В настоящее время общепризнанным является тот факт, что без применения математических методов исследования и последующего вычислительного эксперимента, практически невозможно провести исчерпывающее исследование и расчет сложного процесса. При этом, сложные модели расщепляются на более простые, как на физршеском, так и на математическом уровне. Такой подход дает ряд преимуществ: уменьшение затрат, металлоемкости, времени анализа, что особенно важно при анализе крупногабаритных объектоввозможность анализа критических режимов, которые в реальности привели бы к разрушению объекта, к большим материальным потерям и жертвам, экологической катастрофе и т. д." [89], [1], [48], [76], [97].
Такой подход, с моей точки зрения, можно перенести на изучение сложнейших процессов в биологическом живом микромире.
Свойства нелинейных моделей изложены, в частности, в книгах и статьях И. В. Андрианова, Р. Г. Баранцева, Л. И. Маневича [1], A.C. Братуся, A.C. Новожилова, А. П. Платонова, В. П. Посвянского [8] — [10], JI. М. Берковича [12], Я. Б. Зельдовича, Г. И. Баренблатта, В. В. Либровича, Г. М. Махвилад-зе [59], В. И. Кринского, А. С. Михайлова, А. Ю. Лоскутова, Л*. С. Полака [63], [68], [137], Дж. Марри под редакцией А. Д. Мышкиса [69], В. П. Мас-лова, М. В. Карасева, В. М. Хаметова, В. Г. Данилова, К. А. Волосова [70], [71], [113], [114], Л. К. Мартинсона, Ю. И. Малова [72]— [74], Ю. И. Неймарка, П. С. Ланды [75], О. В. Капцева [60], Ю. М. Романовского, Н. В. Степанова, Д. С. Чернавский [84], A.A. Самарского, Т. А. Ахромеевой, С. П. Курдюмова, Г. Г. Малинецкого, В. А. Галактионов [88], [89], Ю. М. Свиржева [90], Э. Скотта [93], Р. Буллафа, Ф. Кодри, Б. А. Дубровина, И. М. Кричевера, под редакцией С. П. Новикова [94], А. П. Шапиро, С. П. Луппов,[95], Г. Хакена [96], [97], Г. Николиса, И. Пригожина [76], М. Эйгена [98], [117], М. J. Ablowitz, A. Zeppetella [100], D. G. Aronson, H.F. Weinberger [102]— [104], V. N. Biktashev (Бикташев B.H.), G. V. Aslanidi (Г.В. Асланиди), A. Baylay, R.H. Clayton, A.V. Holden, Y.E. Elkin (Елькин Ю.Е.), S.F. Mironov, A.M. Pertsov, A.V. Zaitsev [106]-[109], P.M. Чернига, (R. Cherniha), O. Pliukhin, M. Seruv, I. Rassokha [111], M.B. Crouhijrt, M.C. Boerlijst [112], P. S. Hagan [120], J. Hofbauer, 1С Sigmund [121]—[124], Y. Kuramoto [129], [130], S. Koga [131], [132], J. Murray [135], S.V. Petrovskii, B.L. Li [140], A. T. Winfree [147]. Ниже в диссертации не раз будут процитированы эти работы.
Далее проведем краткий обзор результатов имеющих отношение к диссертации, а именно работ в порядке возрастания их сложности, в нашем понимании этих проблем.
Цепочки сложных химических соединений образуют образуют замкнутые циклы сложных взаимных превращений. Существует математическая запись законов сохранения массы и энергии для этих реакций. Такие математические модели были предложены М. Эйгеном, Р. Шустером и носят название модели гиперциклов [98],[117].
Распределенная открытая модель гиперцикла описана А. С. Братусем с сотрудниками в [8], [10]. Высказана некоторая гипотеза о устойчивости решений связанная с сравнением минимального собственного числа оператора с малым параметром задачи.
M.B. Crouhijrt, М. С. Boerlujst, Р. Hogeweg исследовали эту же модель с помощью метода «клеточных автоматов» [110], [112]. Используя большие вычислительные мощности суперкомпьютеров и современные численные методы они обнаружили в математической модели свойство локального вращения спиральных структур вокруг ведущих центров и множественность таких структур. Это свойство хорошо известное из экспериментальных данных.
Конкуренция гиперциклов описана Hofbauer J. в [123]. Вопрос о том какие виды гиперциклов исчезнут, а какие «выживут» в рамках данной модели является важным в математической модели эволюции. На все эти вопросы отвечает теория разработанная Hofbaner J., Sigmund К. в [121]. В рамках этой теории также решены некоторые вопросы устойчивости циклов.
Исторически исследования складывались таким образом, что модели усложнялись поэтапно. Широко известна пространственно неоднородная полулинейная модель, сначала с одной пространственной переменной и одним уравнением с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами, независящими от независимых переменных.
Модели с одним уравнением типа Колмогорова — Петровского — Писку-нова — Фишера [62], [118], и локализованные решения модели с нелинейной диффузией интенсивно исследовались в двадцатом веке не только выше перечисленных работах, но и в работах Л. К. Мартинсона [72] — [74], А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, Н. С. Пискунова [62], P.A. Фишера [118], Я. И. Канеля [61], В. Г. Данилова, П. Ю. Субычева [53], [54], Е. М. Воробьёва [46], [145], [146], К. А. Волосова [16]— [20], В. В. Пухначева [82], Г. А. Рудных, Э. И. Семенова [87], R.O. Kershner [128], В.Н. Разже-вайкина1. Полученные в этих работах результаты приведены в справочниках А. Д. Полянина, А. И. Журова. В. Ф. Зайцева с сотрудниками [79] — [81], [139]. Интересны связанные с параболическими уравнениями исследования А. М. Ильина, О. А. Олейник, Г. М. Хенкина, А. А. Шананина, ссылки на большое количество работ которых приведены в книге А. В. Гасникова,.
