Актуальность темы
исследования. Проблема генезиса теоретической математики неоднократно привлекала к себе внимание исследователей. Особый интерес вопроса о происхождении математики в том, что в данном случае речь, по существу, идет не только о специальной науке, а о возникновении науки вообще, поскольку теоретическая математика, задав эталон строгости всему последующему точному знанию, фактически оказалась первой общепризнанной теоретической системой1 и идеал научности долгие столетия формировался по математическому образцу.
Имеется и еще одна, более важная причина пристального внимания к проблеме возникновения теоретической математики. Для современной математики не существует разделения на российскую математику, американскую математику, французскую математику и т. д. Когда применяют эти словосочетания, то имеют в виду лишь то, что общими проблемами единой математической науки занимаются граждане России, США, Франции и т. д. Между тем в древние времена ситуация была существенно иной. Математические знания в цивилизациях Вавилона, Египта, Индии и Китая объединял в целом практический характер, и с этой точки зрения, они представляли определенное единство. Напротив, математические знания ученых Древней Греции отличались более систематизированным и абстракт.
1 Вслед за одним из ведущих специалистов в области истории античной математики И. Г. Башмаковой в отечественной историко-научной литературе установилась традиция отождествлять теоретический характер математического знания с его доказательностью (Гайденко 77.77. Эволюция понятия науки: Становление и развитие первых научных программ. М.: Наука, 1980. С. 18). С формально-логической точки зрения, это не совсем правильно, поскольку теоретическая физика, противопоставляемая физике прикладной, не становится от этого автоматически доказательной наукой. Точно так же отсутствие ориентации на приложения при изложении того или иного раздела математики (например, кубических уравнений) не означает необходимость его изложения в дедуктивно-аксиоматическом стиле. Мы будем придерживаться устоявшейся терминологии за исключением тех случаев, когда отличие термина «теоретический» от более узкого понятия «дедуктивный» не окажется существенным для изложения. 3 ным характером. До сих пор геометрию во всем мире учат в соответствии с принципами, разработанными еще в евклидовых «Началах», а математика стран Востока представляет сегодня исключительно историко-научный интерес.
Важно и то, что современная математика считает своей прародительницей именно греческую математику, которая по всем параметрам противоположна математике стран Востока. В связи с этим выяснение и объяснение генезиса античной математики способствует более глубокому пониманию природы процессов, происходящих в современном математическом знании, рассматриваемом как часть общечеловеческой культуры.
Степень разработанности проблемы. Зарождение теоретической математики в Древней Греции описывается в классических монографиях.
9 «1.
Б.Л. Ван дер Вардена и А. Сабо. Однако первым, кто правильно поставил проблему возникновения теоретической математики с присущим ей дедуктивным способом рассуждений и предложил оригинальную идею её- решения, был А. Н. Колмогоров, в творчестве которого счастливым образом сочетались занятия математикой и интерес к истории. В известной энциклопедической статье «Математика», опубликованной в 1938 г., он связал первые попытки, систематического построения математической теории с более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. И главное здесь не в конкретном содержании гипотезы, а в том, что Колмогоров первым осознал необходимость поиска решения реконструкции генезиса теоретической математики как проблемы не внутриматематической и не абстрактно-философской, а историко-научной проблемы, которая.
2 Ван дер Вардеи Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.
3 Szabo A. Anfange der griechischen Mathematik. Budapest, 1969. 4 именно так должна ставиться и решаться. При этом подлинная причина возникновения теоретической математики оказывается определенной внешними по отношению к математике условиями.
О нетривиальности подобного подхода говорит тот факт, что более чем двадцать лет спустя А. Д. Александров в одноименной статье в философской энциклопедии привлекает более традиционный — внутриматема-тический — способ объяснения, связывающий появление теоретических способов вывода новых результатов и первых математических доказательств с накоплением математических знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач.
Тем не менее, последние полвека подход к проблеме генезиса теоретической математики, проложенный Колмогоровым, стал преобладающим. Важный вклад в решение рассматриваемой проблемы внесли работы Ж.-П. Вернана4, И.Н. Лосевой5, А.Г. Барабашева6, А.И. Зайцева7, М.К. Петрова8, В.М. Розина9, B.C. Степина10.
Среди исследователей данной проблемы, большинство которых являются представителями гуманитарного знания, возобладал подход, в соответствии с которым причины возникновения теоретической математики в Древней Греции VI—IV вв. до н.э. следует искать в отличительных особенностях эллинской цивилизации. Ищутся те или иные факторы социокультурного характера, наличествовавшие в Элладе и отсутствовавшие в цивилизациях Востока, которые и объявляются причинами возникновения теоретической математики именно в Греции. В числе специфических предпосылок, обусловивших возможность зарождения теоретической науки в.
