Геометрические и вероятностные свойства сплетений групп

В этой работе мы рассматриваем счетные конечно порожденные группы. Мощным средством изучения таких групп является геометрическая теория групп. Выбор конечной системы образующих позволяет рассматривать группу как метрическое пространство и изучать геометрическими методами. Основы геометрической теории групп заложены в работах Громова ([18], [19], [20]), хотя предпосылки к ее возникновению появлялись значительно раньше (см. ссылки в [21]). Оказалось, что с помощью геометрического подхода можно решить некоторые старые чисто алгебраические, логические или комбинаторные задачи, связанные с теорией групп. Геометрический язык сделал возможным расширить классы исследуемых конечно порожденных групп. И, конечно, появилось много новых задач, связанных непосредственно с геометрией групп.

В первой части работы мы рассматриваем словарные метрики на сплетениях групп. Мы строим квазиизометрии (точнее, билипшицевы отображения) между некоторыми сплетениями групп. Оказывается, что такие сплетения не жестки, в том смысле, что алгебраическая структура групп не определяется однозначно их геометрией. Более того, в некоторых из этих примеров разрешимая группа может быть квазиизометрична не виртуально разрешимой группе. Также возможно, что группа без кручения может быть квазиизометрична группе, которая не является виртуально без кручения. Это доказывает, что ни виртуальная разрешимость, ни виртуальное отсутствие кручения не являются геометрическими свойствами. .

Основной конструкцией для построения всех примеров данной работы является сплетение групп. Напомним определение сплетения.

Определение. Сплетение групп, А и В — это полупрямое произведение, А и ®-аВ, где, А действует слева сдвигом на ®-аВ: Если о е А, / 6 (c)/: А —" В — функция с конечным носителем), то °/(ж) = /(хсГ1), х € А. То есть для (щ, <Е А1 В.

1>/1(®-))(о2"/2(®-)) = (а1а2, Л (ж 0,21)/2(ж)).

Обозначим сплетение Л 2 В.

В дальнейшем мы будем рассматривать сплетения конечно порождении: групп. В этом случае сплетение тоже является конечно порожденной группой.

Понятие сплетения групп возникло изначально в теории конечных групп. Оказалось, что и для бесконечных групп эта конструкция может служить важным источником примеров. Сплетения групп были использованы для построения групп со сверхэкспоненциальным ростом множеств Фельнера [39], [32], для построения аменабельных групп с нетривиальной границей, и, следовательно, с положительной энтропиейсплетения могут служить примером экспоненциальных групп с нулевой энтропией ([23]). Сплетений оказываются исключительно важными и полезными в теории многообразий групп [45]. Изучены и многие другие вопросы, связанные со сплетением групп [27], [28], [29], [2], [3],[4]. Например, в [5] дан полный ответ на вопрос, когда сплетение является конечно представимой группой. Основным результатом первой части работы является следующая теорема:

Теорема. 3.1.

1. Существуют квазиизометричные группы G и H такие, что G разрешима, а H не является виртуально разрешимой.

2. Существуют квазиизометричные группы G и H такие, что в G свободна от кручения, а любая подгруппа конечного индекса в H имеет кручение.

Во второй части работы мы рассматриваем случайные блуждания по конечно порожденным группам. Заметим, что такие случайные блуждания определяются графом Кэли группы, и, таким образом, для того, чтобы их изучать, достаточно знать геометрию группы. Мы рассматриваем две характеристики случайных блужданий — энтропию и снос. Во втором параграфе мы приводим критерии равенства нулю энтропии для некоторого класса сплетений. В частности, мы строим новые примеры групп экспоненциального роста с нулевой энтропией. Следующие параграфы посвящены изучению сноса. Как отмечено в [42], вычисление сноса важно для гипотетических обобщений центральной предельной теоремы. Во всех ранее известных примерах снос был асимптотически равен у/п или был линейным. А. М. Вершиком был поставлен вопрос, возможны ли другие асимптотики для сноса. Ответ положителен, в этой работе мы строим целый ряд возможных асимптотик сноса. В частности, мы доказываем следующую теорему.

Обозначение. Пусть /, g: N —> M. Мы говорим, что они эквивалентны / х g, если существуют К, С > 0, такие что для любого п > N выполнено.

Сf{n) < g (n) < Кf{n).

Теорема. 8.1.

1. Пусть .Р — конечная группа. Рассмотрим следующие группы, определенные рекуррентно.

Тогда для некоторого простого случайного блуждания на функция сноса Ьимеет асимптотику.

