Индефинитные функции Каратеодори. 
Интерполяционные свойства

В начале двадцатого века И. Шур опубликовал две работы (см. 54, 55]), где он решает несколько важных проблем интерполяции для классов аналитических функций, заданных на единичном круге. Одна из них — ставшая в последствии знаменитой проблемой Шура: по заданным комплексным числам со, ci,., сп найти функцию п оо s (z) = YlcizJ + 11, siz3i j=0 j-n+1 являющуюся аналитической в круге z < 1 и ограниченную единицей: |s (>z)| ^ 1. Такую функцию позднее назвали функцией Шура. Метод решения этой проблемы и других похожих проблем (например, проблемы Каратеодори-Теплица) основан на идее, которая впоследствии получила название алгоритма Шура. Дробно-линейное преобразование s{z) н. s (z) = 1 — S (0) zls (0)*s (z) называется преобразованием Шура, а его повторяющееся применение к функциям Шура и есть указанный алгоритм. Алгоритм Шура нашел применение в решении широкого круга задач как в фундаментальной, так и прикладной математике, к примеру, в теории операторов и вычислении сигналов [53],[46]. Он служит началом новой области математики, называемой анализом Шура.

В дальнейшем алгоритм Шура был применен к более общим классам функций, к таким как класс обобщенных функций Шура и класс обобщенных функций Неванлинны. Преобразование Шура для обобщенных функций Шура было представлено в работах К. Шамфи [35] и Д. Дуфресной [45], а также в монографии М. Г. Бертин, А. Декомпс-Гьюлокс, М. Грандет-Хьюгот, М. Пасиаукс-Делефоссэ, Д. Шрейбер [31]. Далее оно изучалось в статьях таких авторов, как Д. Алпай, Т. Я. Азизов, А. Дайксма, X. Лангер [20, 21, 22], в их совместных работах с Г. Ваняла [23, 25]. Большое внимание этому же вопросу уделено в статье Е. Депретер, П. Девилд [39], Т. Ваняла [56], Т. Константинеску [36], в его совместной публикации с А. Геондэ [37] и с М. Баконый [30], а также в совместных работах Д. Алпая и X. Дыма [13, 17], Р. Акнер, Г. Лев-Ари, Т. Кайлас [12].

Введение

алгоритма Шура для обобщенных функций Неванлинны и применению его к решению различных задач представлены в ряде работ Д. Алпая, А. Дайксмы, Г. Лангера [26, 28, 24], их общей статье с Ю. Шондиным [29] и А. Лугер [42], статье М. С. Деревягииа [40, 41].

Настоящая работа посвящена изучению обобщенных (индефинитных) функций Каратеодори и их интерполяционных свойств. Одна из основных целей работы — введение корректного понятия алгоритма Шура для обобщенной функции Каратеодори. При этом будет показано, что алгоритм Шура зависит от того, является ли вещественная часть значения функции / в некой точке открытого единичного круга z положительной, отрицательной или нулевой. Основными инструментами, примененными в исследовании, являются свойства пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами (напр. [19]), связанные с обобщенной функцией Каратеодори. С помощью найденного алгоритма решена простейшая задача интерполяции для функции Каратеодори.

Целью работы является нахождения алгоритма Шура для функции Каратеодори и решение задачи интерполяции для нееопределение преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодориисследование поведения последней в специальной области решение задачи аппроксимации.

Методика исследования. В работе использовались методы теории функций, функционального анализа, теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, а также методы и подходы теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие, наиболее важные:

1. Введен в рассмотрение алгоритм Шура для классической функции Каратеодори. С его помощью решена проблема интерполяции для функции Каратеодори. Данный результат расширяет возможности применения алгоритма Шура.

2. Посредством использования теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами введено определение преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори. Доказана теорема о количестве отрицательных квадратов у преобразования Шура обобщенной функции Каратеодори.

3. Изучено поведение обобщенной функции Каратеодори в специальной области и решена задача ее аппроксимации в этой области.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, основанных на теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и ее приложениях, проводимых в Воронежском, Московском, Югорском университетах, в институте математики им. C.JI. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, в математическом институте им. Стеклова Российской академии наук, в научно исследовательском институте математики Воронежского государственного университета.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре проф. Т. Я. Азизова в Воронежском государственном университете, на семинаре по функциональному анализу в государственном университете штата Джорджия, г. Атланта, США, на семинаре кафедры высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительном университета, под руководством проф. А.С. ЛободыВоронежских зимних математических школах — 2006, 2007; Воронежских весенних математических школах «Понтрягинские чтения — XVII», «Понтрягинские чтения — XVIII», Воронеж, 2006, 2007; международной летней школе и конференции по операторным алгебрам, теории операторов и их приложениям WOAT.

2006, Лиссабон, Португалияна международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и операторным полиномам, Берлин, 2006, Германияна международной конференции «Современный анализ и приложения» МАА 2007, Одесса, Украинана международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», Москва, 2007; на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и спектральному анализу, Берлин,.

