Постановка и решение нестационарных задач совместной фильтрации воды и пара с учетом тепловых эффектов и фазовых переходов

Геотермальные системы представляют собой нагретые, насыщенные водой и паром пористые среды. Подобные формации, протяжённость которых может достигать нескольких километров, встречаются в районах активной вулканической деятельности, где имеется интенсивный подток тепла из недр Земли к её поверхности. Подогрев насыщающей геотермальный резервуар жидкости приводит к появлению фильтрационных течений воды и пара, сопровождающихся процессами фазового перехода. При этом могут образовываться естественные циркуляционные системы, в которых в одних зонах перегретый пар течёт к поверхности Земли, где он охлаждается и конденсируется, а в других зонах уже охлаждённая вода просачивается вглубь геотермальной системы [1−3]. Таким образом, поток тепла из недр к поверхности осуществляется не только из-за теплопроводности, но зачастую в большей степени конвективно, из-за подъёма горячего пара. Наблюдаемые следствия подобных процессов термальные источники и гейзеры. На динамику процессов в геотермальных системах могут влиять близко расположенные действующие вулканы. При извержении вулкана давление в его канале падает, а температура возрастает, из-за чего появляется поток тепла от канала к окружающей его пористой среде. В результате насыщающая геотермальный коллектор вода испаряется, а образующийся пар инжектируется в канал вулкана появляется обратный эффект ответного воздействия геотермальной системы на вулкан. Подобная инжекция пара может привести к существенному увеличению расхода извергающейся магмы [4] и, следовательно, к катастрофическим последствиям. Возрастающие энергетические потребности требуют освоения альтернативных источников энергии. Одним из решений этой проблемы является проВведение мышленная разработка геотермальных систем. Для извлечения геотермальных ресурсов производится бурение добывающих скважин, вскрывающих пористые пласты, насыщенные перегретым сильно сжатым паром. Под действием внутрипластового давления теплоноситель пар поднимается на поверхность и пропускается через турбины для получения электроэнергии [2,3]. Если давления в системе не достаточно для извлечения необходимых объёмов пара, то в дополнение к добывающим скважинам бурятся нагнетательные, через которые в нагретый резервуар закачивается холодная вода [5]. В подобном вынужденном течении воды от нагнетательных к добывающим скважинам она нагревается и испаряется, вследствие чего давление в геотермальном пласте поднимается до необходимых для разработки значений. При разработке систем на поверхность можно выкачивать жидкий теплоноситель воду, содержащую примеси полезных солей, которые вымываются при течении воды в пористой среде. Таким образом, геотермальные системы эксплуатируются и с целью добычи присутствующих в них полезных минералов и солей. Помимо производства электроэнергии и добычи полезных ископаемых геотермальные системы используются для обогрева жилых домов, когда горячая вода из добывающих скважин поступает непосредственно в систему отопления здания. Схожие с отмеченными выше процессы имеют место при разработке нефтяных месторождений, когда для увеличения нефтеотдачи углеводородную фазу вытесняют паром [6,7]. Эффективность этого метода разработки связана с тем, что в процессе вытеснения пар отдаёт тепло нефти из-за чего её вязкость уменьшается и вытеснение становится более полным. При этом в пласте, вследствие конденсации пара, образуется вода и вытеснение нефти происходит не паром, а более вязкой водой, что также способствует более Введение устойчивому вытеснению [8]. Схожие неизотермические процессы с фазовыми переходами имеют место и при разработке месторождений гидрата метана [9−13] и в задачах геокриологии [14−17]. Протекающие в недрах, например, в геотермальной системе, процессы не наблюдаемы: очень скудную, косвенную информацию о них можно получить рассматривая явления на поверхности Земли. Таким образом, проводимое в данной работе, опирающееся на фундаментальные законы сохранения математическое моделирование течений в геотермальных системах особенно актуально и по сути является единственным средством прогнозирования их развития. Основная цель работы состоит в том, чтобы исследовать качественные особенности совместных неизотермических сопровождающихся процессами фазового перехода течений воды и пара в пористой среде и определить доминирующие механизмы их развития, а также реализовать эффективные алгоритмы численного моделирования фильтрационных течений воды и пара. Задачи, связанные с прогнозированием и моделированием эволюции геотермальных систем, можно формально разбить на две группы. В первую группу относят проблемы построения модели геотермального резервуара [2,3], то есть проблемы определения его размеров, строения, измерения физических свойств проницаемых пород и состава насыщающих их жидкости, а также проблемы выявления доминирующих процессов и механизмов, осуществляющих подток тепла и вещества к системе. Ко второй группе относят проблемы математического моделирования и расчёта динамики геотермальных систем, например, фильтрационных течений воды и пара. Обе группы задач взаимосвязаны, так как расчёт динамики геотермальных систем невозможно провести без оценки размеров системы и физических Введение свойств породы, из которых она сложена. С другой стороны оценка параметров системы, её размеров и свойств, зачастую проводятся на базе экспериментальных данных при помощи решения обратных математических задач. Обычно на практике и представления о строении резервуара, и математическая модель совершенствуются в процессе разработки системы с учётом анализа полевых наблюдений [2,3]. Предлагаемая работа в первую очередь ориентирована на решение проблем корректного моделирования течений воды и пара и создание эффективных алгоритмов их расчёта. При математическом моделировании динамики геотермальных систем широко используются известные уравнения переноса в пористых средах [18,19], вывод, формулировку и обсуждение которых применительно к совместным течениям воды и пара можно найти, например, в [2,20−22]. Основная система уравнений состоит из законов сохранения массы, энергии и закона фильтрации Дарси. Имеются сопоставления результатов натурных наблюдений и расчётов течений воды и пара позволившие сделать вывод о приемлемости используемой модели [2,3,5,23]. Схожие к этой модели широко применяются при описании многофазных течений, которые имеют место при разработке углеводородных месторождений [6−8,11,12,19,24−26]. При моделировании течений воды и пара применяются два подхода. В первом, который также используется и в данной работе, основные уравнения сформулированы в терминах давления и температуры [22,27], а во втором в терминах давления и энтальпии [20,21]. Второй подход, по сравнению с первым, имеет как недостатки, например, связанные с тем, что неудобно задавать граничные условия в терминах энтальпии, но также имеет и преимущества, например, при моделировании течений воды и пара вблизи критических температур [28], где плотность и энтальпия воды и пара быстро меняются в Введение зависимости от температуры. При течении воды в геотермальном пласте могут присутствовать зоны фильтрации воды, пара и области конечной протяжённости совместной фильтрации воды и пара зоны пароводяной смеси [2,3,22,29,30]. В зонах смеси происходит постепенное превращение жидкости в пар или, наоборот, пара в жидкость. Области воды, пара и смеси.

