Гладкость решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции

Актуальность темы

Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М. Жеврея [25]. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения.

В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии или поверхности или при достижении граничных точек. Это, прежде всего, линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф. И. Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направлении, образования больших научных групп.

В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы М. А. Лаврентьева, А. В. Бицадзе [9], М. В. Келдыша, А. В. Овсянникова, И. Н. Векуа [13], С. А. Чаплыгина, В. П. Ильина, Е. И. Моисеева, В. Н. Монахова [62], [63], С. А. Терсенова [114], Т. И. Зеленяка [27], А.П. Сол-датова [105], [106], Т. Ш. Кальменова [29], И. М. Петрушко [75], М. М. Смирнова [104], В. П. Диденко, С. М. Пономарева и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследований.

B.Н. Врагова [14]-[17], Г. Д. Каратопраклиева [31], [32], А. Г. Кузьмина [44], Д. М. Расьянса, Н. А. Ларькина [55], А. И. Кожанова [41]—[43], Б. А. Бубнова,.

C.Г. Пяткова [100], И. Е. Егорова [23], А. Г. Подгаева [79] и других.

Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением времени. Простейшей моделью является уравнение вида д (х)щ + Lu = /, д (х) = sgna-, (0.1.1) где L — эллиптический оператор второго порядка. Это уравнение при х ф 0 является параболическим, однако, для него задача Коши с данными при t = 0 не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С. А. Терсенова [115], A.M. Нахушева [68], И. Е. Егорова [21], А. А. Керефова [36], Н. В. Кислова [37]—[40], С. Г. Пяткова [98], В. В. Катышева [35], Х. Х. Ахмедова [2], М.С. Боу-енди [4], П. Грисварда, К. Д. Пагани [73]—[74], Г. Таленти, О. Арены [1] и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа решение существует и единственно, но более гладкие решения существуют только при условии выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С. А. Терсенов [114] изучал эти задачи с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, разрешимость их сводил к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде. При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны быть непрерывными, включая первую производную. В представляемой диссертационной работе рассматриваются общие условия склеивания (включая условия с разными производными), более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.

В уравнениях с неявным изменением эволюции (нелинейный случай) возможности еще более разнообразны, сама постановка задачи зависит от входных данных. Так, в модельном уравнении типа Хопфа ищ — ихх = 0 смена направления параболичности происходит там, где решение u{x, t) меняет знак. О. Б. Бочаров [11] показал разрешимость задачи Дирихле для этого уравнения, когда начальные данные разных знаков задаются при t = 0, t — Т. Проблеме существования развитого пограничного слоя с возвратным течением в рамках модели Прандтля и изучению структуры этого течения за точкой отрыва для уравнения sgnищ — у/йихх = f{x, t) посвящены работы В. Н. Монахова [64], [65], Н. Н. Матвеевой [57]-[60] и С. Г. Пяткова [101].

Интерес к нелинейным уравнениям переменного типа был инициирован статьями Н. Н. Яненко, В. А. Новикова, Т. И. Зеленяка [28], где они пришли к выводу, что эти уравнения должны быть основой построения строгой модели автоколебательных и турбулентных течений. Изучению этих уравнений посвящены работы многих авторов: B.C. Белоносова [6], П. И. Плотникова [78], А. Г. Подгаева [81], С. Г. Пяткова [98], П. П. Ахмерова [3], М. М. Лаврентьева (мл.) [45]—[48], В. Н. Гребенева [19] и других. Подробная библиография и ряд результатов содержится в книге Н. А. Ларькина, В. А. Новикова, Н. Н. Яненко [55].

Дальнейшим развитием этой теории явились исследования, связанные с операторно-дифференциальными уравнениями вида.

Bu{n) + Lu = f (t), t <= [О, T], (0.1.2).

L, B — самосопряженные операторы, определнные в гильбертовом пространстве Н. Задача Коши или задача, близкая к ней, для уравнения типа Соболева часто корректна. Ситуация меняется, если спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси.

В работах Н. В. Кислова исследована обобщенная разрешимость краевых задач для уравнений (0.1.2) в случае п = 1,2. В частности, им изучались неоднородные граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений и была сформулирована и доказана проекционная теорема, являющаяся обобщением известной теоремы Лакса-Мильграма для случая билинейного функционала, неограниченного в пространстве, порождаемого соответствующим квадратичным функционалом. Н. В. Кисловым также введены понятия сильного и слабого решений неоднородной краевой задачи, позволяющие описывать пространства решений краевых задач для уравнения Av№ + Bu (t) = f (t), t 6 (0, Т), где А, В — суть симметричные операторы в гильбертовом пространстве Я, причем В — положительный оператор, а, А — знаконеопределенный операторный коэффициент, наличие которого позволяет рассматривать не только уравнения фиксированного типа, но также и уравнения смешанного типа, в частности, уравнения Жевре, уравнения Чаплыгина, уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Для того же уравнения было доказано, что сильные решения неоднородных краевых задач обладают гладкостью, достаточной для существования следов решений в соответствующих пространствах.