2007, Германия.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5]-[11], [49]-[51]. Этот список также приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих десять параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 87 страниц. Библиографический список содержит 56 наименований. Текст иллюстрируют 2 рисунка.

1. Азизов Т. Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов. — М.: Наука, 1986. — 352 с.

2. Ахиезер Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. М.: Наука, 1966. — 543 с.

3. Иохвидов И. С. Спектральная теория опреаторов в пространствах с индефинитной метрикой / И. С. Иохвидов, М. Г. Крейн // Труды московского математического общества. 1956. — 5. — С. 308−496.

4. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. СПб.: Лань. — 2002. — 688 с.

5. Лопушанская Е. В. Об аппроксимации обобщенной функции Каратеодори / Е. В. Лопушанская // Труды воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна. 2006. — Воронеж: ВорГУ, 2006. -С. 62−63.

6. Лопушанская Е. В. О представлении функции Каратеодори / Е. В. Лопушанская // Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XVIIм. — Воронеж: ВорГУ, 2006. — С. 107−108.

7. Лопушанская Е. В. Алгоритм Шура для функций Каратеодори / Е. В. Лопушанская // Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ. — 2007. — С. 137−138.

8. Лопушанская Е. В. Алгоритм Шура для обобщенной функции Каратеодори / Е. В. Лопушанская // Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XVIII». — Воронеж: ВорГУ. — 2007, — С. 111.

9. Лопушанская Е. В. Об аппроксимации обобщенной функции Каратеодори / Е. В. Лопушанская // Вестник Воронежского государственного университета. Вып.1: Физика. Математика. Воронеж: ВорГУ, 2007. — С. 81−85.

10. Лопушанская Е. В. Некоторые вопросы аппроксимации обобщенной функции Каратеодори в специальной области Clv / Е. В. Лопушанская // Матем. заметки. 2007. — 81:5. — С. 792−796.

11. Ackner R. The Schur algorithm for matrix-valued meremorphic functions / R. Ackner, H. Lev-Ari, T. Kailath // Siam J. Matrix Anal. Appl.- 1994. Vol. 15(1). — P. 140−150.

12. Alpay D. On applications of reproducing kernel spaces to the Schur algorithm and rational J unitary factorization / D. Alpay, H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl. 1986. — Vol. 18. — P. 89−159.

13. Alpay D. Unitary rational matri functions / D. Alpay, I. Gohberg // Operator Theory: Adv. Appl. 1988. — Vol. 33. — P. 175−222.

14. Alpay D. Structured invariant spaces of vector valued functions, hermitian forms and a generalization of the Iohkvidov laws / D. Alpay, H. Dym // Linear Algebra Appl. 1990. — Vol. 136/138. — P. 137−181.

15. Alpay D. Interpolation problems, extensions of symmetric operators and reproducing kernel spaces II/ D. Alpay, P. Bruinsma, A. Dijksma, H. de Snoo// Integral Equations and Operator Theory. 1991. — Vol. 14. — P. 465−500.

16. Alpay D. On reproducing kernel spaces, the Schur algorithm, and interpolation in a general class of domains / D. Alpay, H. Dym // Operator theory: Adv. Appl. 1992. — Vol. 59. — P. 30−77.

17. Alpay D. On a new class of reproducing kernel spaces and a new generalization of the Iohvidov laws / D. Alpay, H. Dym // Linear Algebra Appl. 1993. — Vol. 178. — P. 109−183.

18. Alpay D. Schur functions, operator colligations, and reproducing kernel Pontryagin spaces / D. Alpay, A. Dijksma, J. Rovnyak, H. de Snoo. Operator theory: Adv. Appl. — 1997. — Vol. 96. — 225 p.

19. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions I: Coisometric realization / D. Alpay, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Operator Theory: Adv.Appl. 2001. — Vol. 129. — P. 1−36.

20. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions II: Jordan chains and transformations of characteristic functions / D. Alpay, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Monatsh. Math. 2003. Vol. 138(1). P. 1−29.

21. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions III: J-unitary matrix polynomials on the circle / D. Alpay, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2003. — Vol. 169. — P. 113−144.

22. Alpay D. A basic interpolation problem for generalized Schur functions and coisometric realizations / D. Alpay, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl. 2003. — Vol. 143. P. 39−76.

23. Alpay D. Factorization of J unitary matrix polynomials on the line and a Schur algorithm for generalized Nevanlinna functions / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. — 2004. — Vol. 387. — P. 313−342.

24. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions IV: Unitary realizations / D. Alpay, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Operator Theory: Adv.Appl. 2004. — Vol. 149. — P. 23−45.

25. Alpay D. J—unitary factorization and the Schur algorithm for Nevanlinna functions in an indefinite setting / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Liniar Algebra Applications. 2006. — Vol. 419. — P. 675−709.

26. Alpay D. Basic boundary interpolation for generalized Schur functions and factorisation of rational J-unitary matrix functions / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl. -2006. Vol. 165. — P. 1−29.

27. Alpay D. The transformation of I. Schur and related topics in an indefinite setting / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Operator Theory: Adv. Appl. 2007. — Vol. 176. — P. 1−98.

