Групповые свойства разрешимых алгебраических групп

Диссертация посвящена теории алгебраических групп над полями определения нулевой характеристики. Во введении укажем место этой теории в современной теории групп.

Само зарождение теории групп связано с изучением классических линейных групп — групп матриц с коэффициентами из некоторого кольца. Групповое строение классических групп — до сих пор актуальная тема исследований [23]. Алгебраическая группа — такая подгруппа общей группы матриц элементы которой выделяются некоторыми алгебраическими уравнениями.

Возникновение понятия алгебраической группы связано с теорией дифференциальных уравнений. В начале этого века Ш. Э. Пикар и Э.П. Ж. Вессио изучили возможность интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в квадратурах. Для таких уравнений им удалось построить теорию параллельную теории Галуа алгебраических уравнений.

Как и в теории Галуа в теории Пикара — Вессио по произвольному дифференциальному уравнению определяется группа инвариантных преобразований уравнения. Такая группа оказывается алгебраической группой. А разрешимость уравнения в квадратурах равносильна разрешимости этой группы [10].

Важное место в этой теории занимает теорема Ли — Колчи-на о триангулируемости разрешимых алгебраических групп. Она утверждает, что разрешимая алгебраическая группа является подгруппой треугольной группы.

Законченный вид теория алгебраических групп над алгебраически замкнутыми полями определения получила в работах К. Шевалле и А. Бореля середины этого века. Произвольная алгебраическая группа обладает разрешимым радикалом гсм10. Радикал — разрешимая алгебраическая подгруппа, а фактор 0/гайО образует полупростую группу. Так что исследование произвольной алгебраической группы сводится к исследованию некоторой разрешимой группы и полупростой группы. Основным инструментом изучения алгебраических групп служит понятие тора и унипотентной части (унипотентного радикала) таких групп. Торы представляют алгебраические группы изоморфные прямому произведению мультипликативных групп поля определения.

Строение разрешимых алгебраических групп было установлено в начале пятидесятых в работах М.Розенлихта. Такая группа представляется полупрямым произведением любого максимального тора на унипотентную часть.

К началу шестидесятых исследование строения полупростых групп над алгебраически замкнутыми полями тоже было в основном завершено. Было показано, что любая такая группа представляется почти прямым произведением (в котором слагаемые пересекаются конечным образом) простых алгебраических групп. Было получено описание простых алгебраических групп [43]. Основная особенность этих исследований — их независимость от поля определения. Реально на строение алгебраической группы в случае алгебраически замкнутого поля определения влияет только характеристика этого поля.

Поскольку алгебраическая группа представляет аффинное алгебраическое многообразие, то в любой период исследований подход к изучению таких групп использует развитые к этому моменту алгебро — геометричесие методы. Дальнейшее развитие теории алгебраических групп (и алгебраической геометрии в целом) связано с изучением алгебраических групп над незамкнутыми полями определения. Необходимой основой такого изучения служит теория групповых схем А. Гротендика, созданная в шестидесятые. Современный подход состоит в рассмотрении алгебраической группы О как представимого функтора на категории полей. Произвольному полю К ставится в соответствие группа точек О (К) (см.

введение

в книге [4]). Именно такой подход используется автором диссертации.

Для незамкнутых полей строение алгебраических групп существенно зависит от поля определения. К концу шестидесятых стало понятно, что перенос ранее полученных результатов на этот случай возможен только для расщепимых алгебраических групп. Проблемы возникают из-за достаточно сложной связи с полем определения строения торов таких групп. Бели же максимальный тор алгебраической группы всё ещё представляет прямое произведение мультипликативных групп поля определения, то такой тор и сама алгебраическая группа называются расщепимыми группами.

Если алгебраическая группа изотропна, то есть она обладает каким-нибудь расщепимым тором (не обязательно максимальным), то всё ещё возможно получение некоторой информации из предыдущих результатов. Однако анизотропные группы, у которых вообще нет расщепимых под торов, требуют специальных подходов для их исследования.

Исследования диссертации относятся к проблеме теоретико-группового описания групп точек разрешимых алгебраических групп. В случае классических линейных групп, то есть простых алгебраических групп класических типов, это старая хорошо изученная проблема [7].

Раоцепимые простые группы — группы Шевалле. Групповое описание групп Шевалле в терминах порождающих и соотношений известно [39]. Из этого описания легко получить групповую характеризацию унипотентных подгрупп таких групп, а также их подгрупп Бореля — максимальных разрешимых алгебраических подгрупп. В настоящее время О. В. Белеградеком приведено групповое описание унипотен-тых частей простых групп типа Ап даже для ассоциативного кольца определения [47]. Однако в целом класс точек унипотентных групп и класс точек разрешимых алгебраических групп не был описан. Данная диссертация заполняет этот пробел для разрешимых алгебраических групп определённых над полем характеристики нуль.

