Интерполяционные L-сплайны и задачи оптимального восстановления

0.1 История вопроса.

Полиномиальные сплайны как самостоятельный аппарат приближения был введен Шёнбергом [42] в 1946 г., однако и ранее кусочно-полиномиальные функции использовались как в численном анализе (ломаные Эйлера), так и в качестве экстремальных функций в работах Ж. Фавара, А. Н. Колмогорова, С. М. Никольского и других математиков. Дальнейшие исследования по приближению классов гладких функций показали, что полиномиальные сплайны дают минимально возможную погрешность приближения среди подпространств заданной размерности, т. е. реализуют ппоперечник (по Колмогорову, линейный и др.). Более того, оказалось, что этим экстремальным свойством обладают не только полиномиальные сплайны наилучшего приближения, но и полиномиальные интерполяционные сплайны. Именно они во многих случаях решают задачу оптимального восстановления функции и ее производных по имеющейся дискретной информации о функции. Подробный обзор результатов по этой тематике приведен в монографиях: Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш [2], В. М. Тихомиров [28], Н. П. Корнейчук [14], [17], Л. Шумейкер [44] и др.

Аппарат полиномиальных сплайнов оказался удобным и при решении задач вычислительной математики. Эти вопросы достаточно подробно освещены в монографиях: В. А. Василенко [5], С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин [23], Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко [10], А. И. Гребенников [8] и др.

Ссплайны также были введены Шенбергом [43], здесь С — линейный дифференциальный оператор. Развитие теории Ссплайнов бьь-ло во многом обусловлено потребностями вычислительной математики. В частности, требовалось восстанавливать решения дифференциальных уравнений вида Cx (t) = y (t) (краевая задача, задача Коши), которые при приближенном решении уравнений, часто получались в виде сеточных функций (например, в случае, когда задача решалась разностным методом). Обзор работ в этом направлении имеется в монографиях [2], [4], [8], [10], [23] др.

Вопросам обобщения понятия сплайн и изучению аппроксимативных свойств сплайнов различной природы также посвящено большое число работ. Первый шаг в этом направлении, как отмечено выше, сделал Шенберг [43], рассмотревший тригонометрические сплайны. На следующем этапе были введены интерполяционные сплайны, порожденные некоторым линейным дифференциальным оператором, при различных ограничениях. Дальнейшее обобщение понятия «интерполяционный сплайн» происходило в основном в двух направлениях: с одной стороны ослаблялись ограничения на оператор, с другой стороны обобщение достигалось за счет расширения способа интерполяции. Одновременно развивался абстрактный подход к теории сплайнов в гильбертовом пространствепри этом подходе интерполяционный сплайн определяется как решение некоторой экстремальной задачи. Большой вклад в вариационное направление внесли Аттиа [34], Анселон, Лоран [33], В. А. Василенко [5], В. А. Морозов, А. И. Гребенников [7] (см. также [2], [19], [35]). Дальнейшее развитие этот подход получил, например, в работах [36], [37] и ряде других.

Нами предложено определение интерполяционного сплайна в линейном нормированном пространстве как соответствующего элемента из ядра некоторого расширения L, заданного линейного оператора Lq (точное определение дано в главе 1). Содержательность данного определения показано на примере изучавшихся ранее интерполяционных С-сплайнов. Для которых установлены новые теоремы существования и единственности и получен ряд новых асимптотически точных результатов.

Выше уже упоминались ппоперечники классов функций в связи с задачей о наилучшем методе приближения. Данное направление получило дальнейшее развитие для случая классов функций, задаваемых ограничением на норму линейного дифференциального оператора. Был получен ряд точных и асимптотически точных результатов (см. например [21], [31], [38], [41], [44] и др.). Оказалось, что для ЛДО с постоянными коэффициентами в ряде случаев интерполяционные Ссплайны также реализуют ппоперечник, а значит являются оптимальным методом восстановления функции из соответствующего класса (см. например [22], [30], [40] и др.). В данной работе нами показано, что и для ЛДО с переменными (вообще говоря с суммируемыми) коэффициентами в ряде случаев соответствующие интерполяционные Ссплайны реализуют асимптотику ппоперечника, т. е. являются асимптотически оптимальным способом восстановления функции (а в ряде случаев и ее производных). Значение асимптотически точных результатов (как отмечено Н.П.Корнейчуком) важно тем, что часто точные результаты получены в неявной форме. Например, узлы полиномиального сплайна (реализующего ппоперечник) и точки интерполяции в непериодическом случае можно найти лишь приближенно, в то же время, полиномиальные интерполяционные сплайны по равномерному разбиению (с краевыми условиями Лидстона) реализуют асимптотику ряда ппоперечников. В данной работе подобные результаты переносятся на интерполяционные Ссплайны с переменными коэффициентами. При этом доказана теорема, позволяющая находить в ряде случаев асимптотику ппоперечников класса функций задаваемых ограничением на норму ЛДО.

0.2 Постановка задачи.

В данной работе, пользуясь методами функционального анализа, определим обобщенный интерполяционный сплайн в линейном нормированном пространстве и исследуем следующие вопросы.

1) Найти условия, обеспечивающие существование и единственность ОИС (необходимые и достаточные, достаточные).

