Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций

Диссертация: Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В диссертации получены методы решения линейных краевых задач Н2^м (типа Газемана) и К2ум (типа Карлемана) для метаана-литических функций в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами при помощи общего подхода, базирующегося на общем представлении метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории так называемых обобщенных задач типа… Читать ещё >

Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
    • 1. 1. Основные обозначения и понятия
    • 1. 2. Основные сведения из теории краевых задач со сдвигом для аналитических функций
    • 1. 3. Краткий обзор литературы по краевым задачам со сдвигом для полианалитических и метааналитических функций
  • ГЛАВА II. ОСНОВНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТИПА ГАЗЕМАНА ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
    • 2. 1. Точная постановка основной задачи типа Газемана
    • 2. 2. Краевая задача типа Газемана для метааналитических функций в случае круга
    • 2. 3. Исследование основной краевой задачи типа Газемана для метааналитических функций в случае произвольного гладкого контура
  • ГЛАВА III. ОСНОВНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТИПА КАРЛЕМАНА ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
    • 3. 1. Точная постановка основной задачи типа
  • Карлемана
    • 3. 2. Обобщенная краевая задача типа Карлемана для аналитических функций
    • 3. 3. Исследование основной краевой задачи типа Карлемана для метааналитических функций в случае произвольного гладкого контура
    • 3. 4. Краевая задача типа Карлемана для метааналитических функций в случае круга и дробно-линейного сдвига контура

Диссертация посвящена исследованию линейных краевых задач с сопряжением и со сдвигом (типа Газемана и типа Карлемана) в классах метааналитических функций, т. е. регулярных решений дифференциального уравнения вида m+ai°m+atF (z)=0, (o.i) д lid, д где ао, анекоторые комплексные постоянные, а — = - ——|- г— oz 2 ох oyj дифференциальный оператор Коши-Римана.

Для аналитических функций (т.е. для решений уравнения вида гт1- = 0) краевые задачи со сдвигом впервые были исследованы z.

К.Газеманом [84].

Большой вклад в развитие теории краевых задач со сдвигом для аналитических функций внесли Б. В. Боярский [5]-[7], И. Н. Векуа [11], Н. П. Векуа [12], Э. И. Зверович [27], [28], Р. С. Исаханов [29], Д. А. Квеселава [30], [31], Г. С. Литвинчук [38]-[41], И. Б. Симоненко [65] и др.

В последние три десятилетия как в странах СНГ, так и в других станах (Китае, КНДР, Югославии), наблюдается устойчивый интерес к краевым задачам со сдвигом для аналитических функций и различных их обобщений (полианалитических, метааналитических, JP-моногенных функций), что объясняется связями этих задач с такими математическими теориями, как, например, теория дифференциальных уравнений [78], теория приближения функций [80], а также многочисленными приложениями в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [11], в теории плоских кавитационных течений идеальной жидкости и плоской теории упругости [9], [10], [42], [43], [62].

Как справедливо указывал И. Н. Векуа [11], «дальнейшие поиски в направлении изучения такого рода задач имеют значительный интерес» .

Одним из естественных обобщений краевых задач со сдвигом для аналитических функций являются задачи со схожей структурой для более широких классов функций (полианалитических, метааналитических, F-моногенных и др.). Исследованию таких задач для полианалитических и метааналитических функций посвящены работы В. А. Габриновича [13−17], С. В. Левинского [34−37], В. В. Показеева [45],.

46], И. А. Соколова [67], М. Сапак [79], В. Балуашгос [81−83], С.Я.ЗЬое [85] и др. Однако в этих работах рассматривались лишь задачи так называемого «треугольного вида» (см., например, [56], с. 19), которые, по сути, сводятся к последовательному решению нескольких хорошо изученных краевых задач со сдвигом в классах аналитических функций.

В то же время, наиболее важные краевые задачи с сопряжением и со сдвигом общего (не «треугольного») вида для метааналитических функций до настоящего времени оставались не исследованными. К таким задачам, в первую очередь, относятся следущие две задачи, обычно называемые основными краевыми задачами типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций (см. [56], с. 286).

