Различные способы создания моделей правильных многогранников

Гомельская научно-практическая конференция школьников по естественно-научным направлениям

«Поиск»

УО «Речицкая государственная гимназия № 1»

«Различные способы создания моделей правильных многогранников»

Ученицы 9 А класса

УО «Речицкая государственная гимназия № 1»

Петуховой Анастасии Николаевны

Научный руководитель

учитель математики

УО «Речицкая государственная гимназия № 1»

Савицкая Ирина Владимировна Речица, 2010 г.

Теоретическая часть

1. Определение и классификация многогранников

2. Виды правильных многогранников

2.1 Первые упоминания о правильных многогранниках

2.2 Почему их только 5

2.3 Почему правильные многогранники получили такие названия

3. «Жемчужины» теории многогранников

4. Практическая часть

4.1 Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток

4.2 Создание моделей правильных многогранников методами оригами

4.3 Создание моделей правильных многогранников с помощью модуля Шеремет Г. Г

4.4 Создание моделей правильных многогранников из квадратного листа бумаги

4.5 Создание моделей правильных многогранников с помощью модуля Miyuki Kawamura

4.6 Узловое оригами

4.7 Кусудамы и многогранники

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

На свете есть еще геометрия, которая ждет, чтобы ее познали и оценили… Так давайте же вновь перелистаем Евклида, познакомимся с некоторыми новыми результатами. Быть может, мы вновь сумеем испытать тот же восторг и трепет, как и при первых встречах с геометрией.

Самуэль Грейтцер Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести «Правильные многогранники». Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы.

Сведения о правильных многогранниках присутствуют в программах многих учебных предметов. Возникает необходимость создания моделей правильных многогранников, а для этого требуется изучение их свойств и свойств разверток, а также методов оригами. В этом, на мой взгляд, и заключается актуальность данной темы. Таким образом, передо мной была поставлена проблема: изучить различные способы создания моделей правильных многогранников.

Цель моего исследования: расширить систему собственных знаний о правильных многогранниках. В рамках достижения поставленной цели мной будут решаться следующие задачи:

1) знакомство с информацией по теме в различных источниках;

2) изучение различных теорем о свойствах правильных многогранников и их развертках;

3) поиск различных методов оригами для создания моделей правильных многогранников;

4) изготовление моделей правильных многогранников с помощью разверток и методами оригами.

Краткое описание работы В данной научно-исследовательской работе рассматриваются: классификация многогранников, более подробно — виды правильных многогранников, их свойства, теоремы о развертках выпуклых многогранников, Коши и Александрова. Изучены различные способы для создания моделей правильных многогранников: с помощью разверток и методами оригами. Результаты данных исследований были применены на практике, были созданы различные модели правильных многогранников. Полученные модели могут быть использованы на различных уроках и факультативных занятиях как наглядно-иллюстративный материал, а так же, как материал для дальнейших исследований всех заинтересовавшихся.

Краткий обзор используемой литературы и источников При изучении вопросов: определение многогранника, классификация многогранников, виды правильных многогранников, их свойства я опиралась на книги: «Геометрическая рапсодия» Левитина К. Е. и Энциклопедический словарь юного математика.

Изучить теоремы о свойствах разверток выпуклых многогранников мне помогли лекции для школьников 9−11 класса Малого мехмата, изложенные в книге: «Жемчужины теории многогранников» Н. П. Долбилина.

Сложнее, оказалось, найти пособия, в которых бы излагались методы оригами для построения моделей правильных многогранников. В материалах VII Сибирской конференции «Оригами в учебном процессе» я обнаружила универсальный модуль Шеремет Г. Г. для создания моделей тетраэдра, октаэдра и икосаэдра. На сайте http://origamisan.com я нашла схемы для создания моделей из квадратного куска бумаги, которые оказались очень просты в применении. Но больше всего различных методов и идей я почерпнула из книги «Polyhendron Origami For Beginners» Miyuki Kawamura. Книгу мне пришлось изучать на английском языке, но материал в ней изложен очень доступно и интересно.

Теоретическая часть

1. Определение и классификация многогранников

Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии.