Заключение

.

Проведено исследование процессов совместной неизотермической фильтрации жидкости и её пара с учётом фазовых переходов. Новизна работы состоит в том, что рассмотрены нелинейные эффекты в двухфазных течениях пароводяной смеси в пористой среде. Задачи фильтрации рассмотрены с учётом как конвективного, так и кондуктивного переноса тепла. Построены точные решения нелинейных задач.

Основное внимание в работе уделено исследованию фронтов фазового перехода и разрывных решений задач фильтрации воды и пара в рамках современных представлений о сильных разрывах. Проведённый анализ эволюцион-ности разрывов позволил однозначно решить вопросы, касающиеся постановки задач фильтрации воды и пара. Решена классическая одномерная задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте для уравнений смешанного и параболического типа, которыми описываются рассматриваемые процессы.

Исследование эволюционности разрывов также способствовало существенному упрощению анализа их гидродинамической устойчивости. Критерий неустойчивости разрывов сформулирован в явном виде.

Получены следующие новые результаты.

1. Показано, что, если конвективные потоки тепла преобладают над кон-дуктивными, то в приближении коротких волн уравнения фильтрации воды и пара сводятся к классическим уравнениям Баклея-Леверетта.

2. Исследованы все возможные типы разрывов между областями фильтрации воды, пара и пароводяной смеси. Предложены безразмерные переменные, которые удобны при исследовании свойств разрывов. Свойства разрывов качественно зависят только от двух параметров, в плоскости которых проведён анализ свойств фронтов. Если адиабата разрыва выпукла вниз, то внутри пароводяной смеси априорно эволюционны только фронты испарения. В предположении слабой неравновесности и стационарности структуру разрыва смесь-смесь имеют только априорно эволюционные фронты. Структуру разрыва вода (пар) — смесь имеют только априорно эволюционные разрывы и фронты Жуге. Априорно эволюционные разрывы между водой и паром могут не иметь структуру.

3. Дополнительное к законам сохранения условие Жуге на разрыве смесь-вода (пар), которое необходимо для корректной постановки задач с отмеченным фронтом, сформулировано из условия существования структуры разрыва.

4. Исследованы свойства межпластовых разрывов, то есть разрывов, образующихся на границе между пластами с разными свойствами. Для монотонно возрастающих адиабат разрыва все межпластовые разрывы смесь-смесь априорно эволюционны и имеют структуру. Если распределение параметров со стороны однофазных зон воды и пара термодинамически непротиворечиво, то межпластовые разрывы смесь-вода (пар) и вода-пар имеют структуру. Неэволюционные, но имеющие структуру разрывы представляют эволюционные слившиеся межпластовый разрыв и фронт фазового перехода, которые при действии малых возмущений приобретают различные скорости и первоначальный разрыв распадается.