2) В терминах Вблизости элемента х и его ОИС изучить аппроксимативные свойства ОИС на соответствующем классе.

3) Изучить устойчивость аппроксимативных свойств ОИС при замене оператора С порождающего ОИС «близким» в некотором смысле оператором С£.

4) Все предыдущие вопросы рассмотреть применительно к интерполяционным Ссплайнам, т. е. к случаю когда С есть линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами.

5) На соответствующих классах сравнить погрешность приближения функций с помощью интерполяционных £-сплайнов с оптимальными методами приближения (т.е. с соответствующими поперечниками).

Рассмотрению сформулированных выше вопросов и посвящена данная работа.

0.3 Краткое содержание диссертации Сокращения.

ЛНП — линейное нормированное пространство. ЛДО — линейный дифференциальный оператор. ИС — интерполяционный Lсплайн.

ОИС — обобщенный интерполяционный сплайн = интерполяционный Ссплайн.

ПИС — полиномиальный интерполяционный сплайн. АС — класс абсолютно непрерывных функций.

В 1-ой главе изучаются ОИС, порожденные возмущенным оператором в ЛНП. Основные результаты этой главы — теоремы 1.1, 1.4 и 1.5.

§ 1.1. Условимся о некоторых обозначениях. Если, А линейный оператор, то через D (A), R (A) и N (A) будем обозначать соответственно область определения, область значений и ядро оператора А. Запись, А: X —" У будет означать, что оператор, А переводит D (A) С X на 11(A) с У.

Пусть X и У некоторые «основные» линейные нормированные пространства, I/O линейный оператор Lq: X —> У, D (Lq) С X, R (Lq) = Y. Пусть подпространство X, J2 С (X (D (Lq){0})). Распространим оператор Lq на полагая Lqz = О V х Е. Продолженный таким образом оператор обозначим через L, D (L) = Yh +D (Lq).

Определение 1. Ядро оператора L, N (L) будем называть подпространством Lсплайнов.

Пусть Xq подпространство из X, Хо D D (L) и F — некоторое подмножество линейных и линейно независимых функционалов на Xq.

Определение 2. Будем говорить, что Lсплайн, а интерполирует элемент х Е Xq относительно множества F, если V/ Е F f (x) = f (a).

Пусть в пространстве X задан также линейный оператор До: X —> Y ^ У, действующий в некоторое линейное нормированное пространство Yi, непрерывно вложенное в У, причем, D (Aq) D D (Lq). Если Y, Y, D (Cq) = D (Lq) и? = l + a: x ^ У, D© = D (L).

Определение 3. Подпространство N© назовем подпространством обобщенных £-сплайнов.

Аналогично интерполяционным Lсплайнам определим обобщенные интерполяционные относительно множества F Ссплайны. Для одного и того же элемента х? D{C) — D (L) интерполяционный сплайн будем обозначать буквой а, а ОИС s.

В данном параграфе и далее мы будем предполагать, что выполнено следующее условие: интерполяционные Lсплайны относительно множества F существуют и единственны.

Ухе D (L). (0.1).

Пусть Di = {х? D (L): f (x) — 0 V f? F}. Оператор обратный к сужению оператора L на D назовем оператором Сарда и обозначим через R.

Пусть х? D (jC) и, а есть ИС для элемента х. Определим операторы Т и Т2 следующим образом:

Tix = a-RAx, Ух? D (?),.

Т2У = Лег — АЯу, Vj/eYi.

Имеет место следующая.

Теорема 1.1. Пусть выполнено условие (0.1). Тогда следующие условия эквивалентны: а) для элемента х? D© существует единственный ОИСб) оператор Т имеет и, притом, единственную неподвижную точкув) оператор Т2 имеет и, притом, единственную неподвижную точку.

Определим класс W{LqY) = {х? D (Lq): Lqx? Y" i,||Loa:j|i < 1},.

ВДе II • Ik? II • 111.

Теорема 1.2. Пусть выполнено условие (0.1) и а) пространство Y банаховоб) supxeW{LM ||А (а- - a)111 = ЦАДИКУ, = 71 < 1.

Тогда /х? D© существует единственный ОИС относительно множества F (здесь как и ранее и есть И С для элемента х).

Пусть У2 ЛНП, ||Mb, Y2^Y и Кф<�ду К с (Y2nR (?0)). Определим следующие классы:

Ж (Аь К) = {х£ D (jC0): С0х G К},.

W (CfK) = {х € D©: Схе К}, W (L0l К) = {aG D (L0): <Е К}.

Пусть 72 = supa-g^i^) ||А (ж-o-)||i (здесь, а есть И С для х).

Рассмотрим задачу вычисления значений заданного линейного оператора на классе W (Co, К) и W (C, К) с помощью ОИС. Пусть В: X —> Z — линейный оператор, D (B) D D (?), где Z некоторое ЛНП,.

II Лг = ll-lk.

Введем следующие величины:

01 = sup В (х — сг)||4, xeW{L0,Yi).

32= sup \В (х-а)\4, xt, W{L0J<) Р (Со, К)= sup \B (x-s)\h sup \B (x-s)\4, хе (С, К) здесь <7 есть ИС для х, a s — ОИС для х.