ТО, «.

Ьп.

1п (1п. 1пп).).

4-V-' к.

2. Рассмотрим следующие группы, определенные рекуррентно и пусть? #7+1,г = ?

Тогда для простого случайного блуждания на Н¿-^ гг для любого достаточно большого п ьни{п) П.

71п (1п (.1п (п).))' V 7.

В последнем параграфе мы даем оценки для асимптотики энтропии. В частности, мы обобщаем фундаментальное неравенство, связывающее энтропию, снос и логарифмический объем группы [42]. Также мы приводим нижнюю оценку для асимптотики энтропии. Мы применяем эти общие неравенства к конкретным примерам и получаем следующий результат:

Теорема. 9.1 Пусть — это группа, определенная в теореме 8.1. Тогда для некоторого случайного блуждания на энтропия удовлетворяет неравенству для некоторых положительных констант К и К2. В частности, все имеют разные асимптотики энтропии.

Я выражаю благодарность моему научному руководителю А. М. Вершику за полезные беседы и помощь в работе над диссертацией.

Кхп/ 1п (1п. 1п (п).)2 < Нв. п) < К2п/п{п.Лп (п).) V.

Часть I.

Геометрия сплетений.

1. A. Avez, Entropie des groupes de type fini, C. R. Acad. Sci. Paris Sirtr. A-B 275 (1972), 1363−1366.

2. G. Baumslag Wreath products and finitely presented groups, Math. Z. 79, 22−28 (1961).

3. G. Baumslag, Wreath products and extensions, Math. Z. 81, 286−299 (1963).

4. G. Baumslag, Wreath products and p-groups, Proc. Camb. Philos. Soc. 55, 224−231 (1959).

5. G. Baumslag, Subgroups of finitely presented metabelian groups, J.Austral.Math.Soc., 14, 1973, 98−110.

6. M.R.Bridson, S.M.Gersten, The optimal isoperimetric inequality for torus bundles over the circle, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 47 (1996), no. 185, 1−23.

7. M. Burger and S. Moses, Groups acting on trees: from local to global structure, Preprint, ETHZ, (1998).

8. M. Burger and S. Moses, Lattices in product of trees, Preprint, ETHZ, (1999).

9. Derriennic, Y. Entropie, theoremes limite et marches alatoires. Probability measures on groups, VIII (Oberwolfach, 1985), 241−284, Lecture Notes in Math., 1210, Springer, 1986.

10. D.B.A.Epstein, J.W.Caimon, D.F.Holt, M.S.Paterson, W.P.Thurston, Word Processing and group theory, Jones and Barlett Publ, 1992.

11. P. Erdos, S.J.Taylor, Some problems concerning the structure of random walk paths, Acta Mathematica, 1960, no XI.

12. B. Farb, L. Mosher, On the asymptotic geometry of abelian-by-cyclic groups, Acta Math. 184 (2000), no.2, 145−202.

13. B. Farb, L. Mosher, Problems on the geometry of finitely generated solvable groups, in Cristallographic Groups and their Generalizations, Cont.Math. 262, Amer.Math.Soc., 2000.

14. B. Farb, L. Mosher, Quasi-isometric rigidity for the solvable Baumslag-Solitar groups, II, Invent.Math. 137, 1999, no.3, 613−649.

15. B. Farb, L. Mosher, On the asymptotic geometry of abelian-by-cyclic groups, Acta Math. 184, 2000, 145−202.

16. B. Farb, L. Mosher, A rigidity theorem for the solvable Baumslag-Solitar groups. With appendix by Daryl Cooper, Invent.Math. 131, 1998, no.2, 419−451.

17. E. Ghys and P. de la Harpe (eds), Sur les groupes hyperboliques d’apres Mikhael Gromov, Progr. Math. 83 (Birkhauser, Basel, 1990).

18. M. Gromov, Infinite groups as geometric objects, Proceedings ICM Warsaw, (1983).

19. M. Gromov, Hyperbolic groups, Essays in Group Theory, S. Gersten editor, MSRI Publications n 8, Springer, (1987), pp. 75−265.

20. M. Gromov, Groups of polynomial growth and expanding maps, Publ. Math. I.H.E.S. 53, (1981), pp.53−73.

21. M. Gromov, Asymptotic invariants of infinite groups, Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991), 1−295, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 182, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993.

22. Y.G.uivarc'h, Sur la loi des grands nombres et le rayon spectral d’une marche aleatoire, Conference on Random Walks (Kleebach, 1979), pp. 47−98, 3, Astmrisque, 74, Soc. Math. France, Paris, 1980.

