Краевые задачи с интегральными и локальными условиями для дифференциальных уравнений второго порядка, вырождающихся в одной точке
Однако поскольку многие уравнения смешанного типа в областях гиперболичности сводятся к уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу (например, обобщенное уравнение Трикоми, уравнение Кароля, ряд уравнений смешанного типа с вырождением типа и порядка и т. д.), то вышеописанные работы не охватывают всей полноты исследований, проведенных по данной теме. Тем не менее укажем, наиболее значимые работы. V~2 могут… Читать ещё >
Краевые задачи с интегральными и локальными условиями для дифференциальных уравнений второго порядка, вырождающихся в одной точке (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
- Глава I. Задачи с интегральными условиями с переменными и постоянными пределами для одного уравнения гиперболического типа в ограниченных областях
- Глава II. Задачи с интегральными локальными условиями для одного уравнения гиперболического типа в неограниченных областях
Теория дифференциальных уравнений с частными производными начала развиваться в 20-е годы нашего столетия и до настоящего времени считается одной из наиболее ценных областей математики в смысле практического применения. Говоря о практической значимости этой теории, можно, в частности, сказать о магнитогидродинамических течениях с переходом через скорость звука, о течениях жидкости в открытом русле, задачах механики сплошных сред, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, о теории плотности и о многих других вопросах. Более подробно об этом упоминается в работах Ф. Трикоми [43], Л. Берса [3], Ф. И. Франкля [46], А. М. Нахушева [33] и др.
Новейшие исследования в теории естествознания приводят к необходимости более глубокого и полного изучения некоторых разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных.
О важности рассмотрения новых задач говорил A.A. Самарский в работе [40], где приведены примеры математических интерпретаций задач, подготовленных при изучении реальных физических процессов.
Очень важное значение при практическом применении имеет уравнение иху+—их+—иу+ С 2и = 0. (1) х-у х-у у (х-у)2.
Впервые это уравнение было рассмотрено Эйлером при, а — b = т, с = п, т, п Ei N при изучении движения воздуха в трубах постоянного и переменного сечений, а также колебания струн переменной толщины. Самое общее решение этого уравнения при указанных параметрах, как и вообще линейного уравнения гиперболического типа, было дано Риманом. Им же в статье [39] было показано, что точное уравнение адиабатического и обратного движения газа в трубе постоянного сечения в случае, когда во всех частицах энтропия единичной массы одна и та же, в характеристических координатах сводится к уравнению (1) при указанных значениях параметров.
В разработке теории этого уравнения принимали участие Пуассон [35] и Дарбу [21], поэтому его принято называть уравнением ЭйлераПуассона-Дарбу.
Большая практическая ценность способствует развитию теории уравнения (1).
Среди работ, посвященных исследованию этого уравнения, следует отметить работы А. М. Нахушева [32], работу В. Ф. Волкодавова и Н. Я. Николаева [11], учебное пособие В. Ф. Волкодавова и Н. Я. Николаева.
12], работы В. Н. Захарова [22], [23], В. В. Пергунова [34], Е. И. Томиной.
13], [41], О. В. Юсуповой [13], [47], [48], О. К. Быстровой [6], [7] и др.
Однако поскольку многие уравнения смешанного типа в областях гиперболичности сводятся к уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу (например, обобщенное уравнение Трикоми, уравнение Кароля, ряд уравнений смешанного типа с вырождением типа и порядка и т. д.), то вышеописанные работы не охватывают всей полноты исследований, проведенных по данной теме. Тем не менее укажем, наиболее значимые работы.
В 1993 г. была опубликована статья [14], в которой дано доказательство существования и единственности решения задач Е, N,.
Е, Е+9, М+ для уравнения колебания струны, изучаются новые принципы локального экстремума, а также поставлены новые краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказаны теоремы единственности решения этих задач.
В 1994 г. в Киеве выходят в свет статьи [1] и [44]. Автором первой из них рассматривается уравнение Л.
