Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки

Современный уровень развития техники характеризуется широким, приме пением об о л очечных конструкций, особенно в самолетостроении и ракетной технике. В процессе эксплуатации в самолетных и ракетных конструкциях оболочки и панели подвергаются, как правило, динамическим нагрузкам. Иногда выход из-строя оболочечной конструкции обусловлен потерей ее устойчивости под действием динамических нагрузок. В связи. с этим, возникает-класс задач МДТТ об исследовании^{условий} динамической устойчивости оболочечных конструкций. В частности, большой практический интерес представляют задачи исследования устойчивости. осесимметричной реакции упругих, цилиндрических оболочек. Актуальность этой проблемы вызывает все-Возрастающее количество публикаций по динамической устойчивости оболочек, в том. числе и цилиндрических, причем различные исследователи используют различные, понятия устойчивости систем, в зависимости. от практических потребностей исследования. Теории устойчивости.движения посвящаются исследованиям влияния. возмущающих.факторов.на движение. материальной системы. Под возмущающими факторами обычно. понимаются силы, не учитываемые. при. описании движения, вследствие их малости по сравнению с основными. силами, Эти. возмущающие силы-обычно неизвестны. Они могут действовать мгновенно, что сведется к малому. применению начального состояния материальной-системы. Но эти .силы могут действовать и в течение всего времени движения системы.. .. Влияние малых возмущающих факторов на. движение материальной сие те мы. будет неодинаковым для .раз личных движений. На одни движения это влияние незначительно, так что возмущенное движение мало отличается от невозмущенного, на других движениях вли- 5 яние возмущений сказывается весьма значительно, так что возмущенное движение значительно отличается от невозмущенного, по истечение некоторого промежутка времени. Движения первого рода называются устойчивыми, движения второго рода — неустойчивыми. Теория устойчивости, движения и занимается установлением признаков, позволяющих судить, будет ли рассматриваемое движение устойчивым или неустойчивым. Впервые наиболее строгое и общее определение устойчивости было дано А. М. Ляпуновым [38]. Им была рассмотрена произвольная динамическая система, движение которой описывается системой дифференциальных уравнений ^ = /Л^У/ ys), ^=ЛР S (I) Далее выделялось некоторое частное решение уд-= / i — (0 Это движение называется невозмущенным, в отличие от других двиЧ жений, которые называются возмущенными. Разноати значений величин у к в каком-нибудь, в03Mpieином и невозмущенном движениях называются возмущениями. .В рамках данного подхода были определены области параметрической неустойчивости (в пространстве параметров нагрузки) цилиндрических оболочек под действием различного вида периодических нагрузок [в, 10, 64, 71, 82]- подкрепленных оболочек [б7, 46, 62]- оболочек с присоединенными массами [34, 52]- оболочек с несовершенствами формы срединной поверхности [ЗЗ]- слоистых анизотропных оболочек [l2, 21, 25, 28, 29]- оболочек с упругим заполнителем [35, Зб]- с учетом инерции в тангенциальной плоскости [79] и т. д.