Итерационно-маршевый метод решения задач механики жидкости и газа

Диссертация посвящена разработке эффективного, обладающего алгоритмической простотой и высокой степенью универсальности метода численного интегрирования систем уравнений Навье — Сток-са и его применению для решения имеющих прикладную значимость задач механики жидкости и газа.

Движения жидкости, газа либо плазмы, тем или иным образом связанные с проблемами современной техники (физики, биологии, метеорологии, океанологии и т. д.), могут быть проанализированы в рамках сплошной среды с учетом всех деталей лишь путем интегрирования полных систем, описывающих движения указанных сред. Наиболее общими из таких систем являются системы Навье — Сток-са либо (близкие ей по структуре) системы уравнений Рейнольдса, используемые для описания турбулентных течений.

В настоящее время существует большое разнообразие конечно-разностных методов решения этих систем применительно к конкретным классам задач. Наряду с известными достоинствами существующие методы обладают и очевидными недостатками. Весьма широкая совокупность методов, основанная на принципах какого-либо расщепления, сводится к представлению сложной исходной разностной схемы последовательностью более простых аналогов. В результате а) в схему вводится погрешность расщепления, б) каждый шаг (итерация) представляет собой совокупность нескольких разнородных этапов (то есть алгоритм вычислений остается достаточно сложным), в) появляется необходимость в искусственных граничных условиях, что может вносить произвол в вычисления (и постановка которых представляет самостоятельную проблему).

Широко используемые в последнее время методы решения задач о движениях газа, реализуемые на каждом временном шаге с использованием релаксации Гаусса-Зейде ля по линиям (для решения алгебраической системы уравнений), имеют ограничение на сходимость типа условия Куранта и теряют эффективность в тех подобластях расчетной области, где число Маха мало. Использование этих методов для расчета движений несжимаемой жидкости основано на использовании идеи искусственной сжимаемости, что существенно усложняет исходный алгоритм вычислений. Кроме того в этом случае в уравнение неразрывности вводится слагаемое, оптимальный вид которого для рассматриваемого типа задач заранее неизвестен. В частности, для решения стационарных задач вводится требующий подбора параметр исскусственной сжимаемости, а для решения нестационарных задач вводится дополнительный параметр — псевдовремя.

Таким образом, разработанные в настоящее время конечно — разностные методы решения систем уравнений Навье — Стокса приспособлены фактически для решения конкретных типов задач.

Эти обстоятельства существенно снижают мобильность исследователя. Действительно, при переходе к рассмотрению новых физических задач (связанных с новыми типами течений) исследователь вынужден не только осваивать новые численные методы, но и приспосабливать их к решению этих новых задач. Ситуация эта реализуется часто в настоящее время. Достаточно вспомнить, что существуют и разрабатываются сложные технические системы, одним из элементов которых является движение тех или иных сплошных сред. Такие системы могут одновременно содержать участки как стационарных, так и нестационарных движений, иметь режимы, при которых среда несжимаема, режимы, при которых важен учет сжимаемости, или режимы, при которых важно учитывать неоднородность либо много-компонентность среды. Как правило, движения в сложных системах трехмерные. Однако, на начальной стадии моделирования процессов целесообразно использовать двумерные и даже одномерные модели, полученные на основе упрощений физического характера. Понятно, что для количественного анализа всех «участков», всех режимов и всех моделей таких сложных систем на основе полной системы уравнений, описывающей движение сплошной среды, важно иметь один численный метод.

Отсюда ясна актуальность темы настоящей диссертации, посвященной разработке метода, свободного от указанных выше недостатков существующих методов, и решению при его использовании имеющих прикладную значимость новых внешних и внутренних, стационарных и нестационарных задач о движении жидкости и газа при наличии обширных зон возвратного течения.

Основным элементом разрабатываемого метода применительно ко всем типам задач является маршевая процедура, то есть (применительно к двумерному случаю) последовательное, начиная от ближайшего к левой границе луча, вычисление сеточных функций на всех лучах, заканчивающееся на луче, ближайшем к правому граничному лучу. Это та процедура, которая используется для решения одной из простейших задач гидрогазодинамики — задачи о двумерном стационарном пограничном слое. Но, если в упомянутом простейшем случае одним маршевым проходом заканчивается решение задачи, то в настоящей работе маршевый проход — лишь элемент итерационного процесса. Число итераций, необходимое для решения задачи в целом зависит от особенностей задачи. Этот вопрос подробно рассмотрен в диссертации. Однако, сразу становится ясно, что алгоритмическая простота такого метода налицо.

