Алгебро-аналитические методы исследования уравнений математической физики

В работе развиваются алгебраические и аналитические методы исследования дифференциальных и интегральных уравнений математической физикиразрабатываются приложения дифференциальных тождеств и преобразований для нахождения точных решений, доказательства теорем единственности и существования, интегрирования переопределенных систем.

Актуальность. Функция распределения является основным объектом исследования в статистическом моделировании системы многих частиц. Она удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана [51, 68, 120, 143]. Прямые задачи для кинетического уравнения заключаются в определении функции распределения при заданных дополнительных данных, например, для уравнения переноса — плотности падающего на среду потока при всех известных коэффициентах [13, 75, 76, 84, 115, 120, 143, 151, 221, 253, 258].

Обратные задачи, как правило, состоят в одновременном определении решения прямой задачи и какого-нибудь коэффициента либо правой части уравнения по условиям, составляющим прямую задачу, и некоторому дополнительному условию, которое называется условием переопределения.

Изучение обратных задач для уравнения переноса началось с работ Г. И. Мар-чука [148, 149] (смотри также [153]) посвященных постановке и обсуждению одной обратной задачи в плоскопараллельном случае. М. В. Масленников [154] рассмотрел стационарное односкоростное уравнение переноса в полупространстве и исследовал обратную задачу о восстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя.

В книгах Р. Беллмана, Р. Калаба и Р. Латтес, Ж.-Л. Лионе (см. [53, 144]) обратные задачи для уравнения переноса рассматриваются с точки зрения получения численных результатов. Для уравнения переноса данными для обратной задачи, например, являются начальное условие, условие нулевого входящего потока и финальное определение. Для уравнения, учитывающего зависимость от времени, постановки и обсуждения обратных задач имеются в работах А. И. Прилепко, А. Л. Иванкова [224, 226, 228]. В работах А. И. Прилепко, А. Л. Иванкова, Н. П. Волкова (см. [225, 227]) доказаны теоремы существования и единственности решения обратных задач для уравнения переноса в предположении, что диаметр рассматриваемой области достаточно мал (диаметр оценивается через данные задачи). В работе А. И. Прилепко, И. В. Тихонова [229] рассмотрены обратные задачи определения плотности источников и сечения рассеяния для уравнения переноса (по начальному условию, условию нулевого входящего потока и финальному определению). Доказаны теоремы единственности в предположении, что есть ограничение на порядок экспоненциального роста полугруппы, порождаемой оператором переноса. Общая схема определения неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении при дополнительном условии (помимо условия Коши) специального переопределения рассмотрена в работе А. И. Прилепко, И. В. Тихонова [230]. Кинетическому уравнению на римановом многообразии и связанным с ним вопросам теоретической фотометрии посвящены работы В. Р. Кирейтова [117, 118].

Теория обратных задач для кинетических уравнений, исследование вопросов единственности и существования решений развивались и развиваются многими авторами (см., например, работы А. Х. Амирова, Ю. Е. Аниконова, Д.С. Анико-нова, А. Е. Ковтанюка, И. В. Прохорова, М. М. Лаврентьева, А. Н. Бондаренко, JT.H. Пестова, A.C. Компанеец, В. Г. Романова, В. Г. Васильева, С. П. Шишатского, В. Г. Орловского, В. А. Шарафутдинова, В. Г. Бардакова У.М. Султангазина [7, 8, 11−13, 26, 28, 33, 47, 124, 135, 137, 139, 140, 213, 237, 239, 247, 253, 272, 282, 283, 285−287, 292−294] и литературу в них).

Один из методов доказательства теоремы единственности обратной задачи состоит в использовании дифференциальных тождеств специального вида, справедливых для решений рассматриваемого класса уравнений. В работах Р.Г. Мухоме-това, В. Г. Романова, JI.B. Вертгейма, Ю. Е. Аниконова, А. Х. Амирова, JI.H. Пестова, В. А. Шарафутдинова, G. Uhlmann, В. Г. Бардакова (см. [20, 31, 71, 166, 216, 217, 236, 273, 295, 330]) для соответствующих кинетических уравнений было установлено существование дифференциальных тождеств специального вида и исследованы вопросы единственности, существования и устойчивости решения, соответствующих обратных задач.

Метод дифференциальных тождеств, частным случаем которого является, например, метод сопряженных уравнений, основанный на тождестве Лагранжа, широко используется также в задачах оптимального управления, линейных и нелинейных задачах математической физики: теории малых возмущений в спектральных задачах и т. д. [152, 153]. Метод дифференциальных тождеств позволяет по информации в обратной кинематической задаче восстановить строение метрики, см. работы Ю. Е. Аниконова, Л. Н. Пестова, А. Г. Меграбова, A.B. Боровских [15, 47, 69, 70, 156].

