Представление решений одного класса релаксационных кинетических уравнений интегралами типа Коши

Актуальность темы

Значительное число физических процессов описывается с помощью интегро-дифференциальных уравнений. Линейные интегро-дифференииальные уравнения переноса применяются в нейтронной физике, в задачах изучения стационарных, многоэнергетических и изотропных процессов переноса, а также в кинетической теории. Точные решения можно получить для тех граничных задач, которые сводятся к одномерным и односкоростным уравнениям, либо скалярным, либо векторным с полиномиальными ядрами.

Предметом исследования диссертации является линейное интегро-дифференциальное кинетическое уравнение, выведенное Вильямсом М.М.Р. в 1971 году + (cV,)A + c-/j (r, c./) = —с Uc-')^(c, c')/-(r, c'.Oi/V, (0.1) et 2 J i i где р© = л-312сс" ', А (с, с') = 1 + ^сс' + -(с2 — 2){сг — 2).

Вильяме М.М.Р. получил уравнение (0.1) на основании релаксационного кинетического уравнения с частотой столкновений молекул пропорциональной модулю молекулярной скорости.

При моделировании различных физических процессов возникает целый ряд уравнений вида (0.1), для которых поставлены граничные задачи, с заданными начальным условием и асимптотикой на бесконечности.

Общие приемы, использованные при исследовании моделей уравнения (0.1), — это применение метода Фурье для разделения переменных в рассматриваемой модели уравнения, сведение кинетического уравнения к характеристическому, с последующим решением его в пространстве обобщенных функций. Решение вспомогательной однородной краевой задачи Римана (возникающей при решении полупространственных граничных задач), соответствующей полученному характеристическому уравнению, в классе мероморфных функций.

При исследовании скалярных моделей уравнения (0.1): л I.

— C-H-v,//) + И-v,//) = ^ J (1, (0.2) с* 4 J, здесь х € (0,+со), // е (-1,1), с е IV (с* 1), у (х, ц) д 3 1 xv л j.

— 1 здесь х е (0,+со), // е (-1,1), г/(х, ц) е/7,(р>1), использовалась спектральная теория. Был выработан математический аппарат, основанный на теории линейных операторов, позволивший впервые получить явные решения полупространственных граничных задач для уравнений (0.2)-(0.2а) в пространствах Лебега (р>1).

Через 9? обозначено множество функций f (x, n) непрерывных по х на полуоси хе[0,+со] при всех це (-1,1) — удовлетворяющих условию Гельдера по на промежутке [0,1] при всех 0<�х<+оонепрерывно дифференцируемых по х на полуоси хе (0,+со) при всех [ле (-1,1) и интегрируемых по ц на (-1,1) при всех хе (0,+со) с весом р (ц)=1-ц2.

Впервые получено точное решение полупространственной граничной задачи для нестационарной модели уравнения (0.1):

JMxju) (0.3) at ох 4 J, здесь лг б (0,+со), // € (-1,1), / е (0,+со).

Впервые проведено полное исследование общей граничной задачи для линеаризованного уравнения Вильямса.

4а 0) dh (x,/.i) 1.

И Т + Hx. fi) = - /А'(/Л[i')h (x,/t')d-t', A'(//,//') = ох 2 •.

6"////' 3////' За////' О, а 1 ,.

0.4) здесь х е (0,+оо), // е (-1.1), а е И, при различных значениях параметра а. Граничное условие при, г=0 принимается равным вектор-функции Ь0(ц), являющейся гельдеровской по переменной) и на (0,1).

Цель работы. Цель работы заключается в исследовании поставленных граничных задач и получении аналитических представлений для их решений. В ходе работы решались следующие задачи:

1. Доказана возможность применения С-преобразований на интервалах (-1,1) и (0,1) в пространствах Лебега (р>1) для получения аналитических представлений решений граничных задач, поставленных для уравнений (0.2)-(0.2а).

С-преобразованиями (прямым и обратным) назовем формулы 1 = |"(/7)Ф (/7.//)<///, 0<с<2/3,.

— I.

I < где «(//) = —— Г//(1 — //2)/(//)Ф (7,//)ф,.

