Метод построения лучевых разложений решений краевых задач нелинейной динамической теории упругости

Явление возникновения поверхностей разрывов скоростей (ударных волн) в твердых телах в процессе их интенсивного деформирования является принципиально нелинейным и должно изучаться на основании нелинейным математических моделей. К последним относится и модель нелинейно-упругого материала, которая положена в основу задач, рассматриваемых в данной работе.

Основы теории упругости, как и механики сплошных сред вообще, были заложены в XIX веке и связаны с именами JI. Эйлера, Г. Кирхгофа, О. Ко-ши, Дж. Грина и др. Эти основы изначально нелинейны, но в дальнейшем и до начала прошлого столетия развивался линейный вариант теории упру-гости (Навье, Пуассон, Бетти, Митчелл, Галеркин, Релей и др.). В начале прошлого века линейная теория приобрела классическую форму. Основные направления исследований в то время связаны с разработкой математических методов решения краевых задач. Отметим здесь выдающийся вклад отечественных ученых Г. В. Колосова, Н. И. Мусхелишвили, Г. Н. Савина, С. К. Соболева, М. А. Лаврентьева.

Первой фундаментальной работой по нелинейной теории упругости является монография Ф. Д. Мурнагана [124]. Детальная разработка основ нелинейной теории упругости принадлежит В. В. Новожилову [76], Л. И. Седову [89, 90], А. А. Ильюшину [56], В. Прагеру [79], А. Грину и Д. Ад-кинсу [41], Л. А. Толокошшкову [92], Е. М. Черных [100, 101, 102], А. И. Лурье [70], Д. Д. Ивлеву [54, 55], К. Трусделлу [95], Л. Трелоару [94], Г. С. Тарасьеву [91]. Здесь не упомянуты работы по теории нелинейно-упругих конструкционных элементов (стержни, пластины, оболочки). Часть таких результатов указана в обзоре В. В. Новожилова, Л. А. Толоконникова и К. Ф. Черных [77]. Отметим области теории упругости, где учет нелинейности лежит в основе. Это прежде всего теория устойчивости деформируемых тел и элементов конструкций [14, 45], нелинейная акустика [49, 87] и проблема изучения переходных процессов деформирования в нестационарных краевых задачах распространения граничных возмущений. В дальнейшем в обзоре уделим внимание последней проблеме.

К первым работам, направленным на исследование ударных волн, необходимо отнести работы Д. Бленда [110, 111, 112], Чжу Бо-Те [114, 115] и Е. М. Черных [100, 101, 102]. Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в недеформированной упругой среде на примере плоских адиабатических и изоэнтропических волн при линеаризации определяющей системы уравнений. Рассмотрены продольные ударные волны со сферической симметрией. Решена задача с ударной волной постоянной интенсивности. В [112] рассмотрены цилиндрические продольные волны в случае изоэнтропического приближения и при отсутствии предварительных деформаций. Все полученные результаты опубликованы в монографии [13], в которой проведено изучение ударных волн в переменных Лагранжа. В случае плоских ударных волн показана невозможность существования чисто поперечных ударных волн в недеформированной упругой среде.

В нашей стране также проводились подобные исследования. Первыми из них следует отмстить работы Е. М. Черных [100, 101, 102]. Им рассмотрены условия существования ударных волн [100] и получено решение автомодельной задачи для материала, подчиняющегося закону Гука, но допускающего большие деформации. Геометрически нелинейная модель получалась путем замены в законе Гука тензора малых деформаций на тензор деформаций Альманси и учетом нелинейности во всех кинематических соотношениях. Развитием данного направления исследования послужили работы А. Д. Чернышева [103] и Г. Ф. Филатова [96, 97, 98]. В них получены условия существования ударных волн с учетом предварительных деформаций и скорости распространения возможных типов ударных волн. Все эти исследования относятся к шестидесятым годам прошлого века.

