Актуальность темы
диссертации. Теория пшенных i рупп ян шок я одним in о (ионных паправ кмшй н (овременной апебре, чрезвычайно обширным, ишенсивпо ра лишающим* я и имеющем мноючис юнные ючки соприкосновения с раличными j) a мелями как ма1емагики. 1ак и спепвознания н це юм. Сердцевину зюй: еории состав 1жм изучение подгруппового строения линейных ipynn над ассоциативными кочьцами разчичной с гепени общноыи. Возникнув в XIX веке как час тая задача о конечных матричных ip>imax, исходящая из потребное юй кюрии Taia, пробчема описания и классификации подгрупп в заданных линейных Iруппах, пройдя через многие Э1лпы своего сынов 1ения и развшия, нреврагичаеь в обширную ветвь матемашчес кого знания, об ыдлкищ ю своим собственным яичком и пробчемлшкой Ее iec тенно, чю получение описания всех мыечимых чинейных i j>1111 над рлзшчнымп кочьцами ма юверояino, и поюму постановка проб 1емы в такой чрезвычайно ШИ1ЮК0Й общнопи представ шегся совершенно непродмивной. В связи с 91им дчя получения с ущес i веянных рез платов па изучаемые мафичные 1р) нпы и на асс оциаптпые ко п. ца, над коюрымини ip>niibi опродо. ieiiFii, приходи к я naiaiaib разчичные с ювня, харям еризующие эти группы и ко шца с разчичных сюрон. Начожение 1аких ограничений приводит к расщеплению иредмеча изучения под1 pviinoBOiо строения на множесчво разделов и огветв 1ений, юсио между собой перепчекчшых и в заимодейс i вующпх.
Одним из наибо iee важных обе юяк1 и>с из, с нос обе i вовавших с ыиовчеиию и ра зви i ию > чения о под1 р пповом с i роении шжч’шых групп, явичось обнаружение юю фама, чюно с iрсхмик^ в значите пшой мс^рс^ определяемся некоюрыми лемечпами сиециа пшою вида, содержащимися в рлеечкириваемых ij) Minax Первым примером подобного рода бычо, вероятно, осознание значения на шчия и])ос1ейших унипо1ентных элементов (фансвекций), в ночной чиненной ipyniie конечной с юпени над почем при описании норма п>ных дешкмей ж) й iруптл (ieopeia Жордана-Диксопа). Указанное выше обе юяк1 же изо cihm шрова ю ак1ивные поиски в мафичных группах iex млфиц, кснорые в той и ш иной счепени енвечегвенны за с iроение yinx групп. С Д1) уюй стороны, наличие в некоюрых важш>1х (в юм числе и дчя при южений) и нредсыв 1яющих ингерсч-дчя исечедований линейных iрупиях) чеменк)в, определяющих свойспзл и с rj) oeiine)inx 1рмш, еекчпзенно приводиi к rioc 1лиовке до некоюроп с кчкчш o6iwnioii iij) of) юмы к iacc пфнкацни линейных грмш, кою|)Ысм одержлiэiимемешы и ш ими порождаю кя.