5. В коротковолновом приближении предложен способ графического решения задачи о распаде произвольного разрыва в геотермальном резервуаре, состоящем из двух пластов с разными свойствами. Решение задачи зависит только от вида двух функций: адиабат разрыва в каждом из пластов. Задача решена в частном случае, когда в пласте могут присутствовать только зоны смеси и воды. Если поток смеси с высоким содержанием воды набегает на низкопроницаемый насыщенный смесью пласт, то на межпластовой границе может образоваться расширяющаяся с течением времени зона воды.

6. В полной нелинейной постановке решена классическая одномерная задача о распаде произвольного разрыва смесь-смесь в геотермальном пласте. Показано, что в случае общего положения решение задачи содержит разрывы, а непрерывное решение в пространстве параметров задачи существует только на многообразии, размерность которого на две единицы меньше размерности всего пространства. Для разных начальных параметров задачи её решения качественно различнывозможны шесть многофронтовых (до четырёх разрывов) решений задачи, с внутренними однофазными областями воды и пара и с немонотонным распределением параметров течения. В пространстве параметров задачи ограничены области с разными типами её решения. Выявлена важная роль скелета пористой породы в неизотермичеких течениях воды и пара: внутренние зоны воды и пара образуются вследствие интенсивного обмена теплом жидкости со скелетом породы.

7. С условием существования структуры разрывов решение задачи о распаде произвольного разрыва смесь-смесь при рассмотренных параметрах существует и единственно. Без учёта условия существования структуры разрывов решение задачи может быть неединственным. Приведены начальные параметры задачи, для которых существует два разных её решения с априорно эволюционными разрывами, но с фронтом без структуры в одном из решений.

8. Показано, что в фильтрационных течениях воды и пара могут присутствовать фронты фазового перехода, на которых давление имеет максимум, а также присутствовать области смеси с однородным распределением параметров течения. Построены точные решения задачи о распаде произвольного разрыва смесь-пар с отмеченными эффектами.

9. Сформулирована конечно-разностная схема расчёта фильтрационных течений воды и пара и описана структура программного кода, в котором эта схема реализована. Схема полностью неявная, консервативная и имеет первый порядок аппроксимации по пространственной и временной координате. Проведено тестирование разностной схемы на точных решениях задачи о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте. Показано, что при сгущении расчётной сетки численное решение задачи о распаде сходится к её точному решению. Выявлено, что конечно-разностная схема выделяет эволюционные решения задачи, в которых разрывы имеют структуру. В расчётах разрывы без структуры не реализуются.

10. В линейной постановке в явном виде получено достаточное условие неустойчивости фронтов фазового перехода: разрывов смесь-смесь, смесь-вода (пар), вода-пар. Фронт смесь-смесь неустойчив, если за разрывом модуль градиента давления меньше, чем перед ним. Неравновесные кондуктивные потоки тепла на фронтах смесь-вода (пар) и вода-пар способствуют стабилизации поверхности разрыва. При фиксированной слева и справа от разрыва водонасыщенности наиболее неустойчив фронт смесь-смесь.

11. В задаче об инжекции пароводяной смеси в двухмерный горизонтальный насыщенный смесью резервуар обнаружено, что вместо неустойчивых в одномерной постановке разрывов в двухмерном случае развивается зона перемешивания, в которой поверхность разрыва сильно искривлена: насыщенные водой «пальцы» проникают в область перед фронтом. Поверхность устойчивых согласно сформулированному критерию разрывов остаётся плоской. На начальном этапе развития неустойчивости протяжённость области перемешивания и характерный размер пальцев не зависят от размеров резервуара, в который происходит ин-жекция, и с течением времени растут по автомодельному закону. Вне зоны перемешивания распределение параметров течения одномерно и совпадает с распределением в автомодельном решении задачи.

12. В предлагаемой работе впервые обнаружен интересный эффект, который может быть полезным в приложении. При инжекции перегретого пара в насыщенный пароводяной смесью резервуар с меньшей температурой перед паром возможно образование внутренней области воды, отделённой от зоны пара промежуточной областью смеси. При этом внутрь пласта будут распространяться два разрыва смесь-вода, ограничивающие внутреннюю область воды. Возможны случаи, когда передний фронт неустойчив, в результате чего развивается область перемешивания, которая, однако, не дестабилизирует задний разрыв.