Компоненты схемы модулей полустабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике

Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда основное многообразие является алгебраической кривой или поверхностью. В случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга ^ 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-ых годов на проективных пространствах Pn, п ^ 3, (см., в частности, работы [4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 26, 27, 31, 32]).

Первые работы по описанию расслоений на других многообразиях Фано относятся к концу 80-ых — началу 90-ых годов прошлого века. (см. [34, 29]). Описанию некоторых общих свойств многообразий модулей расслоений ранга ^ 2 на трехмерных многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [33]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на #3-поверхностях — гиперплоских сечениях многообразий Фано, устанавливаемая операцией ограничения.

Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к Р3, началось в конце.

90-ых годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова [19],[21] и А. С. Тихомирова [30] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано индекса 2 — трехмерной кубике в Р4 и двойном пространстве Р3.

Среди недавних работ по расслоениям ранга два на других многообразиях Фано следует отметить работы [1, 8].

Первая работа по многообразиям модулей расслоений ранга 2 на трехмерной квадрике, Q, являющейся многообразием Фано индекса 3, — это работа Дж. Оттавиани и М. Шурека, в которой дается точное описание многообразия Mq (2- 0,2) модулей стабильных векторных расслоений с с = 0 и с^ = 2 на гладкой трехмерной квадрике Q. В этой работе доказывается, что многообразие Mq (2- 0,2) изоморфно открытому подмножеству Р9, дополнение к которому есть нормальная гиперквартика V4 С Р9, однозначно определяемая квадрикой Q и конструкцией плюккерова вложения грассманиана G (1,P4) в Р9. В этой работе рассматриваются также многообразия Mq (2—1,2), Mq (2—1,3) и Mq (2−0,4), относительно которых выяснено следующее:

Mq (2- —1,2) — локально тривиальное расслоение над Q4 Q3 со слоем Р2 Qi,.

Mq (2- —1,3) — неприводимое унирациональное приведенное двенадцатимерное многообразие,.

Mq (2- 0,4) — неприводимое унирациональное приведенное двадцатиодномерное многообразие.

Стабильные расслоения на квадрике Q представляют собой отQ крытое подмножество неприводимой компоненты Mq (2- 0,2) схемы модулей Гизекера — Маруямы Mq (2- 0,2,0) полустабильных пучков ранга 2 без кручения с с — сз = 0, c.

Настоящее диссертационное исследование посвящено нахождению других компонент в Mq (2−0, 2,0), общие точки которых, в силу неприводимости Mq (2- 0,2) являются стабильными когерентными пучками ранга 2 без кручения, не являющимися расслоениями..

Введем несколько обозначений, которыми, для краткости, будем пользоваться ниже..

• Mq (2- 0,2) — многообразие модулей стабильных векторных расслоений ЕнаО, сгкЕ = 2и классами Черна ci (E) = 0 и сг (Е) = 2. Q.

• Mq (2−0, 2) — замыкание многообразия модулей расслоений Mq (2- 0,2) в схеме Mq (2- 0,2,0)..

• Через 3YIq (2- 0,2,0) обозначим множество классов изоморфизма пучков ранга два без кручения на трехмерной квадрике Q с классами Черна с = 0, c.

• Пусть х? V произвольная точка некоторого векторного пространства V над полем к. Обозначим (х) подпространство кх Е.

P (V)..

Известно, что Mq (2- 0,2, 0) не пусто и содержит неприводимую Q компоненту Mq (2- 0,2), содержащую в качестве открытого плотного подмножества многообразие Mq (2- 0,2) модулей стабильных голоморфных векторных расслоений ранга два на квадрике с нулевым первым классом Черна и, минимально возможным, согласно условию Шварценбергера (см. [24, с. 194]), вторым классом Черна, равным 2..

В работе дается геометрический метод описания компонент схемы Mq (2- 0,2,0). Для этого выясняется, что схема Mq (2- 0,2,0) не содержит чисто полустабильных пучков, и любой пучок из.

Mq (2−0, 2,0), подкрученный на 1, имеет сечения, причем нулями общего сечения является кривая степени 4, возможно, с добавленными точками..

В работе также доказывается, что Mq (2- 0,2,0) содержит еще, по крайней мере, одну неприводимую 13-мерные компоненту, пеQ ресекающую компоненту Mq (2−0, 2) по дивизориальной компоненте границы <9Mq (2−0, 2) := Mq (2−0,2)G Mq (2- 0, 2)..

В работе рассмотрены все квартики без кратных компонент, а также кривые содержащие в качестве компоненты «сдвоенную», прямую..

Основной результат работы заключается в следующих двух теоремах:.

Теорема 1. Пусть Е — полустабильный пучок ранга два без кручения на трехмерной квадрике Q С Р4, с классами Черна ci (E) = 0, 02(E) = 2, и сз (Е) = 0. Тогда пучок Е стабилен, и у пучка Е (1) есть сечения, причем нулями сечения является кривая С С Q степени четыре..

Теорема 2. В Mq (2- 0,2,0) существует неприводимая компоненQ та Mq (2−0, 2)0, которая есть замыкание неприводимого тринадцатимерного многообразия МоВсе точки Мо — стабильные пучки, схема Mq (2- 0,2,0) неособа вдоль Мо, и Мо пересекает Q.

