Асимптотика решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

В начале нашего столетия Пенлеве и Гамбье, используя метод малого параметра, полностью решили задачу о классификации уравнений вида где Я — рациональная функция^, Юс аналитическими по? коэффициентами, интегралы которых не имеют подвижных многозначных особых точек.

Такие уравнения называются уравнениями Ртипа. В результате глубоких исследований Пенлеве и Гамбье было выделено 50 канонических уравнений класса Р .

Однако из них лишь шесть являются основными, которые и называются уравнениями Пенлеве.

Остальные 44 уравнения либо простыми преобразованиями неизвестных функций и независимого переменного приводятся к основным, либо к линейным, либо .их решения выражаются через элементарные функции или решения уравнений первого порядка [l, з].

В последнее время интерес к уравнениям Пенлеве сильно возрос в связи с установленной связью между уравнениями математической физики, интегрируемых методом обратной задачи теории рассеяния, и обыкновенными дифференциальными уравнениями Ртипа [п-13].

В частности, автомодельные решения уравнения Кортевега-де Фриза выражаются через решения второго уравнения Пенлеве Р^ [б, II], автомодельные решения обобщенного уравнения ЫШ.

Гордона через решения уравнения Р3 [б, 7].

Самым интересным является тот факт, что уравнения Пенлеве, полученные при решении чисто математической задачи, имеют связь с уравнениями, встречающимися в теории нелинейных волн [II, 13], теории поля [l7, 18] и сверхпроводимости [4], физике плазмы [2].

Большой вклад в исследование аналитической характеристики подвижных особенностей, условий существования рациональных и классических трансцендентных решений уравнений Пенлеве и методы их построения внесли минские математики во главе с Н. П. Еругиным, Н. А. Лукашевичем, А. И. Яблонским, В. И. Громаком и их учениками (см. обзорные работы [5, б]).

Вопросам отыскания рациональных решений уравнений Пенлеве посвящена также работа [14]. Но её автор, видимо, незнаком с работами минских математиков, ранее получивших многие его результаты.

В работе [15] для второго уравнения Пенлеве (Р^) при найдены формулы связи.

Для некоторого семейства решений второго уравнения Пенлеве у> «+ х ¦= % го* + 6 (Рх) при и ЗС —> оо в работе [19] были выписаны асимптотические формулы: v> (эе) = d х.'фыль %Ы) + 0 (я ^ % (*) =т * 0(x~3/S.

Однако строгого доказательства этого факта в указанной работе нет.

В нашей работе получены асимптотические формулы для реше.

— 6.

НИЯ г 2 при, $ - о.

Более того, предложенный здесь метод позволяет для широких классов нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка исследовать асимптотику затухающих решений.

В главе I рассматриваются второе уравнение Пенлеве и некоторые нелинейные интегральные уравнения.

Для нелинейного интегрального уравнения.

9 М = J (x)* 4 ] ^^ d i,.

ОО ?

— константа, при Х^>Хо> 0 справедлива Лемма 1.4. Пусть 6 С (&+) и всех.

I (X) Ч^), Я" **00, где, °0 .

Тогда существует единственное решение ify^ интегрального уравнения (1.10) класса.

УМ — fo * 0 ^.

— у.

Следующие теоремы 1.2 и 1.3 доказывают гипотезу работы [l9] Теорема 1.2. Существуют решения уравнения w" + X w- = ал1) такие, что при -/- оо имеют место асимптотические формулы: г з у (1.28).

ОН о — произвольные константы. Теорема 1.3. Существуют решения уравнения w" + х w.

1.33) такие, что при X —> -/ оо имеют место асимптотические формулы: 3.

1.34) ji'^ % * & о — произвольные константы. В общем случае справедлива Теорема 1.4. Существуют решения уравнения w" + х ш 3 + $ (1−35) ho такие, что при °° имеют место асимптотические формулы: ^ и)(я) = i х * sm % Ы) + 0 ($ х 1.

Л 1 I, С о — произвольные константы.

— Ах V (1.40) j.

Результаты второй главы являются обобщением результатов первой главы.

В § I рассматривается уравнение где S=l, 2,., Oi>0, Г ^ f (S+5).

При этих условиях доказана.

Теорема 2.1. Существуют решения уравнения (2.1) такие, что при о=> имеют место асимптотические формулы: оС a) X ' ^(я) [ОС. j з<* п ^ ио.