4 Вернап Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли. М., 1988.
5 Лосева И. Н. Теоретическое знание: проблемы генезиса и различения форм. Ростов-на-Дону, 1989.
6 Барабашев А. Г. Диалектика развития математического знания. М., 1983.
7 Зайцев А. И. Культурный переворот в Древней Греции VIII—V вв. до н.э. Л., 1985.
8 Петров М. К. Искусство и наука. Пираты Эгейского моря и личность. М., 1995.
9 Розин В. М. Специфика и формирование естественных, технических и гуманитарных наук. Красноярск, 1989.
10 Степгш B.C. Теоретическое знание. Структура, историческая эволюция. М, 2000. 5.
Древней Греции, в этих работах приводятся полисный тип общественного устройства, ненаследуемость профессий, особенный характер древнегреческого языка и другие факторы.
Значительное количество различающихся точек зрения свидетельствует не только об актуальности проблемы генезиса науки, но и об определенном кризисе, назревшем в процессе её- решения. Дело в том, что все имеющиеся в распоряжении исторические сведения не связаны напрямую с поставленной проблемой и известны из вторых или третьих рук. В подобной ситуации исследователь поневоле вынужден прибегать к косвенному методу воссоздания исторической картины — реконструкции. Поскольку каждая реконструкция основывается на более или менее осознанных субъективных установках методологического характера, предопределяющих выбор тех или иных факторов, то наличие нескольких конкурирующих концепций, в равной мере не противоречащих скудному запасу исторических сведений, представляется естественным, сопутствующим решению данной проблемы обстоятельством. Вопрос, следовательно, в том, можно ли найти такой подход к реконструкции процесса возникновения теоретической математики, который исходил бы целиком из существа рассматриваемой проблемы и был бы в этом смысле объективным? Без ответа на него любой попытке реконструкции процесса возникновения древнегреческой дедуктивной геометрии так и суждено будет оставаться лишь более или менее правдоподобной гипотезой.
Предмет диссертационного исследования — воссоздание процесса возникновения теоретической математики в Древней Греции VI—IV вв. до н.э. в его взаимосвязи с развитием философского мышления в исследованиях Сократа, Платона, Аристотеля и стоиков.
Цель и задачи диссертационного исследования. Цель исследования — найти специфические факторы социокультурного характера, обусловившие возникновение теоретической математики с присущим ей аксиоматическим методом изложения материала в Греции в VI—IV вв. до н.э. и в то же время объясняющие отсутствие дедуктивной математики в древних цивилизациях Востока.
Автор ставит перед собой следующие задачи:
• Найти подход к реконструкции генезиса теоретической математики, который не опирался бы на a priori выставленные гипотезы.
• Выяснить взаимоотношение аксиоматического метода и практически ориентированных наук.,.
• Определить роль геометрии как теоретической науки о свойствах фигур и тел в формировании аксиоматического метода изложения изучаемого материала.
• Проанализировать процесс формирования идеала теоретического знания в древнегреческой математике.
• Выяснить роль софистики в формировании строгости при изложении математического знания.
• Определить степень влияния египетской геометрии на формирование греческой теоретической математики.
• Выяснить значение аксиоматического метода в современном преподавании математических дисциплин.
• Проанализировать степень эффективности аксиоматического метода в исследованиях по созданию искусственных интеллектуальных систем.
• Продемонстрировать роль древнегреческой дедуктивной математики в формировании ключевых представлений античной философии: понятий «Ума-перводвигателя», «смысла», «символа», «метафоры».
Методологическая основа исследования вытекает изего первоочередной задачи — попытки найти такой способ отыскания внешних по отношению к математике социокультурных предпосылок её- возникновения, который, в то же время, был бы внешним по отношению к истории как таковой. TaKofif способ можно взять только из анализа специфики дедуктивно-аксиоматического f метода, выделяющего его среди всех других способов систематизации научного знания.
Подобный ход мысли также можно рассматривать как «наложение» некоторой априорной рамки на историко-научный материал, что автоматически сделало бы предпринимаемую реконструкцию чувствительной к критике. Чтобы предупредить возможный упрек сама указанная методология нахождения предпосылок «дедуцируется» из наличного состояния ис-торико-научной проблемы.
Во главу исследования поставлен один-единственный факт — уникальность греческой дедуктивной математики, требующая поиска причин отсутствия аналоговое науке древневосточных цивилизаций. Анализ этого историко-научного факта и приводит последовательно сначала к обоснованию существования некоторых социокультурных предпосылок зарождения аксиоматического метода рассуждений в математике, а затем и к поиску подобных — названных формальными — предпосылок. Данная идея возникает как бы способом «от противного»: мы не имеем никаких гарантий, что в результате она позволит получить «правильную» реконструкцию, поскольку исторических фактов слишком мало, но иных вариантов достижения успеха в решении проблемы попросту нет.