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.2, причем 72> 02) Pi < соТогда имеет место неравенство: /3(?0, К) — 02 |=| К)-(32< (31Ъ (1 ~ 71 Г1- (0−2).

Следствие. Рассмотрим последовательность И С стп, для которой выполнены условия теоремы 1.4 и такую, что правая часть (0.2) есть о (@2(п)) — Тогда для соответствующей последовательности ОИС sn справедливо соотношение sup \В (х — sn)||4 = sup \В (х — sn)||4 = xeW (C, K) x? W (C0,K) (l + o (l)) sup \B (x — an)\A. xeW{L0,K).

Здесь fa (n) имеет тот же смысл, что и fa в теореме 1.4, но подчеркнута зависимость от п .

В § 1.2 рассмотрен вопрос об устойчивости аппроксимаций с помощью ОИС в случае, когда ядро возмущенного оператора известно приближенно. о.

Пусть W (Со, К) — класс, полученный с помощью некоторой фактоо ризации класса W (Cq, K) по ядру N (C0), т. е. W (C0lK) =W (Со, К)®N{Co). Л£: X —>• Yi — некоторый линейный оператор, D (Л£) D D©, С£ = L + Ае: X Y, D (C?) = D{C).

Пусть Д£ = С — С£ ~ А — Л£. Предположим, что 3 е > 0,^2 > О такие, что sup ||Ае (ж — 0″)||i < ?, sup ||Л?(ж — cr) |j 1 < ?2xeWiLoK) xeW (L0,K).

Через s и se обозначим ОИС, построенные соответственно по оператоо рам С и С£ для элемента х EW (Со, К).

Теорема 1.5. Пусть имеет место (0.1) и выполнены следующие условия:

1) sup{||A?x||i: ж? W (C0,K) }<е;

2) Y — банахово пространство;

3) Ti +ⁱ < 1;

4) ft, 72, ?2 < оо.

Тогда справедливы следующие утверждения: 1) ОИС s и s? относительно множества F существуют и единственны для любого х Е W (C, К);

2) sup{||B (s-ee)||4: ®GW (A), A')}

Пусть Xi ЛНП, X c—)¦ X, содержащее ОИС и ИС, || • Ц^ = || • Неопределим следующие величины: а 1 = sup ||Ао-||ь.

Н|5<1 а?2 = sup \Ва\4, IHIs Z — заданный линейный оператор, a Lсплайн. В случае, когда В есть оператор вложения в пространство Х, величину (3 обозначим через Р[. Положим = /3[qi (1 — 7i)1, ?2 = — 7i)1.

Теорема 1.7. Пусть sua соответственно ОИС и И С интерполирующие один и тот же элемент. Допустим, что выполнены условия теоремы 1.2, а также ai, o>2,(3'1:< оо и < 1- Тогда справедливы следующие неравенства:.

1 + 7i)1||A (7||i < ||As||i < (1 — 7i)-1||A (j||i, ai (l + 7i)1(l + < sup IIAelliHsHs1 < «i (l — 7i)1(l — 6)» 1,.

1-ЫИ5<�И|б<(1+6)1Н|5, a2(l — 6)(1 + 6)" 1 < sup \Ba\4 • IHIs1 < a2(l + 6)(1 — 6)" 1s^O.

Следствие. Пусть задана последовательность ИС ап, удовлетворяющая условиям теоремы 1.7 и такая, что ?1 = ?i (n) —> 0,^2 = 0 пРи п 00• Тогда для соответствующей последовательности ОИС sn справедливы соотношения.

IWIs = (1 + о (1))||(т||5, sup ||Ssn||4 • Iknlls" 1 = (1 + 0(1)) sup \Вапи ¦ Iknlls-1s^O с 7⁰.

Другими словами, точные константы в неравенствах типа Маркова для оператора В на подпространствах ОИС, асимптотически равны точным константам в неравенствах типа Маркова для оператора В на соответствующих подпространствах ИС..

2-я глава показывает содержательность общей схемы, изложенной в 1-ой главе, в случае, когда С есть ЛДО с переменными коэффициентами. В качестве множества интерполируемых функционалов берутся значения функции и, возможно, ее производные в узлах некоторой сетки. Основные результаты этой главы содержатся в теореме 2.1, предложении 2.2, теореме 2.4 и теореме 2.5..

§ 2.1. Пусть задан линейный дифференциальный оператор о = Lqf Aq, r-l где Lq — Dr, A0 = aj? 1], 0 < j < г — 1. Положим j=о.

I = max {j: a At) ^ 0}. В периодическом случае будем считать, что.

Примем в качестве «основного» пространства пространство L[0,1]. В качестве области определения операторов Lq и Ао возьмем множества Lr[0,1] =: Dr~lx е’АС} и ^[0,1] =: Dl~lx 6 AC, Dlx Е Lq, 1]}, где q-1 + д'*1 = 1, 1 < q < оо..

Пусть заданы два разбиения отрезка [0,1] Д&bdquo-: 0 = Ц<�и< ..

А’т: 0 < г0 < п <. < тт < 1,.

Нп = max (ti — ti-i), hn = min (ti:-ii-1)..

1 .

В качестве ^ будем рассматривать подпространство Ylt-in поли1 номиальных сплайнов степени г — 1 дефекта d (1 < d < г), соответствующее разбиению Дп..

