имеющих неограниченный интеграл Дирихле // Записки научных семинаров ЛОМИ, 1980. Т. 96. С. 117−160.

46. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика Т. 6, Гидродинамика, М.: Наука, 1988.

47. Ландис Е. М., Панасенко Г. П. Теорема об асимптотике решений эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной // Доклады АН СССР. 1977. Т. 235. № 6. С. 1253−1255.

48. Ланскоф Н. С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.

49. Лейбфилд Г. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов. М.-Л.: ГИФМЛ. 1963.

50. Леора С. Н., Назаров С. А., Проскура A.B. Вывод предельных уравнений для эллиптических задач в тонких областях при помощи ЭВМ // Журнал вычислительной матем. и матем. физики. 1986. Т. 26. № 7. С. 1032−1048.

51. Лехницкий С. Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971.

52. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

53. Лурье А. И., Джанелидзе Г. Ю. Задача Сан-Венана для естественно-скрученных стержней // Доклады АН СССР. Т. 24. № 1. С. 23−26, № 3. С. 225−229, № 4. С. 325−326.

54. Мазья В. Г., Назаров С. А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях границы вблизи угловых и конических точек // Труды Московского матем. о-ва. 1987. Т. 50. С. 79−129.

55. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: изд-во ТГУ, 1980.

56. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Об асимптотике решений эллиптических краевых задач при нерегулярном возмущении области // Проблемы матем. анализа. 1981. вып. 8. JL: изд-во ЛГУ, С. 72−153.

57. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями // Известия АН СССР. Серия матем. 1984. Т. 48. № 2. С. 347−371.

58. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками // Math. Nachr. 1977. Bd 76. S. 29−60.

59. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Оценки в Lp и в классах Гельдера и принцип Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1978. Bd 81. S.25 82.

60. Мазъя В. Г., Пламеневский Б. А. Первая краевая задача для классических уравнений математической физики в областях с кусочно-гладкой границей. I // Z. Anal. Anwendungen, 2, № 4. 1983. С. 335−359.

61. Мазъя В. Г., Слуцкий A.C. Осреднение дифференциальных уравнений на мелкой сетке // Доклады АН СССР. 1987. Т. 293. № 4. С. 792−796.

62. Мазъя В. Г., Слуцкий A.C. Осреднение дифференциального оператора на мелкой периодической криволинейной сетке //Mathematische Nachrichten. 1987. Bd. 133. S. 107−133.

63. Мазъя В. Г., Слуцкий A.C. Осреднение разностных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами // Seminar Analisis 1986/1987, Akad.Wiss.DDR, Inst.Math. Berlin. 1987. S. 63−92.

64. Мазъя В. Г., Слуцкий A.C. Об осреднении дискретных моделей сплошной среды // Ленинградский филиал института машиноведения им. A.A. Благонраво-ва, АН СССР. Препринт 7. 1989.

65. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.

66. Маслов В. П. Операторные методы. М.: Наука. 1973.

67. Михлин С. Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения. Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех., астр. 1954. № 8. С. 69 -77.

68. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1977.

69. Мовчан A.B., Назаров С. А. Трещины в композитных материалах. 1 // Механика композитных материалов. 1990. № 5. С. 842−851- 2 // ibid. 1990. № 6. С. 1038−1046.

70. Могилевич H.JI. Асимптотическое поведении решений общей эллиптической краевой задачи в цилиндре / Ленингр. электр. ин-т. связи, Л. 1985. Деп. в ВИНИТИ 19.07.85. № 5268−85.

71. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука. 1984.

72. Назаров СЛ. Эллиптические краевые задачи с периодическими коэффициентами в цилиндре // Известия АН СССР. Сер. матем. 1981. Т. 45. № 1. С. 101−112.

73. Назаров СЛ. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач с периодическими коэффициентами // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех., астр. 1985. № 15. С. 16−22.