ЛЧ'/)., I и /(//) = и (т]0)Фп (//) + «(-/7»)Ф., Л,(//) + |п (//)Ф (//,//>//7, О2/3,.

— I 3 где ЛЧ±-//0) = - слп1К (±По).

7 о) = т^— ГМ1 — •.

Здесь Ф (г|,|1) — собственные функции непрерывного спектра г|е (-1,1).

Ф (ал//) = ^с—7/'— + (1-/гГ, Л ((/7Ж/7-//), |ле (-1,1), 4 I—//.

Ф (//) — собственные функции дискретного спектра {±г10}(если он существует).

0еС[-1,1], це (-1,1), с>2/3.

4 ±/70-//.

Впервые С-преобразования были получены Кейзом К. для решения конкретных задач теории переноса в пространстве гельдеровских функций.

2. Приведение нестационарного скалярного уравнения (0.3) к стационарному. Исследование возникающего при этом спектра комплексного параметра и и его влияния на количество решений стационарного уравнения. Решение полупространственной граничной задачи, поставленной для уравнения (0.3).

3. Получение аналитического решения полупространственной граничной задачи с заданной функцией распределения И при л-0 и заданной асимптотикой на бесконечности для интегро-дифференциального уравнения (0.4) с ядром, являющимся вектор-функцией, при различных значениях параметра а.

Научная и практическая ценность работы. Результаты работы относятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Отметим, но крайней мере, два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение: применение методов функционального анализа (спектральной теории линейных операторов) для получения решений граничных задач в пространствах Лебега и использование полученных результатов при решении уравнений математической физики, в частности при исследовании модельных задач кинетической теории газа и плазмы, теории переноса нейтронов и теоретической астрофизики.

Научная новизна работы. Все результаты данной работы получены автором впервые.

Основные результаты автора, выносимые на защиту: 1. Для оператора переноса обратного к оператору К, возникающему при записи уравнения (0.2) в операторной форме, найдена область определения и показано, что коэффициент непрерывного спектра осуществляет непрерывное отображение одного нормированного пространства:

А'-'Жл-,//) = мГ (х.ц) + Г//'(1 -//'2)/(*,/''Ж,.

4 1 -с ^ це (-1,1), х>0, с>0, с.

— I.

ХР = {/(/')://(! -V)/(//) 6 АД-1,1)} с нормой в другое: ={"(//)://"(//) е ¿-г (-1,1)} с нормой р со, р> 1.

Показано, что оператор переноса А" ' порождает аналог разложения единицы Е (-1,(о) — его спектральную меру. Получено интегральное представление оператора переноса. Показано, что оператор переноса коммутирует с «разложением единицы». Развитый аппарат применён для решения однородной граничной задачи, поставленной для уравнения (0.2), и неоднородного линейного уравнения.

2. При записи уравнения (0.2а) в операторной форме возникает оператор К, который является замкнутым, неограниченным и необратимым на всей области определения. Показывается, что область определения оператора К разлагается в прямую сумму двух пространств, в одном из которых этот оператор обратим, поэтому рассматривается сужение оператора К на это пространство. Находится оператор переноса К’х — обратный к оператору К. Выводится интегральное представление для резольвенты и показывается, что С-преобразования на (-1,1) применимы в области определения оператора переноса. Развиваемая теория позволяет получить разложение решения граничной задачи по собственным функциям в пространствах Лебега.

3. Исследован спектр, возникающий при сведении нестационарного уравнения (0.3) к стационарному уравнению с комплексным параметром. Решена полупространственная граничная задача, задаваемая нестационарным уравнением (0.3) и граничными условиями.

— задача Рэлея — задача нахождения отклика газа (функции распределения у/(л//, 0) на движение пластины, ограничивающей этот газ.

Найдено представление функции у>(0,цд), являющейся решением граничной задачи, при отрицательных значениях переменной |л. у/(0,//,/) = 2и0е', 0 < // < 1, / > 0, ле С, у/(со,//,/) = о,.

-!<//< 0, / > 0,.

4. Найдено решение полупространственной граничной задачи для уравнения (0.4) при различных значениях параметра а.

