Формулы Фейнмана для эволюционных псевдодифференциальных уравнений в суперанализе

Диссертация посвящена получению представлений функциональными интегралами решений эволюционных псевдодифференциальных уравнений относительно функций, определенных на суперпространстве и принимающих значения в супералгебре. Получены представления решений для некоторого класса таких уравнений в виде формул Фейнмана-Каца и Фейнмана. Кроме того, в работе доказывается аналог теоремы Минлоса-Сазонова, дающий критерий счетной аддитивности цилиндрических су-пермер в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье.

Первые работы, выполненные на математическом уровне строгости, в которых делались попытки построить теорию коммутирующих и ан-тикоммутирующих переменных появляются в 60-х годах прошлого века. Самой первой работой принято считать работу Дж. JI. Мартина [22]. В дальнейшем подход, предложенный в ней, развивался в работах Ф. А. Березина [1, 2, 3, 4], Д. А. Лейтеса [5, 6], Б. Константа [49] и других авторов. Сейчас этот подход принято называть алгебраическим суперанализом.

В физических приложениях используется и другой подход, основанный на понятии суперпространства, введенного Саламом и Стратди в работах [24, 25]. Этот подход развивался в работах М. Бэтчелор [26], А. Джадзика и К. Пилча [27], а позднее в работах Б. Де Витта [18], А. Роджерс [19, 20, 21], В. С. Владимирова и И. В. Воловича [7, 8], О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе [9, 10], А. Ю. Хренникова [12, 13, 14, 15, 16], Ю. Купша [31] и других. Анализ, развитый в этих работах называют функциональным суперанализом.

Оба формализма (алгебраический и функциональный), позволяющих на математическом уровне строгости оперировать с коммутирутирую-щими и антикоммутирующими переменными, возникли при попытках обосновать многочисленные физические работы, где эти операции использовались на физическом уровне строгости. А именно, работы, в которых стремились представить вторичное квантование фермионных полей в форме, аналогичной форме квантования бозонных полей, а также работы, связанные с исследованием суперсимметрии в математической физике.

В современной суперматематике используются оба подхода. Они находят приложения для решения уравнений, возникающих в квантовой теории поля и в теории суперструн. Многочисленность этих приложений требует дальнейшего развития математического аппарата. Кроме того, возникают задачи, интересные и сами по себе.

В диссертации используется функциональный подход к суперанализу. Будут рассматриваться модели бесконечномерных суперпространств, предложенные О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе, а также.

A. Ю. Хренниковым. Эти модели обобщают на бесконечномерный случай модель суперпространства предложенную В. С. Владимировым и.

B. И. Воловичем в [7].

Далее приводятся необходимые для дальнейшего изложения определения.

Напомним, что линейное пространство Е, представимое в виде прямой суммы Е = Eq © Ei называется^{-градуированным.} Элементы пространства Eq называются четными, а Е — нечетными.

Определение 0.1. Супералгеброй называется Z2-градуированное пространство, А = Aq (c)Aiна котором введена структура ассоциативной алгебры с единицей и четной операцией умножения (т.е. произведение двух четных или двух нечетных элементов — четный элемент, а произведение четного на нечетный — нечетный элемент).

Суперкоммутатор [а, Ь} однородных элементов аиЬиз супералгебры Л определяется равенством а, Ъ] = ab — (~1УаЩа, где |а| = 0, если, а 6Е Ло и |а| = 1, если, а € Ai.

Супералгебра Л = Ло Ф Ai называется (супер) коммутативной, если [а, Ь} = 0 для произвольных однородных элементов a, b G Л.

В диссертации рассматриваются только коммутативные супералгебры, у которых аннулятор нечетной части равен нулю: {А е, А: V77 е Ai Л77 = 0} - {0}.

Напомним также, что модулем над алгеброй, А называется абелева группа М с операцией умножения на элементы алгебры А, удовлетворяющей аксиомам векторного пространства с заменой элементов поля на элементы алгебры (см. [47]).

Определение 0.2. Супермодулем называется градуированное пространство М = Мо © М, на котором введена структура двухстороннего модуля над коммутативной супералгеброй, А = Ао Ф Ai с четной операцией умножения на элементы Л.

