В настоящей работе изучается задача движения материальной точки в гравитационном поле двух масс. Рассматривается ограниченная задача трёх тел (см. напр. [5]), в которой материальная точка Во является непритягивающей, т. е. Во никак не влияет на движение В и ВчОграниченная задача трёх тел давно привлекает к себе внимание исследователей. По-видимому, первым понятие ограниченной задачи трех тел ввёл Эйлер в работе [35], посвященной изучению движения Земли и Луны относительно Солнца. В ней было возможно пренебречь массами Земли и Луны относительно массы Солнца, а также принималось во внимание малость отношения масс Луны и Земли. Пренебрежение массой одною тела по сравнению с массами двух других существенно упрощает решение задачи. Кроме того, Брунс и Пуанкаре доказали, что общее решение задачи трех тел нельзя выразить через ашебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел [26]. В некоторых случаях (задача с неподвижными центрами) имеется точное решение [34]. В остальных случаях удается построить разложение решения в ряды по различным малым параметрам. Если, например, Во движется по орбите вблизи В, то вклад от притяжения к В2 будет мал, но сравнению с вкладом от притяжения к В, это позволит разложить решение в ряды по степеням малого параметра ртах{Во, В}/pmin{В, В2}. Другим возможным допущением может быть малость отношения масс M2fM. Так происходит, например, при рассмотрении системы спутник — Земля — Луна. Здесь е — М2/М1 — отношение масс Луны и Земли — равно примерно 1/81. Это сильно упрощает решение. Если не учитывать влияние В2, то получается задача двух тел, которая имеет точные решения — кеплеровские орбиты. Для учёта вклада от при1я-жения к В2 используются разные методы, например метод оскулирующих элементов (предложенный Ла1ранжем). В нем строится зависимость элементов кеплеровых орбит (движения Во относительно В) от времени. Эти методы хороши до тех пор, пока Во не приближается к В2. Вблизи В2 притяжение к В2 становится сопоставимым с притяжением к В, несмотря на малость отношения их масс. Для решения задачи в такой постановке используехся следующий метод [5].
1. Рассчитывается 1еоцентрическое движение от Земли до сферы действия Луны по законам Кеплера.
2. На 1раинце сферы действия иереемитываются параметры 1еоцеи1рическою движения на параметры селеноцентрического движения.
3 Рассчитывается селеноцентрическая кеплерова траектория.
4. Расчёт можно продолжить и дальше: после выхода из сферы дейс1вия Луны рассчитать новую геоцентрическую траекторию.
Такой метод расчёта траекторий предложен Лапласом [49] (применительно к движению естественных небесных тел). Этот метод принято называть методом игнорирования возмущений [18, 30]. Он дает хорошие приближенные результаты.
В XIX веке ограниченную задачу трёх тел изучали Якоби [36], Хилл [43]. В XX исследование ограниченной задачи активно продолжалось. Можно отметить книгу В. И. Арнольда, В. В. Козлова и А. Н. Нейштадта [3]. Там не только исследуются задачи небесной механики, включая ограниченную задачу трёх тел, но и методы, но шущений, их развитие и применение.
В [52] Пуанкаре ввёл понятие решений второго рода (second-species solutions), в которых при стремлении е = М^/Мх к нулю решение приближается к частям двух эллипсов, состыкованных в точке нахождения малого тела В2. В эпоху развития космических полётов задача исследования решений второго рода также продолжила свое развитие В работах Д. Кеворкяна, Ю. Ши и М. Экштейна [39, 53], Л. Перко [50, 51] и других авторов было построено асимптотическое разложение решений задач вплоть до степени 0(е2), были доказаны теоремы существования задачи поиска периодических решений и других задач. Кроме того, небольшой об юр этих задач содержится в [41].
В последние юды офаииченная задача трёх тел исследуется в направлении изучения семейств периодических решений ([8, 38, 40, 42, 44] и др.). В реальных приложениях в космонавтике используется постановка задачи оптимального управления в задаче трех тел (см. напр. [21]).