Следует обратить внимание на работы В.Н.Ремесленни-кова и А. Г. Мясникова по исследованию билинейных отображений итоги которых подведены в статье [18]. Эти работы вдохновили автора на исследование точек унипотентных групп. В данной работе автор в теоремах 6 и 7 устанавливает теоретико-групповое описание класса групп точек унипотентных групп над полем определения нулевой характеристики. В отличие от указанных подход автора основан на использовании иных когомологический методов исследования.

В теореме 8 характеризуются точки прямо неразложимых унипотентных групп. В теореме 15 описываются группы точек всех разрешимых алгебраических групп с конечным центром без каких-либо ограничений типа изотропности.

Автоморфизмы классических групп — старая область исследований. Для унипотентных подгрупп групп Шевалле в работах В. М. Левчука описаны группы автоморфизмов таких групп даже для ассоциативных колец с единицей [15]. В случае же произвольных алгебраических групп классическим направлением исследования служит изучение классов изоморфных групп точек таких групп. В частности, таким является изучение вопроса об изоморфности алгебраических групп имеющих изоморфные группы точек.

Начало таким исследованиям положено в статье А. Бореля и Ж. Титса [48] 1973 года. В этой статье показано, что в случае простых изотропных алгебраических групп над произвольным бесконечным полем определения из изоморфности групп точек следует изоморфизм алгебраических групп. Кроме того, изоморфизм групп точек таких групп является в определённом смысле стандартным.

Эта работа вызвала целую серию исследований по строению абстрактных изоморфизмов классических простых групп. Обзор полученных в семидесятые годы результатов см. [50].

Исследование изоморфизмов общих и специальных линейных групп было завершено в восьмидесятые. И.3.Голубчиком и А. В. Михалёвым получено описание изоморфизмов общих линейных групп даже для произвольных ассоциативных колец [5]. Впоследствии строение гомоморфизмов групп других классических типов изучалось учениками А. В. Михалёва.

Простые алгебраические группы почти прямо неразложимы, центр такой группы конечен, а система корней неприво-дима. В 1975 году А. А. Шаромет делает попытку установить аналогичные результаты для класса разрешимых алгебраических групп [45]. Он показал, что при названных выше условиях любой изоморфизм групп точек расщепимых разрешимых алгебраических групп является стандартным.

В кандидатской диссертации автора защищенной в 1987 году были рассмотрены разрешимые расщепимые группы над полем определения нулевой характеристики. Результаты А. А. Шаромета были обобщены на разрешимые группы без условия неприводимости системы корней. В теореме требовалась только почти прямая неразложимость алгебраической группы и сохранение полупростоты при некотором изоморфизме групп точек. В случае же поля определения алгебраических чисел для получения результата оказалось достаточно только конечности центра разрешимой алгебраической группы и её почти прямой неразложимости.

В заключительном разделе предлагаемой диссертации автор устранил из условий этих теорем требование разложимости и установил (см. теорему 16),'что изоморфизм групп точек любых разрешимых почти прямо неразложимых алгебраических групп с тривиальным центром является полуалгебраическим если он сохраняет свойство полупростоты элементов. В частности, такой изоморфизм групп с конечным центром является стандартным. В последней теореме диссертации — теореме 17 по сути устанавливается, что любой изоморфизм групп точек разрешимых алгебраических групп с конечным центром определённых над полями алгебраических чисел является стандартным. Таким образом работа завершает исследование групп точек разрешимых алгебраических групп с конечным центром над полями алгебраических чисел.

За прошедшее десятилетие автор разработал оригинальный метод исследования строения алгебраических групп. Авторский подход к изучению групп точек выбранного класса алгебраических групп состоит в начальном изучении групп точек минимальных групп данного класса. А затем, в перенесении полученных результатов на произвольные алгебраические группы этого класса.

В случае разрешимых алгебраических групп с конечным центром без условия расщепимости соответствующий класс минимальных групп имеет достаточно сложное строение. Для случая поля определения нулевой характеристики автор полностью исследует этот класс в третьем разделе диссертации. В случае поля ненулевой характеристики исследование такого класса было открытой проблемой. Препятствием служил поставленый автором в [13] вопрос 11.79. Положитель.

V V 1 ныи ответ на этот вопрос заключен во второй части работы. Первая часть работы отведена для изучения унипотент-ных групп, а в последнем четвёртом разделе установлены все основные результаты диссертации.

Полученные в диссертации результаты имеют и самостоятельный интерес. Выше были указаны только некоторые из возможных применений. Приступим к подробному описанию разделов работы и полученных в них результатов.

Первая глава отведена изучению групп точек унипотент-ных алгебраических групп над полем определения нулевой характеристики. Эти группы — в точности конечнопорож-дённые степенные группы. Такие группы нильпотентны не имеют кручения и делимы. Поэтому можно использовать формулу Кемпбелла — Хаусдорфа и определить на такой группе структуру кольца Ли.