В связи с этим направлением в теории обратных задач является актуальным развитие единого подхода к получению дифференциальных тождеств с применением алгебраических конструкций и их использование для доказательства теорем единственности, существования, получения оценок решений и коэффициентов уравнений математической физики (в частности, кинетических уравнений).

Обратные задачи обычно приводят к операторным уравнениям 1-го рода, часто интегральным. Некоторые из них редуцируются к интегральным уравнениям типа Вольтерра 1-го рода. Это дает, в основном в одномерных обратных задачах, возможность получить уравнение 2-го рода с оператором, обладающим достаточно хорошими свойствами (например, оператором сжатия). Но во многих случаях, особенно в многомерных обратных задачах, когда информация о решениях уравнений задается лишь на части границы рассматриваемой области, сведение обратной задачи к интегральному уравнению 2-го рода часто оказывается невозможным. Одна из причин этого — некорректность таких задач. Подобные вопросы требуют новых подходов. Общая теория операторных уравнений 1-го рода и их приложений разработана в работах в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, В. Я. Арсенина, В. А. Морозова, Р. Латтеса, Ж. Л. Лионса, A.M. Денисова, А. Лоренци и др. (см. [50, 89, 92, 111, 136, 144, 164, 252, 254, 305]). В работах Ю. Е. Аниконова [14−16] разработан общий подход к доказательству теорем единственности для операторных уравнений первого рода на основе понятия квазимонотонного оператора. Неявно это свойство использовалось в работе А. Н. Тихонова [249] для доказательства единственности решения одномерной обратной задачи электроразведки. В многомерном случае это свойство применил Ю. М. Березанский [56] при доказательстве единственности решения обратной задачи для уравнения Шредингера в классе кусочно-аналитических функций.

Представляют значительный интерес задачи распространения данных методов на более широкие классы уравнений, обладающие, вообще говоря, некоторой дополнительной структурой. Так теорема единственности для уравнений Вольтерра 1-го рода в классе аналитических функций над полем комплексных чисел была доказана в работе Ю. Е. Аниконова [22]. Аналогичный результат над телом кватернионов доказал О. Н. Смирнов [244].

Аналитические и конструктивные методы исследования позволяют не только доказывать существование решения исследуемой задачи, но часто приводят либо к конструктивному построению решения, либо к некоторому приближенному выражению для него. К этому направлению относится построение функционально-инвариантных решений гиперболических уравнений [99, 246], аналитические представления решений и коэффициентов параболических уравнений [122], представление решения и коэффициента уравнения Штурма-Лиувилля с применением в обратных задачах теории рассеяния (см. [237, 280]), построение гармонических и других потенциалов для вычисления решений (скорости) и коэффициентов (давления) системы уравнений газовой динамики и т. п. (см. [63, 80, 133, 151]), задачи идентификации нескольких коэффициентов [30, 54, 55].

Представление решений дифференциальных уравнений в виде w — F (U (x, t)), где F (U) периодическая функция, a U (х, t) — фазовая функция, широко используется при изучении нелинейных уравнений (см. [171]). Представление решения в виде w = F (U), где U = х — vt, использовано в классической работе А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, Н. С. Пискунова [123] (см. также [169, 170]) для качественного исследования модели типа реакция-диффузия и широко используется в математической биологии. Также отметим построение точных решений нелинейных систем эллиптических уравнений в виде Wj (x) = Fj (v (x)), j = 1, ., m, где x = (xi,., xn), v (x) — произвольная гармоническая функция, a вектор F (s) — (Fi,., Fm) — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений [58]. В книге М. М. Лаврентьева, К. Г. Резницкой, В. Г. Яхно [138] для решения уравнения теплопроводности получена формула, и эта формула использована для решения обратной задачи — нахождения неизвестного коэффициента. В задачах идентификации динамических систем предпочтительно иметь явные формулы для решений, содержащие параметры, которые нужно конкретизировать (см. Л. Льюнг [146]). Для многомерных обратных задач также желательно иметь представления решений и коэффициентов дифференциальных уравнений, которые содержали бы произвольные функции одного или многих переменных.

Исходя из сказанного, круг задач, связанных с поиском новых представлений решений и коэффициентов уравнений математической физики, построением многомерных аналогов классических дифференциально-алгебраических преобразований и их использованием для построения решений и коэффициентов уравнений математической физики с учетом начально-краевой информации, нелинейных задачах управления перевода субстанции из одного состояния в другое при наличии краевой информации, является важным и актуальным.