В работах Зубова В. И. [27], Мовчана А. А. [44, 45], Матросова В. М. [42] подход Ляпунова к исследованию устойчивости движения был обобщен на системы с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных.. 7 Движения системы с распределенными параметрами рассматриваются в некотором метрическом пространстве, причем его метрика выбирается конкретно в каждой задаче. Вместо функции Ляпунова в рассмотрение вводится функционал Ляпунова, определенный для. каждой точки метрического пространства движений. В качестве функционала Ляпунова обычно выбирают интеграл типа интеграла энергии возмущенного движения системы [б5, 74]. Об устойчивости системы сраспределенными параметрами судят по свойствам функционала, Ляпунова, исходя из теоремы об устойчивости А. А. Мовчана [44]. — С помощью данного подхода были исследованы задачи о динамической устойчивости бесконечной цилиндрической оболочки, нагруженной равномерной осевой силой и осесимметричной волной внешнего давления, движущейся с постоянной скоростью вдоль оболочки [б5], и о динамической устойчивости оболочки под действием следящей тангенциальной нагрузки [74]. Причинами недостаточно широкого применения данного подхода к задачам исследования устойчивости оболочек являются значительные математические трудности при анализе поведения функционала Ляпунова, а также отсутствие общих конструктивных методов его построения. Это приводит к тому, что различные исследователи, использующие различные функционалы Ляпунова и методы их исследования, получают при решении одной и той же задачи результаты, отличающиеся примерно в 50 раз [з?]. Разработанные А. М. Ляпуновым методы решения задачи об устойчивости движения являются строгими методами в решении многих прикладных задач. В то же время новые практические задачи, связанные с необходимостью оценки движения, повлекли многочисленные обобщения и стимулировали дальнейшее развитие понятия — 8 устойчивости, учитывающие те или иные специфические особенности функционирования систем. Понятие устойчивости по Ляпунову построено на следующих трех концепциях.1. Определение устойчивости не содержит каких-либо конкретных количественных ограничений на величины е и / 7 (e), они предполагаются просто достаточно малыми.2. В определении устойчивости не предполагаются иные возмущаю. щиефакторы, кроме начальных возмущений.3. В определении устойчивости предполагается неограниченный интервал времени. .Вторая концепция уже ограничивает крут прикладных задач, так как система может находиться под воздействием не только начальных возмущений, но и возмзгщающих сил, действующих на систему на протяжении всего интервала времени. Однако дальнейшее развитие теории устойчивости в смысле Ляпунова позволило сформулировать понятие устойчивости при. постоянно действующих возмущениях. В работах Четаева |б1|, Дубошина [24], Малкина [39] метод функций Ляпунова обобщен на исследование устойчивости систем при постоянно действующих возмущениях. Третья концепция не позволяет рассматривать системы, время функционирования которых ограничено. Но большинство технических систем функционируют в течение конечного интервала времени, и обычно исследователя интересуют свойства соответствующего процесса в течение конечного промежутка времени, не превышающего времени функционирования системы. Понятие устойчивости по Ляпунову, являясь характеристикой качества процесса при t—^<^, может представлять качество процесса и в пределах конечного — 9 промежутка времени (периодические процессы), но далеко не всегда. Поэтому в связи с потребностями практики возникла потребность в определении понятия устойчивости процессов на конечном интервале времени и построение соответствующей теории. Определение устойчивости на конечном интервале времени, повидимому, впервые было дано Н. Г. Четаевым [ 6 l ]. В настоящее время известно несколько отличающихся друг от друга постановок задачи устойчивости на конечном интервале времени. Общим для всех постановок является.