Структура алгебраической группы и степенной группы определяется структурой конечномерной алгебры на этом кольце Ли. Так что этот раздел отведён выделению свойств «конечномерности» колец, нильпотентных делимых групп — при которых эти объекты наделяются структурой конечномерной алгебры, степенной группы.

В первом разделе этой главы изучается введённый Н. Дже-кобсоном в [6] функтор центроида Г в категории произвольных (не обязательно ассоциативных, возможно без единицы) колец. С его использованием на языке теории колец получена характеристика конечномерных алгебр, прямо неразложимых конечномерных алгебр. Приведём некоторые определения.

Произвольное кольцо называется алгеброй, если в кольце эндоморфизмов аддитивной группы этого кольца найдётся такое поле, относительно действия которого кольцо служит алгеброй. Кольцо называется конечномерной алгеброй, если такое поле можно подобрать так, чтобы соответствующая алгебра была конечномерной.

Кольцо V называется правильным, если его аннулятор содержится в квадрате АппУ С V2.

Центроид Г (V) произвольного кольца У обладает аннулирующим идеалом А (У) фактор по которому Т (У)/А (У) образует коммутативное кольцо.

Теорема 1. Произвольное кольцо У нулевой характеристики конечномерно тогда и только тогда когда выполнены следующие условия:

1)центроид Г (У) содержит поле рациональных чисел,.

2)фактор Т (У)/А (У) — конечномерная алгебра,.

3) фактор-кольцо У ¡-АппУконечнопорожденный Г (У)/А (У)-модуль,.

4)если кольцо не является правильным, то мощность фактора У/У2 совпадает с мощностью АппУ/АппУ П У2.

Кроме того, каждому полю скаляров фактора Т (У)/А (У) отвечает некоторое поле скаляров кольца У.

Фактор центроида Т (У)/А (У) служит аналогом функтора эндоморфизмов модуля для категории конечномерных алгебр. Выполняется аналог теоремы Фиттинга о неразложимых модулях для алгебр и фактора центроида.

Теорема 2. Пусть У алгебра с ненулевым умножением.

Тогда если У правильная алгебра и Г (У)/Л (У) локальное кольцо, то У прямо неразложима.

Наоборот, если У конечномерная алгебра и У прямо неразложима, то она правильная алгебра и кольцо Т (У)/А (У) локальное.

Этот результат указывает на важность исследования полей скаляров коммутативных локальных колец.

Поля представителей локального кольца служат максимальными полями скаляров. Отмечаются условия при которых локальное кольцо имеет единственное поле представителей. Затем этот (по видимому известный) результат применяется к полям скаляров произвольных конечномерных алгебр.

Алгебру У называем жёсткой если фактор ее центроида Г (У)/А (У) является полем.

Два поля скаляров К и Ь называются подобными, если их действия на фактор-кольце У/АппУ одинаковы. Подробнее, поля скаляров К и Ь подобны, если найдётся такой изоморфизм полей ф: К Ь для которого при любых, а € 6 У выполняется включение ф (а)у — ау? АппУ.

Если У. алгебра с нулевым умножением У — АппУ, то У/АппУ = 0 и все поля скаляров подобны. Так что введённое понятие содержательно только для алгебр с ненулевым умножением.

Кроме того, легко видеть, что и в случае жёсткой алгебры все поля скаляров подобны. Так что и в этом случае такое понятие малосодержательно.

Доказана.

Теорема 3. Пусть V конечномерная алгебра с ненулевым умножением которая прямо неразложима. Тогда кольцо V обладает одним классом подобия максимальных полей конечномерности только и только если либо оно жёсткое, либо оно обладает полем конечномерности которое есть поле констант.

Во второй части главы понятие центроида кольца прилагается к категории нильпотентных групп. Аналогом этого понятия служит построенный автором функтор фактор-морфизмов Ф. Здесь установлены основные свойства этого функтора категории нильпотентных групп. Строится под-функтор ?) этого функтора. Для произвольной нильпотент-ной группы? значения 0(0) образуют двусторонний идеал в кольце Ф ((т), при этом фактор Ф (?)/?)(?) — коммутативное кольцо.

Нильпотентная группа & с центром Ъ называется плоской группой если её вторая группа симметричных когомологий тривиальна. В этом разделе показано, что плоскими группами служат нильпотентные группы с делимым центром. Доказывается.

Теорема 4. Нильпотентная плоская группа разлагается в прямое произведение собственных подгрупп тогда и только тогда, когда кольцо фактор-морфизмов этой группы разлагается в прямую сумму собственных правых идеалов.

Определение. Группа II называется правильной если её центр не имеет кручения и любой центральный элемент и в некоторой степени принадлежит коммутанту группы и.