Побочным продуктом такого подхода оказывается отсутствие необходимости в привлечении извне каких-либо общих методологических представлений для анализа рассматриваемого историко-научного материала. Последнее немаловажно по той причине, что формирование европейской философии, начиная! с Аристотеля, шло под активным воздействием зарождавшейся в то же время теоретической математики. Лишь отказавшись от использования современной методологии для решения рассматриваемой проблемы, удается сохранить критическую дистанцию и по отношению к доминирующим на сегодняшний день тенденциям развития теоретической математики, и по отношению к практикуемым в современной философии науки методологическим подходам в проведении конкретных историко-научных исследований. Возможно, тема настоящей диссертационной работы — единственный пример, когда подобная «методологическая» позиция оказывается оправданной и эффективной. В проблеме генезиса теоретической математики методологическую функцию в состоянии взять на себя ключевые для рассматриваемой проблемы исторические факты, имеющие инвариантный по отношению ко всякой возможной методологии характер.
Положения, выносимые на защиту, и их новизна.
1. Показано, что аксиоматический метод принципиально не может зародиться в рамках практически ориентированной системы знания. Следствием этого вывода является утверждение, что дедуктивный способ рассуждений может возникнуть только в теоретической системе знания. Это и есть первая из формальных предпосылок возникновения аксиоматического метода.
Новизна полученного результата заключается в том, что впервые теоретический характер евклидовых «Начал» осознан не как сопутствующий историческому исследованию факт, а как формальная предпосылка возникновения дедуктивного способа доказательств на основе аксиом и постулатов.
2. Аксиоматический способ рассуждений не мог появиться в качестве побочного продукта деятельности с целью, внешней по отношению к полученному результату (например, исходя из потребностей максимально компактного изложения материала в учебных целях). Преобразование науки в дедуктивную форму могло произойти только в результате последовательных целенаправленных действий по выявлению и формулированию тех простейших определений и утверждений, к которым сводятся в конечном счете все её- теоремы и предложения. Краткость изложения и доступность понимания при этом не играют первенствующей роли.
Новизна полученного результата заключается в том, что впервые на абстрактно-логическом уровне показана роль релятивистского мышления софистов как провоцирующей причины появления аксиоматического метода в качестве защитной меры.
3. Утверждается, что аксиоматический метод мог возникнуть только в теоретической геометрии, где имеется раздел о свойствах углов. Где бы и когда бы ни возник дедуктивный метод рассуждений, он, как и на земле Эллады, мог появиться только в форме постулата о параллельных прямых. Именно этот постулат, с одной стороны, обосновывает в рамках планиметрии возможность построения прямоугольника на заданном основании, а с другой стороны, вместе с ним в геометрии появляются бесконечные углы, «корректность» представления о которых может быть обеспечена лишь заменой реальных предметных действий построениями, осуществляемыми в человеческом воображении.
Новизна полученного результата заключается в том, что благодаря ему выявлена действительно фундаментальная роль геометрии в возникновении и развитии аксиоматического метода, место и значение которой с объективной точки зрения нисколько не уменьшилось даже после объявления Бурбаки данного метода основой для построения всего математического знания.
4. Показано, что превращение прикладных геометрических знаний египтян в теоретическую геометрию произошло не в головах греческих геометров, а в теле древнегреческой цивилизации. Если для египтян выполняемые на плане пирамиды построения были подчинены процессу её- сооружения, то для греков, не возводивших подобных конструкций, свойства данных построений поневоле оказывались «знанием ради знания». Созерцательное рассмотрение достижений египетского землемерного искусства — единственно возможный способ усвоения мудрости древнейшего из народов молодой эллинской цивилизацией.
Новизна полученного результата заключается в демонстрации ограниченности классической теории абстракции Аристотеля с точки зрения социокультурного подхода. Абстракции геометрических фигур возникают не как следствие определенной онтологии — способности души воспринимать форму тела без его материи. В действительности процесс формирования геометрических абстракций в эллинской геометрии имел гораздо более сложную природу. Сначала геометрия должна была превратиться из измерительного искусства в теоретическую науку, изучающую свойства фигур не ради какого-либо практического дела, а исключительно ради них самих. И лишь затем уже на этой основе сознательные усилия ученых, вызванные потребностями общественной жизни, могли привести к возникновению соответствующих представлений о невещественных геометрических объектах.