Данная пробчема очень трудна, и рсчлыагы. идущие в нанрав кчши ее решения, помечены точько ири весьма ма ioii общности рассматриваемых 11>>пп и эчеметпов. Ишестно, что мнение напбочее важные. пшенные ipyinibi (например, к час с ические) порождаются содержащимися в них унинокчппыми •) к’ментамп Псжом Kiacc шнейных групп, содержащих и in порожденных с нигкшч-пными)1ем (чпами. особенно шиересеп и нуждаен’я в и зучении. Этсп к час с, а 1акже i р> ппы Шевачче, по1) ожденные ратчичными содержащимися в них подтипами унипотенпгыхпеменюв, привчекали к себе в течение дшкчьною времени внимание многих авюров (см., например, [19], [21], |43], [50], [87], [91], [106]-[108], [120], [145], [163], [166], [183], [190], [192], [229], [230], [237]) Однако резу штаты этих и др>ч их работ, посвященных эти 1ема]ике. бычи иочучены при весьма жестких ограничениях Поэтому о чиненных группах, содержащих некоторую фиксированною группу унипогешпых матриц известно в общем счучае сравнительно немного, и кроме юг о, okjk ib (4 связное и нос чедоватечыюе из южеиие данного предмета 9шм данное1 наирав кчше геории. шнейн1)1 i j> 1111 огличасчся or нанрав гения, рас с магривающег о линейные iрппыт которые содержат иодгрмшы, сосюящие тошко из, но гуирос П)1х немеиюв, где за носчедние 30 чет трэдами 3 II Боревича и его носледоваге гей Н. А Вавилова, В. А. Койбаева, Е. В. Дыбковой и др. бы га рачрабогана г цбокая и весьма развечв генная геория чиненных групп, содержащих подгрупп} диатопачьпых матриц. Именно в сиг этого обстоите гьства в фокусе данной диссертационной р^бо i ы находя гея вопросы теории шнейных ipyrin, связанные с пачичием в этих группах унипотентных эчеменюв. В диссертации создана гехиика обращения с гакими зчеменгами, и на основе) юй техники нос г роены меч оды изучения шнейных ipnn над разшчными аееоциагивными кчами Разработка такой гехиики и методов, относящихся ко всей еовокмгносги унипотеш ных мат])иц, сч геч гвенно, маю рем гыга, и) io обе юяге гьс гво вынуждаем с пециачи зировагь рас (магриваемые нипогенг ные немеиты. Один из способов гакой снещга шзацин. дающий возможное п> проникн п> в предмет достаточно мбоко, и iei самым онреде шющий нанравчение исследований, содержащихся в диссертации, сое юн г в след ющем.
Пусть И ассоциативное те ю, п, г — цечые чис ча такие, что п > 2,0 < г < [|], и пусть к — нодг ело тела /?. Квадратичной унипотентиой к-нод1 руиной вычета г группы GLn® будем называть любую подгруппу группы G’L,(/?), сопряжению в GLn[R) с грчиюй, сое юящей п з всех матриц.
ЧС 'О—С —v-' г |м).
Всякий 9ЮМРН1 и з GLn (Ii), содержащийся и пекотрой квадра1ичной унипотгнтой А'-под1 руппе вычсма г ipvinibi GLn{R), б>дем называп> квадратичным унипо1енiпымнеметом вычсма г группы G’L,(/?). Квадратичный нипо1счиныйнемет вычсма 1 (соответственно 2) называется транс векцией (соотвек пзетшо дчинным корневымлеменгом), а соответствующая ем) квадратичная унипотентая под1 р>ппа называемся корневой А'-под1 руппой (соответственно дтинной корневой /.•-подгруппой). Трансвекции явчяются, по-видимому, наибочее изученными из всех унипотентных цементов, что, впрочем, весьма ее iec твепнпо, ибо кчасс линейных ipynii. содержащих гране векиии включает в себя наибочее важные к ыссические гр>тппы.
Основная проб ieia, рсчпаемая тз диссертации) io nj) o6 ieia описания линейных ipynn, содержащих К1зад1) а1пчные vhhiioich i ные) к’мепты. Дчя чинейных I руин над конечными п’чамн (по тми) оизеч бы i дан в и шестпой работе Д/к. Томпсона [216|. Сш^ацпя. связанная с рассмо1|)еиием произвольных, I. е. не обязан* 1ьно конечных ночей, ока зачась значи 1ечьно более счожпой, так как при изучении линейных ipynn, содержащих квадратичные унигютенгные А'-нод1 р. ппы Bi>i4eia г > 1 во шикает необходимость рассмотрения матричных ipynii над некомм i<uивными течами, имеющими конечную размерное п> над своим ценiром. Так, поскочьку любое тело кватернионов реализ>е1ся матрицами степени 2 над своим максима 1ьным подпо тем, ю при г = 2 мы стачкиваемся с задачей исследования матричных ipnn над темами кваюрнионов. Этим обстоятечьсчвом мотивирoiея одно из направчений диссертации — изучение подтруни нотой пшейной iруины с ieneini п > 2 над гечом кватернионов D, содержащих корпевю A'-ikui р пп, где к нодпоче цешра ieia D, 1акое, чю D апебраично над к Замемим, что 1акое изучение имеем самостоятельный интерес, явчяясь одной из давно поечавченных пробчем теории линейных ipynn, восходящей к павшей классической с гатье Ж. Дьедонне [111].