Для правильных групп получаем такое усиление теоремы.

4.

Теорема 5. Пусть (7 правильная нилъпотентная группа центр которой есть делимая группа без кручения.

Тогда эта группа разлагается в прямое произведение только и только если коммутативное кольцо Ф ((?)/? (С?) разлагается в прямую сумму.

В третьей части главы на языке теории групп получена характеристика групп точек унипотентных групп определённых над полем нулевой характеристики. А также групп точек прямо неразложимых унипотентных групп. Для этого используется формула Кемпбелла — Хаусдорфа и понятие центроида переносится на класс нильпотентных делимых групп. Аналогом служит понятие кольца структурных факторморфизмов Г — подкольца кольца факторморфизмов группы. Доказываются такие теоремы.

Теорема б. Группа II есть точки унипотентной группы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) II нильпотентная полная группа без кручения,.

2) нецентральные факторы верхнего центрального ряда группы II являются конечнопорождёнными модулями относительно действия фактора Г ((/)/Д (С/),.

3) фактор-кольцо Г (и)/А (и) является конечномерной алгеброй,.

4) если группа II не является правильной, то мощность фактора группы по коммутанту 11/11' равна мощности г{и)/и'пг (и).

Кроме того, любое поле скаляров алгебры Г ((/)/А (11) поднимается до поля определения соответствующей алгебраической группы.

Гораздо удобнее взамен кольца структурных фактормор-физмов использовать кольцо факторморфизмов. Для такого кольца установлен аналог приведённой теоремы.

Теорема 7. Группа и есть точки унипотентной группы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) II нилъпотентная делимая группа без кручения,.

2) нецентральные факторы верхнего центрального ряда группы и являются конечнопорождёнными модулями относительно действия фактора Ф (II)/0(11),.

3) фактор-кольцо Ф (и)/Б (и) является конечномерной алгеброй,.

4) если группа II не является правильной, то мощность фактора группы по коммутанту 11/11' равна мощности г (и)/и'пг{и).

Кроме того, любое поле скаляров алгебры Ф (и)/И (II) поднимается до поля определения соответствующей алгебраической группы.

Теорема 8. Пусть и неабелева нилъпотентная делимая группа.

Тогда если V правильная группа и Ф (и)/И (II) локальное кольцо, то II прямо неразложима.

Наоборот, если и группа точек унипотентной группы которая прямо неразложима, то эта группа правильная и кольцо Ф (и)/Б (II) локальное.

Вторая глава диссертации посвящена решению проблемы 11.79 из «Коуровской тетради» [13]. Опишем решаемые здесь задачи.

Пусть .Р поле характеристики р, а С группа автоморфизмов этого поля. Пусть К = Р®- - поле инвариантов этой группы. Известная теорема Артина утверждает, что Р) Красширение Галуа с группой Галуа (?.

Ограничимся рассмотрением действия группы (3 на мультипликативной группе поля Кроме этого на Р* действует кольцо целых Ъ, элементы поля возводятся в целые степени. Получаем действие на Р* группового кольца ЪО. Это действие называется экспоненциальным и обозначается экспоненциальным образом.

ВМ V данной главе получен утвердительным ответ на вопрос 11.79 из Коуровской тетради. Доказана теорема 9.

Теорема 9. Пусть Р бесконечное поле характеристики р, а О — конечная группа автоморфизмов поля Р) пусть К = Р° - пом инвариантов.

Пусть / Е Z (J,^ ^ 0} а п — такое натуральное, что Р Е рпЪОрпНЮ.

Предположим, что 5 такое подполе в поле что для любого х Е F* имеем включение х^ Е 5.

Тогда поле? содержит поле КрПу 5 Э КрП.

Этот результат обобщает следствие известной леммы И. Кап-ланского:

Лемма И. Капланского, [51]. Пусть Ь/К — расширение полей и пусть для любого х Е Ь найдётся такое натуральное п для которого хп Е К.

Тогда либо Ь = К, либо расширение Ь/К чисто несепа-рабельно, либо это — алгебраическое расширение простого конечного поля.

Следствие состоит в том, что если Ь/К расширение полей характеристики р, а / € ЪрЪ, причём V С К, то Ь = К.

Обобщение же самой леммы в случае несчётных полей легко следует из доказательства этой теоремы.

Для счётных полей обобщение леммы Капланского — пока открытая проблема, поставленная автором ([13]).

Доказанный здесь результат интересен по ряду причин. Хорошо известно, что категория^{-определённых} /^-разложимых торов дуальна категории ZG-мoдyлeй без кручения конечного типа. Двойственность устанавливается посредством функтора характеров тора (см. [4]).