Все вышеперечисленные вопросы непосредственно связаны с преобразованием дифференциальных уравнений. Классическими примерами таких преобразований являются преобразования Эйлера-Дарбу, преобразования Бэклунда, преобразование Мутара, преобразование Хопфа-Коула, итерационный метод Лапласа, известный также как каскадный метод Лапласа и т. п. (см., например, [179, 303, 318], а также [114] и литературу в ней). Сюда же относятся вопросы связанные с групповыми свойствами дифференциальных уравнений, (см., например, классические книги Л. В. Овсянникова, У. Миллера, П. Олвера, Н. Х. Ибрагимова [107, 158, 206, 211]) и методы построения решений на основе дополнительных дифференциальных связей (А.Ф. Сидоров, В. П. Шапеев, Н. Н. Яненко [243]). Групповой анализ дифференциальных уравнений — является одним из наиболее мощных и универсальных методов отыскания широких классов точных решений дифференциальных уравнений произвольного вида. Особенно эффективны его приложения в механике сплошных сред и математической физике, поскольку в математические модели, как правило, изначально заложены свойства инвариантности относительно некоторой группы преобразований. К сфере приложений теории группового анализа дифференциальных уравнений относится групповая классификация краевых и обратных задач математической физики, задачи связанные с классификацией законов сохранения и изучением их алгебраической структуры.

Классические результаты использования законов сохранения связаны с построением априорных оценок, доказательством теорем существования и единственности, получением физических величин, сохраняющихся с течением времени, обоснованием условий на разрывы для решений гиперболических систем, содержащих ударные волны, вопросами устойчивости и т. д. [62, 85, 141, 153, 211]. В вычислительной математике законысохранения широко используются для контроля результатов вычислений. Отметим, что вопросы построения законов сохранения тесно связаны с задачей построения сопряженного дифференциального уравнения [78, 79, 152, 153] и естественно возникают, например, при исследовании как одиночных так и матричных систем солитонных уравнений [103, 267]. Для уравнений, возникающих при решении вариационных задач, законы сохранения удается получить на основе допускаемой ими группы [95, 105, 106, 173, 211, 259, 264, 281]. Вопросы поиска законов сохранения для вариационных моделей тесно связаны с обратной задачей вариационного исчисления [259]. Высшие симметрии и законы сохранения [74, 197, 211] являются важными внутренними свойствами уравнения — они чрезвычайно полезны как при построении точных решений, так и для качественного понимания поведения решений в целом. С надлежащими уточнениями наличие высших симметрий и законов сохранения может быть принято за определение интегрируемости. См., например, работы A.B. Михайлова,.

A.Б. Шабата, Р. И. Ямилова, Н. Х. Ибрагимова, С. И. Свинолупова, В. В. Соколова,.

B.В. Жаринова, В. Э. Адлера, В. А. Галактионова, В. А. Дородницына, Г. Г. Еленина, С. П. Курдюмова, A.A. Самарского, Ю. Е. Елькина, Дж. Марри,.

A.Д. Полянина, В. Ф. Зайцева, Ю. М. Романовского, Н. В. Степановой, Д.С. Чер-навского, Ю. А. Чиркунова, А. Н. Кусюмова, М. Б. Шефтеля, Е. Вигнера, В. Ро-зенхауса, В. В. Козлова [2, 3, 72, 73, 81, 97, 100, 108−110, 116, 121, 157, 161−163, 219, 220, 232, 240, 241, 268, 269, 276, 291, 298, 299, 301, 306, 328]. Представляют интерес задачи поиска законов сохранения для уравнений не имеющих вариационную природу (см. работы Н. Х. Ибрагимова и А. Н. Кусюмова [132, 314]).

В настоящее время активно разрабатываются новые алгебро-геометрические методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и систем (система Дарбу-Егорова, системы кратных волн, система Гаусса-Ламе, система ассоциативности или уравнения Виттена-Дийкграафа-Верлинде-Верлинде, уравнения Эйлера на алгебрах Ли, уравнения Эйнштейна, система движения сплошной среды со специальной термодинамикой, уравнений пластичности и др.) возникающих на стыке математической физики, механики и дифференциальной и алгебраической геометрии. Как правило, это переопределенные систем дифференциальных уравнений в частных производных для которых известны только некоторые частные решения, не говоря о том, что далеко не все они приведены в инволюцию (в смысле теории переопределенных систем). См., например, работы Б. Д. Аннина, В. О. Бытева, С. И. Сенашова, В. Е. Захарова, А. Е. Миронова, И. А. Тайманова, Б. А. Дубровина, И. М. Кричевера, С. П. Новикова, В. В. Козлова, Д. П. Новикова,.

B.В. Трофимова, А. Т. Фоменко, Д. Ф. Егорова, Ю. А. Чиркунова, С. П. Царева, О. В. Капцова, М. В. Павлова, A.A. Ахметшина, Ю. С. Вольковского, А.П. Чупа-хина, C.B. Хабирова, C.B. Головина, A.A. Черевко, C.B. Мелешко В. К. Андреева и др. [10, 49, 87, 94, 96, 102, 159, 214, 262, 263, 266, 268, 270, 301, 334].

