Интегральные методы в многомерной теории степенных рядов и разностных уравнений

Представления функций рядами, а затем и интегралами, возникли на ранних стадиях развития теории функций и математического анализа и целом, как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решений разностных и дифференциальных уравнении, исследования их асимптотики и их аналитического продолжения. Создание общей теории аналитического продолжения функций (Вейсрштрасс, Ри-маи) позволило понять сущность явления многозначности аналитических функций, которое было основным источником ошибок при неумелых попытках аналитического продолжения, однако не отменило использование многочисленных специальных методов аналитического продолжения, п том числе и представления функций интегралами, зависящими от параметров. Это объясняется малой эффективностью общего аппарата аналитического продолжения при решении конкретных задач.

Ряды и интегралы являются мощным инструментом математического анализа, нашедшим самые разнообразные применения при решении математических и прикладных задач. Один из первых примеров такого рода — введенная в обращение JI. Эйлером гамма-функция, которая позволила распространить факториал с целочисленного переменного на действительное и, используя полученное Эйлером интегральное представление, получить асимптотическую формулу для гамма-функции (формулу Стирлипга). Эйлер же решил и задачу суммирования функций, получив формулу Эйлера-Маклорена, частным случаем которой является формула Стирлинга.

С задачей суммирования функций теснейшим образом связана теория решения конечно-разностных уравнений. К числу первых результатов здесь можно отнести утверждение Муавра о возвратных степенных рядах, т. е. рядах, коэффициенты которых являются решениями разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказалось, что такие ряды представляют рациональные функции.

Одномерная теория конечно-разностных уравнений [54] развивалась параллельно с теорией обыкновенных дифференциальных уравнении и в случае линейных уравнений имеет вполне законченный вид. Одной из наиболее топких и глубоких теорем анализа является теорема Пуанкаре об асимптотическом поведении решений разностного уравнения с предельно-постоянными коэффициентами. Перрон уточнил теорему Пуанкаре при дополнительном условии невырожденности разностного уравнения. Теорема Пуанкаре-Перрона в векторной формулировке уточнялась в [53] в связи с доказательством гипотезы Гончара о возможности распростраииния теоремы Фабри об отношении коэффициентов степенного ряда па случаи т-ой строки таблицы многоточечных аппроксимаций Паде.

В отличие от одномерного случая теория многомерных линейных разностных уравнений была мало исследована до недавнего времени. Так, в [31] были рассмотрены частные виды уравнений с двумя переменными, а в работе Даффина [14] был построен дискретный аналог теории гармонических функций двух переменных.

Далее, в [8[ в связи с решением некоторых комбинаторных задач о числе путей в целочисленной решетке, приводящих к линейным рекуррентным соотношениям, ставится задача Коши и доказывается существование и единственность ее решения. Другой важный и естественный с точки зрения комбинаторного анализа вопрос, решаемый в этой работе, состоит в том, как производящая функция (z-преобразование решения разностного уравнения), соответствующая решению, зависит от производящих функций начальных данных.

Многомерные разностные уравнения естественным образом возникают в теории цифровой обработки многомерных сигналов. Важнейшей характеристикой цифрового рекурсивного фильтра является его импульсный отклик, обеспечивающий устойчивость фильтра. С точки зрения анализа речь идет о сходимости ряда из мо/1улей коэффициентов Тейлора рациональной функции. В случае двух переменных проблема устойчивости цифрового рекурсивного фильтра решена Цихом (1991) в [98].

В [7] интегральные представления фундаментальных решении разностного уравнения применялись для получения асимптотических оценок, которые нашли свое применение в некоторых задачах интерполяции (cardinal interpolation). Совсем недавно была обнаружена связь асимптотической теории разностных уравнений с биоинформатикой (2005, работы Штурмфельса и его соавторов [24]), а также с теорией димерои (Кенион, Окуньков [27], 2003).

Проблема продолжения степенного ряда за пределы круга сходимости и исследование особых точек этого ряда относится к числу трудных уже для функции одной переменной. Представление функции интегралами, зависящими от параметров, в силу своей обозримости зачастую предпочтительнее ее представления с помощью ряда. Ярким примером такого типа является одна из красивых теорем в теории распределения особенностей аналитических функций — теорема Адамара об умножении особенностей (см. [52]) для степенного ряда, коэффициенты которого являются произведением коэффициентов двух заданных рядов. Для кратных степенных рядов конструкции, обобщающие произведение Адамара рядов, появились в связи с решением некоторых задач теории чисел [35] и комбинаторного анализа [12], [61]. Одна из этих конструкций — «диагональные» композиции Адамара двойного ряда восходит еще к Пуанкаре [88]. В [98] диагонали двойного ряда изучались в связи с проблемой устойчивости цифровых рекурсивных фильтров. Отметим еще, что идея «разделения особенностей» подынтегрального выражения, использованная в доказательстве теоремы Адамара об умножении особенностей, успешно применялась при исследовании интегралов, зависящих от параметра, гомологическими методами (см., например, [93], [97]).

В 50−60 годы прошлого века Jlepe [30] (в связи с исследованиями в теории линейных гиперболичеких уравнений с помощью обобщенного преобразования Лапласа) создал аппарат интегрирования по комплексному многообразию дифференциальных форм с особенностями — теорию вычетов Лере. Постороепие одного из основных объектов этой теории — формы-вычета Лере приводит к необходимости отыскания в данном классе когомологий дифференциальной формы с полюсами первого порядка, т. е. к задаче когомологического приведения периодов. Общая конструкция когомологического приведения периодов использует разбиение единицы и не сохраняет рациональности исходной дифференциальной формы. Гриффите в [19], исследуя периоды рациональных дифференциальных форм в? г-мерном проективном пространстве, предложил метод понижения порядка полюсов, не выводящий из класса рациональных дифференциальных форм. Когомологическое исследование рациональных форм было продолжено в статьях Батырева и Кокса ([5] 1995) с точки зрения торической геометрии, а конструирование формы-вычета с сингулярными полярными множествами и их связь со связностью Гаусса.

Машша изучались Александровым ([1] 2005).

С теорией многомерных вычетов и их применениями тесно связан вопрос о разделении особенностей голоморфных функций и форм, в частности вопрос о разложении рациональных функций многих переменных на простейшие дроби. Случай линейных особенностей полностью решен в работах Южакова (см. [104]) и нашел свое применение при исследовании интегралов, зависящих от параметров.

Характеризуя диссертационную работу и целом, можно сказать, что она посвящена развитию и применению интегральных методов в решении некоторых проблем теории степенных рядов и разностных уравнений, при этом основным инструментом исследования является представление изучаемых объектов интегралами, зависящими от параметров.

Цель данной работы — развитие техники кратных рядов и интегралов и ее применение для:

1) описания пространства решений линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами;

2) исследования асимптотик решений разностных уравнений и поиска многомерной версии теоремы Пуанкаре;

3) исследования различных конструкций, обобщающих произведение Адамара степенных рядов, доказательства многомерных аналогов теоремы об умножении особенностей;

4) когомологического приведения периодов рациональных дифференциальных форм.