Суперкоммутатор элементов супермодуля и супералгебры определяется аналогично суперкоммутатору элементов супералгебры, обозначать его будем тем же символом [•,¦}. Супермодуль называется коммутативным, если для произвольных однородных элементов [а, 6} = 0 (т.е. четные элементы алгебры коммутируют со всеми элементами модуля, а нечетные элементы алгебры антикоммутируют с нечетными элементами модуля).

Определение 0.3. Коммутативная супералгебра Л = Ло ф Ai называется банаховой, если Л — банахова алгебра и прямая сумма топологическая. Коммутативный супермодуль М называется банаховым, если М — банахов модуль над банаховой алгеброй Л и прямая сумма М ~ Мо ф Mi является топологической.

Дадим теперь определение суперпространства.

Определение 0.4. Линейное банахово пространство X = Mq ф N, где М = МофМх и N = NqQ) Ni — банаховы коммутативные супермодули, называется суперпространством над парой коммутативных супермодулей М и N. Коммутативный супермодуль Lx = М (В N называется накрывающим суперпространство X.

Это определение было предложено А. Ю. Хренниковым в работе [15]. Как уже упоминалось, в диссертации используются две модели суперпространства. В главе 1 показано, что суперпространство, построенное О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе является суперпространством и в смысле определения 0.4.

Для введения понятия сопряженного супермодуля понадобится понятие А-линейных отображений.

Определение 0.5. Пусть Мк и N — коммутативные супермодули над коммутативной супералгеброй А. п-линейное отображение I: ]~[fc=i Mk —> N назовем А-п-линейным справа, если для Xi G Мг и, А = Ао ф Ai Е, А выполняется: l (x 1,., ХкХо, — ¦ ¦, %п) = 1{хъ • • ¦? хк: • • •, жп) А0, п.

1(х" ., ., х?) = (-1 aii (x?,., xl. .. , <*)Аь.

Отображение I: Пл=1 Мк N назовем А-п-линейным слева, если выполняется к.

1(х" ., Аь ., xf) = (-l)iSa, AiZ (®?,. — -, xl ., xf).

Отображение, являющееся Л-линейным и справа и слева, будет называться в дальнейшем Л-линейным.

Символом Cn>r (M, N) (соответственно, ?nj{M, N)) будет обозначаться пространство непрерывных Л-п-линейных справа (соответственно слева) отображений из супермодуля М в N, а символом /СП)Г (М, N) (соответственно, Knj,{M, N)) пространство A-n-линейных справа (соответственно слева) функционалов из супермодуля М в N непрерывных на компактных множествах. Эти пространства являются коммутативными супермодулями.

Для супермодуля М рассмотрим супермодули Li>r (M, Л) и Li-/(M, Л). В работе [11] показано, что между ними существует канонический изоморфизм, устанавливающий взаимнооднозначное соответствие между отображениями М в Л Л-линейными справа и Л-линейными отображениями слева. Супермодулем алгебраически сопряженным к М называется супермодуль М* — Li>r (M, Л) = Li>r (M, Л). Сужение канонического изоморфизма на непрерывные отображения является изоморфизмом между супермодулями? i>r (M, Л) и £хДМ, Л). Топологически сопряженным супермодулем к М называется супермодуль М' = С! Г (М, Л) = ?i-7.(M, Л).

Определение 0.6. Отображение f: U —> У, где U — открытое подмножество банахова суперпространства X, а У — банахов супермодуль, называется ограниченно супердифференцируемым в точке х € X по Фреше справа (слева), если Vh? X:x-t-hE U имеет место представление f{x + h) = f (x) + A (h) + o (h), где отображение, А принадлежит супермодулю? г (Ьх, У) (Ci{Lx, Y))¦ И —> 0, t 0 равномерно по h на любом ограниченном множестве.

А-линейный справа (слева) оператор, А называется правой (левой) суперпроизводной.

Таким образом, функция является супердифференцируемоей по Фреше справа (слева), если она дифференцируема по Фреше и ее производная принадлежит супермодулю Л-линейных справа (слева) отображений между супермодулями.