1Подробные ссылки на его работы приведены в [41],[50].
С. Л. Кленова, Е. А. Нурминского, Я. А. Холодова, Н. Б. Шамрай [50].
В этих работах были исследованы вопросы устойчивости решения задачи методом Ляпунова, использовался метод априорных оценок для оценки нормы, разности решения и «предельного притягивающего» решения в различных пространствах, были исследованы групповые свойства и были исследованы соответствующие динамические системы и т. д.
В работах В. И. Кринского, А. С. Михайлова, А. Ю. Лоскутова, [63], [68], [141] приведены подробные ссылки на другие работы по тематике спиральных волн, которые мы не можем привести полностью в диссертации, так как объем квалификационной работы ограничен. В этих работах описаны волньг и структуры в активных средах. В частности, в них приведены исследования спиральных волн в возбудимых: средах с распределенными параметрами и в автоколебательных активных средах.
Отдельно мы выделим большой цикл работ авторов V. N. Biktashev (Бик-ташев В.Н.), G. V. Asianidi (F.B. Асланиди), A. Baylay, R. П. Clayton, А. V. Holden, Y. Е. Elkin (Елькин Ю. Е.), S. F. Mironov, A. M. Pertsov, A. V. Zaitsev [106]—[109] в которых рассмотрено много различных ситуаций возникновения вихрей— они трактуются как спиральные волны. Среди. этих случаев следует выделить любопытный, по мнению автора вариант, когда спиральная волна вращается неравномерно. В этом случае особая точка описывает траектории в виде розеток. Такое движение называется «меандром» [106]—[109]. В этом цикле работ построена и изучена математическая модель соответствующая такой ситуации. Эта теория применяется в реалистичных моделях сердечной-ткани. ' ;
В вышеупомянутых, только что перечисленных исследованиях: были построены не только точные. и асимптотические решения,' но и исследованы вопросы устойчивости, проведены численные расчеты. То есть, был проведен достаточно полный анализ этих моделей.
В истории науки в России выражение «дифференциальная связь «впервые использовал Мещерский И. В. в 1887 году. Его работа «Дифференциальные связи в случае одной материальной точки» опубликована в журнале «Сообщения Харьковского Математического Общества». В> двадцатом веке интерес к «дифференциальным связям» возобновился после ряда работ Яненко H.H. [149] и книги Сидорова А. Ф., Шапеева В. П. [150].
Произвольную замену переменных математики использовали давно для классификации линейных уравнений в частных производных, см., например,.
71, [14].
Однако использование нового свойства уравнений в частных производных обнаруженного в работах [21]— [25] К. А. Волосовым позволило по другому взглянуть на прием замены переменных. Этим способом можно выявить и использовать для решения задачи сложные дифференциальные связи, которые вытекают из «внутренней» логики самой задачи.
В диссертации построены некоторые новые решения с помощью техники метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП). В цикле работ [21]— [25] можно выделить несколько новых моментов: во— первых, доказано, что уравнение с частными производными второго порядка с одной временной и одной пространственной переменной эквивалентно системе уравнений с частными производными первого порядка. Эта система приводится к системе линейных функциональных алгебраических уравнений относительно производных старых переменных по новым (введено сокращение СФЛАУ) — во— вторых, появляется сопутствующая матрица СФЛАУ уравнения с частными производными второго порядкав— третьих, в данных работах, обнаружено новое тождество, которое позволяет строить новые решения, используя общую, не фиксированную замену переменных, так и не уточняя до конца алгоритма вид функции;
В работах [21]— [25] изучалось квазилинейное параболическое уравнение — {К{г)г'х)х + р{г) = о. (0.1).
Данное уравнение известно в приложениях как уравнение нелинейной диффузии и теплопроводности. Поскольку система открытая, то взаимодействие в внешней средой осуществляется через обмен энергией и описывается в данном случае краевыми условиями и объемными источниками и стоками, которые моделируются функцией ^(.2).
В цитируемых работах предполагается, что все используемые функции имеют две непрерывно дифференцируемые производные. Таким образом функции г{х,€)? С2 {Я1 х [0, ¿-о]), ¿-о > 0.
В [21]— [25] работах сделана произвольная замена переменных.
Обратная замена, восстанавливает решение уравнения (0.1) по функции и (?, 5) г{х, 1) = и^{х, 1), 5{х, 1)) (0.3).
Здесь следует иметь сделать подстановку? = 5 = 5{х,&euro-). в точках где якобиан (определитель матрицы Якоби) замены переменных — х ¿-Ь 5 — Iх, а ф 0 не равен нулю. Сама матрица Якоби имеет вид.
Тогда, в точках где якобиан не равен нулю существует обратное преобразование? = = 5(х, ?).
В цитируемых работах используются формулы пересчёта производных старых переменных: г,£ по новым переменным ?, 5: дх. гдб дЬ. , тд5 аё = её = дхд эг, й = • аг = шзд~х.
0.4).