В соответствии с существом метода будем называть его итерационномаршевым, или кратко ИММ, имея в виду, что для всех типов задач маршевые процедуры осуществляются по пространственной координате.

ИММ строится не на пустом месте. В его основе известная с 70-х годов [1] идея глобальных итераций (ГИ) по давлению (смысл ее изложен в главе 1). Эта идея использовалась и развивалась (и развивается по сей день) в многочисленных работах зарубежных и отечественных авторов для решения задач на основе упрощенных систем уравнений Навье-Стокса. Это задачи, характеризуемые наличием выделенного направления движения, как правило, стационарные, двумерные [1−10]. (В работах, где решаются трехмерные задачи, для расчета сечений, ортогональных маршевому направлению, используются алгоритмы, отличные от маршевых). Краткий обзор такого рода работ приведен в «ПРИЛОЖЕНИИ» .

Важной особенностью метода ГИ было то обстоятельство, что он допускал построение такого конечно-разностного аналога системы дифференциальных уравнений, для которого вычислительная схема была маршевой, то есть наиболее простой из неявных схем, и что он был применим к задачам о движениях как сжимаемых, так и несжимаемых сред. Усилия ученых, обративших внимание на метод ГИ, были направлены на совершенствование метода с целью повышения его устойчивости и ускорения сходимости. Основной вклад в эти исследования внесли Davis R.T., Rubin S.G. (и его ученики), Тирский Г. А. (и его ученики), Vigneron Y.C., Rakich J.V., Tannehill J.С., Войнович П. А., Фурсенко A.A., Israely М., Lin А., Головачев.

Ю.П., Ковеня В. М., Марков А. А., Толстых А. И., Черный С.Г.

Рядом авторов делались попытки расчета полей течения, содержащих зоны отрыва. Авторы констатировали потерю устойчивости либо сходимости при появлении таких зон. Повидимому, в значительной степени по этой причине в литературе принято считать, что маршевые процедуры с итерациями не пригодны для расчета течений, содержащих отрывные либо рециркуляционные области (см., например гл. 17 в [11]). В настоящей работе будет показано, что это не так.

В отличие от упомянутой направленности работ, развивающих метод ГИ для решения задач на основе упрощенных уравнений, настоящая работа направлена на расширение области применимости идеи глобальных итераций по давлению. В настоящей работе развивается метод численного решения полных систем уравнений Навье-Стокса, задач стационарных и нестационарных, задач любой размерности.

Разумеется, такая «идеология универсальности» не отвергает необходимости использования и совершенствования существующих численных методов. Обычно [12−14] при решении новой задачи авторы апробируют на этой задаче различные методы и, сопоставляя точность результатов и трудоемкость их получения, выбирают наиболее эффективный метод. Такая стратегия разумна в том случае, когда предполагается проведение серийных расчетов.

Заметим, кстати, что и разрабатываемый нами «универсальный» метод решения возможно сможет претендовать и на роль «эффективного метода». Действительно, разрабатываемый метод решения полных систем уравнений применим и для решения упрощенных систем и для уравнений, записанных в приближении Эйлера (которые являются частными случаями полных систем уравнений). Это следует уже из результатов аналитических исследований (см. ниже «ЧАСТЬ I»). Вместе с тем, как видно из обзора, приведенного в «ПРИЛОЖЕНИИ», разумная модификация метода ГИ может давать весьма эффективный алгоритм решения конкретного круга задач.

В нескольких работах зарубежных авторов делались попытки расширения области применимости идеи глобальных итераций по давлению. Так, для частных задач в [15] получены решения полной системы уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, а в [16] - для сжимаемой (с упрощенным, впрочем, до алгебраического соотношения уравнением энергии). Соответствующие вычислительные схемы имели первый порядок точности и «работали» в ограниченном диапазоне чисел Рейнольдса и Маха. Судя по литературе эти работы не получили развития. Отметим еще, что в работе [17] решалась нестационарная задача газодинамики, но на основе упрощенной системы уравнений и также лишь с первым порядком точности по маршевой координате.