Компактная супердифференцируемость отображений определяется аналогично, при этом пространство непрерывных отображений заменяется на пространство отображений непрерывных на компактных множествах, а равномерная сходимость на ограниченных множествах — на равномерную сходимость на компактных множествах.

Замечание 0.1. Можно показать, что функция супердифференциру-ема в точке по Фреше справа тогда и только тогда, когда она супер-дифференцируема по Фреше слева.

Определение 0.7. Топологические коммутативные супермодули М и N называются двойственными, если существует непрерывная на компактных множествах билинейная форма < •, • >: М х N —^ А, разделяющая точки М и N и для любых A, j3, aEAumGMunGN удовлетворяющая равенству < Хт/3, па >= X < т, /Зп > а.

Суперпространства X = Mq ф Ni и У = Rq © Si над парами двойственных коммутативных супермодулей называются двойственными суперпространствами. Форма двойственности между суперпространствами определяется через формы двойственности между супермодулями: {т0, щ), (г0, si) >=< mo, r0 > + < Щ, Si >, где га0 G M0, щ G jVb r0 € До, si G S.

Перейдем теперь к краткой сводке результатов диссертации.

В главе 1 рассматривается модель бесконечномерного суперпространства, предложенная О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе в работах [9, 10]. Эта модель обобщает на бесконечномерный случай конечномерную модель В. С. Владимирова и И. В. Воловича.

Суперпространство, обозначаемое соответствующее^{-градуированному} гильбертову пространству Н = Щ © Щ над банаховой супералгеброй, А = Ло © Ai, определяется так: На = Ло<�Й>Яо © Ai#i. Предполагается, что супералгебра Л наделена гильбертовой нормой, тензорное произведение «(g)» также наделяется гильбертовой нормой. Доказывается, что это суперпространство удовлетворяет определению 0.4, а именно, доказывается, что оно является суперпространством над коммутативными супермодулями А®Щ и ЛHi.

В суперпространстве Нд. вводится суперскалярное произведение, обозначаемое через (•, •)л и структура гильбертова суперпространства. Суперскалярное произведение строится с помощью продолжения по Л-линейности скалярного произведения в пространстве Hq на супермодуль AHq и некоторой антисимметричной формы в пространстве Н на супермодуль Л<8>#1..

В главе 1 рассматриваются супердифференцируемые функции, суперпроизводные которых принадлежат более узкому классу, чем тот, который предполагается определением 0.6. Именно, для гильбертова пространства G = Go Ф G рассмотрим супермодуль GK = AGq ф AG. Пусть функция /: GA ограниченно супердифференцируема в точке х. Ее производной в этой точке сопоставляется матрица.

Лю Л) Л Aw ЛцJ '.

Аоое ?(Л0<�§>Я0,Л0®С), Л01б ?(Л1(8>Я1,ЛО<8)С), Ai0e ?(Л0<8>Я0, AiG), Апе ЦА^Нг^А^).

Доказывается, что имеют место вложения: Ao®(HoG) в пространство ?(Ao<8>#o, AoG), Ai®(HiG) в ?(Ai<�й>#о, Ai0G) и Л0®-(Hi®-G) в C (Ai®Hi, Ai®G)..

В главе 1 рассматриваются такие ограниченно супердифференцируемые функции, что Дю? Лq<§-(Hq (HiG)> Aw? Ai®(Hq<8>G), An E Ao.

Для суперпроизводных порядка п справедливо следующее предложение..

Предложение 1.4. Пусть f — отображение открытой части суперпространства На в А, п раз супердифференцируемое в точке z. Тогда.

Мел^ДяЛ где символ Д Н обозначает гильбертово пространство, представп ляющее собой замкнутое векторное подпространство пространства Hi. — - <8>-£Гь порожденное алгебраическим внешним произведением п экземпляров Н. Пространство fH наделяется нормой, индуцируеп мой из ^ Hi. Символ означает «сужение на». п.

В параграфе 1.3 вводится понятие супермеры на суперпространстве НаЭто борелевская мера в пространстве Но, принимающая значения в супермодуле А<�Й> (Д Н)..