Mq (2−0, 2) по неприводимому восьмимерному многообразию, леQ жащему в Mq (2−0, 2), точное описание котрого дается формулой (5.23)..

1. Arrondo Е., Costa L. Vector Bundles on Fano 3-folds without intermediate cohomology. arXiv: math. AG/9 804 033 7 Apr 1998..

2. Артамкин Д. И. Свойства стабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике.// Ярославский педагогический вестник № 1−2. Ярославль: Изд-во ЯГПУ. 2004. С. 74 78..

3. Barth W. Some properties of stable rank-2 vector bundles on Pn, Math. Ann. 226, 125 150, 1977.

4. Barth W. Irreducibility of the Space of Mathematical Instanton Bundles with Rank 2 and c2 = 4, Math. Ann. 258, 81 106, 1981.

5. Barth W., Hulek K. Monads and moduli of vector bunbdles, manuscripta math. 25, 323 347, 1978.

6. Beilinson A. Coherent sheaves on P^ and problems of linear algebra, Funct. Anal. Appl. 12, 214 216, 1978.

7. Chiantini L., Madonna C. ACM Bundles on a general quintic threefold. arXiv: math. AG/110 102 v 1 9 Oct 2001..

8. Coanda I., On Barth’s restriction theorem, Journ. reine u. angew. Mathematik 428, 97 110, 1992.

9. Coanda I., Tikhomirov A. S., Trautmann G. Irreducibility and Smoothness of the moduli space of mathematical 5-instantons over P3.// Intern. J. Math., 14, № 1 (2003), 1 45..

10. Ein L., Sols I. Stable vector bundles on quadric hypersurfaces. // Nagoya Math. J., 1986. V. 96 P. 11 22..

11. Ellingsrud G., Str0mme S.A., Stable rank-2 vector bundles on P3 with ci = 0 and c2 = 3, Math. Ann. 255, 123 135, 1981.

12. Фултон У., Теория пересечений. М.: Мир.1989.

13. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves.// Math. Ann., 1980, V. 254, P. 121 176..

14. Hartshorne R. Stable vector bundles of rank 2 on P3, Math. Ann. 238, 229 280, 1978.

15. Hartshorne R. Hirshowitz A. Smoothing algebraic space curves. In: Algebraic geometry, Sitges (Barcelona), 1983, Lecture Notes in Math., 1124. Springer, Berlin-New York, 1985, 98 131..

16. Katsylo P.I., Ottaviani G. Regularity of the Moduli Space of In-stanton Bundles M/Pз (5), math. AG/9 911 184.

17. LePotier J. Sur l’espace de modules des fibres de Yang et Mills, in Mathematique et Physique, Seminaire de l’Ecole Normale Superieure 1979 1982, Birkhauser 1983.

18. Markushevich D. G., Tikhomirov A. S. The Abel-Jakobi map of a moduli component of vector bundles on the cubic threefold.// J. Algebraic Geometry, 2001, V. 10 P. 37 62..

19. Markushevich D. G., Tikhomirov A. S. Symplectic structure on a moduli space of sheaves on the cubic fourfold.// Izvestiya RAN, Ser. Mat. 67, № 1 (2003), 131 158..

20. Markushevich D. G., Tikhomirov A. S. A parametrization of the theta divisor of the quartic double solid.// Intern. Math. Res. Notes 51 (2003), 2747 2778..

21. Maruyama M. Moduli of stable sheaves, I.// J. Math. Kyoto Univ., 1977. V. 17, P. 91 126..

22. Maruyama M. Moduli of stable sheaves, II.// J. Math. Kyoto Univ., 1978. V. 18, P. 557 614..

23. Ottaviani G., Szurek M. On Moduli of Stable 2-Bundles with Small Chern Classes on Q3 // Annali di Matematica pura ed applicata, 1994. Vol. CLXVII (VI) P. 191 241..

24. Оконек К., Шнейдер M., Шпиндлер X. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах. М.: Мир, 1984..

25. Rao P. Mathematical instantons with maximal order jumping lines, Pacific Journ. of Mathem. 178, 331 344, 1997.

26. Skiti M. Sur une famille de fibres instantons, Math. Z. 225, 373 -294, 1997.

27. Str0mme S.A. Ample Divisors on Fine Moduli Spaces on the Projective Plane. // Mathematishe Zeitschrift, 1984. V. 187. P. 405 -423..

28. Szurek M., Wisniewski J. A. Fano bundles over P3 and Q3. // Pacific Journal of Mathematics, 1990. V.141 № 1. p.197 208..

29. Tikhomirov A. S. New component of the moduli space M (2- 0, 3) of stable vector bundles on the double space P3 of index two. // Acta Appl. Math. 75 (2003), 271 279..

30. Tyurin A.N. On the Superposition of Mathematical Instantons II, in Arithmetic and Geometry, Progress in Mathematics 36, Birkhauser 1983.

31. Tyurin A.N. The structure of the variety of pairs of commutat-ing pencils of symmetric matrices, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. Tom 46, no. 2 (1982), English translation: Math. USSR Izvestiya, Vol. 20, № 2 (1983), 391 410.

32. A.N.Tyurin. The moduli spaces of vector bundles on threefolds, surfaces and curves I. // Preprint. Erlangen. 1990..

33. Wisnewski J. A. Ruled Fano 4-folds of index 2. // Proceedings of the American Mathematical society V.105 № 1 January 1989..