Прежде чем давать точные формулировки задач, решению которых посвящены соответствующие главы, мы кратко описываем одномерную ситуацию, выделяя те моменты теории, которые представляются существенными при их распространении на многомерный случай и подчеркивая при этом принципиальные отличия от одномерной ситуации. В гл. 1 исследуются многомерные разностные уравнения.

Одномерное однородное линейное разностное уравнение относительно неизвестной функции /: Z+ —у С с постоянными коэффициентами имеет вид.

0.0.1) f (x + т) + «mi f{x + т — 1) + • • • + aQf (x) = 0, х е Z +.

Если известны корни zj его характеристического уравнения (0.0.2) P{z) := zm + am12w" 1 + • • • + a0 = 0, и «о ф 0, то всякое решение разностного уравнения представляется и виде.

0.0.3) f (x) =^Cj (x)z], xeZ+, 3 где Cj (x) — многочлен относительно х, степень которого не превосходит кратности корня Zj. В одномерной ситуации формула (0.0.3) дает полное описание пространства решений уравнения (0.0.1), однако на многомерный случай она не переносится, поэтому отмстим, что из теоремы о полной сумме вычетов легко следует справедливость двух других представлений решения (0.0.3) разностного уравнения (0.0.1):

0.0.4) /W = -L/"^=res^>f, iez+,.

2пг Jг P[z) z=oо P{z) где Q (z) — многочлен, степень которого ниже степени т характеристического многочлена P (z), а цикл Г = {z € С: |z| = /2} — окружность радиуса R такого, что все корни характеристического уравнения лежат внутри Г.

Для произвольной функции целочисленного аргумента /: —> С ее^{-преобразование} (производящая функция) определяется следующим образом:

0.0.5) F (z) =? М. xez+.

Формула (0.0.4) означает, в частности, что f (x) является решением разностного уравнения (0.0.1) тогда и только тогда, когда ее z-преобразование является рациональной функцией F (z) = Q{z)/P{z), причем степень числителя Q (z) меньше порядка т уравнения (0.0.1).

Последнее замечание можно интерпретировать как утверждение о разрешимости при п = 1 следующей задачи аналитического продолжения: найти функцию F (z), определенную степенным рядом (0.0.5), если коэффициенты f (x) этого ряда удовлетворяют условиям (0.0.1).

Отметим, что для дифференциального уравнения с тем же характеристическим многочленом P (z).

0.0.6) P (D)u := Dmu + amiZ? m-*u + • • • + a0u = 0 формулы для общего решения, соответствующие (0.0.3) и (0.0.4) имеют вид:

0.0.7) «(») =.

0.0.8) ttW = JL/.

Q{z)eu dz Q{z)c — Res tz r P{z) z=00 p{z) ' и, кроме того, решение u (t) дифференциального уравнения (0.0.6) является преобразованием Бореля (см. [52]) 2-иреобразонания (0.0.5) решения ])азпостного уравнения (0.0.1):

0.0.9) u (t) =? №f.

В одномерном случае представляется очевидным, что решение (неоднородного) разностного уравнения.

0.0.10) f (x + т) + am-if (x + т — 1) + • • • + a0f (x) = д (х), х е полностью определяется своими значениями фх в т «начальных» точках.

0.0.11) f (x) = фх, х = 0,1,. ., т — 1- иными словами задача Коши: найти функцию /: —> С, удовлетворяющую уравнению (0.0.10) и начальным условиям (0.0.11) всегда имеет решение, причем единственное.

Функция V: Z —> С называется фундаментальным решением разностного уравнения (0.0.10), если т.

0.0.12).

У^ aaV (x + «) = 8Хго, х? a=0 где 8Xiо = 0 для всех x ф 0 и <5о, о = 1. Интегральная формула.

I f &bdquo-х-1 очевидным образом определяет фундаментальное решение (при любом цикле Г, охватывающем начало координат, и не проходящем через пули характеристического многочлена).

Если известно фундаментальное решение V (x), то решение неоднородного разностного уравнения (0.0.10) определяется формулой.

0.0.14) НХ)=^'Р (Х-У)9(У) yez+ и естественным образом возникает вопрос о сходимости ряда (0.0.11). Отметим, что конструкцию сверточиого типа, аналогичную правой части формулы (0.0.14), можно описать в терминах композиции Адамара степенных рядов (см. ниже, формула (0.0.30)).

Обозначим через Z" = Z х • • • х Z — ?г-мерную решетку. Пусть Z" — подмножество этой решетки, состоящее из точек с целыми неотрицательными компонентами, А = {а} С Z" — некоторое фиксированное конечное множество таких точек.

Разностным уравнением (относительно неизвестной функции /: Z" -> С) назовем соотношение вида.

0.0.15) ^Гаа/(х + а) = 0, х£%1. аел.

Характеристическим многочленом для разностного уравнения (0.0.15) назовем многочлен.

Р{г) :=£>аЛ оел где za = z" 1 • • ¦ z°n, z = (z,., zn) € C™.

Характеристическим множеством для разностного уравнения (0.0.15) назовем множество нулей характеристического многочлена V = {z е С": P (z) = 0}. Иногда мы будем исследовать уравнение (0.0.15) на всей решетке Z" или на произвольном конусе этой решетки, в этом случае естественно характеристическое множество рассматривать в комплексном торе, т. е. полагать V = {z G (С 0)": P (z) = 0}.

Если z G V, то также как и в случае п = 1, функция f (x) = const г®является решением уравнения (0.0.15), однако, в отличие от одномерной ситуации, представить любое решение формулой вида (0.0.3) или даже непрерывным" аналогом этой формулы: f (x) = fyzxdji (z) (с некоторой мерой d/i (z), сосредоточенной на характеристическом множестве К) не представляется возможным. Действительно, для простейшего двумерного разностного уравнения f (xi +1, ж2) — f (x 1, х2) = 0 решением является произвольная функция от и возможность се «экспоненциального» представления (К = {(21,22) € С2: Z = 1}) означала бы разрешимость следующей (неразрешимой!) проблемы моментов: для любой последовательности с (х2) комплексных чисел существует мера d[i (z) такая, что с (х2) = JczX2dfi (z).

Этот же пример говорит и о невозможности представить любое решение f (x) интегралом вида (0.0.4), так как в этом случае оно будет удовлетворять неравенству вида |/(ж)| < const zx, следовательно, не может быть произвольной функцией.

Таким образом, при п > 1 для решения проблемы описания пространства решений уравнения (0.0.15) остается лишь поиск в виде f (x) = Res —многомерного аналога правой части формулы (0.0.4). Соответствующий результат излагается в § 1.1. Для его формулировки нам потребуются некоторые известные понятия.

Многогранником Ньютона Np многочлена Р называется выпуклая оболочка в Rra элементов множества, А (напомним, что, А — набор показателей мономов для Р).

Если v — вершина многогранника Np, то рациональная функция l/P (z) разлагается в ряд Лорана вида где Kv — конус, построенный на векторах и — а, а € Л. Отмстим, что этот ряд имеет непустую область сходимости и, кроме того, для его коэффициентов справедлива интегральная формула.