Актуальны задачи связанные с групповыми свойствами дифференциальных уравнений, построением точных решений, разработкой теории и аппарата инвариантных, частично-инвариантных и дифференциально-инвариантных решений, интегрированием нелинейных систем дифференциальных уравнений в многомерном случае, когда не работают приемы существенно использующие маломерность систем. В то же время представляют интерес вопросы, связанные с групповой классификацией дифференциальных уравнений относительно касательных и дискретных преобразований. Здесь имеются как алгебраические вопросы, например, построение соответствующих факторгрупп и факторалгебр и исследование их алгебраических свойств, так и вопросы аналитического использования применительно к теории дифференциальных уравнений.

Цель работы. Разработка аппарата дифференциальных тождеств для кинетических уравнений и его приложений к вопросам единственности решения обратных задач. В частности, построение универсального тождества в классе тождеств квадратичных по первым производным. Исследование вопросов существования решений кинетических уравнений, приложение метода моментов Грэда для построения представления для решений и коэффициентов в классе квазиполиномов.

Разработка аппарата дифференциальных тождеств для обратной кинематической задачи. Построение систем дифференциальных уравнений для метрического тензора и их исследование с точки зрения переопределенных систем, построение классов точных решений.

Разработка алгебраического подхода к исследованию вопросов единственности решения многомерных интегральных уравнений. В частности, для многомерного интегрального уравнения первого рода типа Вольтерра нахождения классов алгебр и классов функций со свойствами единственности решения.

Исследование обратных задач для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром. Исследование вопросов существования аналитических решений. Построение дифференциально-алгебраических тождеств для дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, разработка аналитических методов теории обратных задач и вопросов конструктивного построения решений и коэффициентов соответствующих уравнений по начально-краевой информации, разработка задачи управления оператором второго порядка.

Исследование групповых свойств уравнений второго порядка и построение решений с функциональным произволом. Нахождение инвариантных, частично-инвариантных решений. Приложение аппарата группового анализа к исследованию обратных и краевых задач. Исследование соответствующих переопределенных систем (вопросы существования, приведения в инволюцию, широты решения). В частности, построение классов точных решений для системы уравнения Максвелла в анизотропной среде, многомерного уравнения Монжа-Ампера, кубического уравнения Шредингера, системы уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой. Классификация систем уравнений типа реакция-диффузия по законам сохранения. Разработка классических вопросов группового анализа связанных с построением касательных и дискретных преобразований дифференциальных уравнений в частных производных.

Методы исследования. В диссертации используются методы и аппарат:

— классической и дифференциальной алгебры;

— теории переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными (в частности, аппарат теории Рикье), теории решения задач типа Коши-Ковалевской;

— группового анализа: построение групп Ли непрерывных преобразований и алгебр Ли, построение инвариантных и частично инвариантных решений (в частности, функционально-инвариантных решений), теории дифференциальных инвариантов, групповой классификации решенийинтегральных преобразованийдифференциальной геометрии и тензорного анализа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и связаны со следующими исследованиями: разработка аппарата построения дифференциально-алгебраических тождеств и исследование вопросов единственности и существования решений обратных задач для кинетических и связанных с ним уравненийразработка аналитических методов исследования обратных задач математической физикиисследование переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных, связанных с математическими моделями механики сплошных сред, теории поля, квантовой механики и классификацией таких систем по законам сохраненияразработка отдельных вопросов группового анализа, связанных с группами касательных и дискретных преобразований, классификацией дифференциально-алгебраических операций.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по уравнениям математической физики, в частности, в вопросах единственности и существования решений обратных задач математической физики, в вопросах связанных с исследованием алгебраических структур для уравнений как в частных производных так и для обыкновенных дифференциальных уравнений. Найденные точные представления для решений и коэффициентов уравнений математической физики могут быть использованы в вопросах моделирования физических процессов. Многие доказанные утверждения в диссертации носят законченный характер и могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Краткий обзор содержания работы.

В главе 1 для уравнения п • ди> где х — (х1,., хп) — набор переменных, w = w (x), Л = А (х), А1 = Аг (х), г = 1,., п, рассматривается следующая обратная задача:

Найти функции w (x), Х (х) в области Q С Кп, если известна функция wo = wr, где Г — граница области Q.

Как правило, функция Л (х) удовлетворяет дополнительному соотношению. Например, не зависит от части переменных или является решением некоторого дифференциального уравнения.

Один из методов доказательства теорем единственности состоит в использовании дифференциальных тождеств. Причем тождество должно учитывать как специфику рассматриваемого уравнения так и геометрию области fI. Искомые тождества можно условно представить в виде трех слагаемых:

K + L + D = О, дии где 1) слагаемое К зависит от х, —, i = 1,., п, знакопостоянно в области Q и.

С/ Jb с) и обращается в нуль если, и только если все —г = 0, i = 1,., п- 2) слагаемое L.

С.J JU обращается в нуль в области О, в силу условий на правую часть Л- 3) слагаемое D при интегрировании по области Q, обращается в нуль.