— ^A-JT.

0 Кч i) y-i и б).

4 0(Х если L < ^ 4 <2. 4 — Х.

2.20).

— iГ' ш= f&H.

S/s Н).

2.21) если.

B) W№=i к *+ 0(х: игл 1 О А< i-i й (ъч) 1-х (2−22) tOC**-'), если —- ~ < У ^ 1 — да ^ Р >а° ^.

A s = ± ео" и ^ С С — е. s+l й.

В § 2 главы 2 на положительной полуоси + рассматривается уравнение ш.

2.25).

Здесь.

Pt =? Рт Ы) Ш + + .

— О у '.

Ро О) = Л? Олюбое целое, > 0 > Г <

Функции.

Р"(*)=0(я г* где ol <5.

-^(W-l-^), если^.и.

— g) если для всех ПЧ/ «i^,. > ^ •.

Функции (х) удовлетворяют оценкам:

ГОСДУМ fc^)^.

При этих условиях верна.

Теорема 2.2. Существуют решения уравнения (2.25) такие, что приh 00 имеют место асимптотические формулы (2.20), (2.21), (2.22).

В § 3 рассматривается уравнение.

П eL r л Р.

V> +зги>=:(10х. ш / <2−26> где > о О, s. и.

При этих условиях справедлива.

Теорема 2.3. Существуют решения уравнения (2.26) такие, что при оо имеют место асимптотические формулы: а) ~~ и + (х) =.

1&+L.

2 -h (b-. Qod-SS ^ ¦i.

I <*/хЧ 1.

Z (s+l) ti ^.

•f.

Г (2.29) если ос оС т б) о<

Lfax. +с0+.

06*.

4/jH.

X +.

2.30) если и • sL 4.

В).

0(е ¦х.

0 / л I П rJiS А.

ЩЧ 3(^1) 1-у г-у.

2.31) если t/z-ct/f, f-l < fi^rf-i. где , — константы, тоже, что и в теореме 2.1.

В § 4 на R/+ рассматривается уравнение.

2.32).

Здесь.

K-flTL mо — функции Ро (рО, «, величины^, К,^, о (, К/ такие же, как в условиях теоремы 2.2, функция $ 10, Г < 2L (s + ?yp-i ,.

Функции где.

V i-T-fy—^^-^)-^ Р. если .и f*^ f если для всех YYlsL > П/. При этих условиях доказана.

Теорема 2.4. Существуют решения уравнения (2.32) такие, что при ЭС —> -/- имеют место асимптотические формулы.

2.29), (2.30), (2.31).

В главе Ш изучается асимптотика автомодельных решений обобщенного уравнения S.

В § I и 2 рассматривается обобщенное уравнение S>iM-Гордона = V гл ^ Sc* ^ (3.1).

V , — константы, Х-^. В. ^ < 0 .

Теорема 3.1. Существуют решения уравнения (3.1) такие, что при -+ оо имеют место асимптотические формулы:

I з.

3.27) (т) — flfX + Ая ^(K^l.

— произвольные константы.

Следствие 3.1. Существуют решения третьего уравнения Пенлеве /.

— W-.M^-ihH^(рjd ^ № / ъ> такие, что при имеют место асимптотические формулы:

— i 3.

ФУ r.

3.28) ^.

Л^i2 4/(-Я-М) > ^ 0 — произвольные константы.

Г. JU>0.

Теорема 3.2. Существуют решения уравнения (3.1) такие, что при 3d ~> -f имеют место асимптотические формулы: v ifb ,.

— х" .

V*) +.

3.31).

3MJ* d.

Рз) произвольная константа.

Следствие 3.2. Существуют решения уравнения Гз/ такие, что при X > + имеют место асимптотические формулы: i ^ * 2 mk) — в^(с^ е") +.

— ь.

0(.

01 6.

3.32) д. уЛ — 0 .

Теорема 3.3. Существуют решения уравнения S<4№ -Гордона.

— V ъиг U.

З.Г) такие, что при V< О и Я?-> + °° имеют место асимптотические формулы: з.

7;

X. ').

16 V" «^.

3.34).

О — произвольные константы.

Теорема 3.4. Существуют решения уравнения ЪШЬГордона (3.1') такие, что при V> О и 32 -н> + со имеют место асимптотические формулы: L И.

4 Г| Л/.

— V.

3.35).