Пусть Т+ - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = ж+гг/, ограниченная простым гладким замкнутым контуром уравнение которого имеет вид:? = х (з) + iy (s), 0 < 5 < /, где «- натуральный параметр, причем Ь? С^ (см. с. 9). Через Т~ обозначим дополнение Т+ и Ь до полной комплексной плоскости.

Задача #2,м (типа Газемана).

Требуется найти все кусочно-метааналитические функции Р (г) = — {Е+(г), Р~(г)} класса М2(Т±) ПН^(Ь)1, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь следующим краевым условиям:

М] = Со (г).р-М+9о". (0.2).

НО] с гдед/дп+ (<9/<9п) — производная по внутренней (внешней) нормали к Ь, = (И/йв, а (к = 0,1) — заданные на Ь функции, причем Сч-(£) Е (т.е. удовлетворяют условию Гелъдера вместе со своими производными до порядка 3 — к), Е Н2~кЬ), ф 0 на Ьа (£) — функция сдвига, сохраняющая ориентацию контура Ь, причем а'(£) ф 0, «(?) Е.

Задача К2^м (типа Карлемана).

Требуется найти все метааналитические в Т+ функции класса М2(Т+) ПН^Щ, удовлетворяющие на Ь следующим условиям:

0.4).

Определение класса М^Т^) П см. на с. 18. dF+la (t)] dF+(t) дп ~ Gl{t) ' «ST» + 9l®> (°'5) где L E C^, д/дп — производная no внутренней нормали к L, G kit), gk (t) — заданные на L функции, причем G kit) G H^~kL), gk (t) G и G kit) ф 0 на La (t) — функция сдвига, сохраняющая ориентацию контура и удовлетворяющая условию Карлемана a[a (t)] = t, причем a (t).

Важно отметить, что, поскольку действительные (мнимые) части бианалитических функций (т.е. решений уравнения (0.1) при a, Q = а = 0) являются бигармоническими функциями, то задача .К~2,м является естественным обобщением так называемой основной бигармонической задачи (см. [43], с. 138), имеющей многочисленные приложения в механике сплошной среды и математической физике.

В случае a{t) = t сформулированные выше задачи Н" 2, м и K2jm в классах бианалитических функций были исследованы в работах М. П. Ганина [19], [20], В. С. Рогожина [63], К. М. Расулова [55], [56] и др. Однако в случае a (t) ф t задачи Д" 2, м и К2) м Д° сих поР не были исследованы. Поэтому разработка методов решения указанных задач является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является развитие общих методов решения краевых задач типа Газемана и типа Карлемана для метаанали-тических функций, построение теории их разрешимости и установление нетеровости, выявление частных случаев, когда они допускают решение в замкнутой форме.

Перейдем теперь к краткому изложению полученных результатов.

Первая глава «Вспомогательные сведения и обзор литературы» состоит из трех разделов. В первом разделе вводятся наиболее часто используемые обозначения и понятия. Основными из них являются понятия метааналитической и кусочно-метааналитической функции.

Во втором разделе для удобства дальнейших ссылок приведен ряд известных фактов из теории краевых задач со сдвигом для аналитических функций.

В подразделе 1.2.1 приводится схема решения методом интегральных уравнений задачи Газемана (обычной) для аналитических функций, состоящей в отыскании всех исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций с линией скачков L, удовлетворяющих следующему краевому условию:

F+[a (t)] = G (t)F~(t) + g (t), t G (0.6) где G (t), g (t) — заданные функции точек контура, удовлетворяющие условию Гельдера, a (t) — гомеоморфное отображение кривой L на себя, сохраняющее ориентацию контура и удовлетворяющее следующим условиям: a’W^O, a{t)eH^(L). (0.7).

Выводы. Из результатов исследования задачи К2>м видно, что в общем случае ее решение сводится к последовательному решению обобщенной задачи типа Карлемана (3.77) (или (3.90)) и обычной задачи типа Карлемана (3.66) (или (3.80)) для аналитических функций. Однако, как видно из результатов раздела 3.3, решение задачи К2}М сводится к последовательному решению двух обычных задач типа Карлемана в классах аналитических функций всякий раз, когда обобщенная задача типа Карлемана (3.77) (или (3.90)) допускает решение сведением к обычной задаче типа Карлемана для аналитических функций (см. пример 3.1, а также [56], § 3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получены методы решения линейных краевых задач Н2^м (типа Газемана) и К2ум (типа Карлемана) для метаана-литических функций в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами при помощи общего подхода, базирующегося на общем представлении метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории так называемых обобщенных задач типа Газемана и типа Карлемана для аналитических функций. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и нетеровость задачиНГ2, м.