С.Г. Пятковым были исследованы аналогичные задачи для операторно-дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка с помощью ряда свойств собственных функций соответствующей спектральной задачи. Им были развиты результаты Н. В. Кислова об обобщенной разрешимости поставленных краевых задач и рассмотрены вопросы гладкости решений.

С.В. Попов рассматривал классы корректности краевых задач для 2п— параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции с непрерывными условиями склеивания. Им также исследовался вопрос о гладкости полученных решений.

Цель работы — исследование качественных свойств решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеивания, включая условия с разными производными.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых изучение краевых задач сводится к исследованию сингулярных интегральных уравнений. Отметим монографии Н. Ф. Гахова [18], Н.И. Мусхе-лишвили [67], а также В. Н. Монахова [62], С. А. Терсенова [115].

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: поставлены и исследованы основные краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеиванияуказаны условия однозначной разрешимости этих краевых задач, и для них найдена зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеиванияисследованы качественные свойства решений как в конечной, так и в бесконечной областях, а также соответствующие краевые задачи с нелокальными начальными данными.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах, и в частных случаях из них следуют известные результаты.

Область приложений полученных результатов — краевые задачи для параболических уравнений переменного типа. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для уравнений с меняющимся направлением эволюции.

Перейдем к изложению результатов диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характери состоит из двух параграфов.

В § 1.1 даются определения и некоторые свойства гельдеровских пространств (определения 1.1−1.3). Изложение в основном соответствует книге [67]. В § 1.2 приведены некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся двумерные параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции.

Вторая глава состоит из шести параграфов. В этой главе устанавливается разрешимость краевых задач для некоторых классов уравнений, простейшее из которых имеет вид д (х)щ — ихх = 0, (0.1.3) где д (х) = А при х > 0 и д{х) = —В при х < 0, как в бесконечных, так и в конечных областях. Это уравнение при х > 0 является прямым, а при х < 0 обратным уравнением параболического типа, т. е. параболическим уравнением второго порядка с меняющимся направлением времени.

В § 2.1 ищется решение уравнения (0.1.3) в бесконечной полосе Q = Q х (0,Т), Q = R из пространства Гельдера р — 21 + 7, 0 < 7 < 1, которое удовлетворяет следующим начальным условиям и (ж, 0) = (pi (x), х>0, и (х, Т) = <�Р2(х), X < 0, (0.1.4) и условиям склеивания и (-0, t) = и (+0, t), их (~ 0, t) = их (+0, t), (0.1.5) где I > 1 — целое число.

Основным методом здесь является метод параболических потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению некоторых интегральных уравнений. Этот метод, развитый в работах Е. Е. Леви, Е. Хольм-грена, М. Жеврея, Г. М. Мюнтца, А. Н. Тихонова, В. П. Михайлова, Б. Пини, JL Каттабрига, О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и других, является одним из эффективных средств доказательства теоремы существования решения для параболических уравнений. В этом параграфе решение поставленной задачи ищется в виде параболических потенциалов двойного слоя с неизвестными плотностями а, (3, построенных при помощи фундаментального решения, которые удовлетворяют начальным условиям (0.1.4). Согласно [50], нужно найти плотности a (t) и (3(t) из пространства Нр/2(0,Т), причем ttW (0) = р№(Т) = 0 (s — 0,., I). (0.1.6).

Удовлетворив условиям склеивания (0.1.5), для определения плотностей получим интегральное уравнение с оператором Абеля, которое при помощи формул обращения эквивалентно редуцируется к сингулярному уравнению нормального типа. Далее выписываются необходимые и достаточные условия на начальные данные (pi, ip2 для выполнения условий (0.1.6) и для принадлежности плотностей искомым пространствам. Они будут иметь вид.

Ls (.

Теорема 2.1. Пусть? Нр> Р — 2/ + 7. Тогда при выполнении 21 условий (0.1.7) существует единственное решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.5), из пространства:

1) Нр// если 0 < 7 < min{20,1 — 20};

2) Hqxf q = 2l + min{20,1 — 20}, если min{20,1 — 20} < 7 < 1;

3) если 7 = min{20,1 — 20}, где? — сколь угодно малая положительная постоянная.