Я Р 0, р, де (ОД) на множестве (гА и где 0к = {(х, у): у < /+(х) < у < к], {/(к)) = к, к е (0-+оо), / (х) — четная, строго убывающая непрерывная функция,.
0+и = {(х, у): х > 0, /+(х) < у < к }, /+(0) = О,/+(/+(*0) = Л, г е (0,+оо), /+{х) — четная строго возрастающая непрерывная функция. В этой статье приводится доказательство существования и единственности решения задач О, ТУ, Е+, Е, С+, Е+, С для рассмотренного уравнения.
Во второй из упомянутых статей автор доказывает существование и единственность решений задач Е и N для уравнения х + У) иху +аиу=0 на множестве Ок =(? иС+, где {(х, у): 0 < -х < у < к} =: 0 <х < у<�к}.
Основным уравнением, изучаемым в предлагаемой к рассмотрению диссертационной работе, является уравнение ?>0: и ±У—(их+и)= 0. х + у.
Впервые уравнение было получено профессором С. П. Пулькиным в связи с рассмотрением одной пространственной задачи. Подробное изучение с точки зрения доказательства существования и единственности решения ряда краевых задач было проведено С. П. Пулькиным в работе [36]. В этой статье впервые им поставлены и решены задачи Коши, Дарбу +(СЬ), Коши-Гурса (СЬ') и Гурса (СО). В указанной работе впервые построены функции Римана-Адамара с учетом симметрии уравнения относительно линии у — X.
Исследования С. П. Пулькина были продолжены диссертационными исследованиями А. Д. Бочкарева. Им для уравнения.
1/)+ а{х, урх + Ь (х, уру +Си = О, х + у доказаны существование и единственность решения тех же задач, которые были для уравнения ?>0 поставлены и решены С. П. Пулькиным.
В дальнейшем исследованиями по уравнению занимались Волкодавов В. Ф., Невоструев Л. М., Коржавина М. В. и ряд других математиков. Доказаны различные принципы локального экстремума и найдены решения новых краевых задач для уравнения в частности (см. [25], [26]).
Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы.
Настоящая работа состоит из двух глав.
Первая из них посвящена доказательству существования и единственности решения краевых задач с локальными и интегральными условиями в ограниченной области для уравнения и о, (2) х + уьдлу.
Наше уравнение принимает либо вид иху±Р-их= 0 (в (3) х + 7 либо иху—Р-их=0 (в С"), (4) х-у где G+ = {(х, у): 0 < х < /г, О < у < /г}, G~ = {(x, j/): — у < х < И], у < О, т. е. является уравнением, вырождающимся в одной точке. Мы можем называть это уравнение уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу, поскольку при замене у на — у мы приходим к частному случаю этого уравнения.
В первом параграфе рассматриваются две задачи с интегральными условиями с постоянными и переменными верхними пределами. Задача I этого параграфа может быть сравнена с задачей Нх в статье H.A. Мижаре-вой [30].
Однако решение этой задачи ведется с использованием решения задачи Коши с данными U (x, x) = rix), (Ux —Uv) = v (x), а не с ис у=х пользованием общего решения уравнения (2), как в указанной работе.
Новым здесь является доказательство существования и единственности решения задачи с интегральными условиями с переменными верхними пределами.
Впервые задачи подобного типа были поставлены и решены Л. С. Пулькиной. В дальнейшем доказательством существования и единственности решения краевых задач с переменными верхними пределами занимались В. Ф. Волкодавов, Н. Д. Голубева (см [18], [19]) и другие.
При решении наших задач мы приходим к такому уравнению Воль-терра II рода, которое решаем методом последовательных приближений неизвестна, и, накладывая необходимые ограничения на краевые функции, получаем решение данного уравнения.
Новой является и задача, рассматриваемая во втором параграфе этой главы. Эта задача имеет интегральные условия вида: а.