Краевые задачи с интегральными и локальными условиями для дифференциальных уравнений второго порядка, вырождающихся в одной точке

Теория дифференциальных уравнений с частными производными начала развиваться в 20-е годы нашего столетия и до настоящего времени считается одной из наиболее ценных областей математики в смысле практического применения. Говоря о практической значимости этой теории, можно, в частности, сказать о магнитогидродинамических течениях с переходом через скорость звука, о течениях жидкости в открытом русле, задачах механики сплошных сред, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, о теории плотности и о многих других вопросах. Более подробно об этом упоминается в работах Ф. Трикоми [43], Л. Берса [3], Ф. И. Франкля [46], А. М. Нахушева [33] и др.

Новейшие исследования в теории естествознания приводят к необходимости более глубокого и полного изучения некоторых разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных.

О важности рассмотрения новых задач говорил A.A. Самарский в работе [40], где приведены примеры математических интерпретаций задач, подготовленных при изучении реальных физических процессов.

Очень важное значение при практическом применении имеет уравнение иху+—их+—иу+ С 2и = 0. (1) х-у х-у у (х-у)2.

Впервые это уравнение было рассмотрено Эйлером при, а — b = т, с = п, т, п Ei N при изучении движения воздуха в трубах постоянного и переменного сечений, а также колебания струн переменной толщины. Самое общее решение этого уравнения при указанных параметрах, как и вообще линейного уравнения гиперболического типа, было дано Риманом. Им же в статье [39] было показано, что точное уравнение адиабатического и обратного движения газа в трубе постоянного сечения в случае, когда во всех частицах энтропия единичной массы одна и та же, в характеристических координатах сводится к уравнению (1) при указанных значениях параметров.

В разработке теории этого уравнения принимали участие Пуассон [35] и Дарбу [21], поэтому его принято называть уравнением ЭйлераПуассона-Дарбу.

Большая практическая ценность способствует развитию теории уравнения (1).

Среди работ, посвященных исследованию этого уравнения, следует отметить работы А. М. Нахушева [32], работу В. Ф. Волкодавова и Н. Я. Николаева [11], учебное пособие В. Ф. Волкодавова и Н. Я. Николаева.

12], работы В. Н. Захарова [22], [23], В. В. Пергунова [34], Е. И. Томиной.

13], [41], О. В. Юсуповой [13], [47], [48], О. К. Быстровой [6], [7] и др.

Однако поскольку многие уравнения смешанного типа в областях гиперболичности сводятся к уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу (например, обобщенное уравнение Трикоми, уравнение Кароля, ряд уравнений смешанного типа с вырождением типа и порядка и т. д.), то вышеописанные работы не охватывают всей полноты исследований, проведенных по данной теме. Тем не менее укажем, наиболее значимые работы.

В 1993 г. была опубликована статья [14], в которой дано доказательство существования и единственности решения задач Е, N,.

Е, Е+9, М+ для уравнения колебания струны, изучаются новые принципы локального экстремума, а также поставлены новые краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказаны теоремы единственности решения этих задач.

В 1994 г. в Киеве выходят в свет статьи [1] и [44]. Автором первой из них рассматривается уравнение Л.

Я Р 0, р, де (ОД) на множестве (гА и где 0к = {(х, у): у < /+(х) < у < к], {/(к)) = к, к е (0-+оо), / (х) — четная, строго убывающая непрерывная функция,.

0+и = {(х, у): х > 0, /+(х) < у < к }, /+(0) = О,/+(/+(*0) = Л, г е (0,+оо), /+{х) — четная строго возрастающая непрерывная функция. В этой статье приводится доказательство существования и единственности решения задач О, ТУ, Е+, Е, С+, Е+, С для рассмотренного уравнения.

Во второй из упомянутых статей автор доказывает существование и единственность решений задач Е и N для уравнения х + У) иху +аиу=0 на множестве Ок =(? иС+, где {(х, у): 0 < -х < у < к} =: 0 <х < у<�к}.