Далее рассматриваются разрывные условия склеивания и (-0, t) = «(+0, t), их (-0, t) = -их (+0, t), (0.1.8) и доказывается.

Теорема 2.2. Пусть.

Замечание 2.1. В теореме 2.1 показано, что при р — р] > гладкость решения не повышается с увеличением гладкости входных данных, а в случае теоремы 2.2 — происходит увеличение гладкости, но при выполнении 21 + 1 условий на данные задачи. Таким образом, гладкость решения существенно зависит от условий склеивания при х = 0.

В § 2.2 рассмотрено уравнение (0.1.3) в ограниченной области Q = (—1,1) X (0, Т). Решение уравнения также ищется из пространства Гельдера НVX, VJ2, р = 21 + 7, 0<7< 1, при следующих начально-краевых условиях и (х, 0) = (pi (x), 0 < х < 1, и (х, Т) = (р2(х), -1 < х < 0, (0 19) u (l, t) = 0, u{-l, t) = 0, 0.

Теорема 2.3. Пусть ipi, <р2? Нр> р = 21 + у и выполнены условия согласования (-l)vf1'(-1) = 0 (s = 0,.,/). (0.1.10).

Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.7) существует единственное pell шение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.9), (0.1.5), из пространства:

1) Hp/tf2, если 0 < 7 < min{20,1 — 20}.

2) Н&trade-/2, q = 2l + min{20, 1 — 29}, если min{29,1 — 26} < 7 < 1;

3) Hqx~sM~e)l2, если 7 = min{20,1 — 29}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

В § 2.3 исследуется гладкость решения в бесконечной полосе Q для уравнения (0.1.3), когда д (х) = sgnrz-, в случае нелокальных начальных данных. Решение уравнения ищется из того же пространства Гельдера Н², р = 21 + 7, 0 < 7 < 1 при следующих нелокальных начальных данных и (х, 0) + ki (x)u (x, Т) = 0, ^ и (х, Т) + к2(х)и (х, 0) = W, х < 0, к (< 1 и условиях склеивания (0.1.5).

Основным результатом этого параграфа является.

Теорема 2.4. Пусть </?,-, к{ Е Нр, г = 1,2, р = 21-{-/у. Тогда при выполнении 21 условий вида.

LM,.

1) Hpx’f, если 0 < 7 < ].

2) Hqx>f, q = 2l +, если < 7 < 1;

3) Hl~?,(f~?^2, если 7 = где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

При условиях склеивания (0.1.8) доказана.

Теорема 2.5. Пусть щ, к{ Е Нр, г = 1,2, р = 2Z+/y. Тогда при выполнении 2/ + 1 условия вида (2.6.5) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3) из пространства Н², удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.8).

В § 2.4 явно представляются условия разрешимости для уравнения (0.1.3), где д (х) = А при х > 0 и д (х) = —В при х < 0, когда условия склеивания содержат производные первого и второго порядков.

Решение уравнения ищется из пространства Гельдера H²(Q), р = 21+j, 0 < 7 < 1 при начальных условиях (0.1.4) и условиях склеивания ux (-0,t) = ux (+0,t), uxx (-0,t) = uIX (+(M) 0 < t < T, (0.1.13) где I >2 — целое число. В отличии от предыдущих параграфов, решение этой задачи разыскивается в виде параболических потенциалов простого слоя с неизвестными плотностями а, которые удовлетворяют начальным условиям (0.1.4). Согласно [50] плотности a (i), /3(t) нужно найти из пространства #(р-1)/2(0, Т), такие, что выполняются условия (0.1.6). Таким образом, в данном параграфе доказана.

Теорема 2.6. Пусть (pi,(p2E Нр, р = 21 + у, 1 > 2. Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.7) существует единственное решение уравнения (0.1.3) из пространства Я², удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.13).

Далее рассмотрены условия склеивания вида ux (-0,t) = ux (+Q, t), uxx (-0,t) + uxx{+0,t) = 0 0 <<<Т, (0.1.14) и доказана следующая.

Теорема 2.7. Пусть G Нр, р = 21 + 7,1 > 2. Тогда при выполнении 21—1 условий вида (0.1.7) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.14), из пространства:

1) Hpxpt/2, если 0 < 7 < min{20,1 — 20};

2) Hqxi q = 2l-l + min{20,1−20}, если min{20, 1 — 20} < 7 < 1;

3) если 7 = min{20,1 — 20}, где e — сколь угодно малая положительная постоянная.