Предшествующие результаты. Рассматриваемые в диссертации задачи возникают при решении физических проблем. Уравнение Больцмана, выведенное им в 1872 году [3] является одним из самых фундаментальных уравнений естествознания. Сравнительно недавно удалось получить точные решения уравнения Больцмана, но лишь для ограниченного числа случаев. Традиционно вместо уравнения Больцмана рассматривают его модель, в которой сложный, нелинейный пятимерный интеграл столкновений, заменён линейным трехмерным (модельным). От модельного интеграла требуется выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии.

Кейз К. [18, 58] предложил метод, позволяющий в явном виде построить искомую функцию распределения. Этот метод состоит в разложении функции распределения по собственным обобщенным сингулярным функциям характеристического уравнения, соответствующего исходному кинетическому уравнению. Система собственных функций, отвечающая уравнению, должна быть полной в смысле метрики некоторого функционального пространства, но до Кейза в нее включали только регулярные собственные функции. Черчиньяни К. [61] в 1962 году использовал метод Кейза для получения аналитического решения БКВ-модели (Больцман, Крук, Веландер) уравнения Больцмана. Эта модель часто называется также БГК-моделью (Бхатнагар, Гросс, Крук). Модельный интеграл в форме БКВ является наиболее употребительным модельным интегралом столкновений. Для вывода уравнения (0.1) Вильяме использовал интеграл столкновений типа БКВ.

Значительный вклад в метод Кейза внесли Латышев A.B. и Юшканов A.A. ([24], [31]), разработавшие методику сведения интегрального уравнения к краевой задаче Римана-Гильберта, что позволило подключить к решению задач мощный аппарат ТФКП (см. работы Ф. Д. Гахова [10], [11] и Мусхелишвили.

41]).

В работе Латышева A.B. и Юшканова A.A. [69] впервые был применён метод разложения решения по сингулярным собственным функциям для решения системы двух интегро-дифференциальных уравнений переноса. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах [24]-[38]. В [26] модифицирован метод Винера-Хонфа для решения уравнений типа свертки, к которым можно свести уравнения переноса. Результаты, полученные этим методом, совпадают с найденными при использовании метода Кейза.

Доказательство теоремы о полноте системы собственных векторов в интервале -1<//<1 и теоремы об ортогональности собственных векторов в интервале -1<//<1, вычисление нормировочных интегралов для собственных векторов, нахождение числа нулей дисперсионной функции в зависимости от матрицы переноса и матрицы рассеяния содержатся в работах Case K.M. [59], Cercignani С., Siewert С.Е. [60], Cercignani С. [61], Cercignani С., Sernagioto F. [62], Greenberg W., Van der Mee C.V.M., Protopopescu V. [63].

Круг вопросов рассматриваемых в диссертации связан с построением аналитических решений граничных задач, поставленных к моделям уравнения (1). В первой главе рассматривается проблема построения точного решения в функциональных пространствах (пространствах Лебега). Функциональный подход в теории переноса разрабатывался многими учеными, в частности вопросам существования следов (граничных значений) у функций с сохранением свойств гладкости, существования решений уравнений переноса, а также исследованию свойств гладкости решений посвящены работы Владимирова B.C. [5], [6], Гермогеновой Т. А. [12], [16], Агошкова В. И. [1], Шутяева В. П. [55]. Значительные результаты, касающиеся разрешимости задач, поставленных для уравнения переноса, в пространствах Лебега, получены В. И. Агошковым [1]. Современное развитие вычислительной техники позволяет при рассмотрении прикладных задач (в частности задач о переносе частиц) использовать алгоритмы нахождения приближенного решения. Построение точного решениядругой метод рассмотрения тех же задач. Этот метод позволяет получить решение в явном виде. Отметим, что в первой главе диссертации основной целью является построение аналитического решения исследуемой задачи в пространствах Лебега. Этот вопрос для простых классов кинетических уравнений впервые был рассмотрен в работах Ларсена Е., Гринберга Б., Цвайфеля Г1. [64], [68], которые получили их аналитические решения в пространствах Lp (р>1).

Нестационарная задача для модельного кинетического уравнения с интегралом столкновений в форме БКВ, так называемая задача Рэлея, впервые была решена в работах [60J, [62]. В дальнейшем Латышевым A.B. и Юшкановым A.A. [30] было получено приложение к задаче Рэлея. Теми же авторами получено нестационарное решение модельного кинетического уравнения при критических значениях параметров движения стенки, ограничивающей занятое газом полупространство [37]. Методом Кейза в работе [46] получено решение нестационарного векторного уравнения Больцмана с БКВ-моделью интеграла столкновений.

