Функция
![Реферат: Функция](https://referat.bookap.info/work/8450729/cover.png)
Это функция вида. Число называется угловым коэффициентом, а число — свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости, не параллельная оси. Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно. Министерство сельскогохозяйства рф департамент… Читать ещё >
Функция (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО — ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГОУ ВПО «ПРИМОРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И БИЗНЕСА
Реферат
Тема: «Функция»
Выполнил: Ярмонтович Д.А.
Проверила:
УССУРИЙСК 2006
· 1) Введние
· 2) Линейная функция
· 3) Квадратичная функция
· 4) Степенная функция
· 5) Показательная функция (экспонента)
· 6) Логарифмическая функция
· 7) Тригонометрическая функция
· -Функция синус
· -Функция косинус
· -Функция тангенс
· -Функция котангенс
· 8) Обратная функция
· -Arcsin x
· -Arctg x
· 9) Список Литературы
К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.
Функциязависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменная х - независимая переменная или аргумент.
Переменная у — зависимая переменная
Значение функции — значение у, соответствующее заданному значению х.
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений) — все значения, которые принимает функция.
Функция является четной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)
Убывающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)
Линейная функция.
Это функция вида. Число называется угловым коэффициентом, а число - свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости, не параллельная оси .
Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению — положительному направлению оси .
График линейной функции — прямая
1. Область определения — все действительные числа.
2. Область значений — все действительные числа.
3. Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).
4. Линейная функция ни четная ни нечетная.
5. Функция возрастает если k>0,
Функция убывает если k<0.
6. Функция непрерывна.
Квадратичная функция.
Это функция вида ,
Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси. При вершина параболы оказывается в точке .
Парабола ()
В общем случае вершина лежит в точке. Если, то «рога» параболы направлены вверх, если, то вниз.
.Парабола с вершиной в точке ()
1. Область определения квадратичной функции — вся числовая прямая.
2. При b0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция — четная.
3. Рис. 4 Рис. 5
4. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
5. Функция имеет единственную критическую точку
6. x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.
a. Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.
b. Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы.
7. Область изменения функции: при a>0 — множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +); при a<0 — множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].
8. График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a); если b2-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.
a. Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) — образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).
b. График функции
9. f(x)=ax2+bx+c
10. (или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями:
а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);
б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;
в) параллельным переносом r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).
Степенная функция.
Это функция вида,. Рассматриваются такие случаи:
а). Если, то. Тогда,; если число - чётное, то и функция - чётная (то есть при всех); если число - нечётное, то и функция — нечётная (то есть при всех).
График степенной функции при
б) Если, , то. Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для: если - чётное число, то и — чётная функция; если - нечётное число, то и - нечётная функция.
График степенной функции при
Снова заметим, что при всех. Если, то при всех, кроме (выражение не имеет смысла).
в). Если - не целое число, то, по определению, при:; тогда, .
График степенной функции при
При, по определению,; тогда .
График степенной функции при
Область определения степенной функции — множество всех положительных чисел.
Область значения степенной функции — множество всех положительных чисел.
Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.
Степенная функция непрерывна во всей области определения.
Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле
(x)= .x-1.
Степенная функция x монотонно возрастает во всей области определения при <0.
0 1×0 1 x
При <0 и >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<<1 — вогнутостью вниз.
Показательная функция (экспонента).
Это функция вида (,). Для неё, ,, и при график имеет такой вид:
.График показательной функции при
При вид графика такой:
Рис. 1.20.График показательной функции при
Число называется основанием показательной функции. Область определения функции — вся числовая прямая.
Область значения функции — множество всех положительных чисел.
Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле
(ax) =axlna
При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.
Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y=1.
График показательной функции — кривая, направленная вогнутостью вверх.
Логарифмическая функция.
Это функция вида (,). Для неё, ,, и при график имеет такой вид:
График логарифмической функции при
При график получается такой:
График логарифмической функции при
Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции — промежуток (0; +).
Область значения логарифмической функции — вся числовая прчмая.
Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле
(loga x) = 1/(x ln a).
Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
При любом основании a>0, a1, имеют место равенства
loga 1 = 0, loga a =1.
При а>1 график логарифмической функции — кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 — кривая, направленная вогнутостью вверх.
тригонометрические функции
Функции sin , cos , tg , ctg называются тригонометрическими функциями угла. Кроме основных тригонометрических функций sin, cos, tg, ctg .
Функция синус
.
. Для неё; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков:
График функции
Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.
Область определения — множество всех действительных чисел.
Область значения — промежуток [-1; 1].
Функция sin х — нечетная: sin (-х)=- sin х.
Функция sin х — периодическая. Наименьший положительный период равен 2:
sin (х+2)= sin х.
Нули функции: sin х=0 при x=n, n Z.
Промежутки знакопостоянства:
sin х>0 при x (2n; +2n), n Z,
sin х<0 при x (+2n; 2+2n), n Z.
Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
(sin х) =cos x.
Функция sin х возрастает при x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,
и убывает при x ((/2)+2n; ((3)/2)+ 2n), n Z.
Функция sin х имеет минимальные значения, равные -1, при х=(-/2)+2n, n Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(/2)+2n, n Z.
Функция косинус.
. Эта функция связана с синусом формулой приведения:;; период функции равен; функция чётна. Её график таков:
График функции Область определения — множество всех действительных чисел.
Область значения — промежуток [-1; 1].
Функция cos х — четная: cos (-х)=cos х.
Функция cos х — периодическая. Наименьший положительный период равен 2:
cos (х+2)= cos х.
Нули функции: cos х=0 при x=(/2)+2n, n Z.
Промежутки знакопостоянства:
cos х>0 при x ((-/2)+2n; (/2)+2n)), n Z,
cos х<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n Z.
Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:
(cos х) =-sin x.
Функция cos х возрастает при x (-+2n; 2n), n Z,
и убывает при x (2n; + 2n), n Z.
Функция cos х имеет минимальные значения, равные -1, при х=+2n, n Z, и максимальные
Функция тангенс.
(в англоязычной литературе обозначается также). По определению,. Функция нечётна и периодична с периодом ;
то есть не может принимать значений, , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.
График функции Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме числа х=/2+n, n Z.
Область значения — множество всех действительных чисел.
Функция tg х — нечетная: tg (-х)=- tg х.
Функция tg х — периодическая. Наименьший положительный период функции равен :
tg (х+)= tg х.
Нули функции: tg х=0 при x=n, n Z.
Промежутки знакопостоянства:
tg х>0 при x (n; (/2)+n), n Z,
tg х<0 при x ((-/2)+n; n), n Z.
Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(tg х) =1/cos2 x.
Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-/2)+n; (/2)+n), n Z,
Функция котангенс.
(в англоязычной литературе также). По определению,. Если (), то. Функция нечётна и периодична с периодом ;
то есть не может принимать значения вида, , при которых обращается в 0.
График функции Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=n, n Z.
Область значения — множество всех действительных чисел.
Функция сtg х — нечетная: сtg (-х)=- сtg х.
Функция сtg х — периодическая. Наименьший положительный период функции равен :
сtg (х+)= ctg х.
Нули функции: ctg х=0 при x=(/2)+n, n Z.
Промежутки знакопостоянства:
ctg х>0 при x (n; (/2)+n), n Z,
ctg х<0 при x ((/2)+n; (n+1)), n Z.
Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(ctg х) =-(1/sin2 x).
Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (n; (n+1)), n Z.
Обратные тригонометрические функции.
Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно.
Arcsin x :
1. Область определения — [-1; 1].
2. Область значений — [-П2; п2].
3. Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)
Графики главной ветви и
Arctg x :
1. Область определений — R.
2. Область значений — интервал (-П2; П2).
3. Монотонно возрастающая функция.
4. прямые у=-П2 и у=П2 — горизонтальные асимптоты.(рис. 13)
Графики главной ветви и
Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.
А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М., 1991 г.