В настоящей работе происходит в каком-то смысле углубление метода, предложенною Лапласом. Строится полное асимптотическое разложение решения в ряды по степеням? — отношения масс тел Вг и В. При этом не только строится асимптош-ческое разложение с точностью до любой степени е, но и доказывается существование точного решения начальной задачи, имеющего эту асимптотику. Полное асимптотическое разложение состоит из трёх частей. Первая часть (внешнее разложение) становится непригодной при приближении В0 к Б2. Вторая часть (внутреннее разложение) справедлива в окрестности В2. Наконец, третья часть (второе внешнее разлоэюение) описывает движение Bq после облёта В2.
В некоторых задачах при построении асимптотических решений возникают нарастающие степенные особенности. Такие задачи называются бисиигулярными. Их исследование является одним из важнейших направлений научной школы A.M. Ильина Для решения бисингулярных задач используется метод согласования асимпготических разложений, сформулированный в монографии A.M. Ильина. [20].
В рассматриваемой задаче происходит то же самое — возникают нарастающие степенные особенности. Поэтому в рабою используется метод согласования асимптотических разложений. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений асимптотические методы рашивались в работах А. Б. Васильевой, [11], М И Вишика и JI, А Люстерника [15], в работах А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова [12, 13, 14] и Miioi их других.
Из теории асимптотических методов можно также отметить работы В. Вазова [9], Дж. Коула [22], А. Х. Найфэ [27], Ф. Олвера [29], М. В. Федорюка [32].
0.2 План диссертации.
В разделе 0.3 формулируется исходная задача.
В главе 1 исследуется внешнее разложение при S2 е В разделе 1.1 после нескольких замен переменных система (6) приводится к более удобному для исследований виду. В частности, система приводится к безразмерным переменным В подразделе 1.1.1 угол Bi-0—Bq становится новой независимой переменной вместо времени. В разделе 1.2 строятся главные члены разложения решения в ряды по степеням е. В разделе 1.3 производится вспомогательная замена р на г. В разделе 1.4 исследуется система линейных уравнений, возникающая после линеаризации исходной системы на главном члене разложения решения. Эго позволяет найти все последующие члены разложения решения, чему посвящен раздел 1.5. В разделе 1.6 оценивается, насколько внешнее асимптотическое решение отличается от точного решения начальной задачи. Основной результат первой главы заключается в доказательстве следующих теорем:
Теорема 1. В рассматриваемой задаче (1.37), (1.38) функции в, а раскладываются в асимптотические ряды (1.39), где функции в а&bdquoрекуррентно строятся как решения линейных уравнений (1.63) и имеют следующие асимптотики при в —" 0;
М0 = const, го = i? i, гр0 = Ль = Яо,.
Мп = Fn, r" = 0Fn, i>n = eF-n, tn = 0 °F.n + Ronne, 1. (2).
Теорема 2. Для любых п, 0 < S < 1 для некоторого Н при достаточно малых е при ipo ^ 0 ^ 0] = -?l~s существует, а — точное решение начальной задачи (1.38) для системы уравнений (1.37), и справедливо.
M-Mn.
В главе 2 исследуется внутреннее разложение решения (при малых S^). В разделе 2.1 строятся главные члены внутреннего разложения решения в ряды, но степеням е. В разделе 2.2 исследуется система линейных уравнений, возникающая после линеаризации внутренней системы на главном члене разложения решения. Это позволяет найти все последующие члены разложения решения, чему посвящен раздел 2 3. При их построении возникает произвол, который устраняется путём согласования с внешним разложении, этому посвящен раздел 3.2. Основной результат второй главы заключается в доказательстве следующей теоремы:
Теорема 3. В рассматриваемой системе (2.2) функции, а раскладываются в асимптотические ряды (2.3), где anJ рекуррентно стпроятпся как решения линейных уравнений (2.35) и имеют следующие асимптотики при 0 —" 0:
Moo = Ro, foo = Ri, $oo = Ri, too = f0 = const, Mn} = + RqW-i Щ, ги, = вЁп], фп] = 6Fnj, tn} = Fn] (3) для n^l.