Обозначим символом Л-линейное отображение A(/Hi) х.

А®- (Д Hi) —А, получаемое продолжением скалярного произведения в Д Hi по А-линейности..

Для функции /: На —> А, супердифференцируемой в На бесконечное число раз, рассмотрим отображение Df: На —> П Л<8> (Д Hi ], определи О п) ляемое так:.

Df){z)=(f (z), f{z) /<" >(*).

HAl vn! лг'.

Обозначим символом F (Ha) пространство всех бесконечно супердиффе-ренцируемых функций из На в Л таких, что значения сужения Df на, Но принадлежат Л<�Й> (Д Hi)..

Определение интеграла по супермере использует понятие билинейного интеграла (см. [28]). Это билинейный интеграл относительно отображения (•, •)Л, принимающий значения в Л: f (z)v (dz) = J ((Dfm^idt))^.

НА Но.

В параграфе 1.4 определяется суперпреобразование Фурье супермер в Н. Это функция на Яд, задаваемая следующим образом:.

КУ) = J eiMA/iW,.

ЯЛ где (•, -)л. — суперскалярное произведение в Нх.

Оказывается, что значения суперпреобразования Фурье Д (•) супермеры /i на подпространстве Ял = Hq®Ki®H можно получить из значений ее классического преобразования Фурье, применив некоторый оператор..

Оператор, сопоставляющий супермере ее суперпреобразование Фурье, обозначим Fs¦ Оператор классического преобразования Фурье обозначим символом F, а через Syi обозначим следующий оператор из.

А®- (Л ЯО в Л: svi* = • ¦ • >^у < Уъ ' >1Л • • ¦ < Уи ' >IA, •.

Тогда справедливо следующее представление:.

FSf*)(t, yi) = Syi ((F/im)t где t € Я0,2/1 € ЯЛ1..

Основной результат параграфа 1.4 — теорема об изометричности суперпреобразования Фурье супермеры на суперпространстве с нулевой четной частью: Яд = Ялг..

Теорема 1.1. Пусть Н — суперпространство с Яо = {0} и fi — супермера в Н. Тогда.

11Д (-)11^(яЛ1) = 1Н1л®(Л#1).

Из этой теоремы получаем следующее утверждение о ядре суперпреобразования Фурье..

Следствие 1.1. Ядро оператора суперпреобразования Фурье Fg равно нулю..

Заключительный параграф главы 1 посвящен аналогу теоремы Мин-лоса-Сазонова для супермер. Здесь даются условия счетной аддитивности цилиндрических супермер в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье..

Теорема 1.2. Для счетной аддитивности цилиндрической супермеры fi в гильбертовом суперпространстве На необходимо и достаточно непрерывности в топологии Сазонова (ассоциированной с топологией в Hq) отображения t —" ¦): Hq —:> Fffl^)..

Доказательство этой теоремы существенно использует теорему Мин-лоса-Сазонова для векторнозначных мер (см. [32])..

Глава 2 посвящена представлению решений эволюционных (супер) псевдодифференциальных уравнений функциональными интегралами..

Первыми работами, в которых строились представления решений уравнений с антисимметрическими переменными функциональными интегралами были работы Дж. JI. Мартина [22, 23], выполненные на физическом уровне строгости. Первыми работами, выполненными на математическом уровне строгости, были работы Ф. А. Березина [1, 3], там получены представления символов псевдодифференциальных операторов функциональными интегралами по фазовому суперпространству в рамках алгебраического подхода к суперанализу..

В рамках функционального подхода к суперанализу этот вопрос рассматривался в работах О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе [9, 10]. Там получены представления решений линейных эволюционных супердифференциальных уравнений второго порядка интегралами по супермерам Пуассона и Фейнмана в конфигурационном суперпространстве. Также рассмотрены супераналоги уравнений Фейнмана и Дирака..

В работах А. Ю. Хренникова в рамках функционального подхода к суперанализу получены формулы типа Фейнмана-Каца в конфигурационном суперпространстве для уравнений теплопроводности и Шредин-гера (см. [12]). В работах [13, 14] получены формулы Фейнмана-Каца в фазовом суперпространстве для некоторого класса эволюционных псевдодифференциальных уравнений..

