Качественное поведение решений стохастических дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами

1. Основы теории диффузионных процессов были заложены в статье А. Н. Колмогорова [11] («уравнение Колмогорова-Чепмена», прямые и обратные уравнения в частных производных). Дальнейшее развитие эта теория получила в работах В. Феллера (см., например, [25], [26]). В частности, Феллер исследовал граничное поведение диффузионного процесса.

В работах [27], [28] К. Ито предложил альтернативный подход для построения диффузии. Им было введено понятие стохастического дифференциального уравнения. Примерно в то же самое время и независимо от Ито стохастические дифференциальные уравнения были рассмотрены И. И. Гихманом [3], [4]. Д. Струк и С. Варадан в работе [37] дали определение мартингалъной проблемы, тесно связанное с понятием стохастического дифференциального уравнения.

К. Ито, Г. Маккин [10] и Е. Б. Дынкин [7] предложили вероятностный подход для построения диффузионного процесса. Ими было доказано, что любой одномерный непрерывный строго марковский процесс, удовлетворяющий дополнительному условию регулярности, может быть получен из броуновского движения посредством двух операций: случайной замены времени и преобразования фазового пространства.

Связь между непрерывными строго марковскими процессами, мартин-галами/семимартингалами, стохастическими дифференциальными уравнениями и в настоящее время является предметом многочисленных исследований. Х. Ю. Энгельберт и В. Шмидт в [24] доказали, что любой непрерывный строго марковский локальный мартингал может быть получен из решения стохастического дифференциального уравнения без сноса посредством задержки времени специального вида. Е. Синлар, Ж. Жакод, Ф. Проттер и М. Шарп сформулировали в [20] необходимые и достаточные условия, при которых функция от регулярного непрерывного строго марковского процесса является семимартингалом. В статье В. Шмидта [35] содержатся необходимые и достаточные условия того, что регулярный непрерывный строго марковский процесс является решением некоторого стохастического дифференциального уравнения. Подобные вопросы для непрерывных строго марковских процессов без предположения регулярности анализируются в [18].

2. В настоящей работе рассматриваются одномерные однородные стохастические дифференциальные уравнения вида ЬрЩ (И + сгрГ*) (1Ви Х0 = (1).

Мы исследуем следующие основные проблемы:

I. Существует ли решение уравнения (1)?

II. Единственно ли решение?

III. Обладает ли оно строго марковским свойством?

Принято различать два типа решений стохастических дифференциальных уравнений: сильные и слабые решения. Под решением обычно понимается пара процессов (X, В) таких, что выполнено равенство (1) (понимаемое в интегральной форме) и В является броуновским движением. Мы будем рассматривать только слабые решения. При этом под решением нам будет удобно понимать меру Р на пространстве С (К+), относительно которой процесс.

Уо <�г{Ха) Уо является (Тт) -броуновским движением (здесь X обозначает канонический процесс, а —каноническую фильтрацию на С (М+)). Иными словами, мы рассматриваем решение стохастического дифференциального уравнения как решение мартингалъной проблемы. Точные определения приводятся в параграфе 1.1. Там же описана и взаимосвязь различных определений.

Опишем известные достаточные условия существования и единственности решения стохастических дифференциальных уравнений. Большинство из этих результатов относятся к многомерным неоднородным уравнениям, т. е. уравнениям вида д, Х = Ь% Хг) дл + <7% Хь) = п.

Первое достаточное условие существования и единственности для таких уравнений было получено К. Ито [28]. Это условие состоит в (локальной) ограниченности и липшицевости коэффициентов Ъ и а.

А.В. Скороходом [17] было доказано существование решения в предположении непрерывности Ь и а.

Д. Струк и С. Варадан [37] доказали существование и единственность в случае, когда вектор сноса Ь ограничен и измерим, а матрица диффузии о непрерывна, ограничена и строго эллиптична.

Н.В. Крылов [12], [13] доказал существование и единственность в предположении, что снос Ъ ограничен и измерим, а матрица, а ограничена и строго эллиптична (в случае, когда размерность п больше двух, делалось дополнительное предположение для доказательства единственности). При этом матрица и не предполагалась непрерывной.