Л.А. Люстерник Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники — простейшие фигуры на плоскости. С чисто геометрической точки зрения многогранник — это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками — гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность. На многогранную поверхность обычно накладывают такие ограничения:

1) каждое ребро должно являться общей стороной двух и только двух граней, называемых смежными;

2) каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней;

3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.

Геометрические тела Многогранники Не многогранники Фигура на рисунке 1 является многогранником. Совокупность из 18 квадратов на рисунке 2 многогранником не является, потому что не выполняются ограничения, накладываемые на многогранные поверхности.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Многогранник называется правильными, если:

— он выпуклый;

— все его грани являются равными правильными многоугольниками;

— в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

— все его двухгранные углы равны.

2. Виды правильных многогранников

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук»

Л. Кэррол

2.1 Первые упоминания о правильных многогранниках

Школе Пифагора приписывают открытие существования 5 типов правильных выпуклых многогранников. Позже в своем трактате «Тимей» другой древнегреческий ученый Платон изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами. Правильным многогранником посвящена последняя, XIII книга знаменитого труда Евклида «Начала». Существует версия, что Евклид написал первые 12 книг для того, чтобы читатель понял написанную в XIII книге теорию правильных многогранников, которую историки математики называют «венцом «Начал». Здесь установлено существование всех пяти типов правильных многогранников и доказано, что других правильных многогранников не существует.

2.2 Почему их только 5

А все-таки, почему же правильных многогранников только пять? Ведь правильных многоугольников на плоскости — бесконечное число.

а) Пусть грани правильного многогранника — правильные треугольники, каждый плоский угол при этом равен 60^о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 60^о n < 360^o, n < 6,

n = 3, 4, 5, т. е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

б) Пусть грани правильного многогранника — квадраты, каждый плоский угол составляет 90^о. Для n — гранных углов 90^о n<360^о, n < 4,

n = 3, т. е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами — куб.

в) Пусть грани — правильные пятиугольники, каждый плоский угол равен 180^о (5 — 2): 5 = 108^о, 108^о n<360^о, n< n = 3, додекаэдр.

г) У правильного шестиугольника внутренние углы:

L = 180^о (6 — 2): 6 = 120^о

В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.

2.3. Почему правильные многогранники получили такие названия

Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:

эдрон — грань, окто — восемь, значит, октаэдр — восьмигранник тетра — четыре, поэтому тетраэдр — пирамида, состоящая из четырех равносторонних треугольников, додека — двенадцать, додекаэдр состоит из двенадцати граней,

гекса — шесть, куб — гексаэдр, так как у него шесть граней,

икоси — двадцать, икосаэдр — двадцатигранник.

Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства. Они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр — воду, т.к. он самый «обтекаемый»; куб — землю, как самый «устойчивый»; октаэдр — воздух, как самый «воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», символизировал все мироздание, считался главным.

3. «Жемчужины» теории многогранников

Создание моделей многогранников из развертки граней опирается на две изумительные теоремы, которые, несомненно, являются «жемчужинами» теории многогранников. Одна из них была доказана великим французским математиком Огюстеном Луи Коши, другая принадлежит выдающемуся академику Александру Даниловичу Александрову.

Теорема Коши (доказанная в 1813 г.) говорит о том, что из данных граней, взятых в определенном порядке, можно склеить единственный (с точностью до движения) выпуклый многогранник. Каждый клеил или держал в руках картонную модель выпуклого многогранника и ощущал ее «жесткость». Это свойство многогранников может вызвать удивление, особенно если сопоставить его с тем, что среди многоугольников жестким является лишь треугольник. Шарнирный многоугольник отличный от треугольника подвижен. Чтобы задать многоугольник однозначно требуется знать не только стороны, но и углы. Многогранник же своими гранями задается однозначно, несмотря на то, что каждые две смежные по ребру грани, взятые сами по себе, легко поворачиваются вокруг общего ребра. В процессе склеивания модель будущего многогранника может долго сохранять подвижность. Но как только заклеивается последняя грань, модель становится жесткой. Единственный не школьный материал, который используется в доказательстве, — это знаменитая теорема Эйлера о многогранниках.

Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенство В-Р+Г=2.

Число ч= В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. То, что эйлерова характеристика равна 2 для правильных многогранников видно из Приложения 2.