Далее в [21]— [25] устанавливаются дифференциальные связи 7.
Таким образом, введены три дважды непрерывно дифференцируемые функции.
У (£, 5), Т (£, 6) принадлежат С2 (Я1 х Я1). Далее дифференцируют сложную функцию и пересчитывают с помощью формулы (0.2),(0.4) связь «старых» переменных по «новым». Из первой дифференциальной связи (0.5) следует к (г)г'хх=х& = к (у)и'Жх, ь), 5{х, 1)) = К (и& 5)) + и'5б'х) = К (и) (Л'¿-6 — /ёеи. Тогда следует первое соотношение (0.6). Аналогично в цитируемых работах преобразуется вторая дифференциальная связь (0.5). Тогда следует второе соотношение (0.6). кт'5″ {Ш — Ш)=щщт += - их5]. (о.б).
Уравнение (0.1) принимает вид.
ЛГ./Л гч г. гттл [дУд1 дУдЬ ", ,, , л.
К{у)Р{и) = 0. (0.7).
Кроме того, дифференциальные связи — соотношения (0.5) можно переписать в виде [т (^5)/к (и)} б=6М.
Отсюда с необходимостью должно быть выполнено соотношение.
У- - У* ^ равенства смешанных производных в переменных 5. Другими словами, это условие следует из непрерывности функции двух переменных.
Тогда это соотношение, с учетом (0.2), (0.4) можно записать в виде дхд (У дхд (У д5д? К{Ц)) + д? д5 КЩ)) ~.
— Х-Л + —— (ЛЛ — 0. (0.9) д5д? К (и)) + д? д5 К (и)).
Замечание О.В.О.
Если функция Z{x, t) явно задана, то действительно, для неё справедлива теорема Шварца и равенство смешанных производных выполняется тождественно. Но в данном случае функция Z (x, t) — неизвестная и это — решение уравнения (0.1), поэтому равенство (0.8) является условием, а не тождеством. Подробное аналогичное доказательство приведено в данной диссертации в.
параграфе 3.1 в вращающейся полярной системе координат.
В цитируемых работах [21]—[26] доказано, что вся система (0.6),(0.7),(0.9) является СФЛАУ.
Анализ системы (0.6),(0.7),(0.9) проводится в два этапа. На первом этапе система (0.6),(0.7),(0.9) рассматривается как СФЛАУ относительно производных X х t? 6-Теорема В.1.
Пусть дана система уравнений с частными производными первого порядка (0.6),(0.7),(0.9).
Тогда система функциональных алгебраических уравнений (СФЛАУ) к которой приводится система (0.6),(0.7),(0.9) относительно производных х х? имеет единственное решение.
Щ = «!({, 5), ^ = (0.10).
Л = 2 = (о.п).
Это новая система относительно двух функций х (£:5), t (?, 6), где правые части «известны" — явно вычислены: {К[-Рки (у'5т — т'8и) -(-ти'6У/ - тт'8и2 + ти'8ти — уу'8ти +.
Т?'5Уи + ?Т'8и?)])/Р1{^5), (0.12).
Ф2К, 5) = К[-РКи'5[и'8т — т'5и] -тти'82 + уу'5ти +.
ТТ'5ии'5 — ?Т6?и'5 +.
ТУ'8?и'5 — ТУ'/^/ДК, <5), (0.13).
Фзй. 5) = + ^кс/'е + ти)[и'8?
У^и'^/Р^б), (0.14).
Ф4Й, 6) = К[-?У'5 + рки’ь + ти\и?
6и,?}/Р15). (0.15).
Здесь обозначено.
Р^б) = - Т’еУ)г7'5 + (УГ'5 — Т?'8)и] + и'{г'8 + - т'^] +.
Т2[и'8?-?'8и]. (0.16).
В работах [21]—[25] доказательство этих утверждений проведено в сжатой форме. В данной диссертации впервые вычислены коэффициенты так называемой «сопутствующей» матрицы. Вычислены собственные числа этой матрицы. Подробнее это описано в разделе «Научная новизна полученных результатов».
Эта техника в данной диссертации позволила сформулировать гипотезу-альтернативную классификацию решений по собственным числам новой сопутствующей матрицы СФЛАУ связанной с исходной задачей. С помощью этого метода в диссертации получены новые результаты, что существенно расширяет выше упомянутые результаты других авторов. На основе новой техники вычислений можно строить новые точные решения не традиционным способом, как в двухмерном, так и многомерном случае. В диссертации рассмотрены задачи с двумя пространственными переменными.
Известно, что задача построения функции Грина для линейных уравнений с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами и с двумя пространственными переменными, в которых присутствуют младшие производные вызывает серьезные трудности. Поэтому решения таких уравнений в круге с краевым условием второго рода, отсутствуют в справочниках и учебниках. Построенные в данной диссертации решения отчасти заполняют этот пробел.
Отдельно надо выделить работы в которых эффективно использовались геометрические методы и техника исследования особых точек на фазовой плоскости. Это работы А. И. Арнольда [3]—[6], A.C. Братуся, С. А. Новожилова, В. В. Андреева [9], [10], [2], Г. П. Карева, Ф. Б. Березовского [60], Ю. Одума [77], Г. Ю. Ризниченко, А. Б. Рубина [83], А. П. Шапиро, С. П. Лупова [95], К. Т. Alligood, Т. D. Sauer, J. A. Yorke [99], Дж. Марри под редакцией А. Д. Мышкиса [69], [135], J. Sandanyes, R. V. Sole [142]. В дан-'* ной диссертации учитывалась информация о характере поведения решения в окрестности устойчивых и неустойчивых особых точек. Сравнение полученных новых результатов с большим количеством известных результатов других авторов даёт нам уверенность в достоверности наших материалов.
