Изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами

Главная тенденция теории изоморфизмов классических групп состоит в переходе от разнообразных частных типов коммутативных целостных колец коэффициентов к произвольным коммутативным целостным кольцам, и далее, — к еще более общим, необязательно коммутативным, целостным, и необязательно целостным, кольцам и необязательно конечным размерностям.

Теория автоморфизмов классических групп была начата работой Шрейера и Ван дер Вардена [72], в которой были описаны автоморфизмы группы над произвольным нолем. Затем Дьедонне [39] и Риккарт [70] ввели метод инволюций, использованный в дальнейшем ими и многими другими авторами для описания изоморфизмов между большими классическими группами. Для конечных полей другие доказательства неизоморфности, основанные на сравнении порядков групп, дал Артин [31], [32]. Автоморфизмы и изоморфизмы групп Шевалле и тесно связанных с ними групп над различными полями были найдены в работах [75], [7G], [49]. Теорию изоморфизмов (даже гомоморфизмов) для широкого класса групп, включающего большие линейные группы над