74. Назаров СЛ. Задача Дирихле для эллиптических системы с периодическими коэффициентами в угловой области // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех., астр. 1990. № 1. С. 32−35.

75. Назаров СЛ. Асимптотика решения задачи Навье-Стокса о течении тонкого слоя жидкости // Сибирский матем. журнал. 1990. Т. 31, № 2. С. 131−144.

76. Назаров СЛ. Неравенства Корна, асимптотически точные для тонких областей // Вестник СПбГУ. Сер. матем., мех., астр. 1992. № 8. С. 19−24.

77. Назаров СЛ. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7. № 5. С. 1−92.

78. Назаров СЛ. Самосопряженные эллиптические краевые задачи. Полиноминальное свойство и формально положительные операторы // Пробл. матем. анализа. СПб: изд-во СПбГУ. 1997. Вып. 16. С. 167−192.

79. Назаров СЛ. Обоснование асимптотической теории тонких стержней. Интегральные и поточечные оценки // Пробл. матем. анализа. СПб: изд-во СПбГУ. 1997. Вып. 17. С. 101−152.

80. Назаров СЛ. Несамосопряженные эллиптические задачи с полиномиальным свойством в областях, имеющих цилиндрические выходы на бесконечность // Записки научн. семинаров Петербург, отделения матем. института РАН. 1997. Т. 249. С. 212−231.

81. Назаров СЛ. Минимальные требования гладкости данных, сохраняющие точность одномерной модели стержней // Пробл. матем. анализа. Новосибирск: Научн. книга. 1999. Вып. 19. С. 164−181.

82. Назаров СЛ. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. № 5. С. 77−142.

83. Назаров СЛ. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга. 2002.

84. Назаров СЛ., Паукшто М. В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ. 1984.

85. Назаров СЛ., Пилецкас К. И. Рейнольдсово течение жидкости в тонком трехмерном канале // Литовский матем. сборник. 1990. Т. 30. № 4. С. 772−783.

86. Назаров СЛ., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в кусочногладких областях. М.: Наука, 1991.

87. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Асимптотика решений краевых задач для уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами в области с малой полостью // Математический сборник, 1998. Т. 189. N 9. С. 107−142.

88. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Степенные пограничные слои в задаче осреднения скалярного уравнения, вырождающегося на границе // Проблемы математического анализа. 2001. № 23. С. 94−146.

89. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Одномерные уравнения деформации тонких сла-боискривленных стержней. Асимптотический анализ и обоснование // Известия РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. № 3. С. 97−131.

90. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Асимптотика частот собственных колебаний упругих балок, соединенных в форме буквы П // Доклады РАН. 2001. Т. 380. № 1. С. 23−26.

91. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Произвольные плоские системы анизотропных балок // Труды МИАН. 2002. Т. 236. С. 234−261.

92. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Неравенство Корна для произвольной системы тонких искривленных стержней // Сибирский матем. журнал. 2002, Т. 43. № 6. С. 1321−1331.

93. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Асимптотический анализ произвольной пространственной системы тонких стержней // Труды Санкт-Петербургского матем. о-ва. 2004. Т. 10. С. 63−117.

94. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Разветвляющаяся периодичность: осреднение задачи для эллиптической системы // Доклады РАН, 2004. Т. 397, № 6, 743−747.

95. Никишкин ВЛ. Особенности решений задачи Дирихле для уравнения второго порядка в окрестности ребра// Вестник МГУ. Сер. матем., мех. 1979. № 2. С. 51−62.

96. Олейник O.A. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой// Матем. сборник. 1966. Т. 69. № 3. С. 111−140.

97. Олейник O.A., Иосифъян Г. А. О поведении на бесконечности решений уравнений второго порядка в области с некомпактной границей// Матем. сборник. 1980. Т. 112. № 4. С. 586−610.

98. Олейник O.A. Иосифъян Г. А. Об условиях затухания и предельном поведении решений системы уравнений теории упругости // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258. № 3. С. 550−553.