В семидесятые-восьмидесятые годы были получены новые важные результаты, причем их отличие от предыдущих заключается в отказе от ограничений, с помощью которых строились первые математические модели. В более общей форме выбираются основные соотношения, рассматриваются задачи с учетом предварительных деформаций, указываются условия существования продольных, квазипродольных и квазипоперечных ударных волн, вычисляются скорости их распространения, проводится термодинамический анализ необратимого процесса в ударной волне, рассматривается вопрос о поляризации волн. Решен ряд задач, допускающих автомодельный подход [42]. Важными следует признать работы А. А. Буренина и А. Д. Чернышова [21, 22, 28], которые показали, что производство энтропии в квазипродольных ударных волнах не зависит от предварительных деформаций, для некоторых материалов получен аналог теоремы Цемпле-на для идеального газа, то есть показано, что и в упругой среде существуют только квазипродольные волны сжатия. Обнаружено, что в большинстве случаев на квазипродольных ударных волнах происходит уменьшение предварительных сдвиговых деформаций, а на квазипоперечных всегда присутствует уменьшение предварительного сжатия. Отметим работы [37, 42, 43, 48, 71, 96, 97, 98, 111, 117, 122, 134, 137]. В них рассмотрены особенности распространения ударных волн в нелинейной динамической теории упругости.

Чжу-Бо-Те [114,115] рассмотрел распространение ударных волн в случае несжимаемой упругой среды. Им была впервые получена замкнутая система уравнений в разрывах, вычислены скорости распространения ударных волн, зависящие от предварительных деформаций, разрыва касательного напряжения и деформаций. На примере идеальной несжимаемой резины получено условие существования ударной волны нагрузки, как следствие термодинамических ограничений на возможные разрывы. Проблемам распространения ударных волн в несжимаемой упругой среде посвящены работы [15, 65, 66, 67, 68, 80, 81, 116].

Важный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли А. Г. Куликовский и Е. И. Свешникова [60, 61, 62, 63]. Система уравнений в разрывах в их работах записывается в переменных Лагранжа. В результате авторы детально изучили плоские ударные волны, условия их существования и условия эволюционное&tradeразрывов, а также ряд других вопросов, которые ставит математическая физика в краевых задачах с плоскими ударными волнами. Аналогичный метод исследования применялся в [136].

Э.В. Ленский изучал свойства комбинированных сильных разрывов для упругой среды, определяемой упругим потенциалом, зависящим от первых двух инвариантов тензора деформаций. В [120] рассматривались поверхности разрывов в материалах. В [105] рассматривались квазистационарные плоские разрывы в условиях плоской деформации. Поверхностные разрывы на плоских границах нелинейно-упругих тел изучались Г. И. Бы-ковцевым и его учениками [10, 12]. В [88] исследуются свойства упругой среды, имеющей слабую анизотропию, в [99] рассматриваются материалы, по-разному сопротивляющиеся растяжению и сжатию.

Решению краевых задач динамики упругой среды с ударными волнами посвящены работы [1, 2, 19, 20, 21, 26, 88, 46, 57, 62, 65, 66, 101, 17], в которых рассматривались автомодельные задачи. Для решения неавтомодельных задач используются, в основном, различные модификации метода возмущений и лучевой метод. Одним из вариантов метода возмущений является метод последовательного интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. На основе решения эволюционного уравнения квазипростых волн У. К. Нигул и Ю. К. Энгельбрехт исследовали.

106, 73, 74, 75] возможность и время возникновения ударных одномерных волн при непрерывных воздействиях. Метод сращиваемых асимптотических разложений на основе решения эволюционных уравнений, предложен А. А. Бурениным и В. А. Шарудой [27] и обобщен в работах В. Е. Рагозиной и Ю. Е. Ивановой [80, 51, 52, 53]. В [81] продемонстрированы приемы численного сращивания прифронтовых асимптотик с конечно-разностной аппроксимацией уравнений в областях, удаленных от ударных волн, на основе построения неявной конечно-разностной схемы.