Сделаем замечание о роли квазилинейных и полулинейных параболических уравнений в теории моделирования процессов тепло-массопереноса. Такие уравнения начали исследовать в 50-х годах XX века с целью использовать'" их решения при расчётах цепных ядерных реакций, а также реакций горения веществ. Однако интерес к ним не угас, а наоборот значительно увеличился после того как они стали применяться в моделях математической биологии. При этом проявилось много их свойств, которые ранее оставались в тени. Аналогия между процессами в биологических активных средах pi явлениями горения в средах с восстановлением отмечалась в работах В. И. Крииского, А. С. Михайлова [63], Дж. Марри [69], [135], В. П. Маслова, В. Г. Данилова, К. А. Волосова [71], [114], Э. Скотта [93] и других.
В представленной диссертации мы хотим подчеркнуть различное влияние «характерного размера «на необходимые условия эволюции решения в случае одной и двух пространственных перельенных в математической модели.
В работе В. И. Кринского, А. С. Михайлова [63] рассмотрена модель в которой процесс горения в среде подавляется за счет выделения ингибитора при повышении температуры. Модель состоит из системы двух уравнений,.
Рис. 1: Профиль температуры (а) и концентрации ингибитора (б). [63], с. 17. краевых и начальных условий. Одно из уравнений является полулинейным параболическим уравнением. Второе уравнение в этой модели является уравнением первого порядка с частными производными. Во втором уравнении отсутствует вторая производная, которая моделирует диффузию ингибитора. То есть в модели предполагается, что скорость диффузии ингибитора гораздо меньше теплопроводности — то есть скорости распространения тепловой волны. Из Рис. 1а видно, что распределение температуры имеет две узкие области (два пограничных слоя) в которых функция резко изменяется. Размер, ширина пограничного слоя — это характерный размер области в которой функция сильно меняется в моделях с одной пространственной переменной. То есть имеет место «жесткая» задача — задача в которой присутствует малый параметр. Такой термин обычно используется в численных методах связанных с задачами в которых изучаются дифференциальные уравнения и неразрывно связан с наличием в задаче малого параметра. Эти проблемы описаны в работах И. В. Андрианов, Р. Г. Баранцев, Л. И. Маневич [1], В. И. Арнольд [3], [4], В. Г. Данилов, В. П. Маслов [52]—[54], [113], [114], А. А. Самарский [88]. Из рис. 16 следует, что концентрация ингибитора подстраивается к изменениям температуры и не совершает быстрых изменений. Такие характерные свойства решения переносятся и на многомерные модели. Современная история исследования автоволн началась с 1946 года с работы Н. Винера и А. Розенблюта [63], с. 10. Известна трагическая история открытия в.
Рис. 2: Спиральные волны в тонком слое раствора с реакцией Белоусова — Жаботинского [63], с. 30.
1951 году автоколебательной химической реакции Б. П. Белоусовым [148]. В статье Жаботинского A.M. [148] подробно описана вся история наблюдений колебательных процессов начиная с 18-го века. Спиральные волны в реакции Белоусова — Жаботинского иллюстрируются на Рис. 2. Это фотография эксперимента проведенного в простых условиях, а именно тонкий слой раствора находился в круглой чашке диаметром 90 мм. Светлоголубой цвет светлых областей чередуется с темными — оранжевыми областями. На фотографии приведена только центральная часть структуры. Существует характерный размер и у края чашки спирали рвутся и наступает процесс разрушения и уничтожения — диссипации структуры. Образуются вторичные структуры, а затем разрушаются и они.
Рассмотрим еще один пример.
Коллективные амебы Dictyostelium discoideum при наличии достаточного питания живут в виде одноклеточных организмов. Однако при голодании они сползаются и образуют многоклеточный организм, который впоследствии дает споры, способные пережить неблагоприятный период. Установлено, что движение амеб управляется распределением в среде некоторого сложного органического вещества." [63]. Таким образом колония амеб — это пример активной среды, Рис. 3. Мы приводим, этот важный для наших моделей пример, так как спирали медленно равномерно вращаются, совершая один оборот за У х.
Рис. 3: Популяция коллективных амеб 01^уо81е1шт сНасо1с1еит [63], с. 30. пять минут. В данном случае характерное время ЗООсек, угловая скорость и = 0,02 рад/сек.
Существует характерный размер и у края колонии спирали рвутся и деградируют. Спиральная структура совершает 3- 4 оборота, далее идет взаимодействие с соседними структурами. Обозначим характерный размер через роХарактерный размер это такой минимальный размер области, в которой происходит эволюция структуры, когда краевые условия не влияют существенно на развитие структуры, структура предоставлена сама себе. Можно сделать вывод: на краю области диаметр которой больше чем характерный размер можно ставить краевые условия второго или третьего рода. В центральной области спирали «живут» большее время, чем на краю. Важность исследований в данном направлении для практики иллюстрирует следующий пример. Спиральные волны экспериментально обнаружены в ткани сердечной мышцы. [63], с. 61. Шаг такой спирали велик и сравним с размерами предсердия. Поэтому спиральная волна выглядит, как искривленная волна возбуждения, вращающаяся вокруг некоторой точки. На Рис. 4 показаны несколько последовательных положений фронта такой волны. Имеются также экспериментальные данные о существовании таких волн в коре головного мозга и сетчатке глаза млекопитающихся животных и человека. Существуют устойчивые структуры с различным топологическим зарядом (Так называют количество спиральных рукавов в структуре.). См. [63], с. 30, [101], [141].