Уравнения с неограниченным сносом рассматривались Н. И. Портенко [15], [16]. Им было доказано существование решения в случае, когда, а непрерывна, ограничена и строго эллиптична, а коэффициент сноса Ь удовлетворяет некоторому предположению интегрируемости.

Условия, налагаемые в работах Скорохода, Струка и Варадана, Крылова, были значительно слабее, чем условия Ито. Возникла некоторая неясность относительно того, как следует понимать решение. А. Н. Ширяевым и М. П. Ершовым были введены понятия сильного и слабого решения. Соответствующие определения содержатся в книге Р. Ш. Липцера и А. Н. Ширяева [14]. Согласно этой терминологии, решение, построенное Ито, является сильным решением, в то время как решения, построенные в более поздних работах (и при более слабых предположениях), являются слабыми. Исследованию взаимосвязи между сильными и слабыми решениями посвящена статья А. К. Звонкина и Н. В. Крылова [9].

Во всех вышеупомянутых статьях рассматривался многомерный случай. В работах Ито, Скорохода и Крылова для построения решения был использован метод последовательных приближений. В статье Струка и Варадана последовательные приближения применялись для построения решения при 6 = 0. Для перехода к общему случаю они использовали замену меры. Этот метод был впервые предложен И. В. Гирсановым в статье [1]. Отметим также, что во всех упомянутых работах, кроме работы Крылова, рассматривались неоднородные уравнения.

Все описанные выше результаты относились к проблемам I и II. Что касается проблемы III, то в статье Струка и Варадана [37] доказано следующее утверждение (см. также [29- (18.11)]).

Предложение 1. Если для любого х Е К существует единственное решение Рж уравнения (1), то (Р^жем — строго марковский процесс.

Подробное изложение теории стохастических дифференциальных уравнений можно найти, например, в книгах [5], [6], [14- гл. 4], [30- ch. 5], [32], [34- ch. IX], [38].

Для одномерных однородных стохастических дифференциальных уравнений существуют гораздо более слабые достаточные условия существования и единственности решения, чем перечисленные выше. Это было показано Х. Ю. Энгельбертом и В. Шмидтом в [22]—[24]. Эти статьи содержат необходимые и достаточные условия существования и единственности решения для случая 6 = 0. Имеет место следующее.

Предложение 2. Пусть 6 = 0. Положим.

Na = {х G R: сг (х) = 0}, Еа = € R: а" 2 i L]oc (x)} запись а~2 ф. Ь}0С (рс) означает, что, а не локально интегрируема в точке х).

1) Для любого х 6 К. существует решение уравнения (1) в том и только в том случае, когда Еа С N0-. и) Для любого х Е Ж существует единственное решение уравнения (1) в том и только в том случае, когда Еа = Л^.

Для доказательства существования решения Энгельберт и Шмидт применили метод случайной замены времени. Суть этого метода поясним на примере того случая, когда Еа = = 0. Пусть (И^)^о — одномерное броуновское движение, выходящее из точки х. Положим.

Аг= [ (т-2{УУ3)с1з, Jo.

П = т^ ^ 0: А3 >

Тогда мера Р = Ьа^И^- является решением уравнения (1).

Неформально предложение 2 можно интерпретировать следующим образом. Если а~2? Ь}ос{х), то решение «не может покинуть точку яг», т. е. единственно возможным решением, выходящим из х, является мера Р такая, что Р{/£ ^ О, = ж} = 1 (где X — канонический процесс на пространстве С (М+)). Для того чтобы это действительно было решением, необходимо выполнение равенства сг (ж) = 0. Если же <т~2 6 Ь}ос{х) и (т{х) = 0, то существует нетривиальное решение, выходящее из точки х, но при этом существует и тривиальное решение: Р{У? ^ О, = ж} = 1.

Пример неединственности решения, основанный на этом наблюдении, был впервые предложен И. В. Гирсановым [2]. Именно, в этой статье доказано, что для уравнения.