Характеры тора квазиразложимой группы — ограничения Вейля — Яр! КОсщр образуют свободный одномерный модуль ZG. Группа точек этой квазиразложимой группы совпадает с мультипликативной группой поля F^ А действие характеров из Ю на этой группе определяется экспоненциальным образом: Если / Е ЯС?, / = Е п (Та) то для любого х Е F* полагаем х1 = п (жТ*. т&euro-<?

Таким образом получается определённое выше экспоненциальное действие.

В силу указанной двойственности произвольный К-подтор Т в алгебраической группе Яр/к^т^ как группа К-точек представляет собой группу алгебраических единиц некоторого правого идеала I группового кольца ЪС при указанном действии (см. [46]): Т (К) = {я Е Р*х! = 1}. Известно (см. [23], стр. 69), что произвольный^{-разложимый} А'-тор вкладывается в некоторый квазиразложимый тор — прямое произведение торов вида Яр/к^т^- В частности, точки произвольного такого тора вкладываются в прямое произведение указанных групп алгебраических единиц.

В произвольной алгебраической /^-группе группа точек тора реализуется в качестве орбит действия на корневых подгруппах. Корневая подгруппа несёт в определённом смысле полную информацию о поле разложения F если соответствующая группа алгебраических единиц в Р* порождает поле, содержащее поле инвариантов К. Так что теорему можно рассматривать как утверждение об определении поля разложения произвольного тора по его группе точек.

В первой части этой главы доказывается точность экспоненциального действия. А вторая часть посвящена доказательству теоремы. Оно состоит в постепенном сужении класса расширений для которых проводится доказательство теоремы.

В третьей главе диссертации исследуются минимальные алгебраические групп с конечным центром.

Пусть Л — некоторый класс алгебраических групп. Минимальными группами этого класса называют такие группы из Л, которые не содержат собственных неединичных связных замкнутых подгрупп из этого класса.

Важность этого понятия объясняется тем, что первым шагом на пути исследования групп класса Л служит изучение минимальных групп. Так при изучении полупростых алгебраических групп вначале изучаются минимальные такие группы — группы Р (х?2 и их формы (см. [43]).

В данном разделе описываются минимальные группы в классе всех связных алгебраических групп с конечным центром. Приведём примеры.

Пусть Ь произвольное поле. Стандартной Ь-группой называем алгебраическую ¿—группу Ч группа Ь-точек которой определяется как подгруппа общей линейной группы СЬ2 формулами:

Такал группа представляет полупрямое произведение одномерного тора на одномерную унипотентную группу. Поэтому такая группа минимальна. Она — разрешимая алгебраическая группа.

Показывается, что минимальная алгебраическая группа которая разрешима по-сути есть форма стандартной группы. Это устанавливается в теореме первой части главы.

Теорема 10. Пусть О — квазиминимальная группа определенная над полем К.

Тогда найдётся конечное сепарабельное расширение Ь/К и К-морфизм ц>: С -4 Ящ-Я в ограничение Вейля стандартной Ь-группы Н, ядром которого служит конечный центр С © группы О.

Кроме того) ограничение этого морфизма на унипотентную часть II группы Сг есть К-изоморфизм,.

Вторая часть этой главы посвящена минимальным неразрешимым группам. Доказывается, что такие группы — в точности простые анизотропные группы полупростого ранга один. То есть это — #-формы группы РОЬ2 или её универсальной накрывающей — БЬ^. Такие формы /^-изоморфны специальной ортогональной группе 50з (/ и её накрывающей — спинорной группе 5рт3)/ для анизотропной квадратичной формы / от трёх переменных (см. [23]).

Теорема 11. Пусть К — произвольное поле, а? — связная алгебраическая неразрешимая К-группа. Группа (7 минимальна тогда и только тогда, когда она является простой анизотропной К-группой полупростого ранга один.

Таким образом в первых двух частях этой главы полностью описывается класс минимальных алгебраических групп. А третья часть этой главы отведена под исследование абстрактных изоморфизмов разрешимых алгебраических групп с конечным центром.

Эти изоморфизмы в значительной мере определяются абстрактными изоморфизмами минимальных групп указанного вида (в дальнейшем просто минимальных групп).

В теореме 10 предыдущего раздела показано, что для произвольной минимальной группы С?, определенной над полем К, найдутся конечное расширение Ь/К и К-морфизм (р: @ ~* Н-ь/кН в ограничение Вейля стандартной^{-группы} Я, этот морфизм имеет ядро — центр С (Сг) группы (7. Морфизм <р индуцирует изоморфизм на унипотентной части группы и = и (в).

Вначале показываем, что указанная выше стандартная группа Я, ее поле определения Ь и К-морфизм определяются в категории абстрактных групп уже группой точек С (К). Это делается в теореме 12.

Теорема 12. Пусть выполнены все условия теоремы 10, а Ь, Н, ф построенные в этой теореме расширение поля К, стандартная Ь-группа и К-морфизм соответственно.