5. Превращение эллинской теоретической геометрии в дедуктивную науку было неизбежным в конкретных исторических условиях кризиса античного полиса. Вместе с тем, само наличие геометрического искусства как «знания ради знания» в Древней Греции не связано с особенностями её- политического устройства и объясняется сравнительно низким техническим уровнем эллинской цивилизации, несопоставимым с техническим уровнем Египта времен Древнего Царства, достигнутым за две с лишним тысячи лет до времени возникновения и расцвета греческой науки.
Новизна полученного результата заключается в пересмотре имеющегося взгляда на современную математику как на единственно возможную форму математического знания, отвечающего его «природе» и не зависящего от конкретно-исторических условий его возникновения. В действительности, именно недостаток «знания» математики о себе самой и условиях своего возникновения делает её- особенно уязвимой для критики со стороны других наук (например, философии науки или физики).
6. Продемонстрирована неэффективность аксиоматического метода в качестве инструмента решения важнейшей педагогической задачи — овладения искусством самостоятельно мыслить в процессе обучения математике. Эта задача была сознательно поставлена Ж. Дьедонне при пересмотре содержания курса геометрии во Франции в 60-х гг. прошлого столетия и переводе его с языка евклидовой традиции на язык линейной алгебры.
Новизна полученного результата заключается в демонстрации преимуществ классического курса геометрии с точки зрения получения среднего образования перед «модернистским» его изложением на основе идей линейной алгебры. Особая ценность классического курса с точки зрения развития мышления учащихся заключается в том, что геометрия благодаря наглядности как никакой другой школьный предмет способствует развитию умения находить опосредствующие звенья между областью наличного знания и тем, что предстоит найти.
7. Показана невозможность создания искусственного интеллекта до тех пор, пока не будут найдены технические возможности моделирования способности естественного интеллекта производить операцию целенаправленного отбора имеющихся в интеллектуальной системе сведений в соответствии с предъявляемой для решения системе задачей.
Новизна полученного результата заключается в отыскании одной из многих способностей человеческого мышления, отсутствие подходов к технической реализации которой сводит на нет в настоящее время все попытки создания эффективно работающих интеллектуальных систем. Эта способность играет важнейшую роль в процессе создания нового знания, но не развивается при обучении математике на основе идей аксиоматического метода. Слабости аксиоматического метода в качестве способа получения нового знания объясняют его неэффективность и как метода решения задач «искусственного интеллекта».
8. Показана роль дедуктивной математики в формировании в античной философии представлений об идеальных объектах и таких её- понятий, как «смысл», «символ», «метафора».
Новизна полученного результата заключается в демонстрации социокультурной детерминированности наряду с дедуктивной математикой также и ряда важных понятий западной философии, представляющихся, на первый взгляд, неотъемлемыми инструментами философского мышления.
Научно-теоретическая и практическая значимость исследования. Выводы диссертации определяют новую интерпретацию проблемы генезиса математики, что может стать отправным пунктом для последующих ис-торико-научных исследований. Результаты работы могут быть использованы также в исследованиях по философии науки, философской компаративистике, а также в преподавании математики и написании учебных пособий по математике для студентов технических и гуманитарных специальностей. Материалы диссертации могут стать теоретической основой для разработки специальных курсов по философии математики.
Выводы авторов этой работы, как будто противоречат рассуждениям предыдущего параграфа. Действительно, здесь построение алгоритма происходит не на основе его готовой схемы, а сама схема как бы достраивается на наших глазах путем преобразования негативной информации, связанной с неудачами в попытках доказательства корректности спецификации проблемы, в информацию позитивного характера. Не указывает ли это на пробелы рассуждения, основывающегося на копировании действий интеллектуальной системы при помощи ДИ?
Степень общности рассуждений предыдущего параграфа такова, что делает необязательным рассмотрение деталей конструирования алгоритма сортировки, описанного в указанной работе. Достаточно лишь отметить, что основной нетривиальный момент в рассматриваемом подходе заключается в преобразовании негативной информации (неудача в доказательстве корректности спецификации) в позитивную (добавление дополнительных аксиом чисто формальным способом, пополняющим наличные аксиомы новой аксиомой, совпадающей по форме с недоказанной промежуточной целью). Это достигается за счет того, что отрицание понимается авторами «внутренним образом» — как альтернатива в схеме рекурсии. Поэтому «самообучаемая"119 часть алгоритмического синтеза в действительности оказывается фиктивной: для получения в явном виде полной схемы решения задачи к числу аксиом следует просто добавить правые части спецификаций рекурсивных алгоритмов, хранящихся в библиотеке схем алгоритмов.
