Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядка

Данная диссертационная работа посвящена изучению вопросов существования и единственности почти всюду и классического решений следующей многомерной смешанной задачи в конечной области с граничными условиями типа Рикье для одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядка:

Ч)2иРС1,1,и, иа!, и"ите)С1?[п>т], Л! е5.), о,." исп, ло-Фса9 (хео.), идз^сг) (.та), (о.2) иад|го, ьи (и)|г-о, где + 1 = (ОС, ,., Ж&bdquo-,). 12- П — мерная ограниченная область о достаточно гладкой границей 5. Г=(0,Т)*3 в области аисзо-а^сзо, (0.б> < 1=1.

6 — любые действительные числа- $ «Ф > Р — заданные функции, а и (1!, ЗС)~ искомая функциякроме того, для краткости записи, в данной работе пользуемся обозначениями, а под почти всюду и классическими решениями задачи (0.1)-(0.3) понимаем следующее.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Решением почти всюду задачи (0.1)—(0.3) назовем функцию UCt,!!)^ Yit 2 (QT), удовлетворяющую уравнению (0.1) почти всюду в QT, принимающую начальные значения (0.2) и удовлетворяющую граничным условиям (0.3) в смысле следов, т. е. почти всюду соответственно в областях J2. и Г — причем QT = (0,Т) X II.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Под классическим решением задачи (0.1)-(0.3) понимаем функцию C.'^CQj^ «удовлетворяющую всем условиям (0.1)-(0.3) в обычном смысле.

В данной работе получены следующие результаты: а) для любых размерностей Ч доказана теорема существования в целом решения почти всюду задачи (0.1)-(0.3) — б) для любых размерностей Н установлены теоремы единственности в целом для почти всюду и классического решений задачи (0.1)-(0.3) — в) для случаев F= F (t, X, Ц), F = F (t,?, U, Ид,) и.

F = FCtjXjUjlLcUt, UXz) уравнения (0.1) соответственно для размерностей 1 ^ fl^ 12 «1 ^ ti ^ 9 и 1 ^ TI ^ 5 доказаны теоремы существования в целом классического решения задачи (ОД)-(О.З).

А теперь отметим некоторые работы, непосредственно связанные с темой данной диссертации. Среди работ, посвященных исследованию линейного случая (т.е. случая F = F (t, 3C)) задачи (0.1)-(0.3), следует особо отметить фундаментальную работу [i] В.А.Со-лонникова, в которой изучена общая краевая задача (удовлетворяющая условиям дополнительности) для линейных параболических (по Солонникову) систем, более общих, чем системы, параболические в смысле И.Г.Петровского[2] и Т. Сирота[3]- из результатов рабо-ты[1] (см. стр. 118, теорему 5.4 и стр. 107, теорему 4.9), в частности, следуют теоремы об однозначной разрешимости линейной.

2+ К 4+2К.

Р=РО-, ЯО) задачи (0.1)-(0.3) в классах VI ~ «СЮ где К> 0 — любое целое число) и х СЦт).

Ь > 0 — любое нецелое число), которыми в данной работе мы существенно пользовались. А также отметим докторскую диссертацию [4] академика АН Азерб. ССР М. Л. Расулова, в которой разработаны и применены вычетной метод и метод контурного интеграла к решению общих смешанных задач для широкого класса линейных дифференциальных уравнений.

Среди работ, посвященных исследованию смешанной задачи (0.1)-(0.3) для нелинейного случая уравнения (0.1), отметим работы [5]- [10].

В работе[5] Ю. И. Ковача рассмотрен одномерный простейший частный случай задачи (0.1)-(0.3), когда п-1, ш-а8^, ?-со, е), г-ради), и специальным методом последовательных приближений доказана теорема существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи.

А в работе[б] Ю. И. Ковача рассмотрена задача вида (0.1)-(0.3), когда пи, 52=со, в),^^шэдс), где 0 — постоянное и в области [0,Т] * [О ?] и принципом сжатых отображений доказано существование в малом классического решения рассматриваемой задачи.

В работах [7] и [8] автора принципом Лере-Шаудера доказано существование в целом решения почти всюду (из класса VI ^ СЦ^ общей задачи (0.1)-(0.3).

В работе [9] К. И. Худавердиева и автора отдельно исследованы следующие два частных случая задачи (ОЛ)-(О.З), когда г=га, т, и), 1″ п *И2 и г = га, 1, и, иж), 1"п" 9, и с помощью принципа Лере-Шаудера доказаны теоремы существования.

2 4 — в целом классического (из класса С^'дСЛтО) решения рассматриваемых задачкроме того, в работе [9] для общего случая уравнения (0.1) для любых размерностей XI установлены теоремы единственности в целом почти всюду и классического решений задачи (ОЛ)-(О.З).