Рассматриваемая в диссертации векторная задача обобщает результаты работ [24], [32], [69], и ряда других на случай произвольного значения параметра а.

Интегро-дифференциальные уравнения, являясь математическими объектами, используются для решения физических задач, поэтому отметим работы Г. Я. Румянцева [45] по теории переноса нейтронов в плоских решетках, М. В. Масленникова [39] по проблеме Милна с анизотропным рассеянием, Ю. И. Ершова, С. Б. Шихова и A.B. Крянева [17], [21] по вопросам математической теории реакторов. А также работу Гермогеновой Т. А. [13], в которой рассматривается полнота системы собственных функций характеристического уравнения, и работу Фельдмана И. А. [50], содержащую обоснование конечности дискретного спектра.

Содержание работы по главам. Диссертация состоит из введения и трёх.

1. Агошков В. И. Обобщенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. — М.: Наука, 1988. — 240с.

2. Антосик П., Минусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. М.: Мир, 1976. — 31 1 с.

3. Больцман Л. Избранные труды. М.: Наука, 1984. — 590 с.

4. Бобылев A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 1987.-253 с.

5. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. // Труды МИЛН СССР. -1961. № 61. 158 с.

6. Владимиров B.C. Особенности решения уравнения переноса // ЖВМ и МФ -1968. Т. 8. — № 4,. — С. 842−857.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. -512с.

8. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.-280 с.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1977. — 640 с.

10. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1968. — 640 с.

11. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. — 269 с.

12. Гермогенова Т. А. Краевые задачи для уравнения переноса: Автореф. дис.. д-ра физ.-мат. наук. М., 1971.

13. Гермогенова Т. А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения теории переноса //. Препринт. 1976. — № 103 — 55 с.

14. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решений уравнений переноса. -М.: Наука, 1986. 231 с.

15. Гермогенова Т. А. Спектр характеристического уравнения теории переноса// Препринт. 1978. — № 62. — 53 с.

16. Гермогенова Т. А. Обобщенные решения краевых задач для уравнения переноса // ЖВМ и МФ. 1969. — Т. 9. — № 3. — С. 605−625.

17. Гршов Ю. И., Шихов C.B. Математические основы теории переноса: в 2 т. М.: Энергоатомиздат, 1985.

18. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. — 384 с.

19. Колмогоров Л. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. — 624 с.

20. Крылов Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гель дера. Новосибирск: Научная книга, пер. с англ., 1988. -178 с.

21. Крянев A.B., Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов: Нелинейный анализ. М.: Энергоатомиздат, 1983. — 280с.

22. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. T. 2.-М.: Высш. шк., 1988. -576 с.

23. Лаврентьев М. А., Шабат В. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. — 736 с.

24. Латышев A.B. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о температурном скачке// Г1ММ. 1990. -Т. 54.-Вып. 4. С. 581−586.

25. Латышев A.B. Аналитические методы решения модельных кинетических уравнений и их приложения. .Диссертация на соискание учёной степени доктора физ.-мат. наук. — М.: ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 1993. — 249 с.

26. Латышев A.B.

Введение

в кейсолопно. Аналитические методы и граничные задачи для модельных кинетических уравнений. Монография. Отдел теоретических проблем РАН. Деп. в ВИНИТИ 16.09.1996, № 2823-В96. 237 с.

27. Латышев A.B. Аналитическое решение векторных модельных кинетических уравнений с постоянным ядром и их приложения// ТМФ. 1993, т. 97, № 2, с. 283−303.

28. Латышев A.B. Аналитическое решение эллипсоидально-статистического модельного уравнения Больцмана// НАМ СССР. Сер. МЖГ. 1992. — № 2,. -С. 151−164.

29. Латышев A.B. Векторная краевая задача Римана-Гильберта в граничных задачах рассеяния поляризованного света// ЖВМ и МФ. 1995. — Т. 35. — № 7. -С. 1108−1127.

30. Латышев A.B. Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных кинетических уравнений// ТМФ. 1992. — Т. 92. — № 1. — С. 127−138.