В работах автора с коллегами [18−21] идея глобальных итераций по давлению, как и в работах других авторов, использовалась для решения задач газодинамики и гидродинамики на основе упрощенных систем уравнений. Анализ методических результатов этих работ показал, что попытка использования этой идеи для решения задач на основе полных систем уравнений может быть успешной лишь при наличии анализа х-гиперболичности трансформированных систем уравнений в приближении Эйлера и при выборе такой системы конечно-разностных аппроксимаций всех членов уравнений Навье-Стокса, которой соответствовала бы вычислительная схема, обладающая хорошими устойчивостью маршевых процедур и сходимостью.

ГИ. Решение этих вопросов лежит в основе разработки ИММ. Соответствующему анализу посвящены гл. 2, 3, 4 работы. В гл. 1 указана идея простого преобразования системы уравнений, позволяющая организовать итерационный цикл и являющаяся по-сути идеей традиционного метода глобальных итераций. В гл. 5 описан и аналитически исследован частный случай общей схемы, который можно рассматривать как синтез приципа установления и глобальных итераций по давлению. Такая модифицированная схема оказалась эффективной для решения стационарных задач. Первые пять глав посвящены обоснованию метода и тематически объединены в «ЧАСТЬ I» .

ЧАСТЬ II" содержит гл. 7−9, где приводятся результаты решения с использованием ИММ разнообразных задач механики жидкости и газа, отмечаются особенности применения метода к задачам разного типа. В предваряющей их главе б приводятся общие для последующих глав сведения, касающиеся исходных систем уравнений и вычислительной схемы ИММ, показана важность использования второго порядка аппроксимации маршевых производных. Численные исследования проведены с целью апробации ИММ, выяснения на практике его свойств и решения новых актуальных задач. В гл. 10 указаны свойства метода, характеризующие его эффективность, анализируется скорость сходимости глобальных итераций на однородных и неоднородных сетках, указан простой способ повышения скорости сходимости. В «ЗАКЛЮЧЕНИИ» сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. В «ПРИЛОЖЕНИИ» дан краткий обзор работ, посвященных использованию и развитию метода ГИ на основе упрощенных уравнений.

Новизна результатов диссертации связана с тем, что впервые показано, что задачи механики жидкости и газа могут эффективно решаться на основе полных систем уравнений Навье — Стокса с помощью численного метода, вычислительная схема которого (без использования каких-либо видов расщепления) целиком основана на маршевых процедурах по пространственной координате (либо координатам для трехмерных задач). Здесь имеются ввиду как задачи, в которых есть выделенное направление движения потока, так и задачи, не имеющие выделенного направления движения и содержащие обширные стационарные или нестационарные отрывные и рециркуляционные области.

В отличие от существующих методов расчета предложенный в диссертации метод численного интегрирования систем уравнений Навье — Стокса позволяет без изменения (либо корректировки) вычислительной схемы решать задачи о движениях как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости, задач стационарных и нестационарных, задач любой размерности, задач внешних и внутренних и т. д.

То есть метод обладает весьма высокой степенью универсальностивычислительная схема его простаона обладает хорошей устойчивостью и сходимостью. При этом метод имеет порядок аппроксимации не ниже второго по всем независимым переменным.

Показано, что при соединении ИММ с принципом установления по времени возникает вычислительная схема, названная в диссертации модифицированной, которая в отличие от существующих схем, использующих принцип установления, позволяет осуществлять расчет на каждом временном слое с использованием двумерной (либо трехмерной) маршевой процедуры и не содержит «схемных параметров» .

Очевидно, что решение задач, связанных с созданием новой техники, является актуальным. В диссертации с применением ИММ получены решения ряда новых задач о движениях жидкости и газа, связанных со следующими современными техническими проблемами: — исследование возможности воздействия пространственно неоднородного электромагнитного поля на характер вязкого обтекания подводного объекта (задача о воздействии электромагнитного поля на отрывные течения) — - моделирование частотных характеристик вихревого генератора звука с целью создания устройства для эффективного решения проблем навигации, изучения донных отложений и других (задача о вихревой трубе и истекающей из нее струи) — -исследование новых гидрофизических эффектов, связанных с возмущением движущимся объектом окружающей его вязкой стратифицированной среды (задача об эволюции пары вихрей).