Создание все более и более удобного для пользователя «дружественного интерфейса», в которые облачаются «умные компьютерные программы», можно только приветствовать, но это ни йоту не приближает к цели, которая вдохновляла многих пионеров ИИ — созданию таких интеллектуальных систем, которые могли снять с человека хотя бы часть его творческих забот, связанных не с копированием старого, а с созданием действительно нового, доселе не существовавшего в совокупной человеческой культуре. А может быть, это не так уж и необходимо, и лучше оставить машине — «машинное», а человеку — «человеческое»? В свете того, что математику не обязательно рассматривать как естественное хранилище доказанных при помощи аксиоматического метода утверждений, эта мысль не выглядит совсем уж неуместной.
На этом рассмотрение аксиоматического метода в аспектах его прошлого, настоящего и будущего существования подошло к концу. Главный его вывод, пожалуй, в том, что математика, вопреки Аристотелю, как и все остальное в нашем мире ограничена историческим горизонтом. То обстоятельство, что горизонт этот едва просматривается в дымке Истории, не отменяет всеобщности не менее давней истины: «Все течет, все изме.
Buchberger В., Craciun A. Algorithm Synthesis by Lazy Thinking: Using Problem Schemes // Proceedings of SYNASC 2004, 6th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing. P. 90−91.
119 По идее — самая интересная, так как именно здесь имеется заявка на попытку компьютера сделать самостоятельно то, о чем заранее не побеспокоился конструктор интеллектуальной системы. В языке Пролог, использующем логику предикатов первого порядка с обычными переменными, с преобразованием негативной информацией в позитивную так просто справиться не удается, что и приводит к утрате им «чистой декларативности». няется". И если это действительно так, то и математике настало время снять с себя царственный венок Вечности, примеренный ею двадцать пять веков назад. Осознание этой древнейшей наукой своего действительного места в совокупной мировой культуре не должно принести вреда ни математику-профессионалу, ни использующему её- методы в других научных дисциплинах. А для человека, который вообще никогда не планирует применять математику в своей творческой деятельности, знание и понимание реальной пользы математического знания будет естественной частью общечеловеческой культуры, помогающей с уважением относится к труду тех, чьи достижения никак не пересекаются с его личными профессиональными интересами. И компьютерам, наверное, лучше все же оставаться помощниками людей в их разнообразных делах. Стремление же поменять местами машину и человека должно сохраниться в памяти как дерзкая мечта120, без которой едва ли могла зажечься заря новой компьютерной эры.
120Bledsoe W.W. I Had a Dream: AAAI Presidential Address, 19 August 1985 // AI Magazine. 1986. V. 7. № 1. P. 57−61.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Ответ на вопрос о причинах появления теоретической математики с присущим ей дедуктивным методом получен, и в этом смысле исследование может считаться завершенным. Процесс абстрагирования, в результате которого в эллинской математике стали изучать треугольники, четырехугольники и окружности «сами по себе», произошел не в головах греческих геометров, а в гораздо большем организме — теле древнегреческой цивилизации. Если для египтян свойства построенных на плане пирамиды линий не имели самостоятельного значения, будучи подчиненными реальному процессу возведения сооружения, то для греков, не возводивших подобных конструкций, эти свойства оказывались исключительно «знанием ради знания». Абстрагирование от практики и переход к созерцательному рассмотрению достижений египетского землемерного искусства.
— единственно возможный способ усвоения мудрости древнейшего из народов молодой, энергично развивающейся цивилизацией.
Забвение собственных исторических корней лишило греческую геометрию возможности отстаивать под напором критики софистов истинность своих утверждений при помощи аргументов «от практики». Если для египетского геометра верность утверждения о возможности построения квадрата на заданном основании могла быть продемонстрирована указанием на построенную симметричную пирамиду, то грек-теоретик, вынужденный обходиться планиметрическими аргументами, не смог бы этого сделать иначе, как потребовав выполнение постулата о параллельных линиях. С этим постулатом в геометрию врывается бесконечность, и она из учения о свойствах построенных на земле чертежей неизбежно превращается в науку о существующих лишь в воображении — идеальных.
— объектах, каковой она и продолжает оставаться до настоящего времени. Отсутствие идеальных объектов в геометрии Вавилона, Индии и Китая объясняется ненужностью изучения свойств углов в цивилизациях, не проявлявших интереса к возведению построек в форме полных пирамид.
Никаких иных причин отсутствия аксиоматического метода в восточной математике не существует. Поставить под сомнение это выглядящее чересчур категоричным утверждение можно только одним способом: проверить весь ход рассуждений с начала до конца.
Попытка ответа на вопрос о причинах отсутствия аксиоматического метода в математике всех древних цивилизаций Востока приводит к выводу, что причины эти лежат не внутри, а вне математики, т. е. в конкретно-исторических обстоятельствах жизни целых народов. В то же время поиск каких-либо специфических особенностей эллинской цивилизации наподобие демократического устройства городов-полисов или пристрастия греков к состязаниям в различных сферах человеческой деятельности, способствовавших взрыву интеллектуальной активности в VI — IV вв. до н. э., может привести к формулировке лишь более или менее правдоподобных гипотез. Гипотезу же, как известно, можно лишь опровергнуть, но доказать со стопроцентной уверенностью никогда нельзя.