28. Alpay D. The Schur transformation for generalized Nevanlinna functions: interpolation and self-adjoint operator realizations / D. Alpay, A. Dijksma", H. Langer, Y. Shondin // Complex analysis and operator theory. 2007. — Vol. 1. P. 169−210.

29. Bakonyi M. Schur’s algorithm and several applications / M. Bakonyi, T. Constantinescu // Pitman research Notes in Mathematics series, Longman Scientific & Technical. 1991. — Vol. 261. — P. 1−6.

30. Bertin M.G. Pisot and Salem numbers / M.G. Bertin, A. Decomps-Guilloux, M. Grandet-Hugot, M. Pathiaux-Delefosse, J.P. Schreiber. -Birkhauser Verlag, Basel. 1992. — 291 p.

31. Bolotnikov V. Functions with Pick matrices having bounded number of negative eigenvalues / V. Bolotnikov, A. Kheifets, L. Rodman // Contemp. Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI. 2003. — Vol. 323. — P. 393−417.

32. Caratheodory C. Uber den Variabilitatsbereich der Koeffizientevon Potenzereihen, die gegebene Werte nicht annehmen / C. Caratheodory // Mathematische Annalen 1907. — Vol. 64. — P. 95−115.

33. Caratheodory C. Uber den Variabilitatsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen / C. Caratheodory // Rend. Circ. Matem. Palermo 1911. — Vol. 32. — P. 193−217.

34. Chamfy C. Fonctions meromorphes sur le circle unite et leurs series de Taylor / C. Chamfy // Ann. Inst. Fourier. 1958. — Vol. 8. — P. 211−251.

35. Constantinescu T. Schur analysis with a finite number of negative squares / T. Constaninescu // Operator theory: Adv. Appl. 1986. -Vol.17. — P. 87−108.

36. Constantinescu T. The Schur algorithm and coefficient characterizations for generalized Schur functions / T. Constaninescu, A. Gheondea // Proc. Amer. Math. Soc. 2000. — Vol. 128(9). — P. 2705−2713.

37. Delsarte Y. Pseudo-Caratheodory functions and hermitian Toeplitz matrices / Y. Delsarte, Y. Genin, Y. Kamp // Philips J. Res. 1986. -Vol. 41(1). — P. 1−54.

38. Depreter E. The generalized Schur algorithm / E. Depreter, P. Dewilde // Operator theory: Adv. Appl. 1988. — Vol. 29. — P. 97−115.

39. Derevyagin M.S. On the Schur algorithm for indefinite moment problem / M.S. Derevyagin // Spectral and evaluation problems: Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Math. School-Symposium, Simferopol. 2001. — Vol. 11. — P. 106−109.

40. Derevyagin M.S. On the Schur algorithm for indefinite moment problem / M.S. Derevyagin // Methods of Functional Analysis and Topology. 2003. — Vol. 9(2). — P. 133−145.

41. Dijksma A. Minimal realizations of scalar generalized Nevanlinna functions related to their basic factorization / A. Dijksma, H. Langer, A. Luger, Y. Shondin// Operator Theory: Adv. and Appl. 2004. -Vol. 154, — P. 69−90.

42. Donoghue W.F. Monotone matrix functions and analytic continuation / W.F. Donoghue. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften — 1974. — Vol. 207.

43. Dufresnoy J. Sur le probleme des coefficients par certaines fonctions dans le cercle unite / J. Dufresnoy // Ann. Acad. Sc. Fenn. Ser. A. I. 1958. — Vol. 250,9. — P. 1−7.

44. Dym H. J-contractive matrix functions, reproducing kernel Hilbert spaces and interpolation / H. Dym. Conference Board of the Mathematical Science, regional conference series in mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. — 1989. — Vol. 71.

45. Gohberg I. I. Schur methods in operator theory and signal processing / I. Gohberg // Operator Theory: Adv. Appl. 1986. — Vol. 18. — P. 1−30.

46. Iohvidov I.S. Introduction to the spectral theory of operators in spaces with an indefinite metric / I.S. Iohvidov, M.G. Krein, H. Langer. -Akademie-Verlag. Berlin. — 1982. — 121 p.

47. Krein M.G. Uber einige Forsetzungsprobleme, die eng mit der Theorie hermitescher Operatoren in Raume П^ zusammenhangen, I: Einige Funktionenklassen und ihre Darstellungen / M.G. Krein, H. Langer // Math. Nachr., 1977, Vol. 77, P.187−236.

48. Nevanlinna R. Uber beschrankte Funktion, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen / R. Nevanlinna // Ann. Acad. Sc. Fenn. 1919. — Vol. 1. — P. 1−71.

49. Schur I. On power series which are bounded in the interior of the unit circle I / I. Schur // Operator theory: Adv. Appl. 1986. — 18. — P. 31−59.

50. Schur I. On power series which are bounded in the interior of the unit circle II / I. Schur // Operator theory: Adv. Appl. 1986. — Vol. 18. -P. 61−88.

51. Wanjala G. The Schur transform of a generalized Schur function and operator realizations / G. Wanjala. PhD thesis. — Groningen: University of Groningen. — 2005. — 196 p.