Теорема Коши утверждает единственность выпуклого многогранника, который можно склеить из развертки граней данного многогранника. Теорема Александрова описывает необходимые и достаточные условия на развертку, при которых из нее можно склеить выпуклый многогранник.

Для того чтобы понять смысл теоремы Александрова, необходимо ближе познакомиться с тем, что такое развертка многогранника.

Пусть имеется несколько многоугольников, у которых каждая сторона отождествлена с одной и только одной стороной того же или другого многоугольника этой совокупности. Это отождествление (или склеивание) сторон должно удовлетворять еще двум условиям:

1) отождествляемые стороны имеют одинаковую длину;

2) от каждого многоугольника к любому другому можно перейти, проходя по многоугольникам, имеющим отождествленные стороны.

Совокупность многоугольников, удовлетворяющих условиям 1) и 2), называется разверткой.

Эйлерова характеристика развертки определяется аналогично эйлеровой характеристике многогранника: ч= В-Р+Г, где Г — число многоугольников, входящих в развертку, Р — число сторон многоугольников, при этом каждые две отождествляемые между собой стороны считаются за одну, В — число вершин, причем отождествляемые между собой вершины также считаются за одну.

Теорема Александрова о развертке. Из всякой развертки, удовлетворяющей условиям:

1) ее эйлерова характеристика равна 2;

2) сумма углов, подходящих к любой вершине развертки, не превосходит 360, можно склеить выпуклый многогранник.

Если вершине развертки соответствует настоящая вершина многогранника, то сумма подходящих к вершине развертки углов будет строго меньше 360. Если же вершине развертки соответствует какая-либо точка внутри грани или ребра многогранника, то сумма подходящих к вершине развертки углов будет равна 360

4. Практическая часть Можно признать идею полезной, но не уметь ею воспользоваться. И. Гете

4.1 Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки, Но хотелось бы показать и другие развертки, которые удовлетворяют всем условиям определения развертки многогранника, а также условиям теоремы Александрова, но их стороны не являются ребрами многогранника.

Например, в данной развертке, состоящей из единственного многоугольника, ни одна из сторон не является ребром куба, который получается из этой развертки.

В недалеком прошлом молоко разливали в пакеты, которые имели форму не параллелепипеда как сейчас, а тетраэдра. Такую тару было легко изготавливать. Сначала прямоугольная лента склеивается в цилиндр, горизонтальные края которого затем заклеиваются в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Развертка такого тетраэдра — прямоугольник, стороны которого разбиваются на меньшие отрезки-ребра, попарное отождествление которых показано на рисунке. Данная развертка удовлетворяет обоим условиям теоремы Александрова.

4.2 Создание моделей правильных многогранников методами оригами

Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Даже возник новый термин — «оригамика». Для педагогов оригами уникальная возможность развития тонкой моторики ребенка, что прямо связано с развитием интеллекта. Для психологов оригами — это одно из направлений арттерапии, возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства.

Остановимся более подробно на создании моделей правильных многогранников методами оригами. Существует несколько методов для создания одного и того же многогранника. Мной были изучены и опробованы при создании моделей правильных многогранников 4 метода оригами.

4.3 Создание моделей правильных многогранников с помощью модуля Шеремет Г. Г Так, например, для создания тетраэдр, октаэдра и икосаэдра можно использовать универсальный модуль Шеремета Г. Г. Этот модуль представляет собой правильный шестиугольник, который в результате перекладываний превращается либо в три равносторонних треугольника с двумя «вставками» и одним «карманом», либо в два равносторонних треугольника с двумя «карманами» и одной «вставкой». Схема сборки модуля Шеремета приводится в Приложении 3.

4.4 Создание моделей правильных многогранников из квадратного листа бумаги

Данные модели наименее трудоемкие и одни из самых простых в сборке, схема их сборки приводится в Приложении 4

4.5 Создание моделей правильных многогранников с помощью модуля Miyuki Kawamura

При использовании модулей Miyuki Kawamura модели получаются, составленными из ребер. Это удобно, если необходимо представить, как будет выглядеть диагональ многогранника или его сечение. Книга этого автора пока еще не переведена на русский язык, мне пришлось изучать ее на английском языке, но, несмотря на это материал мне был понятен и интересен.