Хг=ХгааВи Х0 = 0 (2) при 0 < а < ½ существуют различные решения.

Отметим, что уравнение (2) имеет немарковские решения. Идея построения здесь состоит в следующем. Выпустим решение из точки х ф 0.

В момент, когда оно впервые попало в нуль, задержим его в нуле на время, зависящее от «прошлого» траектории. По истечении этого времени продолжим решение нетривиальным образом. Построенное таким способом решение не будет марковским.

В статьях [23], [24] Энгельберт и Шмидт приводят достаточное условие существования и единственности при ненулевом сносе. Это условие состоит в том, что Ух 6 М, сг (х) / 0 и 6 (3).

Для доказательства существования и единственности в этом предположении уравнение (1) сводится к уравнению без сноса. При этом используется метод преобразования фазового пространства. Этот метод не применим в многомерном или неоднородном случае, но для одномерных однородных уравнений он дает гораздо лучшие результаты, чем теорема Гирсанова. Суть этого метода состоит в следующем. Положим р (х)=ехр{~1 ¿-у}, ж) = I р (у) йу.

Тогда мера Р является решением уравнения (1) в том и только в том случае, когда мера (3 =? ^ 0 | Р) является решением уравнения.

1Хг = н{Хг)<1Ви = *(*), (4) где к (х) = р ($-1(ж)) сг^-1^)).

Предположение (3) гарантирует, что х~2 €. Согласно предложению 2, у уравнения (4) существует единственное решение.

Условие (3) является достаточным для существования и единственности решения (1), но не необходимым. Некоторые стохастические дифференциальные уравнения, естественно возникающие в стохастическом анализе, не удовлетворяют этому условию, хотя для них имеют место существование и единственность решения. Рассмотрим, например, уравнение, задающее квадрат процесса Бесселя размерности 5: йХь = 5 & + 2^/Щ?Ви Х0 — ж, (5) где <5⁰, х^О.В этом уравнении коэффициент Ъ Липшицев, а коэффициент о является гельдеровым порядка ½. Поэтому для (5) выполнены даже сильное существование и сильная единственность (см. [31]). Согласно теореме Ямада-Ватанабе (см. [40]), для (5) имеют место слабое существование и слабая единственность. Легко проверить, что множество решений (5) совпадает с множеством решений уравнения.

Х% = 8&+(2у/Щ+1{Хг = Ъ))аВи Х0 = х. (6).

Следовательно, для (6) также имеют место слабое существование и слабая единственность решения. Кроме того, для этого уравнения коэффициент, а отличен от нуля в каждой точке. Однако условие интегрируемости (3) для (6) нарушается.

Приведем еще один пример уравнения, для которого имеют место существование и единственность решения, в то время как условие (3) нарушается. Рассмотрим уравнение, которому подчиняется процесс Бесселя размерности 5: /(X* + а. Ви Х0 = X, (7).

Л^ где 8 > 1. В данном случае а (х) ф 0 /х € М, а условие интегрируемости (3) не выполнено. В то же время в диссертации (параграф 2.2) доказывается, что при 6 ^ 2 и х ф 0 уравнение (7) обладает единственным решением. Отметим, что при 1 < 6 < 2 или х = 0 у (7) существуют различные решения.

3. В диссертации исследуются проблемы 1-Ш для случая, когда условие (3) нарушается, т. е. для уравнений с сингулярными коэффициентами. На протяжении всей работы предполагаем, что Угг Е М, ст (х) ф 0. Мы называем точку с? особой, если * ьЛЧ).

В параграфе 2.1 приводятся аргументы в пользу того, что такие точки действительно являются «особыми». Доказывается (см. теорему 2.8), что локальное время любого решения уравнения (1) обращается в нуль в любой особой (в смысле данного выше определения) точке. Напротив, если точка в, — неособая, то локальное время любого решения строго положительно в этой точке для моментов времени, больших первого момента достижения точки в, (см. теорему 2.9). В частности, для решения, выходящего из с?, локальное время в этой точке строго положительно при всех? > 0. Таким образом, нестрого можно сказать, что особые точки — это те и только те точки, где локальное время решений обращается в нуль.