Обойтись без гипотез в вопросе возникновения аксиоматического метода можно попытаться лишь единственным способом, начав исследование с анализа используемых в научном знании приемов логического вывода из принятых без доказательства начальных основоположений. Так как исследуемая проблема относится не к математике, а к истории этой науки, то и сам аксиоматический метод приходится рассматривать не в виде полученных на его основе результатов (так он изучается в математической логике), а как производимую людьми целесообразную деятельность особого рода. Эта деятельность весьма необычна с точки зрения так называемого «здравого смысла» и настолько отличается от приемов рассуждений в физике, психологии или истории, что проведенный анализ дает возможность локализовать место её- зарождения одной единственной областью теоретического знания — разделом планиметрии, изучающей свойства углов. А этого вывода, найденного посредством одних только логических рассуждений, вкупе с имеющимися историческими сведениями уже достаточно, чтобы получить ответ на поставленный вопрос.
Хотя рассматриваемая проблема может рассматриваться и с абстрактно-научной точки зрения, основной её- интерес и актуальность связаны с преподаванием математики. Об авторитете математики говорит тот факт, что Б. Паскаль в свое время рассматривал «геометрический метод» как образец для рассуждений во всех областях знания. Эта идея и сегодня имеет немало сторонников, отстаивающих первостепенную роль математических дисциплин для полноценного школьного образования независимо от будущей профессии. Верен или не верен подобный подход — зависит не от личных пристрастий и пожеланий, а исключительно от объективной роли дедуктивного способа рассуждений в ряду наук и, более общо, во всей системе человеческой деятельности. А роль эта довольно-таки специфическая.
Паскаль отмечал, что геометрия преуспела как в искусстве открытия новых, так и в доказательстве уже найденных истин, однако геометрический метод в качестве образца он привлекал только для задач второго рода. С необходимостью, как показано при анализе формальных предпосылок аксиоматического метода, такого рода задачи возникают лишь при защите предложений геометрии от софистического релятивизма, суть которого сводится к тезису: «У каждого — истина своя».
С тем, что любая наука как-то должна справляться с настроениями подобного рода, спорить не приходится. Но все дело в том, что «геометрический метод» в состоянии этого добиться только в самой же геометрии. В других же науках первостепенное значение имеет умение обращаться с фактами, среди аксиом и постулатов не содержащимися и из них логически не вытекающими. Эти факты требуется находить в самой действительности и восполнять ими нехватку «аксиоматической» части фундамента научной теории. А вот этому геометрия не учит и учить не может, поскольку она в подобного рода искусстве при изложении своих теорем потребности не испытывает. Последнее означает, что проблема приоритетов в школьном образовании в соответствии с ролью и значением различных дисциплин не должна решаться на основе одной лишь традиции, которая, как мы стремились показать, далеко не безусловна и не бесспорна. Каждая наука хороша в своем роде, но этот род должен быть для любой из них точно определен. Даже применительно к ней самой подобная задача в компетенцию математики не входит.
Именно так оборачивается для теоретической математики непрояс-ненность условий её- собственного исторического возникновения в «аспекте настоящего». В «аспекте будущего» она проявляется как завышенные ожидания касательно успехов «искусственного интеллекта».
Теоретическую математику и ИИ объединяет представление об особом характере аксиоматического метода, при этом успехи, достигнутые математикой за многие столетия её- развития, оказываются как бы авансом будущих достижений в области «интеллектуализации» компьютеров. Нельзя, однако, забывать, что логическая дедукция играет в данных областях исследования принципиально различную роль. В математике вывод теорем из аксиом знаменует заключительную фазу исследования, когда полученные с помощью совершенно иных мыслительных приемов (включающих обязательно и интуицию ученого) результаты излагаются способом, максимально приспособленным к проверке отсутствия пробелов в рассуждениях. В ИИ дедукция фактически оказывается способом открытия нужных результатов.