Тогда по группе К-точек О (К) в категории абстрактных групп определяется поле Ь, группа Ь-точек Н (Ь) =.

Я>ь/кН)(Ю и ограничение ф на группу К-точек ф (К): 0(К) (ЯцкШУ.

Из этой теоремы следует, что абстрактный изоморфизм минимальных групп индуцируется некоторым изоморфизмом переноса поля определения соответствующих стандартных групп, доказывается теорема 13.

Теорема 13. Пусть К и Кч — поля характеристики нуль, а .

Второй раздел этой части завершает исследование квазиминимальных групп над полями нулевой характеристики. Получено уточнение теоремы 10, а именно: в теореме ниже показано, что абстрактные изоморфизмы квазиминимальных групп являются стандартными.

Теорема 14. Пусть С — квазиминимальная К-группа с тривиальным центром, — Кг группа. Предположим, что (р: ^1(^1) -> ?2(^2) ~~ изоморфизм групп точек.

Тогда найдутся конечные расширения полей Ь{/К{ (г = 1,2), кеазиминималъная Ь-группа Н, изоморфизм полей <т: Ь ?2, для которых = Я^/к^Н, С?2 = Яь21к2^ и ком~ мутативна диаграмма точек:

И (1п) А °Н (Ь2).

ЯыкгЩЪ) -А Иык/Н где, а — изоморфизм переноса, аН — группа, полученная из Н переносом поля определения.

В последней главе устанавливается теоретико — групповая характеризация групп точек таких связных разрешимых алгебраических групп с тривиальным центром которые определены над полями нулевой характеристики (теорема 15).

Глава состоит из шести разделов.

Первый раздел носит вспомогательный технический характер. В нём вводится и изучается понятие делимой части нильпотентной группы. Исследуется строение нильпотент-ного радикала алгебраических групп. Здесь вводится понятие делимого нильпотентного радикала группы. Определяется класс групп с центрально делимым радикалом — в котором нильпотентный радикал любой группы представляет произведение делимого нильпотентного радикала на центр этой группы. Доказывается предложение 4.3 о том, что точки алгебраических групп представляют группу с центрально делимым радикалом. В заключение раздела напоминается понятие подгруппы Картана произвольной группы.

Во второй части главы автор применяет понятие структурного факторморфизма к исследованию точек разрешимых алгебраических групп. Такая группа обладает унипо-тентным радикалом, максимальный тор такой группы действует сопряжением на унипотентном радикале, это действие полупросто. В этом разделе автор устанавливает теоретикогрупповые понятия параллельные этим свойствам алгебраических разрешимых групп. Вводимые здесь термины используются в формулировке теоремы 15. Завершается этот раздел доказательством необходимости условий теоремы 15 для групп точек алгебраических разрешимых групп.

В третьей части устанавливается групповая характеристика точек минимальных связных разрешимых групп с тривиальным центром. Установлен результат для более широкого класса квазиминимальных групп. Приведём необходимые пояснения.

Если С центр квазиминимальной группы то фактор-гомоморфизм 0 -> <�у)С является центральной изогенией. Индекс этой изогении (см. 4]) называется индексом квазиминимальной группы.

Изоморфизм произвольных абелевых групп с конечным центром ф: А В будем называть изогенией абелевых групп, если найдётся такой обратный гомоморфизм ф: В Л, для которого композиция фф есть взятие кратного, фф = п. Наименьшее такое натуральное п называется степенью изогении ф, ¿-едф = п.

Напомним, что пермутационным модулем расширения полей Ь/К называем %Ямодуль 20?4 для абсолютной группы Галуа, 0 поля К и её подгруппы % отвечающей расширению Ь.

Установлено предложение:

Предложение 4.1. Пусть О произвольная группа имеющая подгруппы Картана, и = БЫ (О) делимый нильпо-тентный радикал этой группы, а Т некоторая подгруппа Картана группы О.

Тогда группа О есть точки квазиминимальной группы над полем определения нулевой характеристики тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) О есть расщепимое расширение (? = Т х и в котором.

2) Т абелева группа, а группа и не имеет кручения,.

3) действие Т на V сопряжением неприводимо,.

4) центр группы Z (G) = Ст{и) конечен,.

5) кольцо Ь — Еп^и является полем,.

Группа Т коммутативна, поэтому действие Т на и сопряжением определяет гомоморфизм у: Т Еп (1т11* = Ь* в мультипликативную группу поля Ь. Следующие условия уточняют вид этого гомоморфизма.

6) отображение у является изогенией абелевых групп,.

7) образ Т в Ь* при отображении у есть группа алгебраических единиц Уь/к{Ю для некоторого подполя К поля Ь конечного индекса и подмодуля N пермутационного модуля расширения Ь/К,.