0.0.10).

0.0.17) где Г — вещественный? г-мерный тор (остов) {|zi| = Ri,., zn = Rn), лежащий в области сходимости.

На множестве рядов Лорана F (z) = ?xezn aix) zX определим функционал Res следующим образом:

RcsF (z) = a{-I), I = (1,., 1).

Пусть Ъ — а — сдвиг конуса Ъ па вектор (—а). Определим для конечного набора, А — {"} множество.

Z2 = U aeA (Zn±a)Zl и обозначим через цд линейное прост])анство рядов Лорана вида.

M{z) =? i^z-y-1.

Отметим, что сходимость этих рядов, вообще говоря, не предполагается.

В предложении" 1.1.4 доказывается, что для вершин v многогранника Np с условием.

0.0.18) dim (C"nR^) = ri, где Си — двойственный конус к Np в точке г/, произведения ряда (0.0.1G) на ряды М (z) € Ца алгебраически определены, т. е. выражаются через конечные процедуры, при этом очев"д"о, что всегда существует хотя бы одна вершина и многогранника Np с условием (0.0.18). Следующая теорема дает описание пространства всех решений уравнения (0.0.15). Ее можно рассматривать как дискретную версию известного в теории дифференциальных операторов с частными производными фундаментального принципа.

Теорема 0.0.1 (1.1.1). Всякое решение разностного уравнения (0.0.15) Mooicno представить в виде.

0.0.19) f (x) = Res{-^-M (z)zx}, х € Ъп+, где вираоюение под знаком Res понимается как произведение ряда Лорана (0.0.1G) для 1 /P (z) и (формального) ряда M (z)? /ьд.

Если ряд М (z) сходящийся и его область сходимости имеет непустое пересечение с областью сходимости ряда (0.0.1G), то решение можно представить интегралом.

2−1)" Л. P (z) но подходящему остову IV и, следовательно, такое решение допускает экспоненциальную оценку f (x) ^ constехи.

Условие (0.0.18), обеспечивающее корректность умножения рядов в теореме 0.0.1, напрямую связано с возможностью корректной постановки задачи Коши для уравнения.

0.0.20) a" f (x + а) = 0{х), z € Ъ. пел.

В отличие от одномерной задачи (О.О.Ю)-(О.О.Н) вопрос о множествах, па которых можно задавать «начальные» данные задачи Коши и требовать выполнения соотношения (0.0.20), уже пе является очевидным, и его решение дано в § 1.2.

Фиксируем т € NP (lZn и обозначим Ъпт. = {у Е: 0 < jjj < nij-1}. Далее U" =1Z" = Ъпт и пусть ф: Ъ]1п —> С — заданная функция.

Сформулируем задачу: найти функцию /: Z" —> С, удовлетворяющую уравнению (0.0.20) и совпадающую на Z^ с функцией ф{х):

0.0.21) /(х) = ф (х), хе к.

Решение сформулированной задачи (0.0.20)-(0.0.21) существует и единственно не для всякого т € NP П Ъп. При п = 1 это будет справедливо только для т = (leg P (z). Пример для п = 2 приведен в § 1.2.

Фундаментальное решение V{x) разностного уравнения (0.0.20) определяется также, как и для п = 1 (см. формулу (0.0.12)):

Х + а) = <*х, 0> х G Z", а€л где 5Х)0 = 0 для всех х G Ъп таких, что х ф 0 и 5о, о = 1.

Каждой вершине т многогранника Ныотона соответствует фундаментальное 1>ешепие Vm (x), определенное (формулой (0.0.17). Если известно фундаментальное решение V (x), то решение уравнения (0.0.20) дается формулой f (x) = Yhy^i^^ ~ у)(Лу) п1ш условии, что правая часть определена корректно. Построим решение задачи (0.0.20)-(0.0.21) в конусе предполагая вначале, что д (у) = 0 для у? Z", т. е. рассмотрим однородную задачу Коиш.

Определим функцию ф: Zn —> С, полагая ф (х) = ф (х) для х? Ъ1п и ф (х) = 0 для х i Ъпт, и обозначим.

S = {х? Z": существует, а? Л такое, что х + а? Z" J.

Введем множества = S П Z" и = S S+ и обозначим.

1{х) = { 0, х i функцию, определенную на Zn и такую, что fi (x) = 0 для х? Z". Носитель функции V: Z" -> С будем обозначать SuppV.

Теорема 0.0.2 (1.2.1). Если существует фундаментальное решение разностного уравнения, удовлетворяющее нио/сеследующим условиям: г) для любого х? Z" множество SuppV П (х — S-) состоит из конечного числа точек;

И) для любого х? Z" t множество SuppV П (х — S+) = 0, то функция.

0.0.22) f (x) = У) КУ) уевявляется решением задачи (0.0.20) -(0.0.21), причем сумма, стоягцая в правой части (0.0.21), конечна.

Из того, что вершина m многогранника Ныотона, удовлетворяет условию (0.0.18) (или (1.2.3)), обеспечивающему существование и единственность решения задачи Коши, еще не следует, что она удовлетворяет условиям (г), (и) теоремы 0.0.2 (соответствующий пример приведен в конце § 1.2).

Теорема 0.0.3 (1.2.2). Если вершина т многогранника Ньютона Np удовлетворяет одному из двух следующих условий: mi — т2 = ••• = m, j-1 = nij+i = • • • = тп = 0,,. nij > aj для всех, а? NpD Zn, а Ф т- ' rrij >ttj, j = 1,., n для всех a? Np П Zn, (**) то однородная задача (0.0.20)-(0.0.21) имеет единственное решение и его можно найти по формуле (0.0.22).

Для неоднородного уравнения (0.0.20) формула f (x) = х ~~ у) д (у) даст его частное решение, причем для х? Z^ имеем f (x) = 0 и в случаях (*) и (**) сумма, определяющая решение / конечна. Поэтому решение задачи (0.0.20)-(0.0.21) для неоднородного уравнения имеет вид f (x)+f (:г), где f (x) — решение задачи Коши для однородного уравнения.

Глава 2 посвящена асимптотике многомерных разностных уравнений. Если одномерное разностное уравнение (0.0.1) имеет переменные коэффициенты ап (х), то формул для его решений вида (0.0.3) или (0.0.4) пет, однако, при некоторых естественных ограничениях на коэффициенты, его решения f (x) ведут себя асимптотически также, как решения уравнения с постоянными коэффициентами. Это следует из теоремы Пуанкаре ([54, 38]), которая утверждает, что если.

1) существуют конечные пределы коэффициентов разностного уравнения lim аа (х) = аах->оо.

2) корни Zj характеристического многочлена P (z) предельного уравнения различны по модулю, тогда для любого решения f (x) разностного уравнения с переменными коэффициентами либо f (x) = 0 для х > Xq, либо найдется j такое, что Hindoo^jgp = Zj.

При дополнительном условии невырожденности разностного уравнения (ао (х) ф 0) Перрон ([37]) доказал, что для любого корня Zj найдется решение f (x) такое, что lim = Zj.