Основным уравнением, изучаемым в предлагаемой к рассмотрению диссертационной работе, является уравнение ?>0: и ±У—(их+и)= 0. х + у.

Впервые уравнение было получено профессором С. П. Пулькиным в связи с рассмотрением одной пространственной задачи. Подробное изучение с точки зрения доказательства существования и единственности решения ряда краевых задач было проведено С. П. Пулькиным в работе [36]. В этой статье впервые им поставлены и решены задачи Коши, Дарбу +(СЬ), Коши-Гурса (СЬ') и Гурса (СО). В указанной работе впервые построены функции Римана-Адамара с учетом симметрии уравнения относительно линии у — X.

Исследования С. П. Пулькина были продолжены диссертационными исследованиями А. Д. Бочкарева. Им для уравнения.

1/)+ а{х, урх + Ь (х, уру +Си = О, х + у доказаны существование и единственность решения тех же задач, которые были для уравнения ?>0 поставлены и решены С. П. Пулькиным.

В дальнейшем исследованиями по уравнению занимались Волкодавов В. Ф., Невоструев Л. М., Коржавина М. В. и ряд других математиков. Доказаны различные принципы локального экстремума и найдены решения новых краевых задач для уравнения в частности (см. [25], [26]).

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы.

Настоящая работа состоит из двух глав.

Первая из них посвящена доказательству существования и единственности решения краевых задач с локальными и интегральными условиями в ограниченной области для уравнения и о, (2) х + уьдлу.

Наше уравнение принимает либо вид иху±Р-их= 0 (в (3) х + 7 либо иху—Р-их=0 (в С"), (4) х-у где G+ = {(х, у): 0 < х < /г, О < у < /г}, G~ = {(x, j/): — у < х < И], у < О, т. е. является уравнением, вырождающимся в одной точке. Мы можем называть это уравнение уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу, поскольку при замене у на — у мы приходим к частному случаю этого уравнения.

В первом параграфе рассматриваются две задачи с интегральными условиями с постоянными и переменными верхними пределами. Задача I этого параграфа может быть сравнена с задачей Нх в статье H.A. Мижаре-вой [30].

Однако решение этой задачи ведется с использованием решения задачи Коши с данными U (x, x) = rix), (Ux —Uv) = v (x), а не с ис у=х пользованием общего решения уравнения (2), как в указанной работе.

Новым здесь является доказательство существования и единственности решения задачи с интегральными условиями с переменными верхними пределами.

Впервые задачи подобного типа были поставлены и решены Л. С. Пулькиной. В дальнейшем доказательством существования и единственности решения краевых задач с переменными верхними пределами занимались В. Ф. Волкодавов, Н. Д. Голубева (см [18], [19]) и другие.

При решении наших задач мы приходим к такому уравнению Воль-терра II рода, которое решаем методом последовательных приближений неизвестна, и, накладывая необходимые ограничения на краевые функции, получаем решение данного уравнения.

Новой является и задача, рассматриваемая во втором параграфе этой главы. Эта задача имеет интегральные условия вида: а.

J U (x, y) dx = g (y), 0

J U (x9y)dy = <�р (х), X e [0, h],.

— x, а также условие сопряжения, связывающие производную по нормали и производную дробного порядка.

Рассматривая далее две вспомогательных задачи и используя свойства гипергеометрических функций, мы приходим к системе уравнений, исследуя которую, получаем решение поставленной задачи.

Третий параграф настоящей главы посвящен доказательству существования и единственности решения серии задач г — 1,7. Впервые задачи этой серии были рассмотрены В. Ф. Волкодавовым и С. В. Бушковым в работе [16] для уравнения гиперболического типа.

Кроме того, эти задачи могут быть соотнесены с серией задач.

Nj, i = 1,12, рассматриваемых Н. А. Мижаревой в той же работе [30], однако задачи А-г, г — 1,7 имеют и иные интегральные условия и, следовательно, являются новыми для уравнения S0.

Доказательство существования и единственности решения этих задач ведется с использованием решения задачи Коши.

