Симметрии и точные решения дифференциальных уравнений пластичности

Пластическое деформирование твердых тел характеризуется непропорциональностью зависимости между внешними силами и деформацией тела, что приводит к достаточно сложным нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелинейных дифференциальных уравнений пластичности.

Исследование систем дифференциальных уравнений с частными производными методами группового анализа относится к актуальным направлениям теории уравнений математической физики.

Основоположником данного направления считается известный норвежский математик С. Ли, классические результаты которого позволили трансформировать интуитивное понятие симметрии в строгий теоретико-групповой метод решения дифференциальных уравнений.

JI.B. Овсянниковым около сорока лет тому назад было начато систематическое изучение применения групп Ли к анализу структуры множества решений дифференциальных уравнений механики и физики.

В настоящее время методы группового анализа широко применяются ко многим конкретным дифференциальным уравнениям.

В институте гидродинамики СО РАН (Новосибирск) под руководством Л. В. Овсянникова [21, 24], проводится программа ПОДМОДЕЛИ [22], в рамках которой исследуются уравнения газовой динамики. Коллективом авторов изучаются модели: относительно уравнения состояния общего вида [23], барохронные движения газа и небаро-хронные подмодели, случаи политропного и вязкого теплопроводного газов.

В Институте вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск) теоретико — групповые методы применяются в гидродинамике. Группой ученых в составе В. К. Андреева, О. В. Капцова, А. А. Родионова, Ю. В. Шанько изучаются групповые свойства уравнений однородной и неоднородной жидкости в переменных Лагранжа [2], исследуются также нестационарные трехмерные уравнения Эйлера [36].

В работах Б. Д. Аннина, С. И. Сенашова [3, 4] с использованием методов группового анализа построены классы точных решений уравнений упругости и пластичности.

Большой вклад в развитие группового анализа сделан Н. Х. Ибрагимовым [11], которым обнаружены новые применения групповых методов.

Таким образом, современный групповой анализ дифференциальных уравнений является мощным инструментом построения решений для различных уравнений математической физики.

Далее приведем систему, которая будет предметом рассмотрения в первой главе работы.

Пусть — декартова прямоугольная система координат,.

Jij, Sij (i, j = 1,2,3) — компоненты тензора напряжений и девиатора тензора напряжений. При этом, компоненты Oij удовлетворяют системе уравнений равновесия jijtj =0,(«, j = l, 2,3) (0.1−0.3) Sij рSij, 2>р = C^ij^iji где р — гидростатическое давление, Sij — символ Кронекера, запятая означает дифференцирование по соответствующей переменной, здесь и далее по повторяющимся индексам проводится суммирование.

В силу условия Мизеса, компоненты девиатора тензора напряжений связаны условием текучести sijsij = fcf, (0.4) где к — предел текучести при чистом сдвиге.

Пусть ?ij — компоненты тензора скоростей деформации, тогда.

2 Sij = + Ujj, где и = (ui, v,2,u3) — вектор скорости. Среда предполагается несжимаемой, поэтому divM = = 0. (0.5).

Для замыкания системы уравнений (0.1)-(0.5) предполагается выпол-неным закон течения, который связывает компоненты Sij и? ij.

Sij — ?iji где Л = A (xi, Х2, х3) — положительная функция.

Таким образом, имеем замкнутую систему уравнений (0.1)-(0.5), а именно 4 уравнения (три уравнения равновесия (0.1−0.3) и условие несжимаемости (0.5)) для определения неизвестных функций и1, и2,из, р. Условие текучести (0.4) служит для определения Л.

Запишем систему Е пространственных уравнений пластичности стационарной среды Мизеса (0.1)-(0.5) в развернутом виде dp dsn ds12 dsi3 дх дх дх2 дх3 ' др д S21 ds22 <9 523 дх2 дх дх2 дх3 ' dp ds31 ds3 2 ds33 дх3 дх дх2 дх3.

2 ^ f дщ duj %э dxj dxi J ' dui du2 Q dx дх2 dx3 ' s2n + sl2 + *I3 + 2 sj2 + 2sf3 + 2s|3 = 2k2. (0.10).