X-tOO.

При попытках перенести на многомерный случай теорему Пуанкаре возникают трудности принципиального характера, связанные с тем, что многомерное разностное уравнение имеет «слишком много» решений, среди которых есть и решения с неконтролируемым асимптотическим поведением. Например, решением простейшего уравнения f (x +1,0.2) — f (xi, Х2) — 0 является произвольная функция от Х2. f (x, x2) = cfa).

Ситуация несколько улучшается для переопределенной системы разностных уравнений.

0.0.23)? a{(x)f (x + а) = 0, j = 1,., п a? Aj относительно одной неизвестной функции /: Z" С, где Aj — конечные множества из Z" .

Так, в случае постоянных коэффициентов о? а (х) = aJa при условии, что соответствующая характеристическая система полиномиальных уравнений.

0.0.24) Pj{z)'.= Y,.

0.0.25) f (x) = J2ciXU)' j=i где Cj — некоторые константы.

Здесь важно отметить, что в случае, когда координата A (j)M корня A (j) равна нулю, под мы понимаем функцию переменного х^? равную 1 при Хц = 0 и пулю для остальных значений х^.

Если в качестве многомерного аналога отношения /(х+1)/f (x) будем рассматривать вектор Горна Н (х) (и мссть математика, впервые применившего его в определении общего гииергеомет-рического ряда в 1889 г.), то при произвольном стремлении х оо предел вектора Горна для решений (0.0.25) уравнения (0.0.23) по-прежнему не существует. Однако, на «лучах» х = {a+pl}, при I —> +оо он существует и равен одному из корней предельной характеристической системы (0.0.24) в случае, если все эти корни имеют различные модули в направлении р: > ••• > Здесь а, р G Ъп — произвольные фиксированные векторы.

Прежде чем сформулировать обобщение теоремы Пуанкаре для системы (2.0.1), отметим следующее. Формально в одномерной теореме Пуанкаре есть только два условия: сходимость коэффициентов и несовпадение модулей корней. По в действительности требуется также нормирование коэффициента при старшей степени, и возможность такой нормировки отражает тот факт, что корни характеристического многочлена P (x, z) не «исчезают» на бесконечность при х -> оо. В многомерном случае соответствующее условие следующее: проекция.

0.0.20) 7г: {{х, z) G Ъ х CnР1(х, z) =. = Рп (х, z) = 0} -> должна быть собственным отображением в том смысле, что число прообразов 7г-1(х) конечно, и не зависит от х. Например, такому условию удовлетворяют многочлены Pj (x, z), у которых однородные составляющие старшей степени по г не зависят от х и обращаются одновременно в нуль лишь при г = 0.

Теорема 0.0.4 (2.2.1). Предполооюим, что проекция (0.0.2G) собственная, и что для данного направления q G Z" {0} каждый из коэффициентов системы (0.0.23) стремится к конечному пределу при х —" оо вдоль последовательностей вида { a + qlI G N }, где, а G Ъп. Потребуем тако/се, чтобы для корней A (i),., X (k) предельной характеристической системы, соответствующей (0.0.23), мономы А^,., А^ были все различны по абсолютной величине. Тогда для любого ненулевого решения f (x) системы (0.0.23) предел вектора Горна f{x + e i) J{x + сп) «» ' М x=a+ql существует и равен одному из характеристических корней А (р) предельной системы.

В отличие от системы (0.0.23) скалярное уравнение (0.0.15) даже для постоянных коэффициентов не только допускает решения с произвольным ростом, по и в случае экспоненциального роста решения f (x) вектор Горна может не иметь предела вдоль бесконечного числа направлений. Например, для уравнения f (xi + 1, х2) + f (x, i, x2 + 2) — /(^i, x2) = 0 решениями будут функции f (xl, x2) = (г)11 C^)X2(ci + с2(-1)Т2) с произвольными константами с и с2. Если CiC2 ф 0, то отношение it)^ = ^(с!+сг (-1р) ие 1шеет «Радела вдоль любого направления (х1,х2) = l (pi, l), pi G Z. В данном примере вместе с любой точкой (21,22) G V = {21 + — 1 = 0} характеристическому множеству V принадлежит и точка (21,-22) «эти точки имеют одинаковые по модулю координаты. Таким образом, формулировка аналога теоремы Пуанкаре для скалярного разностного уравнения должна содержать многомерный аналог условия условия о различных по модулю корнях характеристического уравнения, а также описание класса решений, для которых справедлива теорема Пуанкаре.

В качестве такого класса решений уравнения (0.0.15) будем рассматривать интегралы вида.

0.0.27) f (x) = I zxu (z), xeZn, j a где и 6 fin-1(F) — голоморфные формы па V и, а — (п — 1)-циклы на rcgV, т. е. на регулярной части V. Отметим, что в данном случае характеристическое множество V расматривается в (С 0)'.

Амебой многочлена Лорана Р, или, эквивалентно, алгебраической гиперповерхности V = {z е (€ {0})" - P (z) = 0}, называется образ V при логарифмическом проектировании.

Log: (zu., zn) н- (log. ., log|z"|).

Будем обозначать амебу через Avх1нсло компонент дополнения R" Av не меньше числа вершин многогранника Np и не больше числа целых точек NP, см. [17]: vertNP < #{?} < #{Zn П NP] .

Мы рассматриваем амебы, которые имеют максимальное число #{Z" fliVp} связных компонент. В одномерной ситуации это случай, когда все корни попарно различны.

Теорема 0.0.5 (2.3.1). Пусть п = 2. Предположим, что амеба Ау характеристического мноокества уравнения имеет максимальное число компонент дополнения и что граница дАу гладкая. Тогда для любого ненулевого допустимого решения и для почти любого из направлений q G QP[, на которых / не обращается в ноль, предел lim '^Х + + ^.

I-oo V f{x) ' fix) существует и равен точке z G V. х=a+lq.

В Главе 3 изучаются различные конструкции кратных степенных рядов, обобщающие классическую адамаровскую композицию.

Одним из ярких примеров применения интегрального представления для аналитического продолжения степенного ряда является теорема Адамара об умножении особенностей.

Если даны два степенных ряда.

0.0.28) Пг) = ?>(г/)Л ye z.

0.0.29) = ye z то их композицией Лдамара называется степенно!'! ряд вида (см. [52]) (0.0.30) H{z) = Y, b (v)g (v)zy. у&

Отметим, что если b (y) = V (x — у) и степенной ряд (0.0.30) сходится при z = 1, то Я (1) в соответствии с формулой (0.0.14) есть решение разностного уравнения (0.0.10).

В исследовании вопроса об аналитическом продолжении композиции H (z) решающую роль играет интегральное представление композиции.

0.0.31) н{!!) = ± J^Gi^I, где контур Г выбирается таким образом, чтобы он «разделял» особые точки функций F (Q и G (|) соответственно. В общем случае вопрос об аналитическом продолжении интеграла (0.0.31) далеко не простой даже в случае функций одной переменной и ответ на него дает теорема Ада-мара об умножении особенностей (в терминах композиции главных звезд функций Fn G). Если же функции F и G регулярны в нуле и имеют конечное число изолированных особсппостсй (фактически этот случай и рассматривал сам Адамар), то процедура аналитического продолжения становится наглядной и довольно простой.

