О некоторых разложениях в неархимедовских нормированных кольцах и полях

Поле Q рациональных чисел можно пополнить по метрике, порожденной обычной абсолютной величиной, и получить поле R действительных чисел. Пополняя поле Q по метрике, порожденной р-адической нормой (определения даны в главе 1.2.1), получим поле Qp р-адических чисел.

Р-адические числа являются актуальным объектом современных исследований, так как они имеют многочисленные приложения не только в теории чисел, но и в других разделах теоретической и прикладной математики, информатике, а также других естественных науках: физике, химии, генетике, (например, см. [4]).

Известны различные способы представления действительных чисел: позиционные системы счисления, непрерывные (или цепные) дроби различных классов (регулярные, по ближайшему целому, ветвящиеся) (см. [27, 48]). Также известны разложения Энгеля, Люрота, Сильвестра, Кантора (см. [41]). Эти разложения были обобщены А. Оппенхаймом [40], [23]. Свойства этих разложений, в основном, метрические, исследовал А. Оппенхайм [40], Я. Галамбош [23, 24], Ю. Ву [50], [51] и другие.

Для р-адических чисел также существуют различные представления: помимо канонического представления известны разложения в^{адические} непрерывные дроби (см. [44, 35, 46, 37]), свойства которых исследовались, например, [35, 36, 37, 44]. Естественной задачей было получение аналогов разложений в полях р-адических чисел. В [30, 31, 33, 32] А. и Дж. Кнопфма-херами предложены такие аналоги: разложение «типа Люрота», «типа Энгеля», «типа Сильвестра». Они являются частными случаями полученного А. и Дж. Кнопфмахерами аналога разложения Оппенхайма для поля Qp [31].

Одним из важных направлений теории чисел является вероятностная теория чисел. Эта теория получила значительное развитие в трудах российских и советских математиков. Работы по данному направлению опубликовали Й. П. Кубилюс [6], А. Г. Постников [15,16], М. П. Минеев [9], Э.К. Жим-бо, В. Н. Чубариков [5], Архипов Г. И., Карацуба A.A. [2].

В направлении исследования метрических и асимптотических свойств разложений чисел были получены некоторые результаты. В частности, Ягер и де Вроедт [29], а также Салат [45] получили результаты для разложений Люрота действительных чисел, П. Эрдеш, А. Реньи и П. Шуц [22] — для разложений Энгеля и Сильвестра, А. Реньи [43] — для бесконечного произведения Кантора, и Галамбош [24] — для более общих случаев, названных р-адическим разложением Оппенхайма. Рубан [44] исследовал р-адические метрические теоремы, аналогичные доказанным Хинчи-ным для действительных цепных дробей. Соответствующие результаты для р-адического разложения «типа Энгеля» и «типа Люрота» были получены А. и Дж. Кнопфмахерами [33] и Грабнером и А. Кнопфмахером [26] соответственно, свойства р-адического разложения Оппенхайма исследовал.

Объектами исследования этой работы являются прямые суммы и произведения некоторых совокупностей р-адических полей (см. работы автора [53, 54]). В первой части работы рассматриваются аналоги разложений Оппенхайма в кольце 0>5 д-адических чисел. В пункте 2.1 показано, что если применить алгоритм р-адического разложения Оппенхайма для позиционной системы счисления по степеням составных чисел (в кольце <0где число д — составное), то алгоритм, представленный в [31], откажется работать на некотором шаге с вероятностью, стремящейся к единице с ростом числа его шагов (см. стр. 26). Поэтому в главе 2.3 предлагается многомерный аналог разложения Оппенхайма, опирающийся на то, кольцо д-адических чисел представляет собой прямую сумму полей р-адических чисел ^ = П О1″" 9 =Рі-" Рк (теорема Малера [38, гл.5]).

Вторая часть работы посвящена исследованию прямых произведений бесконечной совокупности колец целых р-адических чисел.

Опишем вначале конструкцию, которая провела к понятиям р-адических и полиадических чисел.

Рассмотрим некоторую последовательность натуральных чисел {р^} и комплексную переменную г. Для каждого числа А- € N верно следующее полиномиальное тождество.