В задачах А^ i = 1,7 каждая имеет одно интегральное условие с переменным верхним или нижним пределом и одно локальное условие. Однако методы решения данных задач весьма различны, т. е., например, если в задаче А2 мы приходим к алгебраической системе уравнений и, решая ее, получаем решение поставленной задачи, то в задаче А7 нам приходится рассматривать уравнение Вольтерра III рода, которое решаем методом последовательных приближений. h у.

В второй главе предлагаемой работы доказывается существование и единственность решения двух задач для уравнения Sq в неограниченных областях: G = {(х, у): 0 < х < +оо, 0 < у < +оо} для задачи V{° и.

Gh = {(x, j>): h < х < +оо, h< у < +oo, h > 0} для задачи F2°°, причем.

F-CO.

2 имеет следующие интегральные условия: 00.

J U (х, y) dx = g (y), h < х < +оо, у.

J и (x, y) dy = Ф (х), h.

V~2 могут быть сравнены с задачами, рассмотренными H.A. Мижаревой в работе [31]. Однако если задачи, исследуемые в указанной статье, имеют условия с конечными пределами, то в данной диссертационной работе верхние пределы интегрирования в условиях задач бесконечны. Общим является то, что и в тех, и в других задачах один из пределов интегрирования является переменным.

Вышеизложенное позволяет утверждать, что задачи, изучаемые во II главе данной работы, могут считаться новыми для уравнения Sq .

В заключение выражаю глубокую и искреннюю благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, члену-корреспонденту РАЕ, профессору Виктору Филипповичу Волкодавову за постоянную помощь и внимание к работе.

1. Аристова О. Г. Краевые задачи для одного уравнения гиперболического типа с вырождением на нехарактеристической кривой. 1нтегральш пе-ретворешя та ix заспосувашя до крайов1х задач. 36. Наук. пр. — Кшв, шт Матем. АН Украши, 1994.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974,-295с.

3. Берс А. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. И-Л. 1961.

4. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщенных линейных эллиптических уравнений. ДАН, СССР, Т. 185, № 4, 1969, С. 739−742.

5. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. Изд-во АН СССР М., 1959.

6. Быстрова O.K. Исследование по краевым задачам для двух уравнений гиперболического типа с п линиями слабого вырождения. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Куйбышев: КГПИ, 1988. С. 90−96.

7. Быстрова O.K. Построение функции Римана для двух уравнений гиперболического типа и задача Коши. Аналитические методы решения дифференциальных уравнения. Куйбышев: КГПИ, 1988, С. 30−36.

8. Владимиров B.C. Уравнение математической физики. М.: Наука, 1954, -512с.

9. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Учебное пособие по спец. курсу «Уравнения математической физики». Куйбышев: КГПИ, 1984, С. 3−25.

10. Волкодавов В. Ф., Юсупова О. В. Об одном решении уравнений гиперболического типа с двумя линиями вырождения. Доклады 53-й научной конференции. Самара: СГПУ, 2000, С. 12−14.

11. Волкодавов В. Ф., Томина Е. И. О единственности решения ряда краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Деп. В ВИНИТИ, № 547 -В93.

12. Голубева Н. Д. О разрешимости одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения. Тезисы докладов IV международной конференции им. академика Кравчука. Киев, 1995, 75с.

13. Голубева Н. Д. Задачи с нелокальными интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения. Деп. ВИНИТИ от 18.09.95 № 2579-В95, -42с.

14. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963, С. 304.

15. Darboux G. Legon sur la theorie des surfacer Paris, 1915.

16. Захаров B.H., Волкодавов В. Ф. Вычисление некоторых сингулярных интегралов со специальными функциями гипергеометрического типа. Сборник научных трудов. Дифференциальные уравнения. Орский пединститут. Орск, 1972, С. 11−16.

17. Захаров В. Н., Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я., Быстрова O.K. Функция Римана для некоторых дифференциальных уравнений в N-мерном евклидовом пространстве и их применение. Самара, СГУ, 1992, С. 80.

18. Коржавина М. В. Краевая задача для уравнения S с кусочно постоянным параметром в неограниченной области. Дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов. Самара, 1995. С. 15−18.