В параграфе 1.1 данной главы формулируется теорема о существовании алгебраического тождества для модуля дифференцирований произвольного ассоциативного коммутативного кольца (теорема 1). Как следствие из этой теоремы получаются тождества для кинетических уравнений, которые использовались в работах [20, 31, 71, 166, 216, 217, 236, 273, 295, 330].

Для кольца гладких функций в полученном тождестве можно разбить все параметры на зависимые и независимые и, соответственно, выразить зависимые параметры через независимые (теорема 2). В параграфе 1.2 проводится качественный анализ найденных тождеств в зависимости от вида свободных параметров и геометрии области. Один из основных вопросов это знакоопределенность соответствующей квадратичной формы. Доказано, что для достаточно широкого класса кинетических уравнений есть тождества с заранее фиксированной квадратичной формой (теорема 1). В теоремах 2, 3 утверждается, что есть аналогичные тождества для кинетических уравнений рассматриваемых на многообразии со связностью и для уравнений содержащих слагаемые типа 6w. В качестве примера приведено тождество для скобки Якоби и скобки Пуассона со слагаемым 9w. Результаты параграфов 1.1, 1.2 опубликованы в работах [185, 187, 199].

В параграфе 1.3 рассматриваются тождества, которые получаются для кинетического уравнения Больцмана-Власова и доказываются теоремы единственности для соответствующей обратной задачи. Результаты параграфа 1.3 опубликованы в работах [182, 186, 325, 327].

В параграфе 1.4, используя идею метода моментов Трэда, получены некоторые точные представления для решения и коэффициентов кинетического уравнения Власова. Построенные решения обладают функциональным произволом. Результаты параграфа 1.4 опубликованы в работах [184, 188].

В параграфе 1.5 рассматривается квантовое кинетическое уравнение. Разложением в ряд по постоянной Планка интеграл заменяется на дифференциальный оператор бесконечного порядка. Оставляя только конечное число слагаемых, получаем приближенное уравнение. Специфика полученных приближенных уравнений позволяет получить тождество на основе которого исследуются вопросы единственности соответствующей обратной задачи (теорема 1). Также доказывается теорема единственности в одномерной задаче восстановления потенциала (теорема 2) и приводятся некоторые результаты существования решения обратной задачи, при условии, что данные обратной задачи есть квазиполиномы. Результаты параграфа 1.5 опубликованы в работах [35, 36, 290].

В параграфе 1.6 рассматривается кинетическое уравнение предложенное в работе [26] для описания математической модели этноса. Доказывается, что существуют решения, содержащее функциональный произвол, формулируются и доказываются теоремы существования решения ряда обратных задач. Приводится система уравнений, охватывающая взаимодействие нескольких этносов (суперэтноса), и находятся некоторые её решения. Приведены представления для решений и символов операторов эволюционных уравнений. Результаты параграфа 1.6 опубликованы в работах [39, 40, 320].

В параграфе 1.7 рассматривается задача определения структуры риманова пространства дМ по интегральной информации. Найдены дифференциальные соотношения на метрику д{х), х € М, и годограф ъи^^г), у, г € дМ, которые выполняются или нет одновременно. Метрика д (х) имеет произвольный вид. Одним из возможных приложений является проблема восстановления метрики по информации в обратной кинематической задаче. Результаты данного параграфа получены в работах [195, 196].

В главе 2 исследования связаны в основном с построением дифференциально-алгебраических тождеств для дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, разработкой аналитических методов теории обратных задач и вопросов конструктивного построения решений и коэффициентов соответствующих уравнений по начально-краевой информации, разработкой задачи управления оператором второго порядка. Также проводится исследование обратных задач для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром, вопросов существования аналитических решений. Разрабатывается подход к исследованию вопросов единственности решения многомерных интегральных уравнений на основе использования специальных классов алгебр.

В параграфах 2.1, 2.2 приведены новые представления решений и коэффициентов гиперболических и параболических уравнений, которые частично использованы в работе при изучении одномерных и многомерных обратных задач. Существенно то, что найденные представления имеют функциональный произвол. Это обстоятельство позволяет использовать данные представления при изучении одномерных и многомерных обратных задач. Отметим, что большая часть полученных представлений для решений и коэффициентов справедлива и для ком-плекснозначных функций. Результаты параграфов 2.1, 2.2 получены в работах [41−44, 192, 197].

В параграфе 2.3 рассматриваются нелинейные задачи управления перевода субстанции из одного состояния в другое при наличии краевой информации. Фактически такого рода задачи управления являются также как и в линейных случаях обратными задачами для дифференциальных уравнений. Исследования связаны в основном с поиском дифференциальных операторов 2-го порядка с тремя коэффициентами не зависящими от времени. Предлагаются конструктивные аналитические способы исследования с применением, в частности, формулы Бюрмана-Лагранжа. Результаты данного параграфа получены в работе [34].