Другое качественное различие между особыми и неособыми точками описывается теоремой 2.10. Предположим, что нуль — особая точка уравнения (1), а остальные точки являются неособыми. Тогда имеются только следующие 4 возможности:

1. Не существует решения, выходящего из нуля.

2. Существует единственное решение, выходящее из нуля, и оно неотрицательно (т.е. Р{/£ ^ 0, ^ 0} = 1).

3. Существует единственное решение, выходящее из нуля, и оно неположительно.

4. Существует как неотрицательное, так и неположительное решение, выходящее из нуля. (В этом случае могут также существовать знакопеременные решения).

Если же все точки вещественной прямой — неособые для (1), то решение, выходящее из нуля, единственно, и оно является знакопеременным. Это вытекает из результатов Энгельберта и Шмидта.

Назовем точку й изолированной особой точкой, если в, — особая точка и существует проколотая окрестность в, состоящая из неособых точек. Основная цель настоящей работы состоит в качественном исследовании поведения решения вблизи изолированной особой точки.

Прежде всего приведем два примера. Для уравнения = + Хъ = х (8) нуль является изолированной особой точкой и не существует решения, выходящего из нуля. Это строго доказывается в параграфе 2.2 и неформально может быть объяснено следующим образом. Коэффициент сноса Ь отрицателен в правой полуокрестности нуля и положителен в левой полуокрестности. Кроме того, снос является очень сильным вблизи нуля. Поэтому он не позволяет решению выйти из этой точки, и единственно возможным остается решение, заданное по формуле Р{Х = 0} = 1. Но, как легко проверить, эта мера не является решением.

Другим примером служит уравнение, которому подчиняется процесс Бесселя размерности 8: х0 = я. (9).

Л г.

Здесь 6 > 1. В параграфе 2.2 доказывается, что для этого уравнения существует как неотрицательное, так и неположительное решение, выходящее из нуля. Неформальное объяснение здесь состоит в следующем. Коэффициент сноса Ь положителен справа от нуля и является достаточно сильным, чтобы обеспечить существование неотрицательного решения. Аналогично, снос отрицателен слева от нуля, и существует неположительное решение.

Для того чтобы исследовать поведение решения вблизи изолированной особой точки, необходимо отдельно изучить поведение решения в правой и левой полуокрестностях этой точки. Мы предполагаем, что нуль — изолированная особая точка, и исследуем уравнение (1) в правой полуокрестности нуля. Поведение решения в правой полуокрестности нуля зависит от поведения коэффициентов Ъ и, а в этой полуокрестности. Установлено, что существует 8 качественно различных типов поведения. Соответствующие результаты сформулированы в теоремах 3.1−3.8 (так что каждая теорема описывает поведение решения для одного из этих 8 типов). Схематично утверждения этих теорем представлены диаграммой на стр. 58.

Общая схема доказательства каждой из этих теорем состоит в следующем. Сначала устанавливается, что для любого х из правой полуокрестности нуля существует единственное решение, определенное до некоторого случайного момента (например, в теореме 3.1 это момент первого выхода из правой полуокрестности нуля). Нам приходится здесь рассматривать решение до случайного момента, поскольку в данной ситуации нельзя гарантировать существование глобального решения. Определение решения до случайного момента дается в параграфе 2.4. Отметим, что это понятие рассматривалось также в [23], [24], [30- сЬ. 5, (5.1)]. Для построения решения мы используем методы случайной замены времени и преобразования фазового пространства.