8) индекс модуля N в сервантной оболочке у/И равен степени изогении у,: Щ = ¿-еду.

Взамен поля К можно выбрать любое его подполе конечного индекса. А максимальное подполе К поля Ь со свойством (7) определено однозначно.

Подгруппы Т из условия предложения называются квазиторами квазиминимальной группы С.

В категории нильпотентных делимых групп с действием на них абелевой группы определяется понятие конечно полупростого действия. В этой категории строится функтор согласованных фактор-морфизмов. Этот функтор произвольной такой группе U с действием Т ставит в соответствие некоторое подкольцо R (T, U) кольца структурных фактор-морфизмов R (U).

Наконец напомним термин из теории этальных накрытий алгебраических многообразий. Кольцо называется этальной алгеброй, если оно является конечномерной коммутативной полупростой алгеброй. Такое кольцо артиново и в силу строения полупростых артиновых колец (см. [1]) оно есть конечная прямая сумма конечных расширений некоторого поляполя определения этального кольца.

Доказана теорема 15.

Теорема 15 о подобных группах. Пусть группа G имеет конечный центр Z и является картановой группой. Пусть N (G) — её нильпотентный радикал, aU = DN (G) -делимая часть нильпотентного радикала.

Тогда эта группа есть точки разрешимой алгебраической группы над некоторым полем определения нулевой характеристики тогда и только тогда, когда выполнены такие свойства:

1. Группа G есть группа с центрально делимым радикалом, N (G) = Z-U.

2. Группа G есть полупрямое произведение G = Т • U в котором Т — подгруппа из центра некоторой подгруппы Картана.

3. Действие группы Т на группе U сопряжением конечно полупросто, при этом корневые подгруппы — делимые части нильпотентных радикалов некоторых квазиминимальных подгрупп группы G.

4. Подгруппа Т покрывается конечным числом квазиторов квазиминималъных подгрупп группы (?.

5. Кольцо согласованных фактор-морфизмов II) является эталъной конечномерной алгеброй нулевой характеристики, а группа и служит конечнопорождённой Я (Т, II) -степенной группой.

6. Гомоморфизм абелевых групп Т ->¦ является изо-генией.

Все условия теоремы 15 формулируются на языке абстрактной теории групп, так что в ней установлено, что класс групп точек разрешимых алгебраических групп с конечным центром является абстрактным классом групп.

В течение работы группа С? с выделенной подгруппой Т, удовлетворяющая утверждениям теоремы 15, называется подобной группой (подобной группе точек разрешимых алгебраических групп).

В четвёртой части главы завершается доказательство теоремы 15. Здесь устанавливается достаточность условий подобия для определения на произвольной подобной группе структуры алгебраической группы.

В пятой части используется авторский подход к изучению алгебраических групп с конечным центром. Здесь устанавливаются свойства алгебраических групп с изоморфными группами точек. Введённое в предыдущем разделе понятие оболочки Вейля квазиминимальной группы распространяется на класс разрешимых алгебраических групп. Установлено существование оболочки Вейля в классе почти прямо неразложимых разрешимых алгебраических групп с тривиальным центром.

В шестом разделе последней главы результаты применяются к изучению абстрактных изоморфизмов алгебраических р групп. Установлена такая теорема.

Теорема 16 об изоморфизме. Пусть 0 — связная разрешимая алгебраическая К-группа с тривиальным центром которая почти прямо неразложима, а 02 — произвольная Кч-группа. Предположим, что (р: С (К) ч ч 02(1(2) — изоморфизм групп точек который сохраняет свойство полупростоты.

Тогда найдутся конечные расширения полей Ц/К{ (г = 1,2), связная разрешимая ¿-1-группа Н, изоморфизм полей а: Ь ч Ьч, для которых С?1 = Я^^Н, <32 = Я^к^Н и коммутативна диаграмма точек:

Н (ьг) -А °Н (Ь2) где, а — изоморфизм переноса, аН — группа, полученная из Я переносом поля определения.

Для алгебраических разрешимых групп с тривиальным центром над полем алгебраических чисел доказана стандартность абстрактных изоморфизмов.

Теорема 17. Пусть К поле алгебраических чисел. Пусть Ох — связная разрешимая алгебраическая Кг-группа с тривиальным центром которая почти прямо неразложима, а Оч — произвольная К^-грута с тривиальным центром.

Предположим, что <р: Я (К) ч ~~ изоморфизм групп точек.

Тогда найдутся конечные расширения полей Ь{)К{ (г = 1,2), связная разрешимая Ь-группа %, изоморфизм полей о 1 ч Ь2, для которых = ЯЬ^К1Я, О2 = Я^/к/К и коммутативна диаграмма точек:

ЩЬ г) ^ °ЩЬ2) где, а — изоморфизм переноса, аЧ — группа, полученная из группы % переносом поля определения.