Рис. 4: Спиральная волна в полоске, взятой из сердца кролика. [63], с. 31.
Интересен эффект синхронизации. Все спиральные волны с одинаковым топологическим зарядом имеют в активной среде строго равную частоту равномерного вращения и не подавляют друг друга. Анализируя эти данные можно заметить, что рукав спиральной волны может совершать 3 — 4 полных оборота. На Рис. 5 все волны вращаются вокруг одной особой точки. Но в цитируемых выше работах имеется много данных о том, что таких особых точек может быть несколько. Такие волны показаны на Рис. 6.
Отметим, что на Рис. 2,3,5,6, приведены фотографии экспериментальных данных. У.
———-р, X.
Рис. 5: Спиральные волны с топологическим зарядом 1,2,3,4 в среде с реакцией Белоусова — Жаботинского [63], с. 36, [99], [128].
В работах А. С. Братуся, В. П. Посвянского [8]—[11] были изучены важные вопросы устойчивости волн, а именно, в них она связывается с минимальным собственным числом оператора.
В работе Pan — Jun Kirn, Hawoong Jeong Spatio [138], M., С. Boerlujst, P. Hogeweg [110], Z. Vespalcova, A.V. Holden, J. Brindley [144], J. Hofbauer [123], J. Sandanyes, R. V. Sole [142] изучались вопросы конкуренции циклов, взаимодействия спиральных волн и переход к хаосу. Результаты относятся к.
Рис. 6: Взаимодействие спиральных волн [63], с. 61, [99], [132]. изучению открытой и нелокальной модели гиперциклической репликации.
На Рис 7 показаны фазы перехода от «правильных» спиралей близких к описываемым элементарными функциями к распаду и уничтожению структуры. Картина эволюции сильно усложняется. Спирали разваливаются, взаимодействуют, дробятся. Картина диссипативной структуры усложняется. В некоторый момент времени состояние структуры видно на окраинах Рис. 2,3.
В работе Y. Kuramoto [130] проведены численные расчеты показывающие неустойчивость спиральных волн при некоторых значениях параметров, что согласуется с результатами работы [89] и [8] и результатами данной диссертации.
В работе S. Koga [131] численными методами построены примеры функций для одновитковой и многовитковой спиральных волн и высказаны соображения относительно их устойчивости. Численными методами выявлены области устойчивости решений в «некотором смысле» и их зависимость от параметров.
В работе S. Koga [132] рассмотрены осреднённые уравнения для характеристик таких волн в различных системах. В работах [129]—[132] фигурируют соображения о важности роли характерного минимального размера связанного с параметрами задачи. В работе Marcus R. Garvie, James F. Biowey [133] в условиях устойчивости также фигурирует характерный размер. Вопросы перехода к хаосу и существования диссипативных структур изучаются также в цикле работ С. Е. Курушиной, Ю. В. Иванова, Ю. В. Желнова, с соавторами [65], [66].
Спиральные волны широко распространены в природеещё одним ярким примером являются рукава галактик в космосе.
Отдельно отметим большой цикл работ из которых здесь перечислим лишь некоторые. В работах A.B. Романова [85]. [86], Baek и других [105],.
Рис. 7: Распад, развал сложных, «правильных» спиралей близких к описываемым элементарными функциями. [134].
Д. А. Камаева [126], Mallet — Paret [134] изучались конечномерность динамики на аттракторе для нелинейных диссииативных параболических уравнений и предельная динамика решений таких уравнений. Методами функционального анализа в этих работах выясняется каким образом осуществляется предельный переход от начальных данных к аттрактору. Ссылки на эти работы есть также в [21], [96].
Вопросы обсуждаемые в работах [85], [86], [105], [126], [134] тесно связанные с изучаемыми в данной диссертации и в работах [21]— [26]. Но в данной диссертации выясняются только необходимые условия существования решения, которое называется— «предельным притягивающим» решением [26], [41], [42], [44]. Эти условия формулируются как гипотеза.
Другим направлением исследований, широко представленным в [95] циклом работ А. А. Шестакова, является теория локализации предельных множеств в динамических системах посредством функционалов Ляпунова. В этих работах предложена единая методика исследования устойчивоподобных свойств решений динамических процессов, основанная на теоремах о локализации предельного множества.
Просматривая работы других авторов, с целью найти аргументы в пользу достоверности наших результатов, была найдена работа [65]. В данной диссертации выяснено, что прямое отношение к распределенной системе гиперцикла имеет широкое, многогранное исследование, которое различными численными методами приведено в цикле работ С. Н. Димовой, М. С. Кас-чиева, М. И. Колева, Д. П. Васильевой [65].
В [65], среди прочих задач рассмотрено линейное параболическое уравнение типа в безразмерном виде с двумя независимыми переменными. Заметим, что фактически это уравнение в вращающейся полярной системе координат, то есть была ранее сделана замена переменных в — <р — а>£, г.
Отсюда следует эллиптическое уравнение.