В параграфе 2.4 рассмотрены обратные задачи для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром. В случае гиперболических и параболических уравнений удается при некоторых ограничениях свести общие линейные обратные задачи к конкретным интегральным уравнениям первого рода типа Абеля с последующим аналитическим продолжением. В случае нелинейных обратных задач для эллиптических уравнений, содержащих параметр, выписаны системы и интегродифференциальные уравнения, не содержащие искомого коэффициента. В одномерном случае сформулирована и доказана теорема существования решения при условии аналитичности. Результаты данного параграфа получены в работе [45].

В параграфе 2.5 приводятся формулы для производящих функций вероятностных процессов. Эти формулы содержат общие нелинейные отображения линейных пространств в себя и обратные. Используя полученные формулы и групповые свойства, удается наметить путь исследования ряда нелинейных многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений типа управления. При этом существенным моментом является применение теории функциональных уравнений. Результаты данного параграфа получены в работе [38].

В параграфе 2.6 рассматривается многомерное интегральное уравнение первого рода типа Вольтерра над конечномерными вещественными алгебрами с делением. При дополнительных предположениях на функции доказываются теоремы единственности решения. Результаты параграфа 2.6 получены в работах [174, 319, 326].

В главе 3 исследования связаны, в основном, с изучением групповых свойств дифференциальных уравнений второго порядка и построением инвариантных, частично-инвариантных решений, вопросами исследования переопределенных систем (приведение в инволюцию, широта решения). В частности, построены классы точных решений для системы уравнения Максвелла в анизотропной среде, многомерного уравнения Монжа-Ампера, кубического уравнения Шредингера, системы уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой. Разрабатываются классические вопросы группового анализа, связанные с построением касательных и дискретных преобразований дифференциальных уравнений в частных производных, классификацией дифференциально-алгебраических операций.

В параграфе 3.1 изучаются групповые свойства уравнения теплопроводности и волнового уравнения с переменным коэффициентом при производной по времени. Находятся локальные преобразования пространства, сохраняющие вид уравнения (локальные преобразования Ли). Естественно, что преобразования зависят от вида коэффициента. Это позволяет найти коэффициенты, при которых есть нетривиальные преобразования. Рассмотрены некоторые применения полученных результатов к обратным и краевым задачам: в предположении, что симметрии краевого условия продолжаются на все решение, определяется возможный вид коэффициентов и решений уравнения теплопроводности. Результаты данного параграфа получены в работах [178, 321].

В параграфе 3.2 дано полное описание законов сохранения первого порядка для системы уравнений вида vt = vxx + vyy + F (t, x, у, v, w), wt = wxx + wyy + G (t, x, y, v, w).

В качестве приложения приведены примеры построения законов сохранения как для абстрактных систем такого вида, так и для известных моделей встречающихся в литературе (кусочно линейная модель ФитцХью-Нагумо, модель хищник-жертва, брюсселятор, модель химической кинетики). Эти результаты получены в работе [194].

В параграфе 3.3 рассматривается система уравнений.

Щ = ихх + F (t, х, и) типа реакция-диффузия, где вектор-функция и = (и1, ., ип) зависит от переменных t, х G М, F — (F1,., Fn) — вектор-функция указанных аргументов, нижние индексы обозначают взятие частных производных по соответствующим переменным. Найдены необходимые и достаточные условия при которых допускаются нетривиальные законы сохранения первого порядка, а также установлена теорема о базисе законов сохранения. Результаты этого параграфа получены в работе [198].

В параграфе 3.4 изучаются групповые свойства системы уравнений Максвелла, а также приводятся новые классы точных решений. Более точно, в первой части параграфа приводится полное описание преобразований эквивалентности системы уравнений Максвелла в неоднородной среде. Во второй части получено полное описание решений системы уравнений Максвелла (в однородной среде) с нулевыми инвариантами. В третьей части получено описание однопараметриче-ских решений системы уравнений Максвелла (в однородной среде), параметром является функция плотности электрических зарядов. Результаты данного параграфа опубликованы в работах [181, 189, 323].

В параграфе 3.5 рассматривается вопрос интегрирования переопределенной системы дифференциальных уравнений, соответствующей частично-инвариантному решению (фактор-модель L3.1)кубического уравнения Шредингера. Результаты данного параграфа получены в работе [200].

В параграфе 3.6 исследуется система уравнений, dlt, «». «dh — + Vxh = 0, Vx-T? = 0, — = 0. dt dt описывающая движение сплошной среды. Здесь it = (u, v, w) — скорость среды, h — термодинамическая функция, которая сохраняется вдоль траекторий, например, давление для тепловых движений- «af = (x, y, z) — декартовы координаты d д ^ «и с — время, — = — + и ¦ Vx — полная производная, индекс х при градиенте dt ot указывает переменные по которым действует этот оператор.