Пусть Oij{t) — (t — ti) r+ 3, где 1 < г < n, j — некоторые целые числа из промежутка 0 < j < к{ (ki < г — 1), d — ma+ 1) и.

1<�г<�п U.

1,2,..

1, и > 0, , и > О us+ = <, s.

О, и < 0 [0, и < О.

Подпространство полиномиальных сплайнов степени г — 1 дефекта с?, отвечающее разбиению Д&bdquo-, есть, множество функций вида г—1 п—1 ki t) = = + i/=0 г=1 j=0 где gv и ciij — некоторые числа..

Распространим оператор = Dr на подпространство ]Г). Для этого достаточно определить оператор дифференцирования на функциях < i < п (в точках t = 0 и t = 1 производные понимаются как односторонние). Для t = ti, 1 < i < п — 1 полагаем [Dk<�к<�г..

Аналогичным образом построим расширение оператора ЛоВ результате получаем оператор Л. Определим расширение оператора Со, полагая С — L + A, V© = V (L)..

Полиномиальный сплайн, определяемый разбиением Ап и интерполирующий функцию x (t) в узлах сетки А’т, будем обозначать a (t, x)..

Вопросам существования и единственности полиномиальных интер-' поляционных сплайнов посвящено большое число работ, отметим [2], [5], [10], [17], [23], [39], где приводятся достаточно общие условия, обеспечивающие существования и единственность ПИС. В дальнейшем мы всегда будем предполагать выполненным следующее естественное условие:.

А) ПИС, определяемые сетками Дп, А’т существуют и единственны..

Пусть Wrv =: Dr~1x G AC, \Drx\p < l}, 1 < p < oo, e (t) = x (t) — a{t, x), en (r, j, p, p) = sup \DJe{t)\p,.

Определение 4. Последовательность сеток Дп назовем нормальной, если найдутся не зависящие от п константы ci, c2 > 0 такие, что сумма длин частичных промежутков разбиения Дп, больших сНп, не меньше С2..

Последовательность сеток Дп называют квазиравномерной, если Нп/К = 0(1)..

Всегда будем предполагать, что Нп —" 0 при п —> оо. Многие ПИС обладают следующим свойством еп (г, Ьр, р) = 0(Щ-*), (0.3) для р = 1 и р =. оо, 0 < j < к при некотором к (0 < к < г — 1). Обозначим jo = min (fc, г — d), где d — дефект сплайна, & то же, что и выше..

Теорема 2.1. Пусть для последовательности ПИС выполнено условие, А и, кроме того, en (r, j, p, p) < оо при р — 1 и р = оо, 0 < j < к, где к — некоторое целое число из промежутка 0 < k < г — 1. Тогда en{r, j, p, p) = О оо, оо) • е|(г, j, 1, l) tfn (Н)+), 0 < j < io — 1 < О оо, оо), jo < J < к 1−1 iHfc-f1−1).

0 (en p (r, oo, oo) • en (r, 1, l)/in, fc + 1 < j < r — 1, для 1 < p, p < oo..

Следствие 2.1. Пусть для ПИС из теоремы 2.1 выполнено условие (0.3). Тогда en{r, j, p, p) = <.

О Я,.

О Hr-ih in р р), о < j < JO — 1, Jo > 1 io < j < г — l,.

1 < p, /9 < oo..

§ 2.2. В этом параграфе изучаются аппроксимативные свойства ОИС. ОИС для функции x (t) по разбиению Ап с узлами интерполяции А’т, соответствующий ЛДО С будем обозначать s (t, x). В этом случае оператор Сарда есть линейный интегральный оператор i 0 где K (t, r) — ядро Пеапо в интегральном представлении погрешности сплайн-интерполяции, определяемой сетками Дп, А’т..

Теорема 2.2. Пусть выполнено условие А. Тогда следующие условия эквивалентны: а) для функции х (Е Т>{С) существует единственный ОИС s (t, x) — '. б) уравнение (относительно функции x (t) J x (t) = cr (t, x) — RAx (t) имеет в V© единственное решениев) уравнение (относительно функции y (t)) y (t) = Aa (t, x) — ARy (t) имеет единственное решение в пространстве Lq, 1 < q < q..

Теорема 2.3. Пусть выполнено условие, А и для некоторого q: 1 < Ч < Ч справедлива оценка df sup ||A (x (t) — a (t, x))\qi < 1. xew,.

Тогда для любой функции х € Т>© существует и только один ОИС дефекта d, определяемый сетками Ап, А'т..

Пусть го — фиксированное целое число (0 < zq < г — 1). При 1 < q < р < оо введем следующие обозначения:.

L4(r, io, P, p) + р" 1 + < /Г1 pi (r, i0, p, p) + p" 1 + > p < q.

Vi{r, io, q, p) + pi (r, l, p, oo), q.

< v vi (ifrp, p) + vi{l, p, q2), p1 + q1>p1,p.

Пусть последовательность сеток An (при 1 < q < p < oo) удовлетворяет условию произвольное, если и — О.

Hnhn о, если v < 0, р~г + q~l < р~ 1.

ОН д— A + f если is < Q, p 1 + q 1 > p 1 < p < q или q < p < oo..