Итогом применения созданных в диссертации меюдов являемся снятие многих ограничений, при с обчюдении которых доказывачись ранее результаты, касающиеся подгрупповсло строения линейных ipnn, содержащих унипотешныечеметпы. 3ia менее oi ранпчи 1ельная ситуация, в конечном с чече, приводи! к бо iee яс ному и четкому пониманию ieopeiиксырупповой пр>к1>ры и природы мноптх важных (в юм числе классических) шнейных ipnn Всено показываем как необходимое iь исследования, проведенною в диссертации, гак и актуальное ib гемыэтою исследования.
Цель работы и задачи исследования Целью рабсмы являемся описание подгрупповой с iрукiуры ночной линейной ipynnw над кмами. Эia цель реачизсмся решением задачи описания под1рмш по тых линейных гр (нп над кмами кватернионов, содержащих корневмо подгруппу, a iaK/KC подгрупп, но тых шнейных ipynn над пенями, содержащих коммутант орююна п. ной фуппы индекса бо нлпе 1.
Объект и предмет исследования Обьектом исследования яв шекя подгр) пповая (ткipa мафичных ipmi над те ыми, а ею предмет с ос тоит в выявтении связей между вн фепним строением асс оциат ивных алгебр с дечением и с iроением матричных ip}im над)1ими атюбрами.
Методология и методы проведенного иследования. В своей части, относящейся к линейным группам над ieiam кватернионов, настоящая диссертация органично связана с исс гедованнем чинейных групп над пекомм iaiивными (ассоциапгвнымн) кмами, проводившимся Д. Л. Супрунепко ir, А Е. Зачесть им ([37] [39], |(17]). В ходе1 шно исследования бы ш ггриг}одош>г примеры, иоказывющие, чю хотя ])яд результатов о линейных группах над по гями ечкчгвенно обобгцаегся на с чучай некомм гапггзных км, некоюрые важные1 i (ч>рс"мы впом счучае 1е])яют спчу. Другие факты подобного рода можно наЙ1и в книге [202], где сис гемати зированы некоторые рез> чьтагы, кас ающиеся линейных групп над некоммутативными кмами Вышесказанное показывает, что дчя изучения подгруппового строения линейных i рупп над некомм) гатившими телами должны разрабатываться и применяться меюды. радика п. по отличающиеся ог мегодов, созданных д 1Я исследования чинейных ipnn над почями. Методы такою исс тсмоваиия, созданные в настоящей работе, базируются на результатах Ж. Дьедонне и А. Ачберга о ieiax квагернионов. В своей работе [111] (см также [31]) Ж. Дьедонне обнаружит с ущес гвованне гомоморе|)н зма межд, с одной с троны, унитарной I репной степени 3 над кмом кватернионов, опредетенной с помощт. ю кос о-эрмитовой формы индекса 1 опюсикмыю единственной ипвочюции симп ieKiического типа пою геча, и, с другой ciopoHi. i, унитарной группой степени 1 над максима п. пым подпо iei этою км, а Э i о i гомоморфизм лежиг в основе дока за км ьс из данной ])аботы, носкотьк OIT дасч возможность не по п> зоваi т. доказанные ранее автром ([3], [4]) результат о линейных группах над почями, содержащих корневою подгруппу, дчя исследования линейных групп над кмами кватернионов.