Исключая из уравнений (О.б)-(О.Ю) Sij, А, получим четыре нелинейных уравнения, связывающие только величины p, ui, u2, u3:

0.6).

0.7) (0.8).

0.9).

V2k V2k.

Р, г — 2Д иг, Л Аз ?^j^nmun, mj, iU-11J.

Щ, г= 0, (0.12) Л- = ^тп^-тп.

Отметим, что система уравнений (0.11)—(0.12) в общем случае не имеет действительных характеристик [25].

Исследование системы (О.б)-(О.Ю) с позиции группового анализа было начато С. И. Сенашовым [4], которым была найдена алгебра.

Ли L15, допускаемая системой. Операторы, порождающие L15, следующие: д.

М — Uд д N д.

Yiп, dxi' ощ OXi д д Т2 = д ои3 Я ' OU2 жз д OU1 д д.

OU2 Х2я ' Ощ д д д д.

— Х2 Я ох 3^Зл +U2 ОХ 2 ди3 ои2 д д д д.

— л OX 1 XI «+и3 ох3 дих Ul я ' оиз д д д д.

ОХ 2 Х2 д +U1 ОХ 1 ди2 и2я ' OU 1 дщ д ди3'.

0.13).

5 = Д др

Имеет место разложение Li5 = ^i2(c)$ 3, где R12 = {Xi) Yi, N, М, Tj, 5} — радикал, а Ф3 = {Zi, Я2, Z3} — фактор Леви, который является подалгеброй вращений.

Охарактеризуем содержание первой главы работы, в которой ищется вид инвариантных решений системы (0.6)-(0.10), соответствующих случаю ненулевого фактора Леви Ф3.

Работа проходила в следующей последовательности :

1) построение оптимальных систем подалгебр,.

2) нахождение вида инвариантных решений на этих подалгебрах,.

3) нахождение инвариантных решений.

В первом параграфе описан процесс построения оптимальных систем всех размерностей подалгебр алгебры Ли L15. Основным результатом классификации является.

Т е о р е м, а 1.1. Оптимальная система подалгебр с ненулевым фактором Леей алгебры Ли L14 = L15/S, базис которой составляют операторы (0.13), состоит из 525 классов подалгебр, перечисленных в таблицах приложения.

Во втором параграфе определен вид инвариантных решений, соответствующих подалгебрам, удовлетворяющих необходимому условию инвариантности. Найден вид решений ранга 0, 1, 2. На основе этого выписаны соответствующие фактор-системы и построены некоторые точные решения.

Во второй главе работы изучается система нестационарных пространственных уравнений пластичности среды Мизеса.

Если в уравнениях теории пластичности учитывать силы инерции, то уравнения движения имеют вид (t — время).

Ui, t + UjUij = (г, j = 1,2,3),.

Присоединяя к этим уравнениям условие пластичности Мизеса, условие несжимаемости, закон пластического течения, получим полную систему уравнений теории течения Мизеса t ~Ь — P^iji^P ~ Gij&ij ¦> Sij^ij ~ ,.

Sij = ?ij, 2? ij = Uij + Ujti, divu = Ui, i = 0.

Исключая из этой системы величины, Oij, Sij, получаем систему четырех нелинейных уравнений, связывающие величины р) и±-,^2, Щ у/2к л/2к ui, t + ujui, j +Р, г — 2A ~^~eijenmun, mj 1.

Щ, г= 0, (0.14) ?mn^-mrii.

Известно [4], что система (0.14) допускает бесконечную алгебру Ли, порождаемую операторами д д д д д.

Xq = = t— + xi—-Ь —hs3.

Ot Ot OX I OX 2 ox д д Zl = —^з ~—V u2.

OX 3 OX 2 д д Z2 = x3—-xi—-h u3.

OX 1 0X3 д д Zz — X——Ж2—-h U1.

OX 2 ox 1 = 3 д д ди3 ои 2 д д дщ Ul Я ' ои3 д д du2 и2 я ' OU1 i д dp, г = 1,2,3.