Кроме того, на примере круга в работе показано, что в частном случае областей с аналитическими границами к решению задач Н2) м и К2ум применим более простой и известный в математической физике метод, основанный на задании аналитической кривой с помощью так называемого уравнения Шварца. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы на конкретных примерах.

Среди результатов, полученных в диссертации, основными являются следующие:

1. Методы решения краевых задач Н2}м и К2>м в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами [59]-[61], [70], [72].

2. Установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задачи Н2, м [59], [70].

3. Решение краевой задачи Н2>м в случае круга сведением к двум задачам типа Газемана для аналитических функций [71], [73].

4. Решение в замкнутой форме (в квадратурах) задачи К2, м в случае единичного круга и дробно-линейного сдвига контура [73], [74].

Показать весь текст

Список литературы

  1. М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. -Т. 85. М.: ВИНИТИ, 1991. — С. 187−246.
  2. И. А. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения эллиптического типа // Тр. Семинара по краев, задачам. Казанск. ун-т. 1971. — Вып. 8. — С. 31−40.
  3. И.А. Краевые задачи для одного эллиптического уравнения: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Казань, 1972. — 89 с.
  4. A.B. Основы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984. — 317 с.
  5. .В. Анализ разрешимости граничных задач теории функций // Исследования по совр. пробл. теории функций комплексного переменного.- М., 1961. С. 57−79.
  6. .В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта // Сообщ. АН Груз. ССР.- i960.- Т. 25, N 4.- С. 385−390.
  7. .В. Теория обобщенного аналитического вектора // Annales Polonici Mathemat. 1966.- T. 17, N3.- С.281−320.
  8. Веку a И. H. О метагармонических функциях //Тр. Тбилиск. матем. ин-та. 1943. — Т. 12. — С. 105−186.
  9. Веку, а И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 296 с.
  10. И.Н. Об одном методе решения основной бигармониче-ской краевой задачи и задачи Дирихле // Некоторые пробл. мат. и мех. Л.: Наука, 1970. — С. 120−127.
  11. И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. — 509 с.
  12. H.H. Системы сингулярных интегральных уравнений. -М.: Наука, 1970. 379 с.
  13. В.А. Внешняя краевая задача типа Карлемана для полианалитических функций / Белгосуниверситет.- Минск, 1975.- 15 с. Деп. в ВИНИТИ 31.03.75, N 860−75 // РЖ: Математика.- 1975.-N8.- 8Б138ДЕП.- С. 21.
  14. В.А. О краевой задаче типа Карлемана для метаа-налитисеких функций // ДАН БССР.- 1977.- Т. 21, N 2. С. 112−115.
  15. В.А. Краевая задача типа Карлемана для полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат. наук. 1977. -N3.- 0. 48−57.
  16. В.А. О краевой задаче типа Карлемана для одного класса-моногенных функций // Лит. мат. сб. 1977. — Т. 14, N 3. -С. 137−138.
  17. В.А. Краевая задача типа Гильберта для р-полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат. наук. -1987. N 2. — С. 33−38.
  18. М.П. Краевые задачи теории полигармонических функций // Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. — Т. 111, кн. 10. — С. 9−13.
  19. М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. 1951. — Т. 80, N3.-0. 313−316.
  20. М.П. Об одной общей краевой задаче для аналитических функций // Докл. АН СССР. 1951. — Т. 79, N 6.- 0. 921−924.
  21. М.П. Об одной общей краевой задаче для аналитических функций: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. Казань, 1952. — 69 с.
  22. Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. — 640 с.
  23. П. С. Краевая задача типа задачи Гильберта со сдвигом на внутреннем контуре для кусочно-полианалитической функции // Вест. Белорус, ун-та. Сер. 1. 1974. — N 3. — С. 23−26.
  24. В.И. Об одном обобщении полианалитических функций // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т. 1975. -Вып. 12. — С. 50−57.