Затем устанавливается регулярная разрешимость для уравнения вида (0.1.3) с теми же начальными данными (0.1.4) и условиями склеивания (0.1.13) или (0.1.14). Решения поставленных задач ищутся из пространства Гельдера Hpf{2, р = 2 + 7″ и доказаны две теоремы для обоих случаев условий склеивания соответственно.

Теорема 2.8. Пусть .

Замечание 2.2. При выполнении одного условия решение, найденное в теореме 2.8, будет принадлежать пространству HxqJ2, q = 2+min{20,1 — 20}, где 0 = ^ arctg ^/f.

Теорема 2.9. Пусть (pi,.

1) Нр’р/ если 0 < 7 < min{20,1 — 20};

2) Я&trade-/2, q = 1 + min{20,1 — 20}, если min{20,1 — 20} < 7 < 1;

3) если 7 = min{20,1 — 20}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

В § 2.5 рассмотрены краевые задачи для уравнения (0.1.3), где д{х) — А при х > 0 и д{х) = —В при х < 0. Результатом этого параграфа является явное представление условий разрешимости для указанного уравнения, когда условия склеивания (сопряжения) содержат разные производные до второго порядка. Показано, что гельдеровские классы решений параболических уравнений переменного типа существенно зависят от нецелого показателя Гель-дера, а также формы условий склеивания.

В пространстве Гельдера HPJ) J2{Q]) ищется решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее начальным условиям (0.1.4) и условиям склеивания и (-0, t) = %(+0, t), их (-0, t) = ихх (+0, t) 0 2 — целое число.

В силу метода исследования решение уравнения разыскивается в виде параболических потенциалов двойного и простого слоев, и доказывается.

Теорема 2.10. Пусть i, </?2 G р = 2^+7,1 > 2. Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.7), существует единственное решение уравнения (0.1.3) из удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.15).

Замечание 2.3. При выполнении 21 — 2 условий вида (0.1.7) решение, найденное в теореме 2.10, будет принадлежать пространству H^f2, q = 21 —.

Замечание 2.4. Если предположим, что ipi (x) € (р2(я) Е Нр+1, то при выполнении 21 условий решение задачи (0.1.3), (0.1.4), (0.1.15) будет принадлежать пространству:

1) если 0 < 7 < min{2<9,1 — 29};

2) Hqx’qJ2, q = 1 + min{20,1 — 29}, если min{20,1 — 20} < 7 < 1;

3) Hl~?,[q~?^2, если 7 = min{2#, 1 — 29}, где e — сколь угодно малая положительная постоянная.

При условиях склеивания вида u (-0,t) = их (+0, t), ux (-0,t) + uxx{+0,t) = 0 0 < t < Т, (0.1.16) доказывается.

Теорема 2.11. Пусть (pi, <^2? Нр, р = 2/ + 7. Тогда при выполнении 2/ — 1 условий вида (0.1.7), существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3) из НГТ1)/2, удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.16).

Замечание 2.5. Если предположим, что.

В предыдущих параграфах устанавливалось разрешимость краевых задач в гельдеровских пространствах для уравнения (0.1.3) с границей раздела, имитирующей противоположные спутные потоки. В § 2.6 рассматривается общий случай границы раздела двух сред, в который, в частности, включаются также и ортогональные потоки, и косое соударение и т. д. Как и в параграфах 2.1−2.3, решение поставленной задачи разыскивается в виде параболических потенциалов двойного слоя с неизвестными плотностями а, /3.

В бесконечной области Q = О, X (0,Т), Г2 = Ж рассматривается уравнение (0.1.3), где д (х) = sgnx, с начальными условиями (0.1.4) и условиями склеивания и (-0, t) = и (+0, t), z — их{-О, t) = их (+0, t), (0.1.17) где z — т • ехр (г<�р) — комплексное число.

Основной результат этого параграфа формулируется в виде:

Теорема 2.12. Пусть cpi,< 1 при <р? (-f-f), |rsin^| > 1при<^ G (-§- 0) U (|- 7г). Тогда при выполнении 21 условий (0.1.7) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.17), из пространства:

1) Нр/' если 0 < 7 < min{20,1 — 29};

2) Hqx’qt/2, q = 2l + min{20,1 — 20}, если min{20,1 — 20} < 7 < 1;

3) если 7 = min{20,1 — 20}, где e — сколь угодно малая положительная постоянная.

Справедлива.