1 / 1 /Г I /.
Z" rr + -Z'r + -¿-Z" ев + wZ’e + г Z’r (1 + о- - /3)/2 + +(/3−1) Z (0,r) = 0, (0.17), где /3, а — безразмерные критерии подобия принятые в [65], /3 — 1— заданная константы характеризующая диссипацию. Z{9, г) — неизвестная дважды непрерывно дифференцируемая функция. В цитируемой работе построено решение.
Z (0, г) = Rk{r) ехр (гкв). (0.18).
Здесь к— целое число. График вещественной части этой функции приведен на Рис 8. В силу линейности задачи, можно отделить вещественную часть решения, которая имеет физический смысл.
От знака угловой скорости изависит направление вращения структуры решения по часовой стрелке или в противоположном направлении.
В данном случае в начальный момент времени уже сформирована структура похожая на спиральную волну.
Точное решение уравнения (0.17), с краевым условием второго рода в круге Z rr=rQ = 0, го = const [65] имеет вид (0.18) и справедливо уравнение для функции Я}-(г).
К (Г) + (1/г ¦+ (1 + а — 0) г/2)Дк (г) + (-/с2/г2 +.
4-аЫ + (3— 1) Кк = 0, (0:19) где в двух случаях: в первом случае .
I.
3 — сг + 1, Як{г) = С гл/а +г к и) + С2 г у/ а + г к о-)—здесь функции Бесселя и модифицированная функция Бесселя (функция Неймана), Су, ^ = 1,2 — константыВо-втором случае.
II.
3 = а + 1, Щг):= (ф)-кг-к (Р — 1 — ау-^С, 1Р1{а, 60, *)+. , (г)^(2)-^(Д — 1 — (а, Ь±, г).
Здесь 11 (а, 61, г) вырожденная гипергеометрическая функция, а = (1 — (3 -гкш)/((3 — 1 — а) + к/2, Ь0 = 1 — /с, Ьг = X" Ч = (/?. 1 — (Т)г2/4. В [65] обоснована возможность, без ограничений общности, использовать в расчетах только вещественную часть.
Z{вrr) — В, ь-(г)со8(агд (Щ (г) + к 0)) частных решений линейного уравнения (0.18).
В [65] установлен факт, что линии уровня при больших значениях г близки к логарифмическим спиралям с параметром 5 = (/3 — 1 — сг)/(2ш). Найдена асимптотика • * г{г, 0) ~ сг^-1^тСоз{к{в + (1/я) 1п (г))), г -> ос, с = с (к, а, (3,и>). На Рис. 8 показана эволюция структуры типа спиральной волны. Построенные решения, в цитируемых работах по желанию авторов [65] называются метаустойчивымщ, но это неустойчивые структуры. В этот термин авторы цитируемых работ вкладывают следующий смысл: Структура существует в окрестности начального условия, которое задано точным решением некоторое конечное время То — в течении которого она перестраивается в радиалъносимметричную. «Затем, основная структура: распадается и перестраивается во вторичные структуры. См. Рис 8 с1. Однако почему это происходит, и предсказать этот факт «априори"—до численного эксперимента авторы [65] не могут. Именно такое предсказание и объяснение результатов численных расчетов можно осуществить используя технику метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП) для уравнений с частными производными предлагаем в данной диссертации по результатам анализа собственных чисел сопутствующей матрицы. Кроме того, на осно.
Рис. 8: Зависимость реальной части построенной функции от радиуса и угла. С = 1, /3 = 2.4, со = 1, к = 2. На двух рукавах вложенной спирали выделен «хребет», то есть линия, проекция которой на плоскость является спиралью. На внешней нормали к данной кривой производная по направлении к нормали обращается в нуль. После разрушения спиралей образуются вторичные структуры. ве решения (0.18) нет возможности объяснить эффект локального вращения описанный выше.
Замечание О.В.1.
Коротко остановимся на численных методах которые, используются для решения класса задач описанных в цикле работ [65]. Особенно подробно использующиеся численные методы и сопутствующие трудности изложены в первой главе докторской диссертации Димовой С. Н. (2004 год). Коротко можно перечислить их: итерационные схемы, основанные на непрерывном аналоге метода Ньютона (НАМН) для решения нелинейных функциональных уравнений, который имеет большую, по сравнению с классическим методом Ньютона, область сходимостиметод конечных элементов (МКЭ) разного порядка точности на квазиравномерных сетках, для решения линейного уравнения методом (НАМН) на каждом шаге итерационного процессаметод конечных элементов (МКЭ) основанный на несимметричном методе Галеркина, для сингулярных в центре симметрии задач. ?
Одним из преимуществ подхода изложенного в данной диссертации, является возможность провести все вычисления в комплексе программ построенных с использованием символьных и численных методов с использованием в будущем принципов параллельных символьных вычислений.
В данной диссертации показано, что исследование [65] имеет прямое отношение к модели открытой распределённой системе гиперцикла и переносится на неё при некоторых значениях параметров.
Замечание О.В.2″ .