Схема сборки данных моделей приводится в Приложении 5

4.6 Узловое оригами

При создании данных моделей модули соединяются в своеобразные «узлы».

Схема сборки данных моделей приводится в Приложении 6

4.7 Кусудамы и многогранники

Из бумаги можно построить удивительные конструкции, которые в оригами называются кусудамы, в их основе лежат правильные многогранники.

Внутри этого яркого многогранника японцы хранят сухие целебные травы. Его обычно подвешивают у постели больного. Но считается, что даже без лечебной травы этот чудо-многогранник аккумулирует космическую энергию и благотворно влияет на человека. Также кусудама передавалась из поколения в поколение как талисман и оберег семьи, как носитель положительной энергии.

Схема сборки традиционной цветочной кусудамы приводится в Приложении 7

Заключение

Личностью человек становится только тогда, когда начинает самостоятельно выполнять творческую деятельность. Постулат философии

В результате данной исследовательской работы я лишний раз убедилась в том, что математика не «сухая» наука, и ее «выход» в повседневную жизнь может быть чрезвычайно интересен, красив и даже загадочен.

Я выполнила все задачи, которые ставила перед собой в начале данной исследовательской работы:

1) расширила собственную систему знаний и сведений о правильных многогранниках

2) изучила теоремы о свойствах правильных многогранников и их развертках: теорему Эйлера, теорему Коши и теорему Александрова;

3) изучила различные методы оригами для создания моделей правильных многогранников;

4) создала коллекцию моделей правильных многогранников с помощью разверток и методами оригами.

Я думаю, что систематизированный мной материал заинтересует многих увлекающихся математикой, а полученные мной модели могут быть использованы на различных уроках физики, математики, химии, биологии и факультативных занятиях как наглядно-иллюстративный материал, а так же, как материал для дальнейших исследований всех заинтересовавшихся.

Список использованных источников

и литературы

1. «Геометрическая рапсодия», Левитин К. Е., М, «Знание», 1976.

2. Энциклопедический словарь юного математика.? М.: Педагогика, 1989.

3. Материалы VII Сибирской конференции «Оригами в учебном процессе», Омск: ОмГУ, 2004

4. «Polyhedron Origami For Beginners», Miyuki Kawamura, Tokyo, Japan, Published by Nihon CO., LTD, 2001

5. http://origamisan.com

6. http://liberte.ru

7. http://clubs.ya.ru

Приложение 1

Классификация многогранников Многогранники Выпуклые Невыпуклые Правильные Не правильные

Приложение 2

Характеристики правильных многогранников

Приложение 3

Универсальный модуль для построения моделей тетраэдра, октаэдра, икосаэдра (автор — Шеремет Г. Г.)

Построение начинаем с правильного шестиугольника (рис. 1).

рис. 1

Наметить три линии сгиба, совмещающие стороны шестиугольника через одну с соответствующей диагональю (рис. 2).

рис. 2

Наметить средние линии получившегося правильного треугольника (рис. 3).

рис. 3

Одновременно согнуть по всем указанным линиям (рис. 4).

рис. 4

5 Заправить нижнюю полоску под слой бумаги (рис. 5).

рис. 5

6. Получилась фигура, составленная из трех равносторонних треугольников. Средний треугольник — основная часть. Одна сторона этого треугольника имеет удобный карман в форме равного ему треугольника. Два оставшихся треугольника играют роль вставок (рис. 6).

7. рис. 6 Так как у треугольника нечетное число сторон, а при построениях желательно, чтобы число карманов и вставок совпадало, то второй вариант модуля получается из этого выворачиванием вовнутрь одного из треугольников-вставок (рис. 7).

рис. 7

При желании, преобразуя этот модуль дальше, можно получить треугольный модуль с тремя карманами и без вставок.

Приложение 4

Создание моделей правильных многогранников из квадратного листа бумаги

1. Додекаэдр (автор — Поль Джексон)

2. Куб (гексаэдр)

Приложение 5

Создание моделей правильных многогранников с помощью модуля Miyuki Kawamura

1. Куб

Тетраэдр

Приложение 6

Узловое оригами

1. Додекаэдр

Приложение 7

Создание традиционной цветочной кусудамы