Второй этап в теоремах 3.1−3.8 состоит в доказательстве того, что решение является регулярным строго марковским процессом. Локальное поведение непрерывного строго марковского процесса в правой полуокрестности выделенной точки может быть охарактеризовано 4 параметрами е,., б4. Мы приводим их определение в параграфе 1.6. Эти параметры были введены В. Феллером [25], К. Ито и Г. Маккином [10]. Параметры показывают, может ли процесс выйти из этой точки вправо, может ли он достичь эту точку справа и т. д. Для регулярного строго марковского процесса они легко выражаются через его естественную шкалу и меру скорости. В теоремах 3.1−3.8 приводятся выражения для естественной шкалы и меры скорости построенного решения через коэффициенты Ъ и, а исходного уравнения. Таким образом, параметры. решения оказываются выраженными через Ь и а, что и дает качественное описание поведения решения в правой полуокрестности нуля.

Если, например, коэффициенты Ъ и о удовлетворяют условиям теоремы 3.1, то мы говорим, что нуль имеет правый тип 0. Типы нумеруются цифрами 0,., 7. Типы 0, 1, 2 являются выходными в том смысле, что для них решение, выходящее из строго положительной точки, может достичь точку нуль. Типы 3, 4, 5, 6, 7 не являются выходными. Типы 2 и 3 являются входными в том смысле, что для них существует неотрицательное решение, выходящее из нуля. Типы 0, 1, 4, 5, б, 7 не являются входными.

Поскольку мы предполагаем, что нуль — изолированная особая точка, то существует такое, а > 0, что т. е. эта функция локально интегрируема в каждой точке этого полуинтервала. В случае, когда нуль имеет один из типов 1,., 7, выполнено условие.

Поэтому тип 0 может быть назван несингулярным типом, в то время как типы 1,., 7 являются сингулярными. Изолированная особая точка имеет один из 8 возможных правых типов и один из 8 возможных левых типов. Если она имеет и левый, и правый тип 0, то функция (1 + Ь)/а2 локально интегрируема в этой точке, и, следовательно, эта точка не является особой. Таким образом, всего существует 63 типа изолированных особых точек. Мы говорим, что точка имеет тип {г—-'), если она имеет левый тип i и правый тип ] .

Большинство из этих 63 типов являются «хорошими» в том смысле, что они не нарушают единственность решения. Рассмотрим, например, уравнение (8). Для этого уравнения нуль имеет тип (1−1) (это вытекает из результатов параграфа 3.4). Как отмечалось выше, у уравнения (8) не существует решения, выходящего из нуля. Если х ф 0, то у этого уравнения существует единственное решение, определенное до момента достижения нуля, и оно не может быть продолжено после этого момента (это является следствием теоремы 3.3, соответствующей типу 1). Таким образом, можно сказать, что для любой начальной точки х существует, и притом единственное, решение уравнения (8), определенное до момента первого попадания в нуль.

Однако 4 типа изолированных особых точек нарушают единственность решения. Это типы (2−2), (2−3), (3−2) и (3−3). Соответствующие им изолированные особые точки можно назвать точками ветвления. Если нуль является точкой ветвления, то существует как неотрицательное, так и неположительное решение, выходящее из нуля. Примером уравнения с точкой ветвления служит уравнение (9). При 6² нуль имеет тип (3−3). При 1 < 6 < 2 нуль имеет тип (2−2). В любом случае у уравнения (9) существуют различные решения, выходящие из нуля. Если 6² и х ф 0, то решение этого уравнения, выходящее из х, никогда не достигает нуля и является единственным. Если же 1 < 5 < 2, то для любой начальной точки х решение неединственно. Это можно объяснить следующим образом. Решение, выходящее из х, достигает нуль за конечное время. После этого момента оно может «пойти как в положительном, так и в отрицательном направлении» .

Данное наблюдение позволяет конструировать немарковские решения. Именно, выпустим решение из строго положительной точки. После момента первого достижения нуля продолжим решение в положительном или отрицательном направлении в зависимости от «прошлого» траектории. Известным примером уравнения, для которого не выполнена единственность и существуют немарковские решения, является пример Гир-санова (см. (2)). Уравнение (9) является другим примером такого рода с единичной диффузией. Если в примере Гирсанова неединственность объяснялась вырожденностью диффузии, то в настоящем примере источником неединственности является неограниченный снос.