0.5).

Положим.

Wp° = G D (?q): НАЛ < 1}, Wf = {x (t) e V©: \Cx\p < 1}..

Теорема 2.4. Пусть для последовательности ПИ С, определяемой сетками Дп, Д^, выполнены условия А, (0.3) и (0.4). Пусть, кроме того, выполнено одно из следующих условий: 1) 1 < Р < Я < oo, 1 < р < оо-.

2)1<^<�Р<�оо, р > р и последовательность сеток Дп удовлетворяет условию (0.5) —.

3) 1 < q < р < оо, 1 < р < р < оо и последовательность сеток Ап нормальная и удовлетворяет условию (0.5)..

Тогда Vn > щ ОИС существуют, единственны и для соответствующих pup справедливы соотношения sup рУ (®(*)-в (*, а-))||р = xewf sup ||Di (a:(0-s (^a-))llp= (l + o{l))en (r, i, p, p) xGWp0 для всех i = 0,., io, причем в случае 1) можно взять «о = г — 1..

Ранее, подобный результат для ЛДО с переменными коэффициентами был получен (при i = 0) лишь для эрмитовой сплайн-интерполяции с гладкими коэффициентами ([31], [41])..

§ 2.3. В этом параграфе изучается устойчивость аппроксимаций с помощью ОИС, построенных по приближенному оператору. Этот вопрос важен в связи с практическим построением ОИС. Рассмотрим оператор С£ = Dr + Л£, I.

A? = Y, aJ?(t)D>, j= о где aj? е Lq, 0 < j < I..

Будем предполагать, что выполняются следующие неравенства а^)-а3?{г)\я0 — некоторое число. Определим класс.

Wp={xeW^: DJx (—•.(}— О, 0 < j < г — 1} ..

Через s?(t, x) обозначим ОИС, определяемый сетками Ап, А’т, построенный по оператору С£ и интерполирующий функцию x (t). На практике естественно брать в качестве функций кусочно постоянные функции..

Теорема 2.5. Пусть для последовательности ПИ С, определяемой сетками Ап, А’т выполнены условия А, (0.3) и (0.4). Пусть, кроме того, для оператора С£ выполнено условие (0.6). Тогда.

1) Для любого е > 0, начиная с некоторого номера щ ОИС s (t, x) и se (t, x) существуют и единственны V х <Е Т)©, причем, если е достаточно мало 0 <? < £о> то номер щ можно выбрать независимо от ?..

2) Для всех г = 0,., г — 1, 1 < р. р < оо справедливы соотношения равномерно по? (т.е. константы в правой части не зависят от ?) причем, если последовательность Ап квазиравномерная, то.

3) При любом фиксированном? > 0 для всех г = 0,., г — 1 и 1< р < оо р sup IIDl{s{t, x)-s?(t, x))\p = sew/ o (Qn (r, i, p, p)), 1.

< р < оо, q < р < оо. Причем, если последовательность ! Ап квазиравномерная, то sup \Dl{s (t, x) — se (t, x))\.

О с0 x? Wv Р о К r-i-i + i р р < r-t-i + i.

О Я, i 1 < Р < р < р < ОО q < р < оо, q < р < оо..

Теорема 2.6. В условиях теоремы 2.5 положим е = еп так, что О < £п < гоГогЛг.

1) .Если 1 < р < q < оо, 1 < р < оо и еп — о (1), то для всех г = 0,., г — 1 справедливо соотношение sup \Dx (t) — s? n (t, x sup |Dx (t) — s (t, x))\p ~ en (r, i, p, p). c0.

0.7).

G~*(r, i0, q, p) Hn «» J, последовательность сеток An удовлетворяет условию (0.5), то для всех г — 0,., го справедливо соотношение (0.7). Причем, если последовательность Ап квазиравномерная и еп — о^Нп, то (0.7) имеет' место при всех г = 0,., г — 1..

3) Если l< р < р, еп — о ^(c)~1(г, го, д, р)Яп^, последовательность сеток Дп нормальная и удовлетворяет условию (0.5), то для всех i = 0,., го выполняется (0.7). Причем, если последовательность Ап квазиравномерная и еп — о I Нп 4 р + ], то (0.7) выполняется для всех г = 0,., г — 1..

4) Если 1 < р < р < оо, 1<р<<7, ?>0 — произвольное фиксированное число, последовательность сеток Ап квазиравномерная, то для всех г = 0,., г — 1 справедливо соотношение (0.7)..

3-я глава посвящена некоторым экстремальным задачам теории приближения, связанным с асимптотиками поперечников и задачей оптимального восстановления функции и ее г-ой производной и их связи с интерполяционными Ссплайнамй. Основные результаты этой главы содержатся в теореме 3.1..

§ 3.1 этой главы посвящен вычислению асимптотик колмогоровских и линейных поперечников классов функций, задаваемых ограничением на область значений Л ДО..

Пусть W — некоторое подмножество в пространстве Lq. А. Н. Колмогоров поставил задачу вычисления величины dn{W)q = inf sup inf ||ж — y\q,.