В заключение приводится пример необходимости ограничения на поле определения в условии теоремы. Приведены и другие примеры.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [24] - [37], [53] - [55]. Они докладывались на следующих конференциях:

19 алгебраической конференции СССР (Львов, 1987), четвёртой сибирской школе по многообразиям алгебраических систем (Барнаул, 1988), на международной алгебраической конференции памяти А. И. Мальцева (Новосибирск, 1989), на пятой сибирской школе по многообразиям алгебраических систем (Омск, 1989), на шестой школе по многообразиям алгебраических систем (Магнитогорск, 1990), на шестом симпозиуме СССР по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990), на десятой конференции СССР по математической логике памяти А. Д. Тайманова (Алма-Ата, 1990), на международной конференции по алгебре памяти В. И. Ширшова (Барнаул, 1991), на 11 Российской конференции по математической логике (Казань, 1992), на международной конференции по алгебре памяти М. И. Каргаполова (Красноярск, 1993), третьей международной конференции памяти М. Я. Суслина (Саратов, 1994), на первой и второй международной школе «Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры» (Новосибирск — Эрлагол, 1995, 1997), на международной алгебраической конференции памяти Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997).

Результаты работы неоднократно заслушивались на семинаре «Теория групп» института математики СО РАН и семинаре «Алгебра и логика» Новосибирского государственного университета.

1. Атья Мм Макдональд И. Коммутативная алгебра. — М.: Наука, 1972.

2. Вурбаки Н. Алгебра (Многочлены и поля. Упорядоченные группы). М.: Наука, 1965.

3. Борель А. Линейные алгебраические группы. М.: Мир, 1972.

4. Воскресенский В. В. Алгебраические торы. М.: Наука, 1977.

5. Голубчик И. З., Михалёв A.B. Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом. Вестник Московского университета. Сер. математика и механика, 1983, N3, с. 61 -72.

6. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

7. Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. М.: Мир, 1974.

8. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т.1. М.: ИЛ, 1963.

9. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т.2. М.: ИЛ, 1963.

10. Капланский И.

Введение

в дифференциальную алгебру.- М.: ИЛ, 1959.

11. Каргаполов М. И. и др. Алгоритмические вопросы для степенных групп. Алгебра и логика, 1969, 8, N6, с.643−659.

12. Каргаиолов М. Й., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.

13. Коуровская тетрадь. Нерешённые вопросы теории групп. Новосибирск, 1992.

14. Ламбек И. Кольца и модули. М., Мир, 1971.

15. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле. Алгебра и логика, 1990, 29, N3, с.315−338.

16. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

17. Маклейн С. Гомология. М. Мир, 1966.

18. Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Классификация степенных нильпотентных групп по элементарным свойствам. В сб. Тр. ИМ СОАН СССР. Математическая логика и теория алгоритмов. Новосибирск, 1982. с. 56 — 87.

19. Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Формульность множества мальцевских баз и элементарные теории конечномерных алгебр. Часть 1. Сиб.Мат.Ж., 1982, 23, N5, с.152−167.

20. Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Формульность множества мальцевских баз и элементарные теории конечномерных алгебр. Часть 2. Сиб.Мат.Ж., 1983, 24, N2, с.97−113.

21. А. Г. Мясников. Строение моделей и критерий разрешимости полных теорий конечномерных алгебр. Известия АН СССР. Серия математическая, 1989, 53, N2, с.379−397.

22. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.:Мир, 1986.

23. Платонов В. П., Рапинчук A.C. Алгебраические группы и теория чисел. М.: Наука, 1991.

24. Пономарёв К. Н. Абстрактные изоморфизмы изотропных разрешимых групп. -19 Всесоюзная алгебраическая конференция, тезисы собщений, ч.2, Львов, 1987, с.227−228.

25. Пономарев К. Н. Факторморфизмы нильпотентных групп. Сибирская школа по многообразиям алгебраических систем, Барнаул, 1988, с.58−60.

26. Пономарёв К. Н. Абстрактные изоморфизмы алгебр и унипотентных групп Новосибирск, 1989, Деп. в ВИНИТИ. 4202-В89.

27. Пономарёв К. Н. Абстрактные изоморфизмы связных разрешимых алгебраических групп. Международная конференция по алгебре памяти А. И. Мальцева, тезисы докладов по теории групп, Новосибирск, 1989.

28. Пономарёв К. Н. Факторморфизмы нильпотентных групп с кручением. 6 Всесоюзная школа по теории многообразий алгебраических систем, Магнитогорск, 1990, с.28−29.

29. Пономарёв К. Н. Группы автоморфизмов конечномерных алгебр. 6 симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, Львов, 1990, с. 103.

30. Пономарёв К. Н. Фактор-морфизмы нильпотентных групп. Сиб.Мат.Ж., 1991, 32, N3, с.119−125.32.