Само по себе автоматическое получение новых теорем в формальной дедуктивной теории совсем не сложно. Но ИИ, будучи ориентирован на решение практически полезных задач, должен уметь доказывать не какие-то более или менее случайные теоремы, а ту одну единственную, в доказательстве которой должно быть закодировано решение поставленной перед интеллектуальной системой проблемы. Доказываемая теорема служит как бы «целью» работы интеллектуальной системы. Если бы эту теорему доказывал человек, то для него она была бы настоящей целью, в соответствии с которой он строит свою деятельность и, в частности, производит целенаправленный отбор сведений, действительно необходимых для решения задачи. Процесс отбора человеком релевантных задаче знаний является сугубо неформальным, поскольку в практической деятельности впервые выдвинутая цель всегда является внешней по отношению к находящимся в голове человека знаниям и потому не может быть достигнута сразу, непосредственным образом. Как минимум, требуется комбинирование наличных сведений, а следовательно и их целенаправленный отбор. Отбор этот осуществляется человеком путем сравнения имеющихся у него сведений с поступившей к нему извне целью, и подобное сравнение всегда осуществляется содержательным, а не формальным образом, поскольку формальное сравнение путем сличения знаков никогда их готовую комбинацию, пригодную для решения новой задачи, в голове не обнаружит. В диссертации показано, что человек (например, конструктор интеллектуальной системы), запретивший себе использовать операцию целенаправленного отбора сведений, подобно компьютеру, сможет предъявить решение задачи лишь в случае, если её- решение, в той или иной форме, уже было ему известно заранее. А отсюда следует, что без научения машин искусству целенаправленного отбора сведений нечего и надеяться на создание эффективно действующих интеллектуальных систем.
Анализ возникновения теоретической математики в древнегреческой цивилизации показал, что открытый в ней новый способ построения знания оказал существенное воздействие на развитие древнегреческой философии. Так, казалось бы, сугубо историко-научная по своему происхождению проблема оказалась в то же время и проблемой историко-философского характера. В диссертации показано, что в преобразовании учения о телесных эйдосах Платона в бестелесные идеи Аристотеля определяющую роль сыграла как раз незадолго до того возникшая дедуктивная геометрия с её- постулатами и аксиомами. Именно геометрия дала толчок Стагириту для создания учения о мыслящем самого себя бестелесном Уме-перводвигателе, в который он и поместил находившиеся у Платона в Занебесье хотя и вечные, но все же телесные эйдосы.
Геометрия же привела и к возникновению представления о бестелесном «лектон» у стоиков, которые отказались от учения платоников и перипатетиков об эйдосах. Учение о «лектон» позволило стоикам придать логическому учению форму, гораздо более близкую современной формальной логике, нежели пионерские исследования законов мышления Аристотелем.
Тем самым мы имеем право утверждать, что благодаря лучшему пониманию процесса зарождения теоретической математики можно более глубоко понять логику развития древнегреческой философской мысли в тех её- аспектах, которые оказались тесно связанными с развитием современной ей геометрии и арифметики. Можно даже выдвинуть гипотезу, что именно математика позволила — благодаря созданию существующих только в человеческом мышлении идеальных математических объектовзначительно раздвинуть поле древнегреческого (а тем самым, и вообще западного) философского мышления, на что оказалась неспособной философская мысль Индии и Китая, где геометрия по объективным основаниям не могла быть преобразована в дедуктивную науку. Тем самым социокультурная философия науки может поставить новые вопросы в области философской компаративистики, ставя под сомнение возможность чересчур сильного сближения учений европейских философов и философов Индии и Китая, ввиду невозможности последними заимствования техники оперирования идеальными мысленными образами из их собственной математики.
Еще одно возможное поле применения результатов диссертационной работы — анализ возможности эффективного использования количественных методов в антикризисном управлении. В классическом менеджменте, где управление осуществляется в условиях экономической и политической стабильности, применяются различные математические методы, правомерность использования которых гарантирована предшествующей управленческой практикой в сходных условиях. Ситуации стабильного развития легче поддаются классификации, что предоставляет возможность предварительного отбора математических моделей, ранее уже успешно себя зарекомендовавших. Даже при отсутствии подобных моделей менеджер обладает достаточным ресурсом времени для «отладки» новой или недостаточно проработанной «старой» модели, когда путем «ограниченного эксперимента» проверяется приемлемость для данных конкретных обстоятельств принятых общих идеализаций и допущений. Чрезвычайные ситуации гораздо хуже поддаются классифицирующим обобщениям, а возможность «экспериментирования» с целью выбора подходящей модели нельзя даже всерьез рассматривать — слишком велика цена ошибки. Приходится оставить и идею имитационного моделирования, «проигрывающего» различные варианты развития событий (и использующего, в случае необходимости, различные модели их описания), для которого в условиях кризиса нет ни времени, ни средств.
В антикризисном управлении, таким образом, налицо положение, когда стандартный способ применения математических методов, успешно работающий в естественных науках и при описании стабильно развивающихся экономических процессов, не срабатывает, причем не срабатывает именно из-за специфики предметной области, «сопротивляющейся» самой возможности «укладывания» многообразных уникальных ситуаций кризисного характера в жесткие рамки готовых математических форм. Когда характер динамики развития чрезвычайной ситуации в существенной степени оказывается зависящим от принятых предшествующих решений, ни на какое единообразное математическое описание кризисной фазы управляемого процесса рассчитывать не приходится. В то же время ясно, что совсем без математических методов в процессе преодоления кризисных явлений никак не обойтись, поскольку именно в оптимизации соотношения количественных характеристик управляемого процесса и лежит ключ к успеху.