99. Олейник O.A. Иосифъян ГЛ., Панасенко Г. П. Асимптотическое разложение решений системы теории упругости в перфорированных областях // Матем. сборник. 1983. Т. 120. № 1. С. 22−41.

100. Олейник O.A., Иосифъян ГЛ., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: изд-во МГУ, 1990.

101. Олейник O.A., Радкевич E.B. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки, сер. Математика, вып. Матем. анализ. 1969. С. 7−252.

102. Панасенко Г. П. Асимптотики высших порядков решений задач о контакте периодических структур // Матем. сборник. 1979. Т. 110. № 4. С. 505−538.

103. Панасенко Г. П. Асимптотические решения системы теории упругости для стержневых и каркасных структур // Матем. сборник. 1992. Т. 183. № 1. С. 89−113.

104. Пламеневский Б. А. О существовании и асимптотике решений дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в банаховом пространстве// Известия АН СССР. Сер. мат. 1972. Т. 36. № 5. С. 1343−1401.

105. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962.

106. Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1978.

107. Ржаницын А. Р. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1982.

108. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.

109. Светлицкий В. А. Механика стержней. Т.1, 2. М.: Высшая школа, 1987.

110. Слепян Л. И. Динамика трещины в решетке // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258. № 3. С. 261−264.

111. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

112. Слуцкий A.C. Об асимптотике решений вырождающихся эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных // Вестник ЛГУ. 1981. № 3. С. 59−64.

113. Слуцкий A.C. Об асимптотике вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка при малом возмущении границы области // Математические заметки. 1985. Т. 37. № 1. С. 63−71.

114. Слуцкий A.C. Степенной пограничный слой в задаче осреднения вырождающегося эллиптического уравнения / Деп. в ВИНИТИ № 3358-В86, 1986.

115. Слуцкий A.C. Построение дискретных моделей сплошных сред методом осреднения дифференциальных операторов // Сб. тезисов докладов конференции «Научные проблемы современного машиноведения», ЛФИМАШ, Л., 1987. С. 10.

116. Слуцкий A.C. Asymptotical analysis of arbitrary plane systems of anisotropic beams 11 Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Владимир. 2000. С. 85−87.

117. Слуцкий A.C. Branching periodicity: homogenization of the Dirichlet problem for an elliptic system // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», Москва. 2004. С. 216.

118. Терсенов С. А.

Введение

в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1974.

119. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М: Наука, 1967.

120. Треногий В. А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика // Успехи матем. наук. 1970. Т. 25. № 4. С. 123−156.

121. Харди Г. Г., Литтлеуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М: Иностранная литература, 1948.

122. Шойхет Б. А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры // Прикладная матем. и мех. 1973. Т.37. вып. 5. С. 914−924.

123. Щипачев B.C. Эллиптические уравнения с малым параметром, вырождающиеся на границе области // Вестник МГУ. Сер. матем., мех. 1970. № 6. С. 58−66.

124. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic differential equations satisfying general boundary conditions. 2 // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17, N1. P. 35−92.

125. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space// Comm. Pure Appl. Math. 1963. V. 16. № 2. P. 121−239.

126. Allmen M.J., Eagles P.M. Stability of divergent channel flows a numerical approach 11 Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1984. V. 392. P. 359−372.

127. Bakhvalov N.S. Homogenization and perturbation problems 11 Comput. Meth. Appl. Sci. and Eng. Proc. 4th. Int. Symp., Versailles, 1979, Amsterdam e.a. 1980. P. 645−658.

128. Banks W.H.H., Drazin P.G., Zaturska M.B. On perturbations of Jeffery-Hamel flow, // J. Fluid Mech. 1988. V. 186. P. 559−581.

129. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North Holland, 1978.

130. Bermudez A., Viano J.M. Une justification des equations de la thermoelasticite des poutres a section variable par des methodes asymptotiques // RAIRO Analyce Numerique. 1984. V. 18. P. 347−376.