I. произвольная константа. ,.

Следствие 3.3. Существуют решения уравнения (Р3) такие, что при ОС —> -t 00 имеют место следующие асимптотические формулы: а).

V>(я) = ш>{1 ix^^M ЧоЬ)) + г.

3.36).

3.37) I j a fv?* + jy^(X если -)> < 0 ;

J. й) 4 e J + ac* OU*e если.

В § 3 главы 3 рассматривается уравнение S'/tДаламбера d>0.

— константа.

Теорема 3.6. Существуют решения уравнения sXДаламбера такие, что при ~ - + имеют место асимптотические формулы:

4. 3.

Л^ 6^ О- >^О — произвольные константы.

Теорема 3.7. Существуют решения уравнения sfbДаланбера такие, что при р ~ — d* > - с<> имеют место асимптотические формулы: О it (z,^ =.

— L-ih)1.

3.53) nL.

— произвольная константа,.

Результаты диссертации докладывались в МГУ на семинарах.

A.Г.Костюченко, Н. Х. Розова и Б. Р. Вайнберга, А. Б. Васильевой и.

B.Ф.Бутузова.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М. В. Федорюку, коллективу кафедры высшей математики МФТИ и кафедры дифференциальных уравнений ТашГУ им. В. И. Ленина.

1. Айне Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков,. ГНТИУ, 1939.

2. Елю Э., Ингольд Д., Озеров В., Диффузия электронов и ионов в нейтральном газе. В сб.: Термоэмиссионное преобразование энергии. М., Атомиздат, 1965, Т. 2, 65−72.

3. Голубев В. В.,.Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л., Гостехиздат, 1950.

4. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П., Теория солитонов. М., Наука, 1980.

5. Громак В. И., Лукашевич Н. А., Специальные классы решений уравнений Пенлеве. Дифференц. уравнения, Т- 18, Ji& 3 (1982), 419 429.

6. Громак В. И., 0 решениях второго уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, Т. 18, 5 (1982), 753−763.

7. Громак В. И., Уравнение sin-Gordon и третье уравнение Пенлеве. Дифференц. уравнения, Т. 18, В II (1982), 1984;1986.

8. Федорюк М. В., Асимптотические методы в теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Матем.сб., Т. 79, В 4 (1969), 477−516.

9. Федорюк М. В., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1980.

10. Федорюк М. В., Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983.

11. Ablowitz M.J., Segur Н., Exact linearization of a Painleve transcendent. Phys. Rev. Lett., v. 38, Nr. 20 (1977), 11 031 106.

12. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H., Nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of Painleve type. Lett, al Nuovo Cimento, v. 23, Nr. 9 (1978), 333−338.

13. Ablowitz M, J., Ramani A., Segur H., A connection between non-linear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. J> Math'. Phys., v. 21, Nr. 4 & 3 (1980), 715−721, 1006−1013.

14. Airault H., Rational solutions of Painleve equations. Stud. Appl. Math., v. 61, Nr. 1 (1979), 31−53.

15. Clarkson P.A., Mc Leod J.В., A connection formula for the second Painleve transcendent. Lect. Notes Math'., v. 964 (1982), 135−1².

16. Harris W.A., Lutz D.A., Asymptotic integration of adiabatic oscillators. J. Math. Anal. Appl., v. 51i Nr. 1 (1975), 76−93.

17. Jimbo M., An inverse scattering problem and fifth Painleve transcendent. Prog. Theor. Phys., v. 61, Nr. 1 (1979), 359 360.

18. Mc Coy В., Tracy C., Wu T, Connection between KdV equation and two-dimensional Ising model. Phys. Lett., v. 61A, Nr. 5 (1977), 283−284.

19. Segur H", Ablowitz M.J., Asymptotic solutions of nonlinear evolution equations and a Painleve transcendent. Physica D, v. 3, Nr. 1 & 2 (1981), 165−184.

20. Абдуллаев А. С., К теории второго уравнения Пенлеве. ДАН СССР, Т. 273, J? 5 (1983), 1033−1036.

21. Абдуллаев А. С., Осциллирующие решения уравнений w" + xw = = P (x,.w). Рукопись деп. в ВИНИТИ АН СССР 4.04.84, № 194 084 ДЕП.

22. Абдуллаев А. С., Второе уравнение Пенлеве и асимптотика решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. ДАН УзССР, № 7 (1984), 7−8.