Пусть {n-j}, {Pj} — особые точки функций F (f-) и С (<^) соответственно, тогда у функции G (j) особыми будут точки jи при z достаточно малых найдется такая окрестность Г, что все особые точки функции G (|) будут расположены внутри этой окружности, а особые точки функции F (?) — вне Г. Очевидно, что при таком выборе 2 и контура Г интеграл (0.0.31) определяет аналитическую функцию H (z). Изменяя 2 и деформируя контур Г так, чтобы он не попадал на особые точки подынтегрального выражения, видим, что особыми точками функции H (z) могут быть лишь точки z такие, что j: = сц, т. е. z = — «особенности перемножаются».

Отметим еще, что если F и G — рациональные функции, то прямые вычисления (с использованием теоремы о разложении на простейшие дроби, например) показывают, что композиция H (z) будет рациональной функцией.

Приведем две конструкции, которые обобщают па многомерный случай классическую адамаровскую композицию степенных рядов (0.0.30). Пусть даны два степенных ряда кратности п и т соо тветственно:

0.0.32) i’XO =? а (а)е°.

06Z5.

0.0.33) <эд =? bifitf.

Pezy и дано линейное отображение L: Zm Ъп с матрицей, которую будем обозначать той же буквой.

0.0.34) L = \dij\mxn,.

Определим композицию рядов F (?) и G (?/) следующим образом:

0.0.35) ЯД г) = Y, а (РЬ + где fi G Zn — фиксированный вектор, а (3 • L — произведение вектора (5 на матрицу L. Классическая адамаровская композиция степенных рядов получается при т = п = 1, (in = 1, =0. Выбирая подходящим образом матриц}' L и вектор ц можно получить композиции степенных рядов, изучавшихся в работах [35, 12, 61].

Также, как и для одномерного случая, решающую роль при решении задачи аналитического продолжения функции H^(z) играет интегральное представление этой функции.

Теорема 0.0.6 (3.2.1). Пусть функция (0.0.32) голоморфна в замкнутом полицилиндре U = {? € Сп: < Tj, j — 1 ,., п}, а функция (0.0.33) — в замкнутом полицилиндре V = {77 € С" 1: |гд | < Ri, i =.

1,., m}, тогда их композиция Лдамара (0.0.35) голоморфна в полицилиндре W = {z? Cm: |Zi < pi, i = 1,., m), где pi = T^rf1 • • ¦ rdnin, i = 1,., m и для z? W справедливо интегральное представление где iL = (tf11—-^,.,^1 = {? € С": = rhj =.

Звездой в комплексной плоскости С будем называть звездную по отношению к началу координат область.

Композицией звезд U, V С С называется [52, с. 3G] множество UoV — (U'V1)', где ' означает дополнение множества в комплексной плоскости, &U'V'= {u'v': и' ?U', v' ?V'}.

В [52) показано, что композиция двух звезд снова звезда и U о V —.

Область U = JJ х • • • х Uk С Ck назовем k-звездной, если Uj — звезда,.

Пользуясь интегральным представлением (0.0.3G) можно осуществить аналитическое продолжение композиции (0.0.35).

Теорема 0.0.7 (3.2.2). Если функция (0.0.32) голоморфна в п-звездной области U = U х ••• х Un, функция (0.0.33) голоморфна в т-звездиой области V = \ х • • • х Vn, тогда ф]нщия (0.0.35) голоморфна в т-звездной области II = #i х ••• х Нт, где Hi = U (il о ••• о U%in о Ц, i — 1,., m.

Точку? ? 0U назовем угловой точкой звезды U С С, если ff? U для всех 0 < t < 1.

Точку? ? 0U назовем хорошо достижимой точкой звезды U С С, если f? ? U для всех 0 < t < 1 и некоторого комплексного числа со такого, что Re и- > 0, а 1ш и ф 0.

Точку? = (?i,. ,?") назовем угловой (хорошо достижимой) точкой 71-звездной области U = U,., Un если — угловая (хорошо достижимая) точка звезды Uj для всех j = 1,., п.

Теорема 0.0.8 (3.4.1). Среди угловых и хорошо достижимых точек т-звездной области II особыми точками композиции (0.0.35) могут быть лишь те точки, которые принадлежат множеству.

0.0.3G).

VoU. ф1-ф = {фп.Ф1г-Фт), где ф = (</>i,., фп) — особые точки (функции (0.0.32), лежащие па остове 0U х • • • х 0Un, а ф = (ф,., фт) — особые точки функции (0.0.33), лежащие на остове OVi х • • • х dVm.

Другое обобщение композиции Адамара на многомерный случай получится и том случае, когда для представления и аналитического продолжения композиции II используем интегральные представления, в которых интегрирование ведется, но (2п — 1)-мериым циклам (границам областей в С71). Пусть г = (zi,. ., zn),? = (?i,. ,?n) — точки? г-мериого пространства С" и? = ., ?"), где ^ — сопряженное к j = 1,., п, № = ы2 + ••• + ы2 И Е = {z е С": Zj < 1, j = 1,.,"} -единичный поликруг. Обозначим через V полную я-круговую область с центром в начале координат, Vr = rV — гомотетию области V и Pv{z) = inf{r: f G V, г > 0} — функционал Мипковского области V. Фиксируем область V С Е такую, что VT Е для г > 1.

Обозначим S (V) границу Шилова области V и S (T>) — образ области S (V) при отображении г = (zi, ., zn) (zi,., zn) и V — образ границы 0Т> при этом же отображении. Мера, А (конечная) на дТ> называется массивной на границе Шилова, если для всякого М С дТ> нулевой меры, А имеет место включение сЮ М Э |5(7?)|. Коэффициенты Тейлора сп ядра Сеге области V, соответствующие мере dfi, определяются следующим образом [50, § G, 11]:

Ca = [f |6|2ai.Itnl^dH}-1 = [ f 16 Г. Ы2°П<�Щ;

JdV JOV где dfi = (2m)~nd x fЛ • • • Л. Для двух кратных степенных рядов.

0.0.37) F{z) = J2 a (a)z° 11 G (z) = Л b (a)z" a€Z™ agZf. определим их композицию Адамара следующим образом:

0.0.38) H{z) = F (z) о G{z) = a (a)b (a)c~* za aezf.

Отметим, что для n = 1 область V — единичный круг, и все коэффициенты са = 1, поэтому (0.0.38) — классическая композиция Адамара.

В одномерной ситуации важную роль при аналитическом продолжении интеграла, представляющего композицию Адамара, играют свойства отображения |: С{ —> многомерным аналогом которого является отображение Фг: зависящее от иарамст1юв z е Сг, у которого jf-ая компонента имеет вид Zj? j/p2D (?), J = 1, • ¦ ¦,.

Звездой назовем всякую область из С", звездную, но отношению к началу координат. о.