131. Bourgeat A., Marusic-Paloka E. Loi d’ecoulement non lineaire entre deux plaques ondulees // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1. 1995. T. 321. P. 1115−1120.

132. Bourgeat A., Marusic-Paloka E. Nonlinear effects for flow in periodically constricted channel caused by high injection rate 11 Math. Models Methods Appl. Sci. 1998. V. 8. P. 379−405.

133. Ciarlet P.G. Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures: An Asymptotic Analysis. Paris: Masson. 1988.

134. Ciarlet P.C., Destuynder P.A. Justification of the two-dimensional linear plate model // J. Mecanique. 1979. V. 18. P. 315−344.

135. Ciariet P. G., Le Dret H., Nzengwa R. Modelisation de la jonction entre un corps elastique tridimensionnel et une plaque // C. R. Acad. Sei. Paris. Ser. 1. 1987. T. 305. P. 55−58.

136. Cioranescu D., J.S. Jean Paulin. Structures tres minces en elasticite linearisee: tours et grillages // C. R. Acad. Sei. Paris. Ser. 1. 1989. T. 308. P. 41−46.

137. Cioranescu D., J.S. Jean Paulin. Homogenization of reticulated structures. Applied Mathematical Sciences. V. 136. Berlin — New York: Springer Verlag. 1999.

138. Cioranecu D., Oleinik O.A., Tronel G. Korn’s inequalitites for frame type structures and junctions with sharp estimates for the constants 11 Asymptotic analysis. 1994. V. 8. P. 1−14.

139. Clebsch A. Theorie der Elastizitat der festen Korper. Leipzig, 1862.

140. Duffy B.R. Shear lagers in converging flow of fluid of non-uniform density and viscosity, // J. Fluid Mech. 1983. V. 129. P. 109−121.

141. Fraenkel L.E. Laminar flow in symmetrical channels with slightly curved walls.

142. On the Jeffery-Hamel solutions for flow between plane walls // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1962. V. 267. P. 119−138.

143. Fraenkel L.E. Laminar flow in symmetrical channels with slightly curved walls.1. An asymptotic series for the stream function // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1963. V. 272. P. 406−428.

144. Fraenkel L.E. On a theory of laminar flow in channels of a certain class. I 11 Proc. Cambridge Philos. Soc. 1973. V. 73. P. 361−390.

145. Fraenkel L.E., Eagles P.M. On a theory of laminar flow in channels of a certain class. II 11 Proc. Cambridge Philos. Soc. 1975. V. 77. P. 199−224.

146. Gaudiello A., Monneau R., Mossino J., Murat F., Sili A. On the junction of elastic plates and beams 11 C. R. Acad. Sei. Paris. Ser. 1. 2002. T. 335. P. 717−722.

147. Georgiou G.A., Eagles P.M. The stability of flow in channels with small wall curvature // J. Fluid Mech. 1985. V.159. P. 259−287.

148. Hooper A., Duffy B.R., Moffatt H.K. Flow of fluid of non-uniform viscosity in converging and diverging channels, // J. Fluid Mech. 1982. V. 117. P. 283−304.

149. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Hardy’s and Korn’s type inequalities and their applications // Rendiconti di Matematica. ser.VII. 1990. V. 10. P. 641−666.

150. Kozlov S.M. Harmonization and homogenization on fractals // Commun. Math. Phys. 1993. V. 153. P. 339−357.

151. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Movchan A.B. Asymptotic analysis of a mixed boundary value problem in a multistructure // Asymptotic Analysis. 1994. V. 8. P. 105−143.

152. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Movchan A.B. Asymptotic analysis of fields in multi-structures. Oxford: Clarendon Press, 1999.

153. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Movchan A.B. Fields in non-degenerate 1D-3D elastic multi-structures // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2001. V. 54. P. 177−212.