В случае, когда изолированная особая точка имеет тип (2−2), решение может достигать нуль как с правой, так и с левой стороны. Поэтому оно будет достигать эту точку бесконечно часто. При каждом попадании в нуль решение может идти дальше как в положительном, так и в отрицательном направлении. Это приводит к тому, что существует огромное количество решений, не поддающихся никакому описанию. Иными словами, в такой ситуации коэффициенты Ь и, а не контролируют решение, и подход, основанный на стохастических дифференциальных уравнениях, «плохо работает» для описания диффузии.

В качестве примера применения полученных результатов мы рассматриваем степенные уравнения, т. е. уравнения вида /х 1(Хг ф 0) Л + (и Х%Р 1{Хг ф 0) + ц 1(Хг = 0)) <1Ви где V ф 0, г] ф 0, и проводим классификацию правых типов нуля для этих уравнений (см. диаграмму на стр. 91).

В параграфе 3.5 мы рассматриваем уравнения, у которых снос Ъ имеет постоянный знак. Оказывается, что для таких уравнений изолированная особая точка может иметь любой правый тип, кроме типов 6 и 7. Мы называем эти два типа осциллирующими. Пусть, например, нуль имеет правый тип 6. Тогда решение, выходящее из строго положительной точки х, может достичь нуль за конечное время. Однако при приближении решения к нулю расходится интеграл.

Если обозначить через То момент первого попадания решения в нуль (т.е. Го = ^ 0: Хг = 0}), то интегралы не определены в классическом смысле. Согласно терминологии, вводимой в параграфе 2.4, построенное решение не будет решением до момента То, а лишь решением до То—. В частности, оно не может быть продолжено после Го. С другой стороны, если при этом нуль имеет левый тип 2 или 3, то существует неположительное решение, выходящее из нуля. Его можно «склеить» с описанным выше решением. Согласно классическому определению, построенный таким способом процесс не будет решением уравнения (1), поскольку для него расходится интеграл (10). Чтобы этот процесс можно было бы назвать решением, необходимо обобщить классическое определение решения. Например, это обобщение могло бы состоять в замене интегралов Лебега-Стилтьеса и стохастических интегралов, фигурирующих в обычном определении, на интегралы в смысле главного значения.

4. Диссертация построена следующим образом.

В главе 1 мы приводим некоторые определения и известные факты из стохастического анализа. Они будут использоваться в последующих доказательствах.

В главе 2 дается определение особой точки и рассматриваются примеры уравнений с изолированными особыми точками. Эта глава содержит.

10) также определение решения до случайного момента времени и некоторые технические леммы.

В главе 3 формулируются и доказываются основные результаты.

Цитируемые утверждения носят название «предложение». Собственные результаты автора названы «теоремами» (вспомогательные утверждения называются «леммами»). Эти результаты содержатся в главах 2 и 3.

Нумерация утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом используется двойная система нумерации, так что ссылка на теорему 3.1 указывает на первую теорему в третьей главе. То же самое относится и к нумерации формул.

5. Автор выступал с докладами на следующих конференциях, где излагались также и результаты, относящиеся к диссертации.

1. Workshop on Mathematical Finance. Конференция проводилась в мае.

1998 г. в Париже в институте INRIA (Национальный научно-исследовательский институт по информатике и автоматике). Название доклада: Vector stochastic integrais in the fondamental theorem of asset pricing.

2. Ломоносовские чтения-1999. Конференция проводилась в апреле.

1999 г. в МГУ им. М. В. Ломоносова. Название доклада: Сходимость некоторых интегралов, связанных с процессами Бесселя.

3. Колмогоровские чтения-1999. Конференция проводилась в апреле 1999 г. в МГУ им. М. В. Ломоносова. Название доклада: О сильных и слабых решениях стохастических дифференциальных уравнений, определяющих процессы Бесселя.

4. Mathematiques Financieres. Конференция проводилась в июне 1999 г. в Париже в институте INRIA. Название доклада: Convergence of some integrais associated with Bessel processes.

5. Second Nordic-Russian Symposium on Stochastic Analysis. Конференция проводилась в августе 1999 г. в Норвегии. Название доклада: Integral fimctionals of Bessel processes.