31. Латышев A.B. Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о сильном испарении (конденсации)// Известия РАИ, серия МЖГ. 1993. — № 6. — С. 143−155.

32. Латышев A.B., Юшкаиов A.A. Аналитическое решение модельного БГК-уравнения Больцмана в задаче о температурном скачке с учетом аккомодации энергии. // Матем. моделирование. 1992. — 'Г. 4. — Выи. 10. — С. 41−46.

33. Латышев A.B., Юшканов A.A. Точное решение уравнения Больцмана с оператором столкновений БГК в задаче о слабом испарении// Матем. моделирование. 1990. — Т. 2. — № 6. — С. 55−63.

34. Латышев A.B., Юшканов A.A. Точные решения граничных задач для модельных уравнений Больцмана с переменной частотой столкновений. Монография. Деи. в ВИНИТИ от 25.04.96, № 1360-В96.

35. Лагышев A.B. Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных кинетических уравнений// ТМФ. 1992. — Т. 92. — № 1. — С. 127−138.

36. Латышев A.B. Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о поведении столкновительной плазмы в полупространстве во внешнем переменном электрическом поле // ТМФ. 1995. — Т. 103. — № 2. — С. 299−311.

37. Латышев A.B. Юшканов A.A. Нестационарная граничная задача для модельных кинетических уравнений при критических параметрах // ТМФ. -1998. Т. 116. — № 2. — С. 305−320.

38. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных кинетических уравнений в слое с зеркальными граничными условиями. Дсп. в ВИНИТИ от 25.04.96, № 1359-В96.

39. Масленников М. В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием. М.: Наука, 1968. 134с.

40. Марчук Г. И., Агошков В. И., Шутяев В. П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Физ-матлит, 1993. — 224с.

41. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. -М.: Наука, 1968. 512 с.

42. Плеснер А. И. Спектральная теория линейных операторов. М.: Наука, 1965. — 624 с.

43. Пугачев B.C. Лекции, но функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744с.

44. Пыхтеев Т. Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. Новосибирск: Наука, 1980. — 79 с.

45. Румянцев Г. Я. Линейно-алгебраическая теория переноса нейтронов в плоских решетках. М.: Атомиздат, 1979. — 224с.

46. Савков С. А., Юшканов А. А. Аналитическое решение БГК-модели нестационарного уравнения Больцмана// ТМФ. 1997. — Т. 113. — № 1. — С. 139−148.

47. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: 11аука, 1976. — 408 с.

48. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высш. шк., 1991. — 207 с.

49. Титчмарш Е. К.

Введение

в теорию интегралов Фурье. iM.: ГИТТЛ, 1948.

50. Фельдман И. А. О конечности дискретного спектра характеристического уравнения теории переноса излучения//ДАМ СССР. 1974. — Т. 214. — № 6. -С. 1280−1283.

51. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир. 1973.-245 с.

52. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. 495 с.

53. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана// Неравновесные явления: Уравнение Больцмана. Под ред. Дж. Либовица и Е. У. Монтролла. -М.: Мир, 1986. С. 132−203.

54. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Изд-во МГУ, 1984.-208с.

55. Шутяев В. П. Свойства гладкости решения нестационарной задачи переноса в плоском слое // Проблемы теории и численного решения задач переноса частиц. М.: Отдел вычислит, мат. АН СССР. 1983. — С. 148−159.

56. Bhatnagar P.L., Gross Е.Р., Krook М. Model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one component systems// Phys. Rev. 94. P. 511−525.

57. Burniston E.E., Sieuert C.E., Zweifel P.P., Siivelnoinnen P. Matrix RiemannHilbert Problems Related to Neutron Transport Theory // Nucl. Sci. Eng. 1971, v. 45, p. 331−332.

58. Case K.M. Elementary solutions of the transport equation and their applications// Ann. Phys. (N.Y.).- 1960. V. 9. — N. 1. — P. 1−23.

59. Case K.M. Singular Integral Equations//J. Math. Phys. 1966. — V. 7. — N. 12. -P. 2121−2124.

60. Cercignani C., Sievvert C.E. On the partial indices for a matrix Riemann-Hilbert problem// J. Appl. Mat. Phys. 1982/ - V. 33. — P. 297−299.