1 + г +. + + 2?1 +. + 2Рі(Р2~1))(1 + 2Р1Р2 +. + ••• = 1 + 2 + 22 + г3 +. +.

В частности, если последовательность р^ постоянная, то есть р^ = р для всех у ^ то тождество примет вид.

Ю. Ву [49]. г=1,А: означающее, что каждое неотрицательное число п < рк может быть представлено единственным образом в виде ряда п = щ{п) — р° + Уі{п) • р1 +. + щ-1 (п) • рп.

1) где цифры иг (п) удовлетворяют условиям: 0 ^ иг (п) < р. Если мы возьмем Pj = 3-) ТО = г! и искомое тождество примет вид означающее, что каждое неотрицательное число п < к может быть представлено единственным образом в виде ряда где цифры у (п) удовлетворяют неравенству: 0 ^ уг{п) ^ г.

Рассмотрение бесконечных рядов, частичными суммами которых является сумма (1), приводит к р-адическому анализу (К. Гензель [28]).

Рассмотрение бесконечных рядов, частичными суммами которых является сумма (2) приводит к полиадическому анализу. М. Д. Ван Дантзиг [21] и позже Е. Новоселов [12,13] привели подробные исследования в этой области. Описание конструкции полиадических чисел также дано в книге А. Г. Постникова [14, глава 3.5].

Кольцо полиадических чисел находит интересные приложения в теории чисел, а именно, в [11, стр. 72] с помощью теории интеграла и меры на полиадических числах были вычислены некоторые асимптотические плотности, а также получен новый вывод ряда известных формул для функций теории чисел. Поэтому естественным является дальнейшее изучение его свойств и его обобщение.

Прямое произведение колец Zpi по всем простым числам р{, как отмечалось выше, соответствует кольцу полиадических чисел Ъц. Для полиадических чисел существует каноническое представление в виде бесконечного ряда вида атш. Элементы этого кольца также можно представить рят=1 дами специального вида, как показано в главе 3.2.2 настоящей работы. На этом кольце вводится теория меры и интегрирования. В разделе 3.1.3 главы 3.1 исследованы некоторые метрические свойства этих рядов. п = 1/1 (п) • 1! + іу2(п) • 2! +. 4- ук-1 (п) • (кі)!

2).

Естественно рассмотреть некое обобщение понятия полиадических чисел, а именно, рассмотреть бесконечные прямые произведения колец целых Рг-адических чисел по некоторой бесконечной совокупности простых чисел Р' = {рг} С Р (см. работу автора [52]).

Этому подмножеству соответствует некоторая топология, как и в случае кольца полиадических чисел. Поэтому, обобщение понятия полиадических чисел (названное кольцом полуполиадических чисел) можно строить аналогичным образом, как топологическое кольцо, через пополнение метрического пространства. Кольцо полуполиадических чисел также можно построить как обратный предел по системе конечных коммутативных колец, порядок которых делится только на простые числа из заранее фиксированного подмножества простых чисел Р'. Две указанные конструкции предложены в главе 3.2 и показано, что такие построения эквивалентны и приводят к одному и тому же понятию. На данном кольце также строятся классические конструкции: теория меры и интегрирования, определяется измеримый изоморфизм в отрезок [0,1], сохраняющий интегралы, вычисляются меры различных множеств. Для кольца полуполиадических чисел доказывается теорема о равномерности распределения множества натуральных чисел в данном кольце.

Перечислим основные результаты, полученные в настоящей работе.

• Построен аналог разложения Оппенхайма в кольце д-адических чисел (см. главу 2.3, стр. 30).

Установлены метрические свойства указанного разложения, аналогичные свойствам р-адического разложения Оппенхайма. В частности, вычислено математическое ожидание некоторой характеристики коэффициентов указанного разложения. Доказана теорема о нормальности распределения значений этой характеристики (см. лемму И, теорему 11, стр. 33).

• Предложено естественное обобщение понятия кольца полиадических чисел, названное кольцом полуполиадических чисел. Предложены две конструкции данного кольца (см. главу 3.2, стр. 44).

Вычислены меры различных множеств в кольце полуполиадических чисел. В частности, вычислена мера обратимых элементов кольца полуполиадических чисел и доказано, что мера делителей нуля равна нулю (см. теоремы 16, 17, стр. 52−53).