0.15).

Здесь b%(t), i= 1,2,3,4 — произвольные функции.

Алгебра Ли L представима в виде полупрямой суммы подалгебры L5 = {Хо, N, Zi, Z2, Z3} и бесконечномерного идеала L = Lr)@L00.

В первом параграфе была проведена классификация одномерных подалгебр. Найден вид соответствующих инвариантных решений ранга 3.

Во втором параграфе второй главы изучается подмодель антиплоского пластического течения нестационарной среды Мизеса.

Если предположить, что в системе (0.14) искомые функции не зависят от координаты хз, и положить ui, u2, p = const, то мы получим следующее уравнение на искомую функцию из = w:

Wz= д ws 1 d wy ^.

9* 2 + W2 Oy 2 + W2 •.

Известно [29], что уравнение (0.16) допускает разрешимую алгебру Ли L7, порождаемую операторами.

Хг = хду — удх, Х2 = tdt + wdw, X3 = tdt + хдх + уду,.

Х4 = диХ5 = dw, X6 = дх, Х7 = ду. (0.17).

Построены оптимальные системы одномерных и двумерных подалгебр для алгебры Ли L7 с базисом (0.17).

Найден вид всех инвариантных решений, выписаны соответствующие фактор-системы и построены некоторые точные решения уравнения (0.16).

Целью третьей главы является построение точного решения задачи Коши для уравнений плоской пластичности с условием текучести Кулона. Система выглядит так [10]:

1 + cos 2а cos 2ф) ах + cos 2а sin 2фау = 2(crcos2a + fc sin 2а-) (sin 200а- — соз2ффу),.

0.18) cos 2аБт2фах + (1 — cos 2а cos 2ф) ау = — 2 (a cos 2а + к sin 2а) (cos 2ффх + sin 2ффу), где, а — гидростатическое давление, ф — угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью ох, х, у — декартовы координаты, а — постоянный угол, характеризующий внутреннее трение, к — постоянный коэффициент сцепления, индексы внизу означают дифференцирование по соответствующей переменной.

В первом параграфе проводится общее исследование системы (0.18). Найдены точечные и высшие симметрии, описаны законы сохранения и построены инвариантные решения системы (0.18).

Дальнейшая часть третьей главы посвящена решению задачи Коши для системы (0.18).

Теория интегрирования системы уравнений плоской теории пластичности с различными условиями текучести основана на перемене ролей зависимых и независимых переменных [33]. Эта теория использовалась при исследовании краевых задач «плоской деформации» (а = 7г/4) несколькими авторами еще в 1923 году [8]. При этом, переход от решения х = х (а, ф), у = у (сг, ф) к преобразованному решению сг = а (х, у), ф = ф{х, у) становится невозможным в таких точках или вдоль таких линий, где якобианы D = д (х, у)/д (а, ф), D~1 равны нулю. Эти особенности делают невозможным переход из плоскости напряжений в физическую плоскость и обратно.

Все существующие методы построения аналитических решений краевых задач плоской пластичности исследуют линеаризованную задачу, отделяя тем самым решения в особых областях (подробнее см. [7, 33]). На этой основе получены многие результаты и доказаны теоремы о свойствах уравнений и их решений [12].

Но линеаризация уравнений не дает возможности решать краевые задачи пластичности, так как при этом возникают две проблемы. Первая заключается в трудности, а часто и в невозможности постановки соответствующих краевых задач для линеаризованных уравнений. Вторая проблема состоит в том, что якобиан преобразования может обращаться в ноль, и приходится заранее предполагать, что это не так, таким образом еще до решения задачи вступая в противоречие.

Построение решений полуобратными методами (к ним относится и метод группового анализа) не позволяют решать конкретные краевые задачи. Эти методы дают точные решения, к которым затем подбираются граничные условия.

Другими словами, до настоящего времени не существовало способа построения решений краевых задач плоской теории пластичности в аналитическом виде.