Кроме выше упомянутых работ укажем также работы Б. Де Витта [18], А. Роджерс [19, 20], Д. В. Ктитарева [36, 37]..

В главе 2 рассматривается модель бесконечномерного функционального суперпространства, предложенная А. Ю. Хренниковым..

В параграфе 2.1 даются предварительные сведения теории супераналитических распределений на бесконечномерном суперпространстве, развитой в работах [15, 16]..

Пусть X — суперпространство над банаховыми коммутативными супермодулями. Функция /: U —> А, где U — окрестность точки xq G X, называется компактно супераналитической в точке хо, если для х G U имеет место представление где A-n-линейные формы Ъп принадлежат супермодулям /Cnjr (L^-, A) А-n-линейных справа отображений Lx X. х Lx в, А непрерывных на компактных множествах и сужение этих форм на Хп симметрично. Кроме того, существует окрестность V точки жо в Lx такая, что для любого компактного множества К С V справедливо неравенство:.

Пространство функций, компактно супераналитических на всем X обозначается символом Л (Х). Оно наделяется топологией, индуцируемой системой норм || • с xq = 0. Распределением на суперпространстве оо оо.

X называется элемент сопряженного супермодуля А'(Х). Значение распределения [I € Л{Х) на элементе / € Л{Х) будем обозначать символом fn (dx)f (x). х.

Суперпреобразование Фурье распределения ц 6 А'(Х) обозначается символом Ffj, или Д. Это функция на двойственном суперпространстве (обозначим его Y), определяемая так:.

•) = / №хУ<->х>. х.

Пространство F (Y) суперпреобразований Фурье распределений на X берется в качестве основного пространства для распределений на двойственном суперпространстве Y. Распределения на двойственном суперпространстве определяется с помощью стандартной схемы с использованием равенства Парсеваля:.

M{Y) = {ие F (Y): 3/ е Л (Х) :.

J 9{y>(dy) = J F~1(g)(dx)f (x), Vg G F (Y)},.

Y X где J-*{Y) — алгебраически сопряженный супермодуль..

В параграфе 2.2 приводятся необходимые факты теории псевдодифференциальных операторов на суперпространстве. Пусть P, Q — двойственные суперпространства, тогда суперпространство X = Q X Р называется фазовым, двойственным ему будет суперпространство Y = Р xQ..

Псевдодифференциальные операторы определяются с помощью распределения Фейнмана на фазовом суперпространстве. Распределение Фейнмана Ф — это элемент пространства A4(Y): задаваемый своим суперпреобразованием Фурье:.

Ф (р, д) = ei+i.

^ для некоторого q 6 Q..

Псевдодифференциальный оператор в пространстве F{Q) с символом gp-символом, а 6 F{Q х Р) определяется равенством af)(q)= J a (q, p) f (qi№(dqidp)..

QxP.

Подход к определению псевдодифференциальных операторов с помощью меры Фейнмана был предложен О. Г. Смоляновым в работе [34]. На случай бесконечномерного суперпространства это определение было перенесено в работе [9]..

В параграфе 2.3 рассматриваются эволюционные псевдодифференциальные уравнения вида.

2−5) в пространстве компактно супераналитических функций A (Q) с символами псевдодифференциальных операторов, а € T{Q хР) и вещественным параметром эволюции t..

Для уравнения (2.5) рассматривается «слабая» задача Коши в пространстве непрерывных А-линейных (справа и слева) отображений на пространстве.

СЮ 1.

W® = {ф € А'(Ш): |ф\а = ]ГШП\еап2 < оо, Va > 0} п=0 Псо значениями в A (Q). Пространство таких отображений обозначим.

W'{R, A{Q))..

Теорема 2.1. Пусть fiEA'(P х Q) и a (p, q) = Д (р, д). Тогда символ h оператора эволюции eta уравнения (2.5) в пространстве W'(R, A (QxP)) имеет вид:.

М-. •,*) =.