Для того чтобы составить самое общее представление о характере возможного применения математических методов «идеальным специалистом по антикризисному управлению», следует более внимательно проанализировать способ его действий в типичной ситуации.
Всякий специалист, претендующий на успех в конкретной чрезвычайной ситуации, должен сначала идентифицировать её- именно как кризисную в противоположность ситуации стабильного развития, в которой система должна находиться в нормальном состоянии и достижение которой он будет рассматривать как основную цель своей деятельности. Это дает возможность выявить соответствующие специфические признаки, т. е. зафиксировать качественную определенность управляемого процесса. Легко видеть, что качественная определенность стабильного конечного состояния управляемого процесса должна отличаться от качественной определенности исходного кризисного состояния, т. е. ищущий выход из кризиса должен перейти от одного «качества» к иному «качеству». Средством же качественного изменения состояния системы у него может быть только количественное изменение существенных параметров.
Главная трудность в практической реализации описанной абстрактной схемы заключается как раз в выборе подобных «существенных параметров». Математика сама по себе не в состоянии отделить существенные количественные параметры, определяющие на деле развитие управляемого процесса, от несущественных. Объясняется это тем, что изменение существенных параметров может привести к изменению качественного состояния процесса, в то время как изменение несущественных параметров ни к каким качественным изменениям не приводит. Так как предметом математики являются количественные отношения, а качественную определенность должны фиксировать другие — содержательные (типа физики или экономики) — науки, то и получается, что достичь успеха в определении существенных параметров одна математика не в состоянии. И если в технических науках, а также в традиционном менеджменте повторяемость (воспроизводимость) ситуаций позволяет опереться на прошедший успешный опыт, закрепленный в соответствующих моделях, то в антикризисном управлении идеология математического моделирования должна во многом измениться.
Если своеобразие чрезвычайной ситуации и сопутствующий ей дефицит времени не позволяют идти проторенным путем адаптации известных моделей, то остается рассчитывать на отыскание таких приемов математического моделирования, которые заранее исключали бы возможность усугубления кризисных явлений в случае их применения. Иными словами, необходим содержательный математический инструментарий, который с самого начала опирался бы на анализ качественной специфики кризисной ситуации и предлагал бы модели, не внешним образом накладываемые на неё-, а количественным образом уточняющие её- предварительное понимание. Значительный формализм в преподавании математических дисциплин, затрудняющий не только их усвоение, но и последующее применение в управленческой деятельности, как следует из результатов диссертации, объясняется не природой математики как таковой, а многовековыми конкретно-историческими условиями её- развития и сложившимися в соответствии с этими условиями традициями её- преподавания.
Нет ничего удивительного в том, что фактическая ориентация в преподавании математики студентам технических и экономических специальностей на древнегреческий образец облегчает усвоение ими теоретической части её- аппарата, но мало что дает для умения строить математические модели. По этой причине математическое моделирование и остается скорее искусством, нежели наукой. Особый характер антикризисного управления заключается в том, что в нем существует объективный запрос на обучение каждого будущего специалиста умению строить в ограниченные сроки полезные математические модели, способствующие успешному разрешению чрезвычайной ситуации.
Существует только один способ рассматривать количественные характеристики управляемого объекта как уточнение его качественной определенности, когда качество и количество понимаются как категории. При помощи категорий описываются как процессы, протекающие в мышлении, так и процессы, происходящие в окружающем мире (например, описание процесса возникновения теоретической математики под воздействием внешних по отношению к науке причин). Первым на исключительную роль категорий в процессе реально осуществляемого мышления указал И. Кант, определив их в «Критике чистого разума» как условия возможности опыта, вследствие чего мышление о предметах возможно не иначе, как с помощью категорий. Именно категории являются «точками совпадения» мышления и бытия, благодаря чему только и возможен успех в научном предсказании явлений действительности. Лишь при категориальном понимании количественных методов и можно надеяться на успех математического моделирования без «предварительной отладки» построенной модели. В частности, только такое понимание способно гарантировать успешное применение какой-либо известной модели математической экономики или менеджмента в новой, чрезвычайной ситуации. Не исключено, что в XXI веке, когда в связи с исчерпанием природных ресурсов число кризисных ситуаций будет только нарастать, разработка принципов количественного анализа кризисных ситуаций стала бы наиболее актуальным применением идей, представленных в данной диссертационной работе.