  25. В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т. -1976. Вып. 13. — С. 80−85.
  26. Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях // УМН. 1971. — Т. 26, Вып.1. — С. 113−179.
  27. Э.И. Двухэлементные краевые задачи и метод локально-конформного склеивания // Сибирск. матем. ж.- 1973.- Т. 14, N 1.- С. 64−85.
  28. P.C. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: Дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.01. Тбилиси, 1984. — 281 с.
  29. Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций // Труды Тбилисск. матем. ин-та. 1948.- Т. 16. — С. 39−80.
  30. Д.А. Решение одной граничной задачи Т.Карлемана // ДАН СССР.- 1947.- Т. 55, N 8.- С.683−686.
  31. А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. — 431 с.
  32. М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. — 736 с.
  33. C.B. Теория Нетера первой краевой задачи для полианалитических функций // Изв. вузов. Математика. 1989. — N 3.-С. 35−39.
  34. C.B. Краевая задача для функций, полианалитиче-ких в нескольких многосвязных областях // Современный анализ и его приложения.- К.: Наукова думка, 1989.- С. 107−111.
  35. C.B. Краевая задача со сдвигом Карлемана для полианалитической функции / Одесский ин-т нар-го хоз-ва.- Одесса, 1990.- 32 е.- Деп. в УкрНИИНТИ 18.05.90.- N 871-Ук 90.
  36. C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: Дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02.- Одесса, 1991.142 с.
  37. Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. — 448 с.
  38. Г. С. Теорема Нетера для одного класса сингулярных интегральных уравнений со сдвигом и сопряжением // ДАН СССР.- 1965.- Т. 162, N 1.- С. 26−29.
  39. Г. С. К теории краевых задач со сдвигом Карлемана // ДАН УССР.- 1967.- Т. 11.- С. 1019−1022.
  40. Г. С. Теория Нетера системы сингулярных интегральных уравнений со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными неизвестными // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1967.- Т. 31, N 3.- С. 563−586.
  41. С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.: Наука, 1977.- 415 с.
  42. Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. — 707 с.
  43. Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. 511 с.
  44. B.B. Интеграл типа Коши для метааналитических функций // Изв. вузов. Математика. 1982. — N 3. — С. 44−51.
  45. В.В. Задача линейного сопряжения для двоякопери-одических полианалитических функций / Казанск. ун-т. Казань, 1980. — 40 с. — Деп. в ВИНИТИ 25.02.1981.- N 896-В81 // РЖ: Математика.- 1981.- N 6.- 6В233ДЕП.- С. 36.
  46. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. — 493 с.
  47. Н., Расу лов А.Б. Интегральные представления и граничные задачи для одного класса систем дифференциальных уравнений высшего порядка // Докл. АН СССР. 1985. — Т. 282, N 4 -С. 795−799.
  48. Расу лов K.M. О решении некоторых краевых задач типа Ри-мана для полианалитических функций // Докл. АН СССР. 1980. -Т. 252, N 5. — С. 1059−1063.
  49. K.M. Краевые задачи типа Римана для одного дифференциального уравнения высшего порядка // Совр. вопросы теории функций и функц. анализа. Караганда.- 1980. — С. 113−120.
  50. K.M. Краевые задачи типа Римана для полианалитических функций, разрешаемые в замкнутой форме // Докл. АН СССР.-1983.- Т. 270, N 5. С. 1061−1065.
  51. K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для бианалитических функций // Докл. АН СССР. 1991. — Т. 320, N 2. — С. 284−288.
  52. K.M. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений / / Дифференц. уравнения. 1993. — Т. 29, N2. — С. 320−327.
  53. K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для полианалитических функций в многосвязных областях // Докл. АН Беларуси. 1992. — Т.36, N 9−10. — С. 782−785.
  54. K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений: Дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.01.-Минск, 1995. 241 с.
  55. K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998. — 345 с.