В диссертации создан метод исследования неприводимых линейных групп над апебрами с делением, основывающийся на свойствах понятия множества параметров транс векций, введенного в диссертации. Хотя упомянутые ачгебры с делением могут быть комм гативными, сам эют метод может бьпь создан лишь при исследовании линейных групп над некоммутативными юлами, коюрые до ькиы п])и этом рассма! рива1ься не с ючки зрения их чис ю внешней структуры, а как атнебры над подпо 1ями своих цен I ров. Такой подход ведем к сущее гвенпым грустное 1ям, связанным со с южное 1ыо и разнообразием с ipviiры пекомм raiивпых апебр, и ipe6yei новой юхппки обращения снемец ыми линейных ipynii над этими алтебрами Такая юхиика создана в диссертации. и на ее1 основе удается выявип> и распознай, мкие rio-nруины линейных групп над юлами кваюрнионов, коюрые в принципе не могу i бьпь обнару/кены применявшимися ранее чис ю внешними меюдами.
Доклзаю 1ьс та пракшчески вееч i чавных резучыаюв диссерыции базирукжя на рассмо1рении содержащихся в иссчедемых группах подг1) упи унипоюншых племенЮ1,. по возможное in, бо iee просюю вида (в основном подгрупп квадра1ичных упипогентных эчементов вычетов 1 и 2). Однако в некоторых си1ациях испочь зование П1юс гейших квадратичных пипоюш пых)1емсчпов приводиi к чрезвычайно громоздким вычис кчшям. В) юмс iy чае удобно ис, но п> зов. и ь унинс)1ентныелеменш бо iee г южною вида, i. е. ie, минимачьпые по 1Иномы коюрых имею1 с ieiMMib бб1ыпю чем 2. Обьяспепие зюю с|)еномена, по-видимому, coctohi в юм, чю, но iy чеппые памп резучыаш, касающиеся гюд1 руиповою с iро (М1ия чипейпых ipnn. имеют, строго юворя, абс фактно-i рупповой харакюр и ipe6yioi разработки именно ieopeiHKO-i ру пповой техники обращения с унипоюнiными цементами, не зависящей 01 их ма1ричной природы В диеермции за южсч1а разработка методов доказательств, основанных на уче1е этю обе юяючьс 1ва.
Кроме зтих, созданных автором мемодов, в pa6oie испочь зу юте я общие чрадиционные меч оды теории ipynn и линейной апебры, а также белее1 специальные меч оды теории пшейных ipynn и юории конечномерных алгебр с де нчшем.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Все результаты в дпссерьщии явшюкя новыми. В дне с е^р 1ацнм впервые иочучепо описание широкою Kiaeca no, ui) iin потоп линейной iруппы над телом, определяемым шшь подпочем ценipaжно тела, а не всем ценIром. Эю проясняем под1 рупповую счруктуру по той шнейной труппы и яв чяе I с я основой дчя дальнейших исследований в зтй обчасчи.
Практическая значимость полученных результатов. Резлыа1ы диссертации имеют leopei нческии характер.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Нд защиту вынос як я:
1) кчассификация под! рим по шои шнейиой 1рппы над нмом кватернионов, содержащих классическою под1рпиу над подтелом;
2) классификация неприводимых подкупи нотой чинейпой iруины над телом кватернионов, содержащих корневую подгруппу.
3) подгрупповое с iроение по той чинейпой ipynrn. i с ieiieim 4 над чечом кватернионов;
4) классификация подгрупп полной жнейной группы над алюброй с дечением, содержащих специа 1ьн> ю чинейнмо гр>пи> над пода пеброн;
5) кчассификация ио. црмш ночной пшейпой группы над шлем, содержащих комм iaHi 0])40iоначьной ipyinibi.
Личный вклад соискателя. Pa6oia выношена соискатечем лично Совмес Iных работ нем.