23. V.A.Kaimanovich, A.M.Vershik, Random walks on discrete groups: boundary and entropy, The Annals of Probability, 1983, vol.11, no 3, 457−490.

24. V.A.Kaimanovich, Poisson boundaries of random walks on discrete solvable groups, Probability measures on groups, X (Oberwolfach, 1990), 205−238, Plenum, New York, 1991.

25. V.A.Kaimanovich, Examples of nonabelian discrete groups with nontrivial exit boundary, Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 123 (1983), 167−184.

26. V.A.Kaimanovich, Differential entropy of the boundary of a random walk on a group, Uspekhi Mat. Nauk 38 (1983), no. 5(233), 187−188.

27. L. Kaloujnine, M. Krasner Produit complet des groupes de permutations et probleme d’extension de groupes. I. Acta Sci. Math., Szeged 13, 208−230 (1950).

28. L. Kaloujnine, M. Krasner, Produit complet des groupes de permutations et probleme d’extension de groupes. II., Acta Sei. Math. 14, 39−66 (1951).

29. L. Kaloujnine, M. Krasner, Produit complet des groupes de permutations et probleme d’extension de groupes. III., Acta Sei. Math. 14, 69−82 (1951).

30. H. Kesten, Symmetrie random walks on groups. Trans. Am. Math. Soc. 92, 336−354 (1959).

31. J. Milnor, Growth of finitely generated solvable groups, J. Differential Geometry, 2, 1968, 447−449.

32. C. Pittet, L. Saloff-Coste, Amenable groups, isoperimetric profiles and random walks, Geometric group theory down under. Proceedings of a special year in geometric group theory, Canberra, Australia, July 14−19, 1996. Berlin: de Gruyter. 293−316 (1999).

33. F. Spitzer, Principles of random walk, Van Nostrand, Princeton, 1964.

34. N. Varopoulos, Long range estimates for Markov chains, Bull. Sei. Math, 1985, v.109, 225−252.

35. N.Th.Varopoulos, Random walks on groups. Applications to Fuchsian groups, Ark. Mat. 23, 1985, no 1, 171−176.

36. N.Th.Varopoulos, Theorie du potentiel sur les groupes nilpotents, C.R. Acad. Sei. Paris, Ser. I 302, 1986, 203−205.

37. N. Varopoulos, L. Saloff-Coste, T. Coulon, Analysis on Lie groups, Cambr. Univ. Press, 1992.

38. A.M.Vershik, Dynamic theory of growth in groups: Entropy, Boundaries and Examples, Russian Mathematical Surveys, no 4, V.55 2000.

39. A. Vershik, Amenability and approximation of infinite groups, Sel. Math. Sov. 2, 311−330 (1982).

40. J. Wolf, Growth of finitely generated solvable groups and curvature of Riemanniann manifolds, J. Differential Geometry 2, 1968, 421−446.

41. А. Н. Бородин, Распределение функционалов от Броуновского локального времени. I, И, Теория вероятности и применения, Т.34, 1989, 433−450, 636−649.

42. А. М. Вершик, Численные характеристики групп и соотношения между ними, Записки научных семинаров ПОМИ, 1999, Т.256, 1−11.

43. Р. И. Григорчук, К проблеме Милнора роста в группах, Докл. Ан СССР, 1983, Т.271, по 3, 30−33.

44. И. А. Ибрагимов, А. Н. Бородин, Предельные теоремы для Т. 256, 111. функционалов от случайных блужданий, Труды Математического Института имени В. А. Стеклова, Т.195, 1994.

45. X. Нэйман, Многообразия групп, М. Мир, 1969.

46. А. Л. Шмелькин, Сплетения и многообразия групп, Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965, Т. 29, по 1, 149−176.Публикации автора по теме диссертации.

47. А. Дюбина, Пример скорости ухода на бесконечность, УМН, 1999, Т. 54, по 5, 159−160.

48. А. Дюбина, Характеристики случайного блуждания на сплетении групп, Записки научных семинаров ПОМИ, 1999, Т. 256, 31−37.

49. A. Dyubina, Instability of the virtual solvability and property of being virtually torsion-free for quasi-isometric groups, IMRN, 21, 2000, 10 971 102.

50. А. Эршлер (Дюбина), Асимптотики сноса и энтропии случайного блуждания на группах, УМН, 2001, Т. 56, по 3, 179−180.