6. 12th Winter School on Stochastic Processes. Конференция проводилась в марте 2000 г. в Германии. Название доклада: Isolated singular points of stochastic differential equations.

В июле 1999 г. автор выступал с 4 научными докладами на факультете информатики и автоматики университета им. Ф. Шиллера г. Иены (Германия). Доклады были сделаны по следующим темам:

1. Интегральные функционалы от процессов Бесселя.

2. Сильные и слабые решения стохастических дифференциальных уравнений, определяющих процессы Бесселя.

3. О второй фундаментальной теореме финансовой математики для случая непрерывного времени.

4. Продолжение согласованных вероятностных мер.

Кроме того, по теме диссертации был сделан доклад на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ.

Непосредственно к теме диссертации относятся следующие статьи: [42], [43], [44], [46], [47], [48].

Работа выполнена под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Н. Ширяева, которому автор выражает искреннюю благодарность.

1. И. В. Гирсанов. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно-непрерывной замены меры. — Теория вероятностей и ее применения, 5 (1960), вып. 3, с. 314−330.

2. И. В. Гирсанов. Пример неединственности решения стохастического уравнения К. Ито. — Теория вероятностей и ее применения, 7 (1962), вып. 3, с. 336−342.

3. И. И. Гихман. О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями. — Украинский математический журнал, 2 (1950), № 3, с. 45−69.

4. И. И. Гихман. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов, I, II. — Украинский математический журнал, 2 (1951), № 4, с. 37−63- 3 (1951) № 3, с. 317−339.

5. И. И. Гихман, A.B. Скороход. Теория случайных процессов, т. III. М.: Наука, 1975.

6. И. И. Гихман, A.B. Скороход. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1982.

7. Е. Б. Дынкин. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963.

8. Ж. Жакод, А. Я. Ширяев. Предельные теоремы для случайных процессов. М.: Физматлит, 1994.

9. A.K. Звонкин, H.B. Крылов. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений. — В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 1974), Вильнюс, 1975, ч. 2, с. 9−88.

10. К. Ито, Г. Маккин. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.

11. А. Н. Колмогоров. Об аналитических методах в теории вероятностей. — Успехи математических наук, 1938, вып. 5, с. 5−41.

12. Н. В. Крылов. О квазидиффузионных процессах. — Теория вероятностей и ее применения, 11 (1966), вып. 3, с. 424−443.

13. Н. В. Крылов. О стохастических интегральных уравнениях Ито. — Теория вероятностей и ее применения, 14 (1969), вып. 2, с. 340−348.

14. Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

15. Н. И. Портенко. Диффузионные процессы с неограниченным коэффициентом переноса. — Теория вероятностей и ее применения, 20 (1975), вып. 1, с. 29−39.

16. Н. И. Портенко. К теории стохастических дифференциальных уравнений. — Теория случайных процессов, 1976, вып. 4, с. 72−80.

17. A.B. Скороход. Исследования по теории случайных процессов. Киев, издательство Киевского университета, 1961.

18. S. Assing, W. Schmidt. Continuous strong Markov processes in dimension one. — Lecture Notes in Mathematics, 1688 (1998).

19. A.N. Borodin, P. Salminen. Handbook of Brownian Motion — Facts and Formulae. Basel: Birkhauser, 1996.

20. E. Qinlar, J. Jacod, P. Protter, M.J. Sharpe. Semimartingales and Markov processes. — Probability Theory and Related Fields, 54 (1980), p. 161−219.

21. M. Csorgo, L. Horwath, Q.-M. Shao. Convergence of integrals of uniform empirical and quantile processes. — Stochastic Process. Appl. 45 (1993), No. 2, p. 278−294.

22. H. J. Engelbert, W. Schmidt. On one-dimensional stochastic differential equations with generalized drift. — Lecture Notes in Control and Information Sciences, 69 (1985), p. 143−155.