Апробация результатов диссертации. Рез> лыаш дисссрыции изчагались на Международной ал1 ебраической конференции иамя1и М. И. Карыпочова (К])асноярск, 1993), конференции &bdquo-Алюбра и аначиз'" (Казань, 1994), Бечорусских маюмачических конференциях (Минск, 1996, 2000), Международной л шебраической конференции намят Д. К Фаддеева (Санк1-Псчербург, 1997). Межд>народной iaieiaiической конференции памяти Л. С. Пошряпша (Москва, 1998), Международной ал1 ебраической конференции памяш 1. II. Боревича (Санк1-Печербург. 2002), конференции &bdquo-Группы и грошовые ко п. ца" (Усфонь, 2003), конс})еренцпи по общей апебре (Дрезден, 2004). а ыкже па заседаниях а. н ебраическою семинара IIncini>ia маичшикп Академии нак Белар>си, CanKi-IIeiep6yprckoiо юродскою ачюбраичекою семинара, семинара по 1еории групп универсикма провинции Маниюба.
Опубликованность результатов диссертации. Резульгаш диссертации опбчико*/ШЫ в 13 сьпьях и 9 ичисах конференций.
Структура и объем диссертации
Диссерыция с ос юш и з введения, пяти глав основной часчи (вк шчая лшерап’рный об юр), заключения и списка испо 1ьзованных исючников. Работ изчожепа на 270 ираницах, включая список испочьзованных ис iочников из 216 наименований.
Заключение
.
1) Проведенное в диссертационной работе исследование вносит ясность в понимание структуры подгрупп полной линейной ipynnbi над различными телами. В первую очередь это касается тет кватернионов, дтя которых иотучено описание неприводимых, а также вио ше приводимых линейных групп, содержащих корневую под1 р> ппу ([250], [257], [259], [261], [262]).
2) В ходе изучения подгруппового строения полной линейной группы над телом кватернионов получены преде 1ав ппощие самостоятельный интерее' описания подтруни этой группы, содержащих одну из слсугующих ipynii над подтеломною юла1 специальную линейную ([249]), специальную унитарную ([251], [252], [253], [254], [255], [256]), симплектическую ([258]).
3) Получены результаты, показывающие особый характер подгрупповою строения ночной группы степени 4 над юлом кватернионов ([252], [253], [254], [255], [260], [263]). Возникающие в ходе такого описания группы оказывются формами линейных алгебраических групп типа ?>4, а методы, созданные для такого описания позволяют распознавать эти формы.
4) Метод увязывания под1 рупповой структуры линейных групп над некоммутативными телами с структурой этих тел, как алгебр над их центральными подполями, можем бып, использован на основе разработанных в диссертации технических приемов для изучения линейных ipynii над другими ассоциативными ал1ебрами с делением, более общею вида чем тела кватернионов. В диссертации на основании такого метода проводится классификация групп G, удовлетворяющих одному из следующих условий: SLn (k) < G < GLn (K) (п > 3) или cliag (SXni (/c), 1) < G < GLn (K) (п > 4, группа G неприводима), где К — тело характеристики ф 2, к ею подтело, причем К и к являются алгебраическими алюбрами над некоторым подполем центра тела К ([249]).В основе метода лежит установленная в диссертации инвариантность множества параметров трансвекций в неприводимых линейных группах над течами, а 1акже наличие па этих множес 1вах параметров с iрукiуры епециа 1ьной йордаповой а’небры.
5) В диссертации описаны подгруппы группы GLn{K) eienenn п > 4 над почем К, содержащие подгруппу iln{k, Q), соответствующую квадратичной скорме Q индекса больше 1 над подполем к таким, что расширение К/к алтебраично ([217], [248]). Для получения такого описания создается техника работы с квадратичными унипотентными элементами вычета 2, принадлежащими, вообще" говоря, линейным группам раз шчиых лиевских пшов.
G) Предполагается, что меюды и результаты, созданные и полученные в диссертационной работе, послужат основой для последующего изучения линейных групп, не содержащих трансвекций, но содержащих квадратичные унипотешные э тементы вычета 2 над произвольными нолями.