Другой возможностью для построения приближенных решений является лучевой метод. Лучевой метод известен с 50-х годов прошлого века и является признанным мощным инструментом решения волновых задач, включающих нестационарные поверхности (объемные волны) или линии (поверхностные волны) сильных и слабых разрывов. Для этого используются одночленные или многочленные степенные ряды, коэффициентами которых служат скачки производных искомых функций. Обстоятельный обзор работ данного направления содержится в статье Ю. А. Россихина и М. В. Шитиковой [128]. Эту статью они посвятили светлой памяти своего учителя, выдающегося ученого-механика Г. И. Быковцева.

Лучевые разложения можно разделить на два основных типа. Первые используются преимущественно для аппроксимации физических полей регулярных функций, вторые для аппроксимации физических полей сингулярных функций. В России разработкой лучевого метода, основанного на разложениях первого типа активно занимались ученые-механики Ленинградской научной школы, идейным руководителем которой был Г. И. Пет-рашень. Этот метод используется преимущественно в задачах отражения, преломления и дифракции волн, популярен в сейсмологии и сейсморазведке. Метод развивался в работах В. М. Бабича, А. С. Алексеева и Б. Я. Гельчинского при вычислении интенсивностей волновых фронтов в нестационарных задачах теории упругости [3, 4], включая случай неоднородной анизотропной среды [5], а также в работе Ю. Н. Подильчук и Ю. К. Рубцова [78] для определения напряжений вблизи различных полостей в упругой среде. Впоследствии В. М. Бабич, B.C. Булдырев и И. А. Молотков [7] использовали разложения первого типа при исследовании волновых процессов различной природы.

Второй тин лучевых разложений используется при решении одномерных, плоских и трехмерных краевых задач, включающих поверхности сильных и слабых разрывов. Метод основан на теории условий совместности разрывов на движущихся поверхностях. Разработка теории таких поверхностей берет начало с работ Дж. Адамара [119], который заметил, что разрывы величин на движущихся поверхностях не могут быть произвольными, но связаны ограничениями, следующими из геометрии таких поверхностей и их кинематики. Обобщение соотношений Дж. Адамара на случай разрывов производных от функций, терпящих разрыв на движущихся поверхностях, осуществил Т. Томас [93]. Выписанные им ограничения на разрывы производных были названы им геометрическими и кинематическими условиями совместности первого порядка. С их иомощыо Т. Томас [93] исследовал распространение и затухание криволинейных волн в однородной упругой изотропной среде. Теория рекуррентных условий совместности разрывов функций и их производных, обобщающая представления Т. Томаса, была разработана Г. И. Быковцевым и его учениками для параметрического задания движения в прямоугольной декартовой системе координат [32].

Объединение лучевой теории и теории разрывов Т. Томаса позволило двум группам исследователей, Дж. Ахенбаху и Д. Редди [107, 109] и Воронежской школе под руководством Г. И. Быковцева [9], независимо друг от друга и в различных формах предложить метод построения приближенных решений за поверхностями разрывов в линейных средах, названный авторами лучевым методом по аналогии с [6]. Способ построения лучевых разложений решения за фронтом волны разрывов основан на представлении его в виде степенного ряда по типу ряда Тейлора, коэффициентами которого являются неизвестные разрывы. Для последних, следуя условиям совместности, получают рекуррентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями затухания. Подход, предложенный Г. И. Быковцевым оказался наиболее перспективным. В дальнейшем Г. И. Быковцеву и его ученикам удалось таким способом решить целый ряд нестационарных динамических задач механики деформируемого твердого тела [9, 10, 12, 48, 69, 84, 113, 129, 106].

Н.А. Заварзина и В. М. Бабич развили лучевой метод для динамических задач в гипоупругой среде в случае ударных волн [47] и волн ускорений [8]. Г. И. Быковцев и А. Г. Шаталов рассмотрели задачу о влиянии теплового потока па границу термоупругого полупространства с учетом конечной скорости распространения тепла и термоупругой связи [34]. Для трех типов термоупругих волн были получены рекуррентные соотношения па коэффициенты лучевого ряда. В работах Ю. А. Россихина и др. рассмотрены задачи о распространении плоских волн сильных разрывов в анизотропном термоупругом полупространстве [83] и анизотропной пластине постоянной толщины [130], об ударе абсолютно жесткой сферы, но границе упругого изотропного полупространства [125]. Таким образом, лучевые разложения второго типа удобны при решении задач, связанных с кратковременным приложением нагрузки к границам рассматриваемых тел, а также ударным воздействием, термическим ударом и т. д.