В [26] был предложен метод решения задачи Коши для уравнений плоской пластичности, основанный на построении законов сохранения. Его суть заключается в линеаризации уравнений, которые служат для определения законов сохранения, при этом все используемые преобразования являются невырожденными. В [38] этот метод применен к плоской задачи теории пластичности с условием текучести Мизеса, которое является частным случаем условия текучести Кулона.

Второй параграф третьей главы посвящен изложению метода для гиперболической системы квазилинейных уравнений двух независимых переменных общего вида. Решение задачи Коши сведено к краевой задаче для линейной системы, описывающей законы сохранения. Доказаны существование и единственность решения этой краевой задачи.

В качестве примера применения метода построено точное решение задачи Коши для уравнений, описывающих, в частности, плоскопараллельное околозвуковое установившееся течение газа.

В третьем параграфе описаны законы сохранения, с помощью которых найдено аналитическое решение задачи Коши для системы уравнений плоской пластичности с условием текучести Кулона.

Основные результаты диссертации.

1) Построены оптимальные системы подалгебр с ненулевым фактором Леви для алгебры Ли, допускаемой стационарными пространственными дифференциальными уравнениями пластичности среды Мизеса, найден вид инвариантных решений.

2) Для бесконечномерной алгебры Ли, допускаемой нестационарными пространственными уравнениями пластичности среды Мизеса, классифицированы одномерные подалгебры. Изучена подмодель антиплоского пластического течения: построены оптимальные системы подалгебр и найден вид инвариантных решений.

3) Найдены точечные и высшие симметрии, описаны законы сохранения, построены инвариантные решения системы уравнений.

12 плоской пластичности с условием текучести Кулона.

4) Построено аналитическое решение задачи Коши для системы уравнений плоской пластичности с условием текучести Кулона и аналитическое решение задачи Коши для уравнений, описывающих, в частности, плоскопараллельное околозвуковое установившееся течение газа.

Результаты диссертации опубликованы в работах [13−19,39]. Автор выражает благодарность научному руководителю Сергею Ивановичу Сенашову за советы и внимание к работе.

Работа поддерживалась Российским фондом фундаментальных исследований (проект 96−01−1 839) и Красноярским краевым фондом науки.

1. Адам ар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 352 с.

2. КИРЯКОВ П.П., ЯХНО А. Н. Использование законов сохранения для решения задачи Коши. -Сб. Труды семинара «Математическое моделирование в механике», под редакцией проф. В. К. Андреева. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2000. Деп. в ВИНИТИ (в печати.

3. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ 1994. Т. 58, № 4. С. 30−55.

4. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 688 с.

5. СЕНАШОВ С. И. Основы группового анализа для механиков. -Красноярск: КрасГУ, 1993. 152 с.

6. СЕНАШОВ С. И. Законы сохранения и точное решение задачи Коши для уравнений идеальной пластичности // Докл. РАН 1995. Т. 345. С. 619−620.

7. СЕНАШОВ С.И., ЯХНО А. Н. Основные краевые задачи пластичности и законы сохранения // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. // СО РАН Ин-т гидродинамики. 1998. Вып. 113. С. 146−149.

8. Сенашов С. И. Антиплоское пластическое течение // ПМТФ 1988, № 3. с.159−161.30. соколовский В. В. Теория пластичности. м.: Высшая школа, 1969. 608 с. 31. соколовский В. В. Статика сыпучей среды. М.: Физматгиз, 1960. 244 с.

9. ТОМАС Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с. 33. фрейденталь А., гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 432 с.

10. Хил л Р. Математическая теория пластичности: ГИТТЛ, 1956.35. христианович С. А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре //В кн.: Механика сплошной среды. М: Наука 1981, С. 409−432.

11. ШАНЬКО Ю.В., КАПЦОВ О. В. Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения ранга два для трехмерных уравнений Эйлера // Дифференциальные уравнения 1994. Т. 30. № 10. С. 1814−1819.

12. Senashov S.I., Iakhno A.N. The conservation laws and the boundary problems for the hyperbolic systems / / Abstracts of international conference «Mathematics in applications», Novosibirsk 1999. P. 125−127.