XnCLq X? W yexn где inf берется по всем подпространствам Xn размерности < п. Величину dn (W)q называют пмерным поперечником по Колмогорову класса W. Если минимизировать линейное приближение ?(W, An) множества W с помощью линейных операторов Ап, dim An (W) < п, то приходим к задаче вычисления линейного поперечника, введенного В. М. Тихомировым,.

K{W)q == inf sup — АпхII..

An xeW.

Определенные выше поперечники характеризуют соответственно наилучшие аппроксимативные свойства подпространств заданной размерности и наилучшие аппроксимативные свойства линейных методов приближения..

Пусть R+ - множество действительных чисел > 0. Da, а? R+ -оператор дробного дифференцирования порядка а, в смысле Римана-Лиувилля для непериодических функций и в смысле Вейля для периодических функций..

Wp = {x (t): \Dax\p < 1}, aeR+, 1 < p < oo, оператор Da понимается в смысле Римана-Лиувилля..

Щ = {Ф) ¦ \Dax\р < 1}, a G R+, 1 < р < оо, функции x (t) 1-периодические..

Задаче вычисления поперечников dn и п для классов W? или посвящено большое число работ. В работах [13], [20] окончательно решен вопрос о порядках величин dn и Ап. Именно, установлено [15], что при ар > 1 dn (Wp)q~n-1, I ~ l (a, p, q), (0.8) где I = а при р > q или 2 < р < q < оо- / = а + | — ^ при 1<�Р<2<�д<�оо- / = а + i — i при l.

<2..

В [20] доказано, что при ар > 1.

Л «(^xn^fcita,?,}), (0.9) где I = а при 1 < q < р < ооI = a + ^ — ^ при 1 < р < q < 2 или 2<�р<�д<�оо, / смf | — ^ при 1 < р < 2 < q < оо, |-f J > 1- I = a + ~ при 1 < р < 2 < q < оо, if J < 1..

Аналогичные соотношения справедливы и для классов W®..

В работах [21], [38], [40] вычислены асимптотики поперечников при некоторых ограничениях на коэффициенты ЛДО. В работе [38], в предположении, что коэффициенты оператора Со имеют определенную «гладкость» показано, что dniwf% ~ dn (w-)q, для 1 < р, q < оо, г = 1,2,.- и, следовательно, вычислены асимптотики колмогоровских поперечников классов Wp° в метрике Lq в тех случаях, когда известна асимптотика поперечников классов Wг в Lq..

В данном параграфе будем считать, что коэффициенты aj (t), 0 < j < г — 1 оператора Со суммируемы, т. е. a, j G L. В периодическом случае считаем, что коэффициенты aj (t) — 1-периодические функции и в этом случае оператор Cq будем обозначать через Со.

Если смотреть на соотношение Cqx — у как на уравнение, то естественно предполагать некоторую «гладкость» правой части, т. е. считать, что функция y (t) G Wp (или Wp в периодическом случае)..

Определим классы {x (t): CQx e aeR+, 1 < p < oo. Qx- € Й&trade-}, а e 1 < p < oo и функции l-периодические. DjW?°>a = {Djx: ж? j, j = 0,1,., r -1, D°Wp0,a =.

D)WCo, a = j^. j = 0,1,., Г — 1, фуНКЦИИ X (t) 1периодические D0!^0'" =.

В следующей теореме тгп есть dn или An, а I = 1{г — i + ot, p, q) определяется из (0.8) для dn и из (0.9) для Лп (для класса Wp~i+a)..

Теорема 3.1. Пусть, а е R+, г — 1, 2,.- г = 0,1,., г — 1- 1 < PiQ < Справедливы следующие соотношения:.

0 < lim n4n (ZWp?°'a)9 = lim п’тгп (И^+а-% < oo-.

0 < Hm nlnn (DlW^'a)q = Ит ni7r"(Wrpr+e-<)? < oo..

Аналогичный результат справедлив и в периодическом случае для классов DlWp°>a, только при N (?q) ф {0} следует учесть условия разрешимости периодической краевой задачи Соx (t) = y (t)..

Следствие 3.3. Пусть г = 1,2,.- i = 0,1,., г — 1. Тогда lim пг+а-*тгпт]??0>а)а = n-toо V г.

Vr+a-i\q, a = 0,1,2,.- /- = oo, 1 < q < oo, = < ll^+a-illp", a = 0,1,2,.:.— 'g = I, 1 < oo, (0.10) (1/тг)г+а-4 aeR+, p = q = 2. Здесь (fr+a-i — стандартная фаваровская функция порядка г + а — i..

Приведем один точный результат о приближении функций и их производных периодическими полиномиальными интерполяционными сплайнами..

Теорема 3.2. Пусть г = 1,2,.- v = 2 г — 1- < г < 2п — 1 для х € Wf, г < /3 < 2 г, (3 е R+. Тогда sup ||DQz — DVs^lb = (2тгп)-(/?-о), 0 < а < г, а G R+..

Теорема 3.2 для целых, а и (3 = г другим способом впервые получена в [24]. Из теоремы 3.2 получаем, что максимальная погрешность приближения производных равна величине соответствующего поперечника, т. е. восстанавливаем оптимальным образом не только саму функцию, но и все ее производные до г-го порядка включительно, располагая лишь информацией о функции в точках t{..