61. Cereignani С. Elementary solutions of the linearized gas dynamics Boltzmann equation andtheir application tj the sliptlovv// Ann. Phys. 1962. — V. 20. — N. 3. -P.219−233.

62. Cereignani C., Sernagioto F. The method of elementary solutions for time-dependet problems in linearized kinetic theory// Ann. Phys. 1964. — V. 30. — P. 154−167.

63. Greenberg W., Van der Mee C.V.M., Protopopescu V. Boundary value problems in abstract kinetic theory. Birkhauser Verlag Basel-Boston-Stutgart, 1987. 526 p.

64. Greenberg W., Zweifel P.P. The Case eigenfunction expansion for a conservative medium//J. Math. Phys. 1976. — V. 17. — N. 2. — P. 163−167.

65. HangeIbroek R.J. A functional analytic approach to the linear transport equation// Transport Theory and Statistical Physics. -1976. V. 5. — N. 1. — P. 1−85.

66. Kriese J.T., Chang T.S., Siewert C.E. Elementary solutions in the kinetic theory of gases//Int. J. Engng. Sci.- 1974. V. 12. P. 441−470.

67. Larsen E.W., Mabetler G.J. A functional analvtic derivation of Case’s fulland half-range formulas// Commun. Pure and Appl. Math. 1973. — V. 26. — P. 525 537.

68. Larsen E.W., Sancaktar S., Zweifel P.P. Extension of the Case formulas to Lr. Application to half and full space problems// J. Math. Phys. 1975. — V. 16. — N. 5. P. 1117−1121.

69. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Boundary value problems for a model Boltzmann equation with frequency proportional to the molecule velocity// Fluid Dynamics. 1996. — V.31.-N. 3.

70. Smoluchowski M. Uber Warmeleitung in verdunnerter Gases. // Ann. Phys. -1898. Bd.64. — S. 101−130.

71. Williams M.M.R. Mathematical methods in particle transport theory. London, Butterworth. 1971. Список работ по теме диссертации.

72. Рындина С. В., Луканкин ГЛ., Латышев А. В. Аналитическое решение общей граничной задачи для НКВ-уравнения // Владикавказский математический журнал 2002. — Т. 4. — Вып. 4. — С. 4−33 — 4−46.

73. Рындина C.B., Луканкин ГЛ., Латышей A.B. Граничная задача для одного класса линейных релаксационных нестационарных уравнений // Известия МАН ВШ.-2001.-№ 2(16)-С. 94−102.

74. Рындина C.B., Латышев A.B. Общая граничная задача для БКВ-уравнения // Сборник научных трудов, посвященный 100-летию со дня рождения проф. Темлякова «Комплексный анализ и математическая физика» М.: МГОУ, 2003.-С. 154−161.

75. Рындина C.B. Граничная задача для Э.-С. уравнения с переменной частотой// VII международная конференция «Математика, компьютер, образование»: Тезисы докладов. Дубна, 2000. — С. 172.

76. Рындина C.B. Операторный подход к решению модельных кинетических уравнений// Сборник научных трудов «Актуальные проблемы науки в исследованиях российских и зарубежных ученых». М., сентябрь 2000. Зс.

77. Рындина C.B. Решение одного класса модельных кинетических уравнений в пространствах Lp .- Ден. в ВИНИТИ от 19.10.00, № 2657−1300.

78. Рындина C.B. Решение граничной задачи для линеаризованного БКВуравнения// Межвузовский сборник научных трудов «Вестник математического факультета». Архангельск: Изд-во Поморского государственного университета, 2001. — Вып. 5. Зс.

79. Рындина C.B. Нестационарное уравнение для одного класса линейных, релаксационных, кинетических уравнений. Ден. в ВИНИТИ ог 19.10.00, № 2655-В00.

80. Рындина C.B. Граничная задача для одного класса векторных модельных уравнений Больцмана.-Деп. в ВИНИТИ от 19.10.00, № 2656-В00.

81. Рындина C.B. Граничная задача для одного класса кинетических нестационарных уравнений// VIII международная конференция «Математика, компьютер, образование»: Тезисы докладов. М., 2001. — С. 179.