На защиту выносятся: система конечно-разностных аппроксимаций итерационно-маршевого метода численного интегрирования полных систем уравнений Навье-Стокса, обеспечивающая порядок аппроксимации не ниже второго в сочетании с алгоритмической простотой и высокой степенью универсальностисхема решения трехмерных задач, целиком основанная на маршевых процедурахне содержащая «схемных параметров,» эффективная для решения стационарных задач модифицированная вычислительная схемарезультаты анал^еского обоснования метода, включающие условия х — гиперболичности трансформированных систем уравнений в приближении Эйлера и условия устойчивости и сходимости его вычислительных схемрезультаты численного решения задачи о воздействии электромагнитного поля на пристенное отрывное течение и ближний следчисленный анализ эволюции пары круговых вихрей в вязкой стратифицированной средерезультаты численного решения задачи о движениях жидкости и газа в вихревой трубе и истекающей из нее струерезультаты численного решения задачи о продольном обтекании кругового цилиндра с плоскими передним и задним торцами (и его модификации) и о следе за ним в широком диапазоне значений числа Рейнольдса (Re = 10 — 103) и при до — и трансзвуковых значениях числа Маха (0 < Mq < 0.95). численный анализ трехмерного нестационарного движения жидкости в полости, расположенной между коаксиальными цилиндрами, под воздействием аксиально колеблющегося поршня и вращения внутреннего цилиндра.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1821, 25−28, 32−36, 38, 39, 43, 44, 58−61, 72, 77−79, 81−83], научных отчетах по НИР «ЦАРГАН'% «ЦАРГАН-2-ГКНО», «ЦУГЦВАНГ», выполняемых по договору с в/ч 31 270, и «ЦЕРЕМОНИЯ-СПНЦ», выполненной по договору с СПП РАН, и в отчете по теме 005.01.01.18, 2000 г., выполненной по программе «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (подпрограмма «Транспорт»).

Проведенные исследования поддержаны грантами РФФИ 96−100 390, 00−01−633, 00−01−10 705, 00−15−96 106 и грантом Минобразования по фундаментальным исследованиям в области естественных наук Е00−4.048.

Основные результаты диссертации доложены автором на следующих конференциях и семинарах:

14 Школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1994),.

XVII Всероссийском семинаре «Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах» (Санкт-Петербург, 1997),.

13 и 14 Международной Школе по моделям механики сплошной среды (Санкт-Петербург, 1995; Жуковский, 1997),.

IV Международной конференции ГА-98 «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (Санкт-Петербург, 1998), в Физико-техническом ин-те им. А. Ф. Иоффе на семинаре под руководством проф. Ю. П. Головачева (Санкт-Петербург, 1998), в Санкт-Петербургском политехническом университете на семинаре под руководством проф. Ю. В. Лапина (1998), в Московском госуниверситете на семинаре по вычислительной аэрогидродинамике под руководством проф. В. М. Пасконова и Г. С. Гослякова (1999),.

Юбилейной Международной конференции «Вычислительная механика и современные прикладные программные системы» (Переславль-Залесский, 1999),.

Всероссийской конференции по механике «Вторые Поляховские Чтения» (Санкт-Петербург, 2000),.

Третьей Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра — Москва, 2000),.

First International Conference on Computational Fluid Dynamics (Kyoto, Japan, 2000).

ЧАСТЬ I. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Итак, в настоящей работе на основе искусственной «гиперболизации» систем уравнений гидрогазодинамики разработан численный метод интегрирования систем уравнений Навье-Стокса, который обладает следующими характеристиками: высокая степень универсальности — он может применяться для решения полных (также, как и упрощенных) систем уравнений, описывающих течения сжимаемых и несжимаемых жидкостей, для задач любой размерности, стационарных и нестационарных, для задач в которых нет выделенного направления движенияприменимость к задачам о движениях сжимаемой и несжимаемой жидкостей на основе единой вычислительной схемыпростота вычислительной схемы — она целиком основывается на маршевых по пространственным осям процедурах (при этом не используются никакие виды расщепления), а конечно-разностный аналог системы дифференциальных уравнений основывается на простейших конечно-разностных аппроксимациях производныхвысокая эффективность, определяемая тем, что вычислительная схема обладает хорошими устойчивостью и сходимостью при аппроксимации дифференциальных уравнений, записанных (как правило) в консервативной форме, с порядком не ниже второго по всем независимым переменным.