В § 3.2 рассмотрены случаи, когда интерполяционные £-сплайны осуществляют восстановление значений оператора D^ с погрешностью, равной величине (по порядку, асимптотически) соответствующего поперечника..

Пусть X и Z — некоторые ЛНП, W — некоторое непустое множество в X и В — линейный оператор, В: X —> Z, W С Т>(В). Пусть информация о элементе х 6 W задается вектором где Fn = (/i,., fn) — набор заданных на W функционалов (не обязательно линейных). Будем также считать, что задана некоторая система Zn= (zi,. ., zn) линейно независимых элементов из Z..

Под задачей восстановления значений оператора В на элементе х? W по информации /(ж, Fn) об элементе х и заданной системе Zn понимают элемент x€Wf.

I{x, Fn) = (f1{x),.Jn (x)) п.

Погрешность восстановления элемента Вх, х € W в метрике пространства Z методом (Fn, Zn) определяется величиной en (B, x, Fn, Zn) z = ||Вх — z (B, x, Fn, Zn)\z..

Погрешность восстановления значений линейного оператора В на классе W определяется величиной en (B, W, Fn, Zn) z = sup en (J5, x, Fn, Zn) z. xeW.

Под задачей оптимального восстановления значений линейного оператора В на классе W будем понимать задачу о нахождении величины эеп (£, W) z = inf en (5, W, Fn, Zn) z..

Введем еще величину n (B, W) z= inf en{B, W, FlZn)z. где F^ - набор заданных линейных функционалов Д, 1 < к < п..

Как показано в [17] se’n (B, W) z = Xn (BW)z, а, кроме того, если BW есть сумма компакта и конечномерного подпространства, то n (B, W) z = dn (BW)z..

Таким образом, задача о поперечниках и задача об оптимальном восстановлении значений линейного оператора В на классе W оказываются тесно связанными. Причем, если В есть тождественный оператор Е, то они просто эквивалентны..

Применим изложенное, выше к случаю, когда X и Z — функциональные пространства Lp и Lq, a W есть класс функций При этом роль оператора В будет играть оператор дифференцирования D-i (0 < j < г — 1). В качестве метода кодирования берутся значения функции (и возможно ее производные) в узлах сетки А’т. Метод восстановления значений оператора В = D^ (0 < j < г — 1) с помощью интерполяционных £-сплайнов получается, если в качестве функций Zk (t) взять значения j-ой производной от фундаментальных сплайнов..

Теорема 3.3. Пусть последовательность сеток Дп — квазиравномерная и выполнены условия теоремы 2.4. Тогда.

1) Метод восстановления значений оператора Di (0 < j < г — 1) '. с помощью интерполяционных Ссплайнов на классе Wp° в метрике Lp является оптимальным по порядку при р > р или 1 < р < р <, 2 и не является оптимальным по порядку для остальных значений р и р{1<�Р, Р<�оо)..

Причем, если соответствующие ПИС есть асимптотически оптимальный метод восстановления значений оператора Dна классе Wp в метрике Lp, то соответствующие интерполяционные Ссплайны определяют асимптотически оптимальный метод восстановления значений оператора Di на классе Wp° в той же метрике Lp в случае, если р = оо, 1 < р < оо, или 1 < р < оо, р — 1, или р = р = 2..

2) Метод восстановления значений оператора Dна классе W⁰ в метрике Ьр с помощью интерполяционных Ссплайнов является оптимальным по порядку среди линейных методов восстановления при Р > Р, или 2 < р < р < оо и не является оптимальным по порядку среди линейных методов при остальных значениях pup..

Причем, если соответствующие ПИС есть асимптотически оптимальный метод восстановления значений оператора D3 на классе Wp в метрике Lp, то соответствующие интерполяционные Ссплайны определяют асимптотически оптимальный метод восстановления значений оператора DJ на классе Wp° в той же метрике Ьр в случае, если р = оо, 1 < р < оо, или 1 < р < оо, р — 1, или р = р = 2..

Аналогичное утверждение справедливо и в периодическом случае для.

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление — М.: Наука, 1979. — 432 с.2j Алберг Дж., Нильеон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения М.: Мир, 1972. — 316 с..

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. — 408 с..

3. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе.- М.: Мир, 1974. 126 с..

4. Василенко В. А. Теория сплайн-функций.- Новосибирск: НГУ, 1978. 65 с..

5. Габушин В. Н. Неравенства между производными в метриках Lp при 0 < р < оо // Изв. АН СССР. 1976, — Т.40, N 4, — С. 869−892..

6. Гребенников А. И., Морозов В. А. Об оптимальном приближении операторов // ЖВМ и МФ. 1977, — Т. 17, N 1. С. 3−14..

7. Гребенников А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та. — 1983. — 208 с..

8. Женсыкбаев А. А. Приближение дифференцируемых периодических функций сплайнами по равномерному разбиению // Матем. заметки. 1973. — Т. 13, N 6, — С. 807−816..

9. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. — 352 с..

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды М.: Мир, 1965. — 615 с..

11. Зматраков H.JI., Субботин Ю. Н. Кратные интерполяционные сплайны степени 2к + 1 дефекта к '// Тр. МИАН СССР. 1983. -Т. 164. — с. 75−99..

12. Кашин Б. Со Порядки поперечников некоторых классов гладких функций // Изв. АН СССР. 1977, — Т.41, — С. 334−351..

13. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения.-М.: Наука, 1976. 320 с. ,.

14. Корнейчук Н. П. О наилучшем приближении на отрезке классов функций с ограниченной г-ой производной конечномерными подпространствами // Укр. матем, журнал.- 1979. Т.31, N 1. — С. 2331..

15. Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями. Киев: Наукова думка. — 1982, — 252 с..

16. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближений. М.: Наука, 1984. — 352 с..

17. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. — 500 с..

18. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация.- М.: Мир, 1975.496 с..

19. Майоров В. Е. О линейных поперечниках соболевских классов и цепочках экстремальных подпространств // Мат. сб.- 1980. Т. ИЗ, N 9. С. 437−463..

20. Насырова X. Асимптотика ппоперечников некоторых компактов в пространстве ½ 0,1] // Матем. заметки. 1976. — Т.20, N 3-С. 331−340..

21. Новиков С. И. О некоторых задачах интерполирования С-сплайнами // Analysis Math. 1992. — V.18 — P. 73−86..

22. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. — 248 с..

23. Субботин Ю. Н. Экстремальные задачи теории приближения функций при неполной информации //Тр. МИ АН СССР. 1980. Т.145. С. 152−168..

24. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз.- 1960. — 624 с..

25. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах // Успехи матем. наук. 1960. — T.15.-N 3. — С. 81−120..

26. Тихомиров В. М. Наилучшие методы приближения и интерполирования функций в пространстве С— 1,1] // Мат. сб. 1969. — Т.80.-С. 290−304..

27. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений.- М.: Изд-во МГУ 1976. — 304 с..

28. Шадрин А. Ю. О приближении функций интерполяционными сплайнами, заданными на неравномерных сетках // Мат. сб. 1990. Т.181- N 9. С. 1236−1255..

29. Шевалдин В. Т. £-сплайны и поперечники // Матем. заметки. -1983. Т. ЗЗ, N 5, — С. 735−744..

30. Шумейко А. А. Интерполирование функций эрмитовыми L-сплайнами //В кн. Исслед. по соврем, проблемам суммиров. и при-ближ. функций и их приложениям. ДГУ. 1979. — С. 126−131..

31. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. — 720 с..

32. Ancelone P.M., Laurent P.J. A general method for the construction of interpolating or smothing spline-functions // Numer. Math. 1968. — V.12. — P. 66−82..

33. Attia M. Generalisation de la definition et des proprietes des «spline function». Compt. Rend., 1965, — V.260. P. 3550−3553..

34. Bezhaev A.Y., Vasilenko V.A. Variational spline theory // Bulletin of the Novosibirsk computing center. Series: Numerical Analysis, special issue. Novosibirsk. 1993. N 3. 258 p..

35. Haussmann W. Zur Theorie der Spline-Systeme // Habilitations-Schrift, Ruhr-Universitat, Bochum.- 1970..

36. Haussmann W", Munch H.J. On the construction of multivariate spline systems // Proceedings of the Congress on Approximation Theory Austin, Texas.- 1973..

37. Makovoz Y. On nwidths of certain functional classes defined by linear differential operators,// Proc. Amer. Math. SOC. 1983. N 1. — P. 109 112..

38. Melkman A.A. Hermite-Birkhoff Interpolation by splines // J.Approx.Th. 1977, — V.19, N 3, — P. 259−279..

39. Micchelli C.A., Pinkus A. The exact asymptotic value for the Nwidth of smooth functions in L°° // In: Approxim.Theory. V.2, N.Y. etc.: Acad. Press. — P. 469−474..

40. Novikov S.I. Lp-Approximation by Piecewise Hermitian Lsplines // EAST J.Approx. 1995, — V. 1, N 2, — P. 143−156..

41. Schoenberg I.J. Contributions to the approximation of equidistant data by analytic functions, Parts А, В // Quart, Appl. Math. 1946. -V.4. P. 45−99, 112−141..

42. Schoenberg I.J. On trigonometric spline interpolation // J. Math. -1964. V.13- P. 795−825..

43. Schumaker L.L. Spline Functions, Basic Theory. N.-Y. 1981..

44. Сазанов А. А. Верхние грани уклонений интерполяционных сплайнов на некоторых классах функций //В кн.: Методы сплайн-функций. Вычислительные системы. — Новосибирск. — 1979.-Вып.81, — С. 31 41..

45. Сазанов А. А. Асимптотика поперечников классов функций, определяемых дифференциальным оператором //В сб.: Приближение функций полиномами и сплайнами. Свердловск. УНЦ АН СССР. -1985, — С. 127−139..

46. Сазанов А. А. Аппроксимативные свойства интерполяционных сплайнов, порожденных возмущенным оператором // Труды ИММ УрО РАН. 1996. Т.4. С 171−183..

47. Сазанов А. А. Аппроксимативные свойства интерполяционных Ссплайнов // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. конф. Саратов. 1997. С. 142..

48. Сазанов А. А. Аппроксимативные свойства интерполяционных? -сплайнов, построенных по приближенному оператору // Алгоритмический анализ некорректных задач. Тез. докл. конф. Екатеринбург. 1998. С. 222−223!.

.