  56. K.M. Неклассическая задача Дирихле для полианалитических функций // Межвуз. сб. науч. тр. «Полианалитические функции: граничные свойства и краевые задачи». Смоленск, 1997. -С. 64−87.
  57. K.M., Фатулаев Б. Ф. О решении одной краевой задачи типа Газемана для бианалитических функций / / Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского.- Казань: «УНИПРЕСС», 1998.-С. 204−206.
  58. K.M., Фатулаев Б. Ф. О решении основной краевой задачи типа Карлемана для бианалитических функций / Смоленск, гос. пед. ун-т. Смоленск, 1999.- 23 е.- Деп. в ВИНИТИ 26.10.99. — N2994-В99.
  59. Т.Е. Задача сопряжения для бианалитических функций и её связь с упруго-пластической задачей // Прикладная механика (Киев). 1972. — Т.8, вып.Ю. — С. 65−70.
  60. B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения // Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. — Т. 110, кн.З. -С. 71−93.
  61. С.Г. О сингулярных интегральных и интегро-диффе-ренциальных уравнениях с аналитическими ядрами // Изв. Сев. Кавказк. науч. центра высш. школы. Сер. естеств. наук. 1974. -N 4. — С. 86−94.
  62. И.Б. Краевые задачи Римана и Римана-Газемана с непрерывными коэффициентами // Исследования по совр. проблемам теории функц. компл. перем.- М.: Физматгиз, 1961.- С. 380−389.
  63. И.А. О краевой задаче типа Римана для полианалитических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1969.- N 5. — С. 64−71.
  64. И.А. О краевой задаче типа задачи Римана со сдвигом для полианалитических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970. — N 1. — С. 118−121.
  65. И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура // Вестник
  66. Белорусского ун-та. Серия 1. 1970. — N 2. — С. 20−23.
  67. А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. — 735 с.
  68. . Ф. Основные краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций в случае круговых областей / Смоленск, гос. пед. ун-т. Смоленск, 1999.- 16 е.- Деп. в ВИНИТИ 24.02.2000. — N 464-В00.
  69. . Ф. О решении внешней краевой задачи типа Карлемана для метааналитических функций в случае единичного круга / / Труды математического центра имени Лобачевского.- Т. 5.- Казань: «УНИПРЕСС», 2000.- С. 209−210.
  70. Э.Г. О краевой задаче типа задачи Гильберта: Дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. Ростов-на-Дону, 1958. — 73 с.
  71. A.B. Основные краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций // Избранные вопросы высшей математики и информатики: Матер, междунар. сем., Смоленск, 12−13 мая 1997 г./ Смол. гос. пед. ин-т, Хаген. заочн. ун-т.- Смоленск, 1997. С. 19−21.
  72. Balk M.B. Polyanalytic functions. Berlin.: Akademie Verlag, 1991. — 192 p.107
  73. Canak M. Randwertaufgabe von Riemann-types fur die p -polyanalytischen Functionen auf der spiralformigen Kontur // MaTeM. BecHHK (Yugoslawien). 1988. — Vol. 40, N 3−4. — P. 197−203.
  74. Carmona J.J., Fedorovski K.Ju., Paramonov P.V. On uniform approximation by polyanalytic polynomiols and the Dirichlet problem for bianalytic functions.- Juliol, 1999.- 19 p.- (Preprint / Centre de Recerca Matemetica- num. 415).
  75. Damjanovic Bosko. A special case of the homogeneous contour problem for polyanalitic functions in multiply connected regions //5 Conf. Appl. Math., Lyublyana, Sept. 2−5, 1986 y./ Inst. Math., Phys. and Mech.- Lyublyana, 1986.- P. 41−46.
  76. Damjanovic Bosko. The homogeneous contour problem for polyanalitic functions in multiply connected regions //5 Conf. Appl. Math., Lyublyana, Sept. 2−5, 1986 y./ Inst. Math., Phys. and Mech.-Lyublyana, 1986.- P. 47−51.
  77. Damjanovic Bosko. The boundary value problem for polyanalitic functions in multiply connected regions // Mathematichi Vesnik (Yugoslavia).- 1986.- Vol. 38.- P. 411−415.
  78. Haseman C. Anwendung der Theorie der Integralgleichungen auf einige Randwertaufgaben.- Gottingen, 1907. 192 p.
  79. Shoe C.R. A boundary Value Problem of Meta-analytic function in the Unit Circle // CyxaK. 1986.- N 3. — P. 29−33.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!