В двумерном случае выбором лагранжевых координат исходная система приводится к виду.

XttЩ = 0, Уи + Щ = 0, Х? Уг, — xvy? = 1.

С использованием теории переопределенных систем дифференциальных уравнений (теорию Рикье) получена оценка на произвол решения этой системы. Установлено, что произвол решения составляет не более 4-х функций одного аргумента. С другой стороны найдено точное решение с произволом две функции одного аргумента. Результаты данного параграфа получены в работе [201].

В параграфе 3.7 рассматривается n-мерное однородное уравнение Монжа-Ампера и описываются его функционально-инвариантные решения ранга п — 1. Результаты данного параграфа получены в работе [180].

В параграфе 3.8 получено описание касательных преобразований функций одной переменной в терминах дифференциальных соотношений, связывающих правые части касательного преобразования. Также приводится обсуждение проблемы нахождения факторгруппы группы всех касательных преобразований по подгруппе инфинитезимальных касательных преобразований. Результаты данного параграфа получены в работе [190].

В параграфе 3.9 приведено описание дискретных автоморфизмов дифференциальных уравнений второго порядка аихх + 2 Ьиху + сиуу + dux + euv + /и = 0, где х, у — переменные, и, а, 6, с, d, е, / — функции от х, у, при условии, что группа Ли инфинитезимальных преобразований имеет размерность не меньше двух. А также получено описание автоморфизмов соответствующих алгебр Ли. Результаты данного параграфа получены в работе [183].

Результаты параграфа 3.10 связаны с вопросами классификации структуры алгебры Ли на пространстве гладких функций из М1 вМ2. В работе [119] введено понятие локальной алгебры Ли на пространстве бесконечнодифференцируемых сечений гладкого вещественного векторного расслоения Е над многообразием М. В частности, если Е = Mn х Mm, М — Rn, то скобка Ли на пространстве Mn, m = С°°(МП, Mm) определяется формулой Е Asl3kl (x)dkuldlv где х = (х1,. ., хп) — набор переменных, As kl{x) G С°°(МП), s, i, j — 1,., га, дк, о/ гг д д кп д д 1п о — сокращенное обозначение для операторов ^ •.. • и ^ •. •, к = I = (?I,.,/™) — мультииндексы, иг, v3 — компоненты вектор-функций [u, v], и, v 6 Жп’т, суммирование идет по всевозможным значениям целых неотрицательных индексов, причем только конечное число функций.

А^к1(х) отлично от нуля. Отображение (и, у) >—> [и, у] должно удовлетворять стандартным соотношениям алгебры Ли.

В той же работе был поставлен вопрос о классификации локальных алгебр Ли с неодномерным слоем, например, для пространства К1,2.

В параграфе 3.10 приведена классификация скобок Ли на пространстве М1,2 в самом простейшем случае: порядок скобки Ли не превосходит единицы (скобка Ли имеет порядок ЛГ, если в правой части формулы порядок старшей производной не превосходит N и есть ненулевая производная порядка ./V), «тензор» А^к1(х) при производных старшего порядка симметричен по индексам г, ] и все коэффициенты Ацк1{х) являются аналитическими функциями от переменной х. Классификация проводится по модулю действия группы (21/2{Р), ^ — пространство аналитических функций от переменной х. Показано, что при т > 2 есть скобки Ли сколь угодно большого порядка (при т — 1 это не так (см. [119], лемма 2). Доказано что аналитических симметричных скобок Ли первого порядка ровно шесть, и с точностью до изоморфизма эти скобки Ли задают пять неизоморфных структур алгебры Ли на пространстве Ж1,2. Результаты данного параграфа получены в работе [193].

Апробация работы. Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996) — на Международной конференции посвященной памяти академика А. Н. Тихонова (Москва, 1996) — на II Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997) — на ИНПРИМ (Новосибирск, 2000) — на Конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М. А. Лаврентьеву (Новосибирск, 2002) — на Третьей Международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, 2002) на Девятой международной конференции по Современному групповому анализу (Москва, 2002) — на Всероссийской конференции приуроченной к 85-летию академика Л. В. Овсянникова (Новосибирск, 2004) — на Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006) — на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа (Новосибирск, 2007) — на Российской конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летию Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 2007) — на Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 75-летию академика М. М. Лаврентьева (Новосибирск, 2007) — на Международной конференции посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 2008) — на Всероссийской конференции «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение» приуроченной к 90-летию академика Л. В. Овсянникова (Новосибирск, 2009) — на Конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, 2009) — на Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» посвященной 110-летию академика М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010).