введение

определенной функциональной связи между областями допустимых возмущений в начальный момент to и при t>to в пределах конечного интервала времени. Различие же между ними проявляются, во-первых, в характере ограничений, налагаемых на отклонения параметров процесса, и, во-вторых, в форме и характере изменения во времени области допустимых возмущений. В развитии теории устойчивости на конечном интервале времени имеются два разных направления. Одно из них берет свое начало с упомянутой работы Н. Г. Четаева и характеризуется тем, что в постановках задач размеры и форма областей допустимых возмущений определяются вполне конкретными, наперед заданными величинами. По терминологии Н. Д. Моисеева понятие устойчивости в этом случае называется «технической устойчивостью». — Понятие технической устойчивости формируется следующим образом. Выделение в математической модели процесса функции д { t, У) отра? кает то обстоятельство, что при формализации явлений нередко некоторые факторы, суЕ1ественно влияющие на процессы, не удается подвергнуть явному математическому описанию с удовлетворительной достоверностью. Компоненты вектор-функции Q { t ^ У) в этом случае рассматриваются как возмущения и именуются возмущающими силами. Без учета возмущающих сил состояние динамической системы представляется уравнением dV dt = Э{гУ) (5) Предполагается, что правые части уравнений (4), (5) обладают свойствами, гарантирующими существование и единственность решения задачи Коши в областях 1а>^ Ъу ^ Tig и 1о УЪу, где /д с: [^ о), а 2?^ и Dg — открытие множества в соответствующих векторных пространствах. Выделим какое-либо частное решение уравнения (5) t/" { t) будем рассматривать его как невозмущенное движение. Тогда все — II движения, отличиные от невозмущенного, называются возмущенными движе ниями си с те мы. Каждое возмущенное движение отличается от невозмущенного вследствие либо возмущений начального состояния системы, либо воздействия на траектории возмущающих сил. Тогда основное понятие технической теории устойчивости формулируется следующим образом.2. При заданных Шо ж х определить си { t) при условии задачи I .При сначала возрастающей, а затем резко уменьшающейся нагрузке был предложен следующий критерий динамической устойчивости оболочки. Оболочка динамически устойчива, если в период возрастания нагрузки выполняются условия, а), а в период уменьшения нагрузки прогибы оболочки не превосходят прогибов в конце периода нарастания нагрузки. При ударном нагружении оболочек массой за критическую скорость удара, начиная с которой оболочка считается динамически неустойчивой, принимается такая скорость, при которой наблюдается экспоненциальный рост амплитуд некоторых форм движения оболочки [25, 31, 32]. Из приведенных формулировок критериев динамической устойчивости видно, что они меняются при переходе от одной задачи к другой в зависимости от характера изменения действующих на оболочку нагрузок. Именно такой способ введения критериев устойчивости характерен для технической теории устойчивости. — 15 Исходя из того, что различные авторы [2, 40, 53, 43, 6, 4J предлагают, обосновывают и используют различные критерии динамической устойчивости оболочек, А. С. Вольмиром Ql5] было обращено внимание на то, что «дополнительному исследованию должен быть подвергнут вопрос о критериях динамической устойчивости» .Техническая теория устойчивости снимает вопрос о выборе единого критерия устойчивости. При решении конкретных технических задач:. должны назначаться свои критерии устойчивости, исходя из ограничений, которые накладываются условиями эксплуатации данной конструкции. Как уже отмечалось, применение данного подхода к исследованию динамической устойчивости цилиндрических оболочек с несовершенствами формы срединной поверхности началось с работ А. С. Вольмира [l6, 18], где исследовались упругие изотропные и ортотропные оболочки под действием осевой сжимающей силы и равномерного давления. В дальнейшем исследовалась динамическая устойчивость цилиндрических оболочек с различного рода подкреплениями [8, 63, 73, 66, 68]- оболочек несущих систему распределенных масс [57]- оболочек с упругим заполнителем [ э, 54]и т.д.- под действием осевых сил, давления, различно изменяющегося во времени [81, 8]- нагрузок ударного типа [4, 43, 83] - крутящих нагрузок [72,"78]- при учете демпфирующих свойств материала оболочки [77], а также инерции в тангенциальной плоскости [78], При исследовании динамической устойчивости цилиндрических оболочек в рамках данного подхода использовались и численные методы: метод конечных разностей [19, 47]и метод конечных элементов [б9]. Наиболее полно постановка задачи о динамической устойчи- 16 вости цилиндрических оболочек на конечном интервале времени в терминах технической теории устойчивости была осуществлена в работе А. С. Черевацкого [б0], В приложениях им была рассмотрена ортотропная цилиндрическая оболочка, имеющая начальный прогиб среданной поверхности в ненагруженном состоянии. Оболочка шарнирно закреплена по торцам и нагружена линейно возрастающим во времени давлением. Рассматривалась устойчивость безмоментного невозмущенного движения оболочки. Начальные прогибы среданной поверхности оболочки являлись изначальными возмущениями, и постоянно действующими возмущениями, так как их учет приводат к неоднородным уравнениям возмущенного движения. Вводались ограничения на величину, начальных прогибов среданной поверхности и полных прогибов оболочки. По введенным ограничениям на начальный прогиб и последующие прогибы оболочки аналитически отыскивалось критическое время нагружения оболочки. При одночленной аппроксимации функции начальных несовершенств среданной поверхности оболочки и полного прогиба уравнение возмущенного движения оболочки методом Бубнова-Галеркина сводалось к линейному неоднородному дафференциальному уравнению с переменными коэффициентами. При определенных допущениях получено аналитическое выражение для определения критического времени нагружения оболочки, которое затем минимизировано по номерам гармоник собственных форм оболочки с целью определить наиболее быстро растущую форму оболочки. Для данной постановки задачи устойчивости оболочки характерно следующее,.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Показана возможность существования критических соотношений параметров оболочки и динамических воздействий, при которых реализуются осесимметричные формы потери устойчивости прогибов цилиндрической оболочки.

2. Подтверждена применимость технической теории устойчивости и построение в связи с нею функций Ляпунова для анализа динамической устойчивости цилиндрической оболочки на конечном интервале времени.

3. Предложенный в работе численно-аналитический метод прямого решения разрешающих уравнений возмущенного движения оболочки оказывается более надежным в суждениях о динамической устойчивости цилиндрической оболочки.