Г Г, , 7 ^ Г Г, , 7N Е <�ИЛ*> + <�Е = 2j^Т / / МФА) • • • / / n{dpndqn)e^<^ е m=o ш=о n=0 Р Q Р Q.

Следствие 2.1. Пусть а (¦, •) 6 T{Q х Р) и щ (-) е F (Q), uo (q) — До (.

В параграфе 2.4 построены представления решений «слабой» задачи Коши уравнения (2.5) интегралом Фейнмана по траекториям в фазовом суперпространстве..

Супермера Фейнмана Ф на траекториях в фазовом суперпространстве определяется как предел распределений Фейнмана Фп на произведении конечного числа экземпляров фазового суперпространства. Таким образом, эту супермеру естественно называть секвенциальной. При этом распределение Фейнмана на произведении конечного числа экземпляров фазового суперпространства определяется с помощью равенства Пар-севаля. Суперпреобразования Фурье распределений Фейнмана на этом произведении получаются сужением некоторой функции, заданной на пространстве, двойственном пространству траекторий и которую, поэтому, естественно называть суперпреобразованием Фурье супермеры Фейнмана на траекториях..

Таким образом, при определении супермеры Фейнмана на пространстве траекторий в фазовом суперпространстве были использованы два различных подхода к определению меры Фейнмана в классическом случае: равенство Парсеваля и предел конечнократных интегралов (см. [35],.

Представление решений интегралом по траекториям в фазовом суперпространстве дается следующей теоремой. р.

41])..

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда решение «слабой» задачи Коши для уравнения (2.5) представимо в виде.

Равенство (2.16) естественно называть формулой Фейнмана-Каца для уравнения (2.5): в классическом анализе формулой Фейнмана-Каца называют представление решения эволюционного псевдодифференициаль-ного уравнения функциональным интегралом по траекториям в фазовом пространстве..

Формулой Фейнмана в классическом анализе называют представление решений эволюционного псевдодифференициального уравнения в виде предела конечнократных интегралов по фазовому пространству..

Из определения меры Фейнмана Ф следует, что равенство (2.16) является одновременно и формулой Фейнмана для уравнения (2.5). Действительно, оно является представлением решения в виде предела конечнократных интегралов по фазовому суперпространству. При этом в (Q х Р) п берутся сужения меры Фейнмана на пространстве траекторий в фазовом суперпространстве..

В общем случае, однако, в формуле Фейнмана не подразумевается существование пространства траекторий и меры на нем..

Можно было получать формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца по-другому. При доказательстве теоремы 2.2 фактически доказывается формула т. е. формула Фейнмана: доказывается, что правая часть в последнем равенстве при всех п совпадает с конечнократными интегралами порядка п, предел которых задает супермеру Фейнмана на пространстве траекторий. Таким образом, можно было, не вводя заранее пространство траек.

2.16) Е торий и меры на нем, получить формулу Фейнмана, а уже потом, заметив, что меры на (Q х Р) п суть сужения некоторой меры на пространстве траекторий, получить формулу Фейнмана-Каца..

В заключении я хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задач, их обсуждения и многолетнюю поддержку. А также доктору физико-математических наук, профессору Евгению Тенгизовичу Шавгулидзе и за многочисленные советы при написании диссертации..

Заключение.

В главе 1 диссертации рассматривается модель бесконечномерного суперпространства, предложенная О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе. Показана связь этой модели с моделью, предложенной А. Ю. Хренниковым. Получен критерий счетной аддитивности цилиндрических супер-мер в гильбертовом суперпространстве в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье (супераналог теоремы Минлоса-Сазонова). Кроме того, рассмотрены некоторые свойства суперпреобразования Фурье супермер на гильбертовом суперпространстве..

В главе 2 в модели бесконечномерного суперпространства, предложенной А. Ю. Хренниковым рассмотрены эволюционные псевдодифференциальные уравнения в пространстве компактно супераналитических функций. Доказана теорема существования слабых решений задачи Коши для таких уравнений. Построены представления этих решений функциональными интегралами по траекториям в фазовом суперпространстве (формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана). Кроме того, для эволюционного оператора доказана формула аналогичная формуле Чернова..