А в работе [10] автора исследована смешанная задача (0.1)-(0.3) в общем случае уравнения (0.1), но для размерностей и принципом Лере-Шаудера доказана глобальная (т.е. справедливая при любом конечном значении Т) теорема существования и единственности классического решения задачи (0.1)-(0.3).

Следует особо отметить работу [II] С. И. Похокаева, в которой изучена задача, аналогичная задаче (0.1)-(0.3) — а именно, в работе [II] исследована задача о нахождении решения уравнения (0.1) в случае &, р= «удовлетворяющего начальным условиям (0.2) и граничным условиям иаш) а* о (о-3 > г 1 где? — внешняя нормаль к Г, и доказаны теоремы существования и единственности решения (из класса У/ ' (Ц»!)) задачи (0.1), (0.2), (0.3).

Пользуясь случаем отметим, что для написания данной диссертационной работы стимулом и толчком послужила работа [п] С. И. Похожаева. Также отметим, что задача о нахождении класса нелинейных функций Р, при которых соответствующая смешанная задача для уравнений типа (О.Й) имеет решения, была поставлена Ж.-Л.Лионсом [12] .

В связи с работой [II] отметим работу [13] П. К. Зерагии, в которой рассмотрен одномерный (НИ) случай задачи (0.1), (0.2), (0.3').

А теперь перейдем к краткому описанию содержания данной диссертации, которая состоит из введения и двух глав.

1. СОЛОННИКОВ В. А, О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. — Труды МИАН, 1965, т.83, с.3−163.

2. ПЕТРОВСКИЙ И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций. Бюлл. МГУ, секц.А., т.1, вып.7 (1938), с.1−72.

3. Shizota Т. Оп Cauchij pto? tm foe linmz padia? diffezentiot equatioris wilk wazla? Pe coeffitletie. -Овака Maih. fan., M 9, № 1 (195?), />. 43−09.

4. РАСУЛОВ М.Л. ВычетныЙ метод решения смешанных и граничных задач для линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Дие .докт. физ-мат.наук Москва, 1959.

5. КОВАЧ Ю.Й. О краевой задаче для оператора 1лго порядка параболического или гиперболического вида. Украинский математический журнал, 1969, т.21, № 5, с.579−593.

6. КОВАЧ Ю. И. Об оценке решения нелинейной системы с запаздыванием, содержащей оператор Щ го порядка параболического или гиперболического вида. — Сб. «Численный анализ», Труды семинара, вып.2, Киев, 1969, с.20−38.

7. АДЖАЛОВА H.A. О существовании в целом решения почти всюду многомерной смешанной задачи для одного класса полулинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Доклады АН Азерб. ССР, 1981, т.37, № I, с.8−12.

8. П0Х0ЖАЕВ С. И. Об одном квазилинейном параболическом уравнении. ДУ, 1971, т.7, № I, с.73−80.

9. ЛИОНС Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М: Мир, 1972.

10. ЗЕРАГИЯ П.К. О решении основной граничной задачи для одного нелинейного бикалорического уравнения. Труды Тбилисского Государственного Университета, 1976, 166, с.5−11.

11. ЕЕККЕНЕАХ Э., БЕЛЛМАН Р. Неравенства. М.: Мир, 1965.

12. ЛАДЫЖЕНСКАЯ O.A., С0Л0ННИК0 В В.А., УРАЛЬЦЕВА H.H. Линейные иквазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

13. СОБОЛЕВ С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во ЛГУ, 1950.

14. СМИРНОВ В. И. Курс высшей математики, т. У М: Наука, 1959.

15. ПОХОЖАЕВ С.И. О теореме вложения С. Л. Соболева в случае р-^ г ИЬ • М., Доклады научно-технической конференции МЭИ, секция матем., 1965, с.158−170.

16. Функциональный анализ. СМБ (под общ. редакцией С. Г. Крейна и др.) М: Наука, 1972 — 544с.

17. ИЛЬИН В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. УМН, i960, 15,2, с.97−154.

18. КАЛАНТАРОВ В.К. О смешанной задаче для полулинейных составных параболико-гиперболических систем уравнений. Дис. канд. физ-мат.наук Баку, 1974.

19. ХУДАВЕРДИЕВ К.И. К теории многомерных смешанных задач для нелинейных гиперболических уравнений. Дис.. докт. физ-мат. наук. Баку, 1973.

20. ЧАНДИРОВ Г. И. Смешанная задача для квазилинейных уравнений гиперболического типа. Дис. докт. физ-мат.наук. Тбилиси, 1970.