А.В. Чигарев [104] рассматривал распространение ударных воли в стохастически неоднородной упругой среде. Ю. А. Россихин [126, 85] изучал распространение поверхностей сильных разрывов произвольной формы в упругой слабо анизотропной среде с произвольной симметрией, в том числе, с кубической и гексагональной симметрией. В 1989 г. Ю. А. Россихин [86] указал способ регуляризации волновых характеристик, которые оказались неравномерно пригодными в области существования волнового решения. Дж. Ахенбах [108] изучал движение поверхностей сильных разрывов в термоупругой среде с конечной скоростью распространения тепла. Было показано, что две поверхности сильных разрывов: квазиупругая и квазитермическая, обладают экспоненциальным характером затухания.

Дж. Эриксен [118] изучал распространение эквиволюменальных поверхностей слабых разрывов в несжимаемых упругих материалах и показал, что для гладко изменяющихся полей внешних сил и тепловых источников, волны третьего и более высоких порядков в несжимаемой упругой среде подчиняются тем же законам, что и волны ускорений. К. Трусделл [135] обобщил этот результат на весь класс упругих материалов. Волнам ускорении в упругих средах посвящены также работа Р. Хилла [121] и др.

М.А. Грипфельд [43] рассматривал поверхности слабых разрывов (волны ускорений) и слабые ударные волны в нелинейном гипоупругом теле. Для таких волн были получены нормальные скорости и уравнения переноса, описывающие изменения разрывов производных произвольного порядка от искомых функций по нормали к волновой поверхности вдоль лучей. Слабые ударные волны в деформированной нелинейно-упругой среде рассматривали также Н. А. Заварзина и Г. Ф. Филатов [48]. Авторы получили систему рекуррентных уравнений, определяющую характер распространения и затухания слабых ударных волн.

Исследования, посвященные распространению и затуханию слабых и сильных разрывов в упруговязкопластической среде, проводили Г. И. Бы-ковцев и Н. Д. Вервейко [29], а также Россихин [82]. Позднее Г. И. Быковцев и др. [30] рассматривали движение ступенчатой нагрузки со сверхзвуковой скоростью по границе упруговязкопластического полупространства. Исследованию лучевым методом пространственных динамических задач упруго-вязкоиластичности и одномерных динамических задач течения реальной жидкости в трубах посвящена монография Н. Д. Вервейко [36]. В ней изложены основы лучевого метода решения пространственных задач и приведены примеры применения лучевого метода к распространению пластических волн нагрузки и разгрузки, волн гидроудара в гидролиниях переменного сечения. В [59, 58] рассматривались вопросы построения аналитического или численного решений динамических волновых задач в упруговязкопла-стических средах.

Распространение волн ускорений в трехмерных упругопластических телах рассматривали Т. Томас [93], Р. Хилл [121], Г. И. Быковцев и др. [33]. Были получены три типа волн ускорений и вычислены их скорости. Были исследованы распространение и изменение со временем интенсивности пластических волн, волны разгрузки, и волны нагрузки. Теория разрывов применялась также для исследования волн разрывов в стержнях, слоях, пластинах, и оболочках [123, 35], а также поверхностных волн сильных и слабых разрывов в нелинейно-упругих и упругопластических средах [11, 10] и поверхностных волн вдоль поверхностей кристаллических тел с конечной анизотропией [127]. Также одночленные лучевые разложения часто применяются в задачах об ударном взаимодействии, например в [131].