Теорема 2.13. Пусть 1,^2? Нр, р = 21 + 7 и пусть при |rsin^| < 1, Ip е (-тг—|) и (|- 7г), при |r sin^| > 1, ip G (—тг- -|) U (0-§). Тогда при выполнении 21 + 1 условий вида (0.1.7) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3) из пространства Нр’р², удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.17).

Замечание 2.6. Случаи ip = 0 и <р = 7 г были рассмотрены в § 2.1. При ip = ±|, очевидно, мы находимся в условиях теоремы, аналогичной 2.13.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и неоднократно обсуждались на семинаре «Уравнения переменного типа» профессора Попова С. В. (НИИ математики при ЯГУ), на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» профессора Кожанова А. И. (Институт математики им. C. J1. Соболева СО РАН), на XL Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2002), на Всероссийской конференции «Космои геофизические явления и их математические модели», посвященной 80-летию профессора А. И. Кузьмина (Якутск, 2002), на научной конференции «Лаврентьевские чтения РС (Я)» (Якутск, 2003, 2004, 2005), на научно — практической конференции «Фундаментальные и прикладные аспекты естественных наук в изучении, освоении и промышленном развитии северных регионов России» (Москва, 2003), на Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск, 2003, 2005), на IV Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004), на Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование развития северных территорий» (Якутск, 2005, 2006), на межвузовской научно-практической конференции «Университет XXI века: достижения, перспективы, стратегия развития», посвященной 50-летию ЯГУ им. М. К. Аммосова (Якутск, 2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах (тезисы 12 докладов и 7 статей) [129]-[147].

Работа частично поддержана конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе «Университеты России»: в 2002 — 03 г. г. (УР.04.01.048), в 2004 г. (УР.04.01.047), ведомственной научной программой «Развитие научного потенциала высшей школы»: Раздел 2." Университеты России" (№ 2047;05), раздел 3.3 (проект 8427) в 2005 г.

Работа поддержана Федеральной целевой программой «Интеграция науки и высшего образования России»: за 2002 г. — стажировка в Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, за 2004 г. — стажировка в Институт гидродинамики им М. А. Лаврентьева СО РАН, Федеральной целевой научно-технической программой за 2005 г. — стажировка в Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск).

Работа также поддержана стипендией Президента Российской Федерации для аспирантов ГОУ ВПО, подведомственных Минобразованию России (пр. № 2558, от 31.05.04).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 105 страниц. Первая глава состоит из двух параграфов, вторая — из шести параграфов. Список цитируемой литературы на 147 наименований. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер формулы в параграфе.

Основные результаты, которые выносятся на защиту: поставлены и исследованы основные краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеиванияуказаны условия однозначной разрешимости этих краевых задач, и для них найдена зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеиванияисследованы качественные свойства решений как в конечной, так и в бесконечной областях, а также соответствующие краевые задачи с нелокальными начальными данными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Диссертация посвящена теории краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. Опишем основные области применения полученных результатов. Прежде всего — это краевые задачи для уравнений смешанного типа, теория которых разрабатывается достаточно давно в связи с многочисленными приложениями в гидродинамике, газовой динамике, физике. Количество работ посвященных этой теме огромно. Мы можем сослаться, например, на известные монографии А.В. Бицад-зе [9], М. М. Смирнова [104], М. С. Салахитдинова [103] и других авторов. В частности, в класс исследованных в диссертации уравнений входят хорошо известные уравнения Трикоми, Лаврентьева-Бицадзе и некоторые другие. Другая область приложений — краевые задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени, в класс которых входят так называемые кинетические уравнения описывающих диффузионные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике.

Диссертация посвящена изучению линейных уравнений с меняющимся направлением эволюции, простейшей моделью является уравнение д (х)щ + Lu = /, д (х) = sgn z, (3.0.29) где L — эллиптический оператор 2-го порядка.

Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений, как отмечалось, была построена в работах С. А. Терсенова, A.M. Нахушева, Т. Д. Джураева, И. Е. Егорова, А. А. Керефова, В. В. Катышева,.

Х.Х. Ахметова, М. С. Боуенди, П. Грисварда, К. Д. Пагани, Г. Таленти, О. Арены [114, 115, 117, 68, 36, 35, 2, 1], [26] [21]-[24], [37]-[40j, [98]-[101], [73]-[74] и других авторов.

Центральное место в данной главе занимает исследование вопроса о разрешимости краевых задач для уравнения (3.0.29) в классах Гельдера H^'f2. Найдены необходимые и достаточные условия входных данных при различных случаях условий склеивания на линии х — 0.