23. H. J. Engelbert, W. Schmidt. On solutions of one-dimensional stochastic differential equations without drift. — Probability Theory and Related Fields, 68 (1985), p. 287−314.

24. H. J. Engelbert, W. Schmidt. Strong Markov continuous local martingales and solutions of one-dimensional stochastic differential equations, I, II, III. — Math. Nachr. 143 (1989), p. 167−184- 144 (1989), p. 241−281- 151 (1991), p. 149−197.

25. W. Feller. The parabolic differential equations and the associated semigroups of transformations. — Ann. Math. 55 (1952), p. 468−519.

26. W. Feller. Diffusion processes in one dimension. — Trans. Amer. Math. Soc. 77 (1954), p. 1−31.

27. K. ltd. On a stochastic integral equation. — Proc. Jap. Acad., 22 (1946), p. 32−35.

28. K. ltd. On stochastic differential equations. — Memoirs of the American Mathematical Society, 4 (1951), p. 1−51.29. 0. Kallenberg. Foundations of modern probability. Springer, 1997.

29. I. Karatzas, S.E. Shreve. Brownian motion and stochastic calculus. Springer, 1988.

30. J.F. Le Gall. Applications du temps local aux equations differentielles stochastiques unidimensionnelles. — Lecture Notes in Mathematics, 986 (1983), p. 15−31.

31. B. 0ksendal. Stochastic differential equations. Springer, 1992.

32. J. W. Pitman, M. Yor. Some divergent integrals of Brownian motion. — Adv. Appl. Probab. 18 (1986), p. 109−116.

33. D. Revuz, M. Yor. Continuous martingales and Brownian motion. Springer, 1994.

34. W. Schmidt. On semimartingale diffusions and stochastic differential equations. — Stochastics and Stochastic Reports, 29 (1990), p. 407 424.

35. A. V. Skorokhod. Studies in the theory of random processes. — Addison-Wesley, Reading, Mass. 1965.

36. D. W. Stroock, S.R.S. Varadhan. Diffusion processes with continuous coefficients, I, II. — Communications in Pure and Applied Mathematics, 22 (1969), p. 345−400- 22 (1969), p. 479−530.

37. D. W. Stroock, S.R.S. Varadhan. Multidimensional diffusion processes. Springer, 1979.

38. T. Yamada. Principal values of Brownian local times and their related topics. — Ito's stochastic calculus and probability theory. Springer (1996), p. 413−422.

39. T. Yamada, S. Watanabe. On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations. — J. Math. Kyoto. Univ. 11 (1971), p. 155−167.

40. А. С. Черный. Векторный стохастический интеграл в первой фундаментальной теореме финансовой математики. — Успехи математических наук, 53 (1998), вып. 4, с. 221−222.

41. А. С. Черный. О сильных и слабых решениях стохастических дифференциальных уравнений, определяющих процессы Бесселя. — Тезисы докладов, отмеченных премиями на Колмогоровских чтениях 1999 г. Теория вероятностей и ее применения, 44 (1999), вып. 3, с. 699.

42. А. С. Черный. Сходимость некоторых интегралов, связанных с процессами Бесселя. — Теория вероятностей и ее применения, 45 (2000), вып. 2, с. 251−267.

43. А. С. Черный. Качественное поведение решений стохастическихсдифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами. — Успехи математических наук, 55 (2000), вып. 3, с. 193−194.

44. A.S. Cherny. Vector stochastic integrals in the fundamental theorem of asset pricing. — Proceedings of the conference on Mathematical Finance, Paris, INRIA, 1998, p. 149−163.

45. A.S. Cherny. Convergence of some integrals associated with Bessel processes. — Proceedings of the conference Mathematiques Financieres, Paris, INRIA, 1999, p. 405−425.

46. A.S. Cherny. On the existence of the principal values for Brownian local times. — To be published in Seminaire de Probabilites, XXXV, Lecture Notes in Mathematics, 2000, 15 pp.

47. A.S. Cherny. On the strong and weak solutions of stochastic differential equations governing Bessel processes. — To be published in Stochastics and Stochastic Reports, 7 pp.