Функции Грина для наиболее близкого к уравнению (0.17) при значении параметров? = 1, сг = 0, о> — 0 уравнения Гельмгольца построены в книгах Бутковского А. Г. [13], Будака Б. М., Самарского A.A., Тихонова А.Н.¦ [14], Г. Карслоу, Д. Егера в прямоугольнике, круге или кольце. Все эти решения собраны и систематизированы в справочнике Полянина А. Д. [79]. Кроме того в справочниках Зайцева В. Ф., Полянина А. Д'., Вязьмина A.B., Журова А. И., Казенина Д. А. [57], [58],[79]—[81] приведены точные решения многих задач связанных с параболическими уравнениями. Однако, там нет решений соответствующих задач с краевым условием (1.6) в неограниченной или ограниченной области. Там нет функций Грина для уравнений содержащих дополнительные первые производные в замкнутых областях.
Цель работы. Целью настоящей работы является разработка метода исследования задачи распределенного открытого гиперцикла. Это исследование является расширением и добавлением к комплексному подходу, состоящего из аналитических и численных методов, служащих для математического моделирования и разностороннего анализа моделей автоволн, волн разряжения, волн перепада, открытой модели гиперциклической репликации, других моделей спиральных волн и связанных с ними эффектов.
Научная новизна полученных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, получены впервые. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит Волосовой А. К., заимствованный материал обозначен в работе ссылками.
В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Построена сопутствующая матрица СФЛАУ к уравнению с частными производными в декартовой системе координат. Вычислены собственные числа и собственные вектора сопутствующей матрицы — СФЛАУ в декартовой системе координат для одной временной и одной пространственной переменной.
Вычислены собственные числа сопутствующей матрицы — СФЛАУ в полярной системе координат для двух пространственных переменных. Выведены формулы метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП) в полярной системе координат.
2. Построены семейства точных решений распределенной системы открытого гиперцикла размерности два—из двух уравнений с квадратичной нелинейностью функции источника — методом МНФКЗП.
Построен пример точного решения модифицированной задачи Колмогорова — Петровского — Пискунова — Фишера в неявной, параметрче-ской форме, с функций источника, который моделируется кубическим полиномом.
Проведена гипотеза — альтернативная классификация решений смешанных задач для параболических уравнений в случае одной временной и одной пространственной переменной. Указана связь собственных чисел сопутствующей матрицы — СФЛАУ с характером эволюции решений. Сформулирована гипотезанеобходимые условия эволюции решения смешанной задачи к «предельному притягивающему» решению.
3. Показано, что во вращающейся полярной системе координат возникают структуры близкие к спиральным волнам. Сформулирована гипотеза — установлена связь неустойчивых вторичных структур с собственными числами сопутствующей матрицы СФЛАУ.
Предложено аналитическое описание и объяснение эффекта локального вращения структур вокруг местного «ведущего» центра.
Построены алгоритмы программ в символьном виде в системе «Математика» на базе точного МНФКЗП в декартовой и полярной системе координат.
Методы исследований. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений, теории численных методов.
Обоснованность выводов диссертации. Достоверность полученных результатов обеспечивается выбором апробированных исходных моделей, строгостью применения математического аппаратасравнением аналитических результатов с результатами численного моделирования полученных другими различными авторами при тех же значениях параметров;
Практическая ценность работы. В диссертации рассмотрены некоторые актуальные модели автоволн и структур спиральных волн. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при решении многочисленных аналогичных задач, к которым ранее не применялась техника (МНФК-ЗП). Кроме того, представленные результаты могут служить эталоном для апробации новых методов в математической физике и теории процессов переноса. Рассмотрены решения уравнения с квадратичной и кубической нелинейностью. В работе исследована задача, имеющая практическое значение и в других областях приложений, например, задача о «волне разрежения» для модифицированного уравнения Колмогорова — Петровского— Пискунова-Фишера, построены новые решения моделирующие спиральные волны и т. п. Кроме того результаты работы быть использованы при анализе и объяснении результатов численных расчетов структур спиральных волн. Разработанная в диссертации методика исследования поведения решений нелинейных уравнений по точному решению дополняет известные в настоящее время другие методы таких исследований. Полученные аналитические результаты могут использоваться в учебном процессе при изложении теории уравнений с частными производными, устойчивости решений и динамики нелинейных систем. Основные положения теории МНФКЗП и новые точные решеиия вошли в учебные пособия [41] и в справочники. Различные части материалов диссертации также выставлены на сайтах в Интернете.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры «Прикладная математика 1», Московского государственного университета путей сообщения (руководитель д. ф-м.н, проф. А.С.Братусь) — на семинаре на кафедры «Кибернетика», Московского государственного института электроники и математики (технический университет МИЭМ) (руководите д. ф-м.н, проф. В.Н.Афанасьев) — на семинаре кафедры Прикладная математика, Московского государственного института электроники и математики (технический университет МИЭМ.) руководитель лауреат государственной премии России, д. ф-м.н, проф. М. В. Карасев.). на семинаре отдела Математического моделирования экономических систем ВЦ РАН, Центрального экономике" — математического института РАН. руководители д. ф-м.н, проф. Г. М. Хенкин, д. ф-м.н, проф. Р. Г. Новиков, д. ф-м.н, проф. A.A. Шананин.) на семинаре кафедры «Системный анализ», факультета ВМК, Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (руководитель д. ф-м.н, проф. А.С.Братусь);
Представленные результаты докладывались на международных конференциях:
1. «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», IV Всероссийская научно-практическая кон-фереренция (13−18 05.2008), СГУТКД, Сочи — 2008.
2. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология» посвященная 100 летию со дня рождения Портрягина Л. С. 17−22 июня 2008.
3. «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования», Герценовские чтения, Петербургский педагогический университет (13−15 04.2009), С-Петербург,-2009,.
4." Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий", V Всероссийская научно-практическая кон-фереренция (10−15 05.2009), СГУТКД, Сочи — 2009.
5.Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений» посвященная 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего.ЗО марта-02 апреля 2009.
6. XVI Всероссийская школа-семинар по стохастическим методам.
X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, 1924 мая 2009. Санкт-Петербург, 2009.
7. Восьмая международная конференция «Симметрии в нелинейной математической физике». Eighth International Conference «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics», Киев, Украина, 21−27 июня 2009 г.;
8. VI Всесоюзная научная конференция с международным участием. «Математическое моделирование и краевые задачи.» Самарский государственный технический университет. 1−4 июня 2009. Самара.
9. XVII Всероссийская школа-семинар по стохастическим методам.
X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике.9−14 октября 2009. Сочи-Догомыс. 2009.
10. VII — международная научно — практическая конференция. Trans — Mech — Art — Chem.c.59 — 60. М.гМИИТ. 2010.
11. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Математический институт им. В. А. Стеклова, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Владимирский государственный университет. Суздаль, 2−7 июля, 2010.
12. Третья международная конференция по нелинейной динамике. Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт», при поддержке Института механики национальной Академии наук Украины, Национальный комитет управления по теоретической и прикладной механике. 21−24 сентября 2010.
13. V международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО 2010. Институт управления им. В. А. Трапезникова, при поддержке Отделения энергетики, машиностроения, механики, проблем управления РАН, Российского национального комитета по автоматическому управлению и Национального совета РАН по теории управляемых процессов и автоматизации. Москва.26−28 октября 2010.
14. «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования», Герценовские чтения, Петербургский педагогический университет (11−15 04.2011), С-Петербург-2011, с.45−51.
15.53 научная конференция Московский физико — технический институт. «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» Москва — Долгопрудный. 26−28 ноября 2010.
Публикации. По теме диссертации опубликовано в центральных, рецензируемых научных журналах по списку ВАК 6 научных труда.
1. Волосова А. К., Волосов К. А. Конструирование решений уравнений с частными производными. Международный журнал Математики и Математических HayK. International Journal of Mathematics and Mathematical Siences. //V.2009,Article ID, 319 268,17 p. http: www.hindawi.com journals ijmms 2009 319 269.html. doi:10.1155.2009 319 269.
2. Волосова A.K. К теории нелинейной диффузии и теплопроводности. Труды МФТИ.т.З, н.1(9) 2011. http: //mipt.ru/nauka/53conf/MatetiaIy-l-53-l-konferenzii/07-FUPM1-view-arpggxyjmcg.pdf.
3. Волосова А. К., Волосов К. А. СЛАУ вместо уравнения с частными производными. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009, т. 16, в.6, с. 1042−1043.
4. Волосова А. К. Необходимые условия существования решения типа спиральных волн. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009, т. 16, в. З, с.458−459.
5. Волосова А. К. Математическое моделирование спиральных волн. Шестая Всероссийская конференция. Дифференциальные уравнения. Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2009)2−4 июня 2009. Самара. частьЗ, с.85−87.
6. Волосова А. К. Об одном семействе решений модифицированного уравнения КолмогороваПетровского — Пискунова — Фишера. Шестая Всероссийская конференция. Дифференциальные уравнения. Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2009)2−4 июня 2009. Самара. частьЗ, с.87−92.
В 2008 году Волосовой А. К. за участие в XVI конкурсе студенческих работ образовательного математического сайта Exponenta.ru выдан памятный сертификат.
Структура и объем диссертации
.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа содержит 140 страниц, включая 33 рисунков и список литературы состоящий из 150 наименований.
Заключение
.
Построена сопутствующая матрица СФЛАУ к квазилинейному уравнению с частными производными второго порядка в декартовой системе координат. Вычислены собственные числа и собственные вектора сопутствующей матрицы — СФЛАУ в декартовой системе координат для одной временной и одной пространственной переменной.
Приведены примеры точных решений с квадратичной и кубической нелинейностью.
На основе анализа сотни примеров проведена гипотеза о альтернативной классификации решений по собственным числам сопутствующей матрицы вычисленных на точном решении. Эта гипотеза о необходимых условиях эволюции решения смешанной задачи к «предельному притягивающему» решению в случае одной временной и одной пространственной координаты.
Вычислены коэффициенты сопутствующей матрицы СФЛАУ и ее собственные числа в символьном виде для одного параболического уравнения с частными производными второго порядка с двумя пространственными переменными во вращающейся системе полярных координат.
Изучена их структура и установлена связь, геометрия и места появления вторичных структур при численном моделировании задачи, с собственными числами СФЛАУ.
Построено и изучено семейство точных решений распределенной системы уравнений открытого гиперцикла размерности два, в частном случае равенства коэффициентов диффузии.
Построено новое семейство асимптотических решений описывающие структуры типа спиральных волн с двумя пространственными переменными в полярной системе координат.
Из функций вычисленных асимптотических решений построена сумма приближенных решений, как приближенное асимптотическое решение задачи. Предложено объяснение эффекта возникновения локального вращения структуры вокруг местного «ведущего центра» при малых временах.
Кратко описан алгоритм по которому проводятся вычисления МНФКЗП в декартовой и полярной системе координат в символьном виде в системе «Математика». Распечатки разработанных программ приведены в приложении к диссертации.
