Общие двумерные задачи теории идеальной пластичности

Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, их деталей, а также различных конструкций и сооружений, уменьшению их веса, объема и размеров, что приводит к необходимости использования неоднородных композитных материалов. Нахождение критериев, позволяющих определить предельные прочностные характеристики элементов конструкций, инженерных сооружений является одной из актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

На основе экспериментов Треска, Сен-Венан сформулировал соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности. Дальнейшее развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связаны с именами Леви, Хаара, Кармана, Мизеса, Прандтля, Гей-рингер, Генки, Рейсса, А. Ю. Ишлинского, С. А. Христиановича, В. В. Соколовского, Хилла, Прагера, Койтера и др.

Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены работы С. Е. Александрова, М. А. Алимжанова, Б. Д. Аннина, М.А. Арте-мова, В. И. Астафьева, В. А. Баскакова, И. А. Бережного, М. Я. Бровмана, A.A. Буренина, Г. И. Быковцева, JI.A. Галина, Гартмана, Г. А. Гениева, A.A. Гвоздева, Б. А. Друянова, В. В. Дудукаленко, М. И. Ерхова, JT.B. Ершова, М. А. Задояна, Д. Д. Ивлева, J1.M. Качанова, P.A. Каюмова, B.JI. Колмогорова, В. Д. Коробкина, Е. В. Ломакина, Л. А. Максимовой, A.A. Маркина, Н. М. Матченко, Б. Г. Миронова, М. В. Михайловой, С.Г. Мих-лина, Е. М. Морозова, Ю. М. Мяснянкина, Надаи, Ю. В. Немировского, Р. И. Непершина, Ю. Н. Радаева, А. Ф. Ревуженко, А. Р. Ржаницина, Т. Д. Семыкиной, С. И. Сенашова, В. П. Тамужа, А. Д. Томленова, Л.А. Толо-конникова, Ф. Ходжа, А. И. Хромова, Г. П. Черепанова, А. Д. Чернышова,.

Г. С. Шапиро, А. И. Шашкина, С. А. Шестерикова, Е. И. Шемякина, С. П. Яковлева и ряда других отечественных и зарубежных ученых.

Д.Д. Ивлев, Л. А. Максимова, Р. И. Непершин сформулировали соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и установили гиперболический характер уравнений общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Развиты численные методы решения общих плоских задач теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и дано решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в жесткопластическое полупространство при действии поперечных и продольных контактных касательных напряжений.

Точные и приближенные аналитические решения, получаемые в рамках теории идеальной пластичности, широко используются при расчетах технологических процессов обработки металлов давлением и др. Актуальной является задача учета свойств неоднородности материала, а также развитие методов решения подобных задач.

Неоднородность пластических свойств материалов может быть вызвана рядом причин. Неоднородность свойств материалов может возникнуть в результате неоднородного деформирования упрочняющегося материала при прокатке, штамповке, волочении и т. п. К неоднородному распределению пластических свойств может привести воздействие различных динамических нагрузок. Неоднородность пластических свойств материала может возникнуть в результате поверхностной обработки изделия, например, вследствие закалки и т. п. Пластическая неоднородность может быть вызвана воздействием радиационного облучения, а также в результате воздействия различных температурных градиентов, возникающих при литье и т. д.

В настоящей работе рассматривается неоднородность пластических свойств материала, выражаемая зависимостью предела текучести от координат точек пластического материала. Уравнения неоднородного идеального жесткопластического тела получаются после замены постоянной предела текучести к на функцию, зависящую от координат точек пространства, называемую обычно пластической неоднородностью.

Целью настоящей работы является исследование двумерных статически определимых соотношений теории идеальной пластичности в декартовых и сферических координатах для однородного и неоднородного материала, развитие численных методов решения.

Работа состоит и четырех глав.

В первой главе, посвященной общей плоской задачи, определяются характеристические соотношения для определения поля напряжений, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала произвольного вида то трех координат точек пространства. Далее приводятся численные методы расчета поля напряжений с учетом особенностей построения поля характеристик в расчете поля напряжений для случая неоднородности материала, а также переменного контактного касательного напряжения.

Во второй главе рассматриваются общая плоская и плоская задачи теории идеальной пластичности о вдавливании плоского штампа в жест-копластическое полупространство. Приводятся численные решения общей плоской и плоской задач о вдавливании плоского штампа в однородное и неоднородное жесткопластическое полупространство при действии переменного контактного касательного напряжения для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства. Также приводится, полученное при апробации численных методов и характеристических соотношений, приведенных в первой главе численное решение плоской задачи о вдавливании плоского штампа в жесткопластическое полупространство с выбранной произвольно неоднородностью вида к{х, у) = = к0 5 т (3/сс/4)(1 + у)/ 2 + 1.1.

Третьей глава посвящена общей сферической задаче. Определяются в сферической системе координат рвср характеристические соотношения для напряжений, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала произвольного вида. Также приводятся характеристические соотношения для определения поля скоростей перемещений для случая однородного материала. Предлагаются численные методы расчета поля напряжений применительно к системе координат рвср.

В четвертой главе рассматриваются общая сферическая и сферическая задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в жесткопластическое полупространство. Получены численные решения общей сферической и сферической задач о вдавливании клинообразного в плане штампа в однородное и неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянного и переменного контактного касательного напряжения для случае пластической неоднородности экспоненциальной вида. Аналогично второй главе, приводится численное решение сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство с отличной от экспоненциального вида пластической неоднородностью к = к (в, (р) = з1п (3^/4)(1 — в)/2 + 1.1.

На защиту выносятся следующие результаты:

• Численное решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное жесткопластическое полупространство при действии переменных контактных касательных напряжений;

• Численное решение общей плоской и плоской задач о вдавливании плоского штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

• Численное решение общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное жесткопластическое полупространство с учетом сдвиговых усилий;

• Численное решение задачи сферического деформированного состояния и общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая пластической неоднородности экспоненциального вида.

Научная новизна Получены характеристические соотношения для напряжений и развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс общих плоских и общих сферических задач для неоднородного материала с пределом текучести произвольного вида, описываемых системами уравнений и соотношениями, приведенными в настоящей работе.

Достоверность результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории идеальной пластичности, математических методов исследований и непротиворечивостью и сводимостью результатов данной работы к результатам других авторов.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопласти-ческих неоднородных сред, для более полного исследования ресурсов прочности, и, следовательно, более рационального проектирования сооружений и машин.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

• на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л. А. Толоконникова (Тула, ноябрь 2003 г.);

• на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002);

• на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 2001;2004);

• на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И. Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003);

• на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ им. И. Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002,2003).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах.

Основные результаты и выводы.

1. Получены характеристические соотношения, определяющие напряженное состояние плоской и общей плоской, сферической и общей сферической задач теории идеально пластического тела, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала с пределом текучести произвольного вида от трех координат точек пространства;

2. Получены характеристические соотношения для скоростей перемещений общей сферической задачи теории идеально пластического тела;

3. Развиты и обобщены численные методы расчета поля напряжений для общей плоской задачи на сферическую систему координат рв (р для общей сферической задачи, учет пластической неоднородности материала, а также действие переменного контактного касательного напряжения под штампом;

4. Получено численное решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное жесткопластическое полупространство при действии переменных контактных касательных напряжений;

5. Получены численные решения плоской и общей плоской задач о вдавливании плоского штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

6. Получено численное решение общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряженийПолучено численное решение сферической и общей сферической задач о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной пластической неоднородности материала.