В краевых задачах, в которых решение необходимо строить во всей области движения волны, т. е. от фронта волны до граничной поверхности в фиксированный момент времени, или когда необходимо определить временную зависимость интересующих нас величин в фиксированной точке поля в данный момент времени, необходимо использовать многочленные лучевые разложения. Ю. Н. Подильчук и Ю. К. Рубцов [78] рассматривали задачи о распространении нестационарных волн в бесконечной изотропной упругой среде, возникающих при мгновенном нормальном нагружении на границе сферических и цилиндрических полостей в среде. В данном случае для построения временных зависимостей напряжений в каждой фиксированной точке граничной поверхности понадобилось вычислить около 20 членов лучевого ряда. Что касается приближения по пространственной переменной в фиксированный момент времени, то этот вопрос изучался в работах Дж. Ахенбаха и Д. Редди [107], С.Т. Sun [133], Ю. А. Россихина и М. В. Шитиковой [131] и др.

Лучевой метод, предложенный в [9], непригоден для нелинейных сред при наличии ударных волн. Связано это, главным образом, с тем, что ударная волна имеет скорость, отличную от скорости распространения возмущений в среде, не удается получить обыкновенные дифференциальные уравнения для коэффициентов лучевого ряда на каждом шаге. Однако видоизменение методики, предложенное в [25], позволяет использовать лучевой метод и в этом случае. Идея заключалась в разложении коэффициентов лучевого ряда в степенные ряды в окрестности начального момента времени. На основе этого предложения был решен целый ряд одномерных задач динамики деформирования [113, 16, 132]. Построенные таким способом приближенные прифронтовые разложения могут использоваться в схемах численных расчетов краевых задач динамики деформирования с целью выделения поверхностей разрывов. Разработкой этого направления сейчас активно занимаются А. А. Буренин, П. В. Зиновьев, В. Е. Рагозина [18, 50] и интерес к таким задачам все возрастает.

Предлагаемая работа посвящается развитию лучевого метода решения существенно нестационарных задач нелинейной динамики деформирования на основе обобщения теории условий совместности разрывов на движущихся поверхностях в нелинейно-упругих средах. Работа состоит из пяти глав.

В первой главе строится замкнутая теория условий совместности разрывов при задании движения деформируемой среды в произвольной криволинейной системе координат. По сути она является обобщением теории Г. И. Быковцева и его учеников, у которых все изложение проводится в декартовой пространственной системе координат.

С целью получения аналогичных условий совместности для произвольной криволинейной системы координат потребовалось, прежде всего, обобщение операции дельта-дифференцирования тензорного ноля, которая определяется по-разному в зависимости от типа тензорного поля (пространственный, поверхностный или смешанный). Но в каждом случае дельта-производная должна определять тензорный объект, а для предельного перехода от криволинейных координат к декартовым дельта-производные не должны противоречить друг другу.

Рассмотрены некоторые свойства дельта-производных, такие как правило дифференцирования прямого произведения, перестановочность с операцией свертывания и т. д. Вычислены дельта-производные основных геометрических характеристик движущейся поверхности.

Получены рекуррентные условия совместности разрывов производных произвольного порядка. Также в первой главе рассматривается модель нелинейно-упругой среды, приводятся некоторые необходимые сведения из тензорного анализа в евклидовом пространстве и соотношения на ударных волнах.

Вторая глава посвящена изучению закономерностей распространения одномерных цилиндрических ударных волн в нелинейно-упругих средах. Показано, что в нелинейно-упругой среде могут распространяться квази-продольпая и две квазипоперечные волны, вычислены их скорости в зависимости от их интенсивности и предварительных деформаций. Из литературы хорошо известны описания таких процессов для плоских волн. Важным результатом здесь явилось разделение фронта деформаций изменения формы на квазипоперечную ударную волну и нейтральную ударную волну (волну круговой поляризации). Оказывается, что это справедливо только для данного идеального случая, наличие кривизны волнового фронта не допускает такого эффекта, т. е. в представленной здесь задаче на каждой поперечной волне меняется не только интенсивность, но и направляющие предварительных сдвиговых деформаций.

Рекуррентные условия совместности разрывов позволили обобщить методику построения лучевых разложений решения краевых задач, поставленных изначально в криволинейных системах координат. Таким способом в третьей главе получены приближенные решения задач о нормальном ударе по цилиндрической или сферической полости в нелинейно-упругой среде. Отмечены особенности получаемых решений, связанные с изменением кривизны волнового фронта.