154. Ladyzenskaja O.A., Solonnikov V.A. Determination of the solution of stationary boundary value problems in unbounded domains for Navier-Stokes equations having infinite dissipation // Soviet Phys. Dokl. 1979. V. 24, N 12. P. 967−969.

155. Le Dret H. Modeling of the junction between two rods // J. Math. Pures Appl. 1989. V. 68. P. 365−397.

156. Le Dret H. Problemes variationnels dans les multi-domains modelisation des jonctions et applications. Paris: Masson. 1991.

157. Lions J.-L. Some Methods in the mathematical Analysis of Systems and their Control. Beijing, China: Science Press, 1981.

158. Marusic-Paloka E. The effects of flexion and torsion on a fluid flow through a curved pipe // Appl. Math. Optim. 2001. V. 44. P. 245−272.

159. Mayer S. Zur Theorie der enterteten Gleichungen mit kleinem Parameter leiden hochsten Abladungen// Wiss. z. Techn. Nachsch. Karl-Marx Stadt. 1979. Bd. 21. № 7. S. 865−871.

160. Maz’ya V.G., Slutskij A.S. Asymptotic analysis of the Navier-Stokes system in a plane domain with thin channels // Asymptotic Analysis. 2000. V. 23. № 1. P. 59−89.

161. Nazarov S.A. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions 11 Math, modelling and numerical analysis. 1993. V. 27. № 6. P. 777−799.

162. Nazarov S.A. Asymptotics at infinity of the solution to the Dirichlet problem for a system of equations with periodic coefficients in an angular domain // Russian J. of Mathematical Physics. 1995. V. 3. № 3. P. 297−325.

163. Nazarov S.A. Korn’s inequalities for junctions of spatial bodies and thin rods // Math. Methods in Appl. Sei. 1997. V. 20. № 3. P. 219−243.

164. Nazarov S. A., Slutskij A.S. Arbitrary plane systems of anisotropic rods 11 Abstracts of the International Workshop «Asymptotic and numerical analysis of structures and of heterogeneous media», M. 2000. P. 110.

165. Necas J. Les methods direct en theorie des equations elliptiques. Paris: Masson, 1967.

166. Oleinik OA., Panasenko G.P., Yosifian G.A. On the asymptotic expansion for solution of a homogenization problem in elasticity // Applicable Analysis. 1983. V. 15. № 1−4. P. 15−32.

167. Oleinik OA., Yosifian G.A. On the asymptotic behavior at infinity of solutions in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1982. V. 78. № 1. P. 29−53.

168. Panasenko GP. Asymptotic analysis of bar systems 1. 11 Russian J. of Math. Physics. 1994. V. 2. № 3. P. 325−352- 2. // ibid. 1996. V. 4. № 1. P. 87−116.

169. Panassenko G.P. Asymptotic analysis of bar systems 1. // Russian J. of Math. Physics. 1994. V. 2. № 3. P. 325−352- 2. // ibid. 1996. V. 4. № 1. P. 87−116.

170. Pazy A. Asymptotic expansions of solutions of ordinary differential equations in Hilbert space // Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V. 24. P. 193−218.

171. Rosenhead L. The steady two-dimensional radial flow of viscous fluid between two inclined plane walls 11 Proc. Roy. Soc. Sen, A. 1940. V. 175. P. 436−467.

172. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Couplage flexion-torsion-traction dans les poutres anisotropes a section heterogene // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 2. 1991. T.312. P. 337−344.

173. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Coques elastiques mines. Proprietes asymptotiques. Paris: Masson. 1997.

174. Slutskij A.S. Asymptotical analysis of arbitrary plane systems of anisotropic beams 11 Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир. 2000. С. 85−87.

175. Sobey I.J., Drazin P.G. Bifurcations of two-dimensional channel flow // J. Fluid Mech. 1986. V. 171. P. 263−287.

176. Trabucho de Campos L., Viano J.M. Existence and characterization of higher order terms in an asymptotic expansion method for linearized elastic beams // Asymptotic Analysis. 1989. V.2. P. 223−255.