Вычислена мера подмножества полуполиадических чисел, у которых соответствующие коэффициенты ряда в каноническом виде фиксированы (см. теорему 18, стр. 54). Как следствие, доказано, что коэффициенты разложения полуполиадического числа в каноническом виде — независимые случайные величины (см. следствие 5, стр. 54).

Построено отображение к полуполиадических чисел в отрезок [0,1], сохраняющее меру (см. стр. 48). Доказано, что при отображении к интегрируемая вещественнозначная функция на кольце полуполиадических чисел переходит в интегрируемую функцию на отрезке [0,1] и интегралы от этих функций равны, (см. теорему 19, стр. 55).

Доказано, что множество натуральных чисел равномерно распределено в кольце полуполиадических чисел, (см. теорему 20, стр. 56).

В первой части работы используются методы теории множеств, теория меры, теорема Малера, методы теории вероятности.

Во второй части работы используются методы коммутативной алгебры, методы теории меры и интегрирования на компактных абелевых группах, методы теории множеств. Используются классические результаты из теории чисел про распределения простых чисел, их распределения в последовательностях.

Настоящая работа состоит из введения и трех глав.

Введение

содержит краткое описание истории вопроса и обзор посвященной этому вопросу литературы.

В первой главе сведены основные факты о разложениях Оппенхайма в поле действительных чисел и в поле <0>р. Описаны важные для дальнейшего свойства р-адических чисел.

Во второй главе рассматриваются векторное разложение Оппенхайма в кольце <0>р, где д = Рг! • «Рг&bdquo— Установлена соответствующая теорема о нормальности распределения некоторой характеристики коэффициентов разложения.

В третьей главе описывается конструкции кольца полиадических чисел, которое представляет собой прямое произведение колец Zp по всем простым числам р. Вводимое в работе понятие кольца полуполиадических чисел представляет собой прямое произведение колец по некоторой бесконечной совокупности простых чисел. Строится аналогичная теория меры и интегрирования, доказываются основные свойства полуполиадических чисел и теорема о равномерности распределения последовательности натуральных чисел в кольце полуполиадических чисел.

Благодарности.

Автор благодарит своего научного руководителя, доктора физико-математических наук, профессора Чирского Владимира Григорьевича за постановку задач и внимательное руководство в процессе исследовательской деятельности. Автор глубоко признателен доктору физико-математических наук, профессору Чубарикову Владимиру Николаевичу и члену-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору Нестеренко Юрию Валентиновичу за интерес, проявленный к работе и полезные обсуждения. Особую благодарность автор выражает к.ф.-м.н. Трушину Дмитрию Витальевичу за знакомство с методами коммутативной алгебры. Автор благодарит всех сотрудников кафедры математического анализа и кафедры теории чисел за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Обозначения.

В диссертации используются следующие обозначения: А = lim ап (р) число, А является пределом последовательности {ап при п-" оо п —> оо в метрике поля Qp (в более общем случае — кольца Qg), ТО есть порожденной нормой | |р.

И Множество делителей нуля. т) идеал кольца Д, порожденный его элементом т? II, то есть множество {гтгг|г 6 Я}.

М число элементов во множестве М.

М замыкание подмножества М некоторого топологического пространства.

М (Х) множество произведений {ПП2. .. Пкщ € X}, где X — произвольное подмножество кольца К.

N множество {1,2,3,.} натуральных чисел. ог (1рХ порядок числа х по простому основанию р.

Р множество простых чисел.

0> поле рациональных чисел.

0>р поле р-адических чисел по простому основанию р.

0>5 поле д-адических чисел по составному основанию.

9 = р? Р?.Р7.

М поле действительных чисел.

Хр = рЪр подмножество р-адических чисел х порядка огйрх ^ 1.

Ъ кольцо целых чисел.

Ър кольцо целых р-адических чисел.

Zп кольцо полиадических чисел.

Zп кольцо полуполиадических чисел (см. стр. 38). |р норма в поле (фр.

П Мг прямое произведение множеств (абелевых групп, колец, ге полей и т. д.) М{ из семейства, заиндексированого элементами некоторого множества I.

У М{ дизъюнктное объединен множеств М ((Мгп М] = 0) г.

1 История вопроса.