Эти свойства метода выявлены на основе как аналитических исследованиях свойств его вычислительной схемы, так и численных исследований широкого круга задач. Показано, что он «работает» в широком диапазоне значений числа Рейнольдса — от величин меньших единицы до величин, соответствующих турбулентному режиму (Re = 103 — 105) и фактически при любых значениях числа Маха. иъ.

Получены и проанализированы решения ряда новых задач. Перечислим их с кратким изложением основных результатов.

1. Стационарная задача о воздействии пространственно-неоднородного электромагнитного поля на пристенный вязкий слой проводящей жидкости и ближний след (п. 1.2 гл. 7).

Указаны значения параметров поля, при которых его воздействие на поток оказывается существенным. Показано, в частности, что за счет изменения параметров поля можно эффективно влиять а) на размеры области отрыва, увеличивая их или уменьшая вплоть до полного исчезновения, б) на динамическое сопротивление и сопротивление трения, в) на размеры ближнего следа за телом, определяемого размером зоны рециркуляции, г) на течение в следе на значительных расстояниях от тела.

2. Нестационарная задача об эволюции пары круговых вихрей в вязкой стратифицированной жидкости (п. 2.2 и п. 2.3 гл. 7).

Влияние вязкости исследовано для диапазона чисел Re = 10-Ю5, приведена количественная информация, позволяющая оценить потерю во времени кинетической энергии пары вследствие вязкой диссипации. Показано, что при не слишком больших значениях плот-ностного числа Фруда, эволюция пары в стратифицированной среде определяется отношением числа Вяйсяля-Брента к частоте вращения вихря. Анализ расчетных данных показал, что частицы жидкости вблизи вихря совершают работу против сил плавучести, в результате чего кинетическая энергия вихревой пары падает с течением времени. Деформация поля скорости пары приводит к уменьшению скорости ее движения, как целого вплоть до останова. По приве-деным количественным данным можно оценить расстояние, которое может пройти вихревая пара в стратифицированной среде вплоть до останова.

3. Задача о течениях жидкости и газа в вихревой трубе и истекающей из нее стру©- (п. 1.4 гл. 7 и п. 2 гл. 9).

Показано, что при увеличении параметра закрутки длина приосе-вой циркуляционной зоны убывает, но максимальное значение модуля скорости обратного тока, которое реализуется на оси внутри трубы, возрастает и может превысить максимальное значение скорости прямого тока в том же сечении. Изучение решений для сжимаемой жидкости показывает, что в приосевой зоне трубы, где скорость газа мала, температура оказывается ниже того значения, с которым газ подается в трубу, что естественно рассматривать, как проявление эффекта Ранка. Следовательно эффект Ранка может изучаться теоретически посредством численного моделирования осесимметричных течений в вихревой трубе.

4. Задача о продольном обтекании кругового цилиндра с плоскими передним и задним торцами (и его модификации — передний торец с выемкой) и о следе за ним в широком диапазоне значений числа Рейнольдса (Re = 10 — 103) и при дои трансзвуковых значениях числа Маха (0 < Мо < 0.95) (п. 3 гл. 9).

Показано, что метод хорошо «работает» и для задач внешнего обтекания тел, в условиях наличия в расчетной области передних и задних отрывных и рециркуляционных зон.

5. Трехмерная нестационарная задача (и ее двумерная модель) о движении жидкости в /полости^ расположенной между коаксиальными цилиндрами, под воздействием аксиально колеблющегося поршня и вращения внутреннего цилиндра (п. 5 гл. 9).

Меридианальное сечение полости имеет достаточно сложную форму, угловые точки. Поршнем жидкость втягивается в полость и вытесняется из нее через отверстия в стенке, противоположной лицевой поверхности поршня. Дана постановка граничных условий. Анализ численных результатов, относящихся к полям проекции вектора скорости на меридиональные сечения, свидетельствует о весьма сложной конфигурации этих полей — каждое сечение содержит ряд вихрей, интенсивность и размеры которых меняются как от сечения к сечению, так и во времени. Показано, что давление слабо меняется внутри объема полости и что имеют место большие колебания давления во времени уже при малой амплитуде колебаний поршня. ж.