19. Коржавина М. В. Единственность решения краевой задачи в неограниченной области с одним граничным условием. Доклады 51-й научной конференции, Самара: СГПУ, 1997, С. 51−53.

20. Коржавина М. В. Единственность решения задачи Е для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Доклады 53-й научной конференции, Самара: СГПУ, 1999, С. 19−21.

21. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИФМЛ, 1962, -767с.

22. Краснов M. J1. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968, -192с.

23. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т.2. М.: Высшая школа. 1988,-712 с.

24. Нахушев A.A. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995, 304 с.

25. Нахушев A.A. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. Дифференциальное уравнение Т.5, № 1. Минск, 1969, С. 44−59.

26. Пергунов В. В. Краевая задача Еа для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с отрицательными параметрами. Дифференциальные уравнения (математическая физика). Куйбышев, 1981, Т.248, С. 65−73.

27. Poisson S. Memore sur e’intergration desequations lineares aux derivees par-tieeles/ Journal de l’ecole polutechhigue, 12, ch 19, 1823.

28. Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравненийио±и"+^их= оXКуйбышев: КГПИ ученые записки. Вып. 21. 195 8, С.3−41.

29. Пулькина JI.C. Об одной не локальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения. Математические заметки, 1992, Т.51. № 3, С.91−96.

30. Пулькина JI.C. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения. Известия высших учебных заведений. Математика, 1991, № 11, С.48−51.

31. Риман Б. Распространение волн конечной амплитуды. M.-JL, 1948.

32. Самарский A.A. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения. 1980. Т16. № 11,С. 1925;1935.

33. Соболев C.JI. Уравнение математической физики. М.: Наука, 1966, -443с.

34. Томина Е. И. Обобщенная задача Т для уравнения ЭПД в неограниченной области.. Доклады 53-й научной конференции, Самара: СГПУ, 1999, С. 32−34.

35. Трикоми Ф. О линейных уравнения в частных производных второго порядка смешанного типа, (перевод с итальянского) M.-JI. 1947.

36. Федоров И. Н. Задачи Е, N для одного частного случая уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. 1нтегральш перетворешя та ix заспосувашя до крайов1х задач. 36. Наук. пр. Kuib, ih-t Матем. АН Украши, 1994.

37. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1959.

38. Франкль Ф. И. О прямой задаче теории сопла Лаваля. Ученые записки Кабардино-Балкарского университета. Вып. № 3, 1958, С. 35−61.

39. Юсупова О. В. Задача F3 для одного вырождающегося уравнения гиперболического типа с интегральными условиями. Доклады 52-й научной конференции. Самара, СГПУ, 1998, С. 137−139.

40. Волкодавов В. Ф., Васильева O.A. Задача с интегральными условиями для уравнения Пулькина гиперболического типа. Тезисы докладов международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара 25−29 июня 1996, С. 40.

41. Васильева O.A. Задачи с интегральными условиями (интегралы с конечными пределами) для одного уравнения гиперболического типа с вырождением в одной точке. Тезисы докладов областной научно-технической конференции СамГАСа, Самара, 1999, С. 50−51.

42. Васильева O.A. Две задачи с интегральными условиями для одного уравнения гиперболического типа. Доклады 53-й научной конференции, Самара: СГПУ, 1999, С.6−8.

43. Васильева O.A. Задача с интегральными и граничными условиями для одного уравнения гиперболического типа. Доклады 54-й научной конференции, Самара: СГПУ, 2000, С. 17−18.

44. Васильева О. А Две задачи для одного уравнения гиперболического типа с коэффициентом обращающимся в бесконечность в одной точке. Доклады 54-й научной конференции, Самара: СГПУ, 2000, С. 19−21.

45. Васильева O.A. Задача с интегральным и граничным условиями для уравнения гиперболического типа с вырождением в одной точке границы области.

46. Васильева O.A. Актуальные проблемы математики и механики. Материалы Международной научной конференции. КГУ, Казань, 1−3 октября 2000 г. с. 258.

.