Глава 3 посвящена согласованию внешнего и ниу ipciuici о разложений. В разделе 3.1 исследуется вопрос, насколько хорошо функции, полученные из внешнею разложения, записанные во внутренней переменной, удовлетворяют уравнениям внутреннею разложения. В разделе 3.3 доказывается, что решение внутренней сисюмы уравнений, построенное с учётом условий согласования из раздела 3.2, приближённо совпадает с внешним разложением, переразложеипым во внутренней переменной. В разделе 3.4 проводится обоснование построенного асимптотическою разложения. Для построения второго внешнею разложения, справедливого после прохождения Во вблизи В2, в разделе 3.5 приводится алгоритм нахождения угла а4 (угол поворот траектории Во после прохождения вблизи В2). В разделе З. б исследуется связь между асимптотиками внутреннею разложения при приближении Во к В2 с одной стороны, и при удалении Во от В2 с другой. В разделе 3.7 приводятся условия согласования второго внешнего разложения с внутренним. Основной результат третьей главы заключается в доказательстве следующей теоремы:
Теорема 4. Пусть h — решение системы уравнений (2.2), Sni удовлетворяет системе уравнений й1(0Лп.1,Щ1,Е)=те) = 0(Еп6″ -г)(1 + 0(1п" — И/0)), G2(0, Ап-ьг". !,*) =f2(0,e) = 0(£Т-')(/ + 0(1п" -' eOI9)), ад А".ь= f3(M = OH-'Xl + 0(In" -1 Й/0)), i <54(0,а"-1,вС|.е) = Л (М = 0(en6"-')(l + 0(lii" -' ев/в)) при 9 = Й + 1, е-> о,.
4−1 — А7 = 0(Еп/2), гв, — t = ОЙ2″ ½), —? = 0(ев/2), (4).
— Ф = оИ2−1'2), Ф’пх-Ф' = о (£" /2), -i=О (£*/2-% (5) при е -> 0, 01 = -?-½. Тогда йп-х — й = 0(£п/2), К-х~~г = 0{?п1г-х1 f’n-i-? = 0(?n'2),.
4−1 = $nx-$ = 0{?nl2), Ly — i = 0(еп'2−1) npil?-> О, 0G (0b|0i|].
В разделе 3.8 полученные результаты обобщаются и теореме 5:
Теорема 5. Для всякого п строятся асимптотические разложения решения задачи (1.37), (1.38) в трёх областях: при конечных отрицательных в, конечных поло-эюитпелъпых 0 и при малых 0. В этих областях справедливы оценки:
1. щ ^ 0 ^ -е]~5 :
М-Мп = O (?n+7|0|" +1), r-rn = О (?п+1/|0|п), ф-фп = 0(?п+1/Щп), t — in = О (£"+1/|0|").
2. -?-1'2 < 0 < ?" ½ (-?!/2 < 0 ^ ?1'2): й — мп-1 = о (?п/2), f — f"! = о^" /2−½), $ - k-x = 0(?п/2″ П l-tn-i = ОИ2−1).
3. ?l-s в 2-е1−5:
Л/ - Л/*1 = 0{£п>2) + 0(?п!вп) + 0(?п/в2 — 0|"), Г — г*j = 0(?"/2+I/2) + О^/И" -1) + О (еп/|02 — 0I" «1). ф = 0(?» /2+½) + О (?" /|0|П1) + 0(?" /|02 — в j" «1). I — = О^» /2″ 1) + o (en/|0|n1) + О (?п/|02 — 0Г1).
Здссь Q < S < точка 02 такова, что для всех 0 < в < 62 справедливо .?i (0)|?o > О, U=o > 0 (т.е. Ох — точка следующего сблиснсения Во с одним из массивных тел В или Во).
0.3 Постановка задачи.
Итак, предполагаем, что большое тело В с массой М и малое тело Б2 с массой М-г вращаются вокруг центра масс по произвольным орбитам, характеризуемыми величиной Q (T) и расстояниями до центра масс 1(Т) и /2(Т) (разумеется, эти орбиты кеплеровы, но здесь это не имеет значения). По закону тяготения Ныотона (см. напр. [28]) система уравнений движения материальной точки Во в декартовых координатах имеет следующий вид:
Х +Г MX + h (T)cosm +гмХ-ЦТ)созП (Т) ^.