Результаты работы докладывались на следующих научных семинарах:

Групповой анализ дифференциальных уравнений", ИГиЛ СО РАН, Новосибирск (рук. академик РАН Л. В. Овсянников и проф. А.П.Чупахин) — «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики», ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. А.М.Блохин) — «Избранные вопросы математического анализа», ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. Г. В.Демиденко) — «Геометрия, топология и их приложения», ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. академик РАН И. А. Тай-манов) — «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа», ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. В. С. Белоносов и проф. М.В.Фокин) — «Обратные задачи математической физики», ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. Ю.Е.Ани-конов) — семинаре отдела условно-корректных задач, ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. член-корр. РАН В.Г.Романов) — «Общеинститутский математический семинар» ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. академик РАН Ю.Г.Решетняк) — семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ, Москва (рук. проф. Е.В.Радкевич).

В тексте диссертации при ссылках на формулу (теорему) из другого параграфа указывается номер параграфа и номер формулы (теоремы), например, (1.1.13) — параграф 1.1, формула (13).

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

Доказана теорема о существовании универсального алгебраического тождества для модуля дифференцирований произвольного ассоциативного коммутативного кольца. Для кольца гладких функций в полученном тождестве установлено разбиение параметров на зависимые и независимые. Доказано, что для достаточно широкого класса кинетических уравнений есть дифференциальные тождества с заранее фиксированной квадратичной формой. Построены тождества для кинетических уравнений со скобкой Якоби, для кинетических уравнений на многообразии со связностью. Получено тождество для кинетического уравнения Больцмана-Власова и доказана теорема единственности для соответствующей обратной задачи. Получены некоторые точные представления для решения и коэффициентов кинетического уравнения Власова. Построенные решения обладают функциональным произволом.

Для квантового кинетического уравнения получено дифференциальное уравнение бесконечного порядка. Для соответствующего дифференциального уравнения конечного порядка получено дифференциальное тождество на основе которого доказана теорема единственности соответствующей обратной задачи. Доказаны теоремы единственности в одномерной задаче восстановления потенциала и получено существование решения обратной задачи, при условии, что данные обратной задачи есть квазиполиномы.

Для кинетического уравнения предложенного в работе Ю. Е. Аниконова (1995) в качестве математической модели этноса установлено, что существуют решения с функциональным произволом, и доказаны теоремы существования решения ряда обратных задач. Приведена система уравнений, охватывающая взаимодействие нескольких этносов (суперэтноса), и найдены некоторые ее точные решения.

Приведены новые представления решений и коэффициентов гиперболических и параболических уравнений, которые частично использованы в работе при изучении одномерных и многомерных обратных задач. Рассмотрены нелинейные задачи управления перевода субстанции из одного состояния в другое при наличии краевой информации. Предложены конструктивные аналитические способы исследования.

Для достаточно произвольного риманова многообразия с краем получены дифференциальные соотношения на метрику и годограф, которые выполняются или нет одновременно. Данные результаты применены к конструктивному исследованию обратной кинематической задачи.

Рассмотрены обратные задачи для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром. В случае гиперболических и параболических уравнений удается при некоторых ограничениях свести общие линейные обратные задачи к конкретным интегральным уравнениям первого рода типа Абеля с последующим аналитическим продолжением. В случае нелинейных обратных задач для эллиптических уравнений, содержащих параметр, выписаны системы и интегродифференциальные уравнения, не содержащие искомого коэффициента. В одномерном случае сформулирована и доказана теорема существования аналитических решений.

Доказаны теоремы единственности для многомерного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода над конечномерными вещественными алгебрами с делением.

Для уравнения теплопроводности и волнового уравнения с переменным коэффициентом при производной по времени найдены преобразования Ли, сохраняющие вид уравнения. Результаты применены к обратным и краевым задачам: в предположении, что симметрии краевого условия продолжаются на все решение, определяется возможный вид коэффициентов и решений уравнений.

Найдена группа преобразований эквивалентности системы уравнений Максвелла в неоднородной среде. Дано полное описание решений системы Максвелла: а) с нулевыми инвариантами, б) однопараметрических решений.

Частично проинтегрирована переопределенная система дифференциальных уравнений, соответствующая частично-инвариантному решению (фактор-модель -^зд) кубического уравнения Шредингера.

Получена оценка на произвол решения уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой в двумерном случае (не более четырех функций одного переменного) и построены точные решения содержащие две произвольные функции.

Для многомерного однородного уравнения Монжа-Ампера получено полное описание функционально-инвариантных решений коразмерности один.

Получено описание касательных преобразований функций одной переменной в терминах дифференциальных соотношений, связывающих правые части касательного преобразования.

Получено описание дискретных автоморфизмов линейных дифференциальных уравнений второго порядка при условии, что группа Ли инфинитезимальных преобразований уравнения имеет размерность не меньше двух.

Получено описание структур алгебры Ли на пространстве гладких функций из Ж1 в М2. Показано, что: а) есть скобки Ли сколь угодно большого порядка, б) аналитических симметричных скобок Ли первого порядка ровно шесть, б) с точностью до изоморфизма эти скобки Ли задают пять неизоморфных структур алгебры Ли.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.