Композицией звезд U и V назовем множество U V V = {z G С'1: ФZ (U') П V' = 0}, где U' ~Сп U, V = Сп V.

Определенная таким образом композиция звезд является звездой и для п = 1 получаем классическое определение композиции звезд. Вместе с тем есть и различия. Например, в отличие от одномерного случая, композиция звезд не коммутативна.

Предложение 0.0.1 (3.3.1). Пусть степенные ряды (0.0.37) сходятся в областях Vri и VT2 соответственно. Тогда их композиция (0.0.38) сходится в области Т>ПГ2 и для z G Т>Г1Г2 справедливо интегральное представление где у = • • ¦ > и г выбрано так, чтобы ^^ < г < Г.

Данное интегральное представление позволяет осуществить аналитическое представление композиции H (z).

Главной звездой функции называется максимальная звездная область, в которую эта функция аналитически продолжается.

Теорема 0.0.9 (3.3.2). Пусть U, V, W — главные звезды функций о.

F, G, II соответственно, тогда U V V С W.

Пусть U С С" — звезда. Точку? ? U' назовем угловой точкой звезды U, если Е U для всех t G [0,1). Точку? е U' назовем хорошо достиэ/симой, если она хорошо достижима (см. [52]) в сечении звезды U комплексной прямой т?-т? С}.

Теорема 0.0.10 (3.4.2). Среди угловых и хорошо достижимых точек о звезды U V V особыми точками композиции II могут быть лишь точки, принадлежащие мпооюеетву геСп: Ф2(6/о)П1/о#0}, где Uq — множество особых точек функции F па границе главной звезды U, a V0 — мнооюество особых точек функции G на границе главной звезды V.

Отметим, что для п = 1, теоремы 0.0.9 и 0.0.10 дают и точности теорему Адамараоб умножении особенностей (в изложении Бибербаха).

Конструкцию композиции Адамара кратных степенных рядов, определяемую формулой (0.0.38) можно также интерпретировать следующим образом. Так как a € Z" и (3? Z™, то композицию Htl (z) можно рассматривать как сумму с линейными ограничениями на индексы суммирования:

0.0.39) H,(z)= Y, a (/3L + n) b{f})zfit $L+n>О.

0>О где неравенство /3 > 0 означает, что Д > 0 для всех $ > 0, i = 1,., т.

Такого рода суммы встречаются в различных задачах перечислительного комбинаторного анализа и один из возникающих при этом вопросов состоит в отыскании производящей функции n-мерной последовательности {Я/4(2-)}д62п, т. е. функции.

U (t-z)=? ИМ*. I.

Теорема 0.0.11 (3.2.3). Если производящие функции (0.0.32), (0.0.33) голоморфны в замкнутых полицилиндрах U = {? G С&trade-: |?j| < rj, j = 1,., п} и V — {и е Ст: uj < Rj, j = 1 ,., m} соответственно, то для (tz) € U х (l)L О V) справедливо интегральное представление.

0.0,10) П (t-z) = {2т)~п jmG{zie)-^rc гдС1= {(GC": |&| = г^' = 1,., п} и? — t = fa-tx,., Zn-tn).

Если все элементы матрицы L отрицательны /у = -qij, qij > 0, то система линейных неравенств /3L + ц > 0,(3 > 0 имеет конечное число решений в Z", т. е. функция Htl (z) является многочленом, а к интегралу (0.0/10) применима интегральная формула Коши, из которой следует, что.

Щг) =F (t)G (ztQ), где Q = \qij\mx".

Отметим, что при F = 1, G (i/) — (l-i/)/ и z = (1,., 1) получим что — это число целочисленных решений системы линейных уравнений j3Q = /f, а для F (?) = (l-t-)-1, G{v) = (1 -и)'1 и г = (1,., 1) окажется, что Htl (I) — число решений системы неравенств PQ < ц в Z" .

В монографии Г. П. Егорычева [G1] производящая (функция П (£) вычислялась в связи с применениями в теории графов в частном случае.

F (0 = (1 — .

Глава 4 посвящена решению задачи когомологического приведения периодов в классе рациональных дифференциальных форм.

Как при изучении многомерных разностных уравнений, так и при исследовании многомерных аналогов композиции Адамара, естественным образом возникают интегралы (периоды) от замкнутых дифференциальных форм со на некотором комплексном многообразии А' с особенностями на комплексных аналитических подмножествах S этого многообразия, по циклам, лежащим в Л" S.

Важным частным случаем таких интегралов являются интегралы от полумероморфных, в частности, рациональных дифференциальных форм степени п.

M (z)dz по 71-мерным циклам (замкнутым n-мерным ориентированным поверхностям) в пространстве Сп или в комплексном проективном пространстве CP'1.

Формула Стокса и интегральная теорема Коши-Пуанкаре позволяют заменять в интеграле дифференциальную форму и на когомологичную ей (и более простую в каком-либо смысле) дифференциальную форму ш+ (1ф. Такое преобразование интеграла будем называть когомологическим приведением периодов.

В случае, когда дифференциальная форма и с особенностями на комплексном аналитическом подмногообразии S С X имеет полюс первого порядка, формула вычета Лере позволяет понизить порядок интегрирования: fs и = f^ftcsu (здесь 5у — кограница Лере цикла 7, Res и) — класс формы-вычета Лере).

Естественным образом возникает задача об отыскании в каждом классе когомологий [о-]? Hp+l (X S) дифференциальной формы, имеющей на S полюс первого порядка.

Общий метод отыскания такой дифференциальной формы опирается на разбиение единицы и в случае, когда исходная форма рациональна, не гарантирует рациональность преобразованной формы ш + йф. Предлагаемая ниже конструкция позволяет понижать порядки полюсов рациональных дифференциальных форм, оставаясь в классе рациональных форм.

Если ii = 1, то задачу когомологического приведения рациональной дифференциальной формы ш = Mp^z решает теорема о разложении рациональной функции на простейшие дроби. Действительно, если P{z) — njLi (* — zjYJ ~ разложение многочлена P (z) на неприводимые множители, то рациональная функция представляется в виде.

Л' суммы многочлена и простейших дробей вида j^rf-jkЕсли kj > 1, то, Ак. — d, следовательно, рациональная дифференциальная.

Z-Zj) J z~zjr ' форма из когомологична в С {zi,., zm} рациональной форме с полюсами первого порядка.

Пусть теперь п > 1 и известно разложение знаменателя рациональной функции P (z) = fljli Pj3{z) на неприводимые множители. Обозначим V = {z € С'1: P (z) = 0} и Vj = {z G С": Pj (s) = 0}, очевидно v = u^v-.

Теорема 0.0.12 (4.1.1). Всякую рациональную функцию.

M (z) M{z).

P{z) «Ф-РХГ mooicho представить в виде суммы «простейших» дробей ' adA где Л — MHooicecmeo наборов, а — ., ар} С {1,2,., ?/t) таких, что 1 < р < п И r) j<=nVj ф 0, a Ma (z) некоторые многочлены, fij G Z+.