В четвертой главе получены лучевые разложения решений задач с поперечными ударными волнами: цилиндрической задачи антиплоского деформирования в нелинейно-упругой несжимаемой среде, задачи о скручивающем воздействии на границе цилиндрической полости. На примере задачи о скрутке исследованы особенности применения лучевого метода в задачах с ударными волнами постоянной интенсивности.

В пятой главе получено приближенное решение двумерной задачи об антиплоском деформировании полуограниченного несжимаемого пространства, границей которого служит правая ветвь гиперболы. На данном примере указаны особенности обобщения метода лучевых разложений на случай, когда лучи криволинейные и расходящиеся. Предлагается заменить на А—ом шаге построения лучевого разложения разрыв к + 1-го порядка его линейным приближением (решением линеаризованной задачи). Таким способом совместно с полем перемещений определяется конструкция лучей и геометрия волнового фронта.

В работе применяется тройная нумерация формул. Первый номер обозначает главу, второй — параграф. На протяжении параграфа нумерация сквозная, рисунки помещены в тексте.

Заключение

.

В первой главе разработано обобщение теории рекуррентных геометрических и кинематических условий совместности разрывов величин на движущихся поверхностях, на случай криволинейной пространственной системы координат. В рамках этой теории:

1. Вводится определение производной по времени в данной точке движущейся поверхности (дельта-производной) тензорных полей для пространственной криволинейной системы координат. В зависимости от типа тензорного объекта (пространственный, поверхностный или смешанный) дельта-производная определялась по-разному.

2. Рассмотрены некоторые свойства дельта-производных, такие как правило дифференцирования прямого произведения, перестановочность с операцией свертывания и т. д.

3. Получены соотношения для дельта-производных основных геометрических характеристик движущейся поверхности.

4. Получены рекуррентные условия совместности разрывов производных произвольного порядка.

Во второй главе, с целыо решения одномерных задач, включающих цилиндрические ударные волны проведено дополнительное исследование, связанное с возможными по характеру деформирования типами волн, их скоростями и особенностями движения.

1. Показано, что в нелинейно-упругой среде могут распространяться квазииродольиая и две квазипоперечные цилиндрические волны. Вычислены скорости указанных волн в зависимости от их интенсивности и предварительных деформаций.

2. Для двух наиболее распространенных случаев предварительных деформаций в среде проведен сравнительный анализ скоростей квазипоперечных волн.

3. Показано, что в отличие от плоских одномерных волн цилиндрические поверхности разрывов круговой поляризации невозможны.

В третьей главе на основе развития теории условий совместности разрывов обобщается методика построения лучевых разложений решений краевых задач, поставленных изначально в криволинейных системах координат.

1. Таким способом получены приближенные решения задач о нормальном ударе по цилиндрической или сферической полости в нелинейно-упругой среде.

2. Определены функции, определяющие положение соответствующих ударных волн.

3. Отмечены особенности получаемых решений, связанные с изменением кривизны волнового фронта и учетом нелинейности.

В четвертой главе:

1. Получены лучевые разложения решений задач с поперечными ударными волнами: цилиндрической задачи антиплоского деформирования в нелинейно-упругой несжимаемой среде, задачи о скручивающем воздействии па границе цилиндрической полости.

2. На примере задачи о скрутке исследованы особенности применения лучевого метода в задачах с ударными волнами постоянной интенсивности. В этом случае для коэффициентов лучевого ряда получена рекуррентная система алгебраических уравнений, а ряд по лучевым координатам сводится к ряду по введенной автором безразмерной переменной в окрестности ее фронтового значения.

В пятой главе:

1. Получено приближенное решение двумерной задачи об антиплоском деформировании полуограниченного несжимаемого пространства, границей которого служит правая ветвь гиперболы.

2. На таком примере указаны особенности обобщения метода лучевых рядов на случай, когда лучи криволинейные и расходящиеся. Предлагается заменить на каждом шаге построения лучевого разложения разрыв следующего шага его линейным приближением (решением линеаризованной задачи).

3. Совместно с полем перемещений определены конструкция лучей и геометрия волнового фронта.