523 dT2 ffiY +гмУ+Щ}"пад +rjUf/-fa№nfl (T) =()) сIT2 г, ., 2.
— +IMi—.
5i3.
S23 б).
ГМ,.
523 0, где Г — гравитационная постоянная. Для определённости В и В2 движутся в плоскости (Л', Y), в начальный момент времени Т = 0 тела и В2 находятся на оси ОХ (П (0) = 0). Так как О — центр масс, то.
М^=М212, h{T)=el2{T), E=fM2/Ml.
При Т = 0 ставится начальная задача. Будем считать, что начальные данные для системы (6) зависят от е: dI ш.
7).
Числа v (0) у (1) у (0) у (1) 7(0) 7(i) /"" задаются таким образом, что Во с начальными данными (8) проходит вблизи В2, т. е. S2 становится малым при некотором Т. Число Т будет найдено ниже как решение уравнения (1.22). Определим I:
IУ ЦТ), Q (T) ЦТ)/1.
Требуется построить полную асимптотику при е -" 0 решения задачи (6), (7) в области, содержащей подобласть, где Во приближается к В2. Из рассмотрения исключаются предельные случаи:
• Совпадение угловых скоростей Во и ^ и w) п окрестности точки сближения.
• Сонаправлепность скоростей Во и В2 в окрестности точки сближения.
• Точное попадание Во в В2.
3.8 Заключение.
Таким образом, построены асимптотические разложения решения в трех областях: при отрицательных 0, при 0 ~ е и при положительных 0. Второе внешнее разложение справедливо для тех положительных 0, пока Si|?=o > 0 и s2|e=o > 0- Если в некоторой точке 02 расстояние до В или В2 окажется равным нулю (при е 0), то далее в окрестности этой точки снова строится внутреннее разложение, как это делалось в главе 2. Замена будет следующей: 9 — в2 = ?0.
Для тою, чтобы оценить, насколько второе внешнее разложение отличается от точного решения, рассмотрим их значения в точке 0 = е½ (9 = ?-½). По теореме 4.
Л/Г1, — Л7 = 0(?" /2), rVi-r = 0(?" /2−½), i-i — = 0(е"/2″ П.
L-i-f = o (?n/2), ^.-ьо2), Й-1 -V = о (еп/2).
После иереразложения имеем:
— М = 0(?" /2), — f = о^/2″ 1'2),.
Далее, следуя доказательству теоремы 2, получаем, что эти оценки справедливы для ?½ <9 < 02 — ?½> 02 ~ точка обращения в нуль 6i или s2 при е 0.
Теорема 5. Для всякого тг строятся асимптотические разлоэюения решения задачи (1.37), (1.38) в трёх областях: при конечных отрицательных в, конечных положительных 0 и при малых 0. В этих областях справедливы оценки:
1. <�Л) < 0 ^ -е1~5 :
М — Мп = O (?" +7|0|" +i), г — г&bdquo- = О (еп+1/|0|п), Ф — фп = о (£" +7|0|"), i — in = o (?n+V|0|").
— е-'/* < в ^ е-х'2 {-?х'г ^ 0 ^ ех'2): Л7 — Л/&bdquo-, = 0{£п'2), f — f"i = 0(enl2~xl2), ф — 4−1 = ОИ2−½), 1−1., = 0(?" /2-'). г1−5 м — М*, = ОИ2) + О (?п/|0|п) + О (?п/|02 — 0|п), f — = 0(?n/2+V2) + + 0(£п/|02 — 0I" «1).
Ф — ф<�пх = о (?" /2+½)+o (?n/|0|n-1)+О (?7|02 — 0I" -1). 0(?" /2−1) + 0{еп/вп~1) + О (£" /|02 — 0|n1).
Здесь 0 < 5 < 1, точка 02 такова, что для всех 0 < 0 < 02 справедливо Ai (0)|e=o > О, sj (0)|?-o > 0 (т.е. 02 — точка следующего сблиэ<�сения Во с одним из массивных тел В или В2).
Доказательство. Первые два пункта следуют из теорем 2 и 4, третий пункт доказывается аналогично теореме 2.