Отметим, что число неприводимых множителей Pj{z) в слагаемых npauoii части разложения (0.0.41) не превосходит числа переменных п. В этом случае дальнейшее разложение на простейшие, вообще говоря, невозможно. Так функцию f (z) = l/z^ •• • zm, т < п нельзя представить в виде суммы рациональных функций, в знаменателях которых меньше чем т множителей Zj (см. [104]).

Отмстим также, что для того, чтобы из теоремы 0.0.12 получить каноническое одномерное разложение па простейшие дроби нужно еще воспользоваться алгоритмом Евклида деления многочленов.

Будем говорить, что множества Vj = {z € Cn: Pj{z) — 0} находятся в общем положении, если дифференциалы dPj определяющих эти множества многочленов Pj линейно независимы в точках множеств УдП- • -CVjp для всех наборов Jp = (ju., jp), 1 < р < п, 1 < < • • • < jp < т.

Теорема 0.0.13 (4.2.1). Если полярное множество рациональной дифференциальной формы.

M (z)dz со = -—.

РГ". .. Рг&trade- '1 m является объединением многообразий Vj, находящихся в общем положении, то со когомологична в С" U^.1Vj рациональной (форме с полюсами первого порядка вида со ^ Mj {z) dzf Pj (z), где J = (л,., jP}? {1,., m}, l.

При изучении периодов рациональных дифференциальных форм часто оказывается полезным переходить к проективной комиактнфикации пространства С" и рассматривать рациональные дифференциальные п-формы вида.

0.0.42).

Р (0 в однородных координатах? = (?<, £ь • • •, &"), гДе т=fli-lYWb'],.

3=0.

Р (() и M{Q — однородные многочлены, причем degР (£) = dcgM + n+1, a [j] означает, что дифференциал d? j пропущен.

В отличие от рациональных дифференциальных форм в С" в проективном пространстве понизить порядок полюса до первого не всегда удается [19], однако справедлива.

Теорема 0.0.14 (4.3.2). Если полярное мноо/сество V = {? € СРп: Р (£) — 0} является объединением многообразий Vj = {? G СРп: Pj (?) -0}, j = 1 ,., m, m < п находящихся в общем положении, то рациональная дифференциальная п-форма (0.0.42) когом, алогична в СРп V диф) фереициалг>ной рационального п-форме вида и*=Y, Mj№/pJ (a j где суммирование производится по наборам J = {ji,., jm} целых чисел jk из [0- ri] таких, что т т ^ deg Pk < (n + 1) ]T (deg Pk — 1) + 1, k=1 k=1 однородные многочлены и PJ = Р/1.

В основе примененных в теоремах 4.1.1, 4.2.1, 4.3.2 методов доказательства лежат кронеккеровская теория исключения и теория идеалов в полиномиальных кольцах. Применяемые там методы конструктивны, поэтому можно утверждать, что этн теоремы позволяют эффективно решать задачу когомологического приведения периодов, оставаясь при этом в классе рациональных функций.

1. Aleksandrov A.G. Logarithmic differential forms, torsion differentials and residue. Complex Variables. 50(8). 2005. P. 1−29.

2. Aleksandrov A.G., Tsikli A.K. Theorie des rcsidus de Leray et formes dcr Barlet sur une intersection completesinguliere //C.R. Acad. Sci. Paris. T.333. Ser. 1. 2001. P. 973−978.

3. Arnold V., Gusem-Zade S., Varclienko A. Singularities of differentiable mapsThe classification of critical points, caustics and wave fronts, Monographs in Mathematics Vol. 82, Birkhauser, Boston, 1985, xi+382 pp.

4. Aronzajn N. Calculus of residues and general Cuachy formulas in C" //Bui. scien. К lath. Ser. 2. 1977. V. 101. P. 319−352.

5. De Boor C., Hollig K., Hiemensckneider S. Fundamental solutions of multivariate difference equations //Journal of AMS, 1989, V. Ill, P. 403−415.

6. Bousquet-Mclou M., Petrovsek M. Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case // Discrete Mathematics. 2000. V. 225. P. 51−75.

7. Brion M., Vergne M. Residue formulae, vector partition functions and lattice points in rational polytopes //Journal of AMS 1997, V. 10, JM, P. 797−833.

8. Brown Z.M. Analitic properties of n-pirt loops in Perturbation Theory //Nuovociinento. 1961. V. 22. N1, p. 55−70.

9. Dell’Agnola C.A. Estensione di un teorema di Hadamard. Veil. 1st. Atti. 58. 525−539, GG9-G77 (1898).

10. Djokovic D.Z. A properties of the Taylor expansion of rational function in several variables// J. of Math. Anal, and Appl., 1978. V. GG. P. 679-G85.

11. Dulfin R., Shaffer D. Asymptotic expantions of double Fourier transforms //Duke Math. J. I960. V. 27. P. 581−596.

12. Duffin R. Discrete potential theory //Duke Math. J., 1953, V. 20, P. 233−251.

13. Ehrenpreis L. A fundamental principle for system of linear differential equations with constant coefficients and some of it applications // Proc. Int. Symp. on linear spaces, Jerusalem, 1960.

14. Henkin G., Passare M. Holomorphic forms on singular varieties and variations on a theorem of Lie-Griffits// Invent. Math., 135, 1999, 297 328.

15. Forsberg M., Passare M., Tsikh A. Laurent Determinants and Arrangements of Hyperplane Amoebas //Advances in Math, 2000, V. 151, P. 45−70.

16. Gelfand I., Kapranov M., Zelevinsky A. Discriminants, resultants and multidimensional determinants, Birkhauser, Boston, 1994, x+523 pp.

17. Griffits P.A. On the periods of certain rational integrals //Ann. Math. 1969. V. 90. № 3. P. 460−495.

18. Grotendick A. On the de Itliain cogomology of algebraic varieties //Publ. Math. Ilautes c’tudes Scient. 19GG. V. 29. P. 351−359.

19. Ilaustus M.L.T., Klarner D.A. The diagonal of a double power series //Duke Math. J. 1971. V. 38. № 2. P. 229−235.

20. Hadamard J. Theoreme sur les series entieres //Acta Math. 22 (1898). p. 55−63.

21. Horn J. Uber die Convergenz der hypergeometrischen Reihcn zweier und dreier Veriinderlichen //Math. Ann. 34 (1889), 544-G00.

22. Ilosjten S., Klietan A., Sturmfels B. Solving the likelihood equations// Found. Сотр. Math. 5(2005), № 4, 389−407.

23. Ilurwitz A. Sur un theoreme de M. Hadamard //C.Il. Acad. Sci. 128(1899), p. 350−353.2G. Kapranov M. A characterization of Л-discriminantal hypersurfaces in terms of the logarithmic Gauss map //Math. Ann. 290 (1991), 277−285.

24. Kenyon R., Okounkov A. Planar diiners and Harnack curves//arXiv: math. AG/03110G2 V2, 29p.

25. Lazard P. Algebre linneare sur K (xi,., xn) et elimination //Bull. Sor. Math. France. 1977. V. 105. P. 1G5−190.

26. Leinartas E. On the Cauchy problem in a class of entire functions in several variables // Banach Center Publications. 1995, V. 38, P. 189 192.

27. Leray J. Le calcul differentiel et integral sur unc variete analytique com-plexe. (Probleme de Cauchy III)// Bull. Soc. Math. France, 87 (1959), P. 81−180.

28. Levy II., Lcssman F. Finite difference equations. London. Pitman LTD. 1959.

29. Macauley F.S. The Algebraic Theory of Modular Systems. Cambridge University Press. 191G.

30. Mikhalkin G. Real algebraic curves, the moment map and amoebas //Ann. Math. 151 (2000), 309−326.

31. Mikhalkin G., RullgSrd II. Amoebas of maximal area, //Inter-nat. Math. Res. Notices (2001) 441−451.

32. Айзенберг JI.A. Полиномы, ортогональные голоморфным функциям многих комплексных переменных и аналог теоремы Рпссов //Докл. АН СССР, 1971. Т. 199. Ш. С. 255−257.

33. Айзенберг Л. А., Лейнартас Е. К. Многомерная композиция Адамара и ядра Сеге //Сиб. мат. жури., 1983. Т. 24. № 3. С. 3−10.

34. Айзенберг Л. А., Митягин B.C. Пространства функций, аналитических в кратно-круговых областях //Сиб. мат. жури., 19G0. Т. 1. jV>2. С. 153−170.

35. Айзенберг Л. А., Трутнев В. М. Об одном методе суммирования по Борелю? г-кратных степенных рядов //Сиб. мат. жури., 1971. Т. 12.С. 1985;1901.

36. Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Паука, 1979.

37. Арнольд В. П., Варчепко A. II., Гусейн-Заде С. II. Особенности дифференцируемых отображений. Т.1., М.:11аука, 1982.

38. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 19G7. 240 с.

39. Буслаев В. И. О теореме Пуанкаре и ее приложениях к вопросам сходимости ценных дробей // Мат. сборн. 1998. Т.189. № 12. С. 1328.

40. Гельфолд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. 400 с.

41. Ван-дер-Вардеп Б. Л. Современная алгебра. Ч. I. М.-Л.: Гостехиздат, 1917. 251 с.5G. Ван-дер-Варден Б. Л. Современная алгебра. Ч. II. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 2G0 с.

42. Голубева В. А. о семействе дифференциальных уравнений в частных производных для аналитической функции типа интеграла Фейнмана //Докл. АН СССР. 1973. Т. 212. Ш. С. 71.

43. Голубева В. А. Диффернциальпые уравнения для фейпмановского интеграла собственно-энергетической диаграммы //Диффер. уравнения, 1973. Т. 9. т. С. 1298−1309.

44. Иванов В. К. Характеристика роста целой функции двух переменных и ее приложение к суммированию двойных степенных рядов// Мат. сб. 1959. Т. 47. т. С. 3−1G.

45. Лейнартас Е. К. Когомологическое понижение порядка полюсов рациональных форм в CP". В кн.: Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Красноярск. ИФ СО АН СССР. 1980. С. 6572.

46. Лейиартас Е. К. Об аналитическом продолжении обощенного произведения Адамара. В кн.: Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Красноярск. ИФ СО АН СССР. 1980. С. 73−78.

47. Лейиартас Е. К. Об одном обобщении композиции Адамара на функции многих комплексных переменных// Сиб. мат. жури. 1981. Т. 22. № 4. С. 18−21.

48. Лейиартас Е. К. Об одном обобщении произведения Адамара is С™//Мат. заметки. 1982. Т. 32. ЛЧ. С. 477−482.

49. Лейиартас Е. К. Теорема Адамара об умножении особенностей в С" // Сиб. мат. жури. 198G. Т. 27. № 3. С. 209−212.

50. Лейиартас Е. К. Кратные ряды Лорана и разностные уравне-ния//Сиб. матем. журн., 2004. Т.45- № 2- С.387−393.

51. Лейиартас Е. К. Многомерные разностные уравнения и амеба характеристического многочлена//Вестник Краен, гос. унив. 2004. № 1. С.117−120.

52. Лейиартас Е. К. Линейные разностные уравнения с матричными ко-эффициентами//Вестиик Краен, гос. унив. 2005. № 1. C.1G3−1GG.

53. Лейиартас Е. К. Двумерные разностные уравнения в некоторых задачах комбинаторного анализа// Вестник Красноярского госупнвер-ситета 2001 — М — С. 121−123.

54. Лейиартас Е. К., Пассаре М., Цпх А. К. Асимптотика многомерных разностных уравнений// УМН. 2005. T. G0. Вып. 5(3G5). С.171−172.

55. Лейиартас Е. К. Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения многомерных разностных уравнений// Сиб. мат. жури, (в печати).

56. Лере Ж. Дифференциальное и интегральное исчисления па комплексном аналитическом многогобразии. М., ПЛ. 19G1. 140 с.

57. Мандельбройт С. Ряды Дирихле. М.: Мир, 19G8. 172 с.

58. Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 19G7, 438 с.

59. Пуанкаре Л. Новые методы небесной механики. Избр. тр. в Зх т. М.:11аука. 1971. Т.1. 771 с.

60. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М.:11аука, 1972.

61. Ронкнн Л. И.

Введение

в теорию целых функций многих комплексных пременных. М.:Наука, 1971.

62. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.:Мир. 1990.

63. Трутнсв В. М. Радиальный индикатор в теории суммирования Боре-ля и некоторые применения// Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13. JY®3. С. G59-GG4.

64. Фам Ф.

Введение

в топологическое исследование особенностей Ландау. М.: Мир, 19G7. 184 с.

65. Фсдорюк М. В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987, 544 с.

66. Фрейман Г. А. О теоремах Пуанкаре и Перрона //УМН. 1957. Т. 12. т. С. 241−246.

67. Хермаидер Л.

Введение

в теорию функции нескольких переменных. М.: Мир, 19G8. 279 с.

68. Хуа Р., Теплиц В. Гомологии и фейпмановские интегралы. М.: Мир, 19G9. 223 с.

69. Цнх А. К. Условия абсолютной сходимости ряда их коэффициентов Тейлора мероморфных функций двух переменных // Мат. сборн. 1991. Т.182(11). С. 1588−1G12.

70. Цнх Л. К. Многомерные вычеты и их приложения. Н-ск.:Наука СО РАН, 1988.

71. Чирка Е. М. Комплексные аналитические множества. М.: Наука. 1985. 272 с.

72. Чуешен В. В. Периоды гармонических дифференциалов Прима па компактной римановой поверхности//Сиб. матем. журн. 2002. Т. 43. ЛМ. С. 937−952.

73. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.

74. ГОжаков А.П. О вычетах функции многоих комплексных переменных// Изв. вузов. Математика. 19G4. № 5. С. 149−1G1.

75. Южаков А. П. Достаточное условие разделения аналитических особенностей в С'1 и базис одного пространства голоморфных функций //Мат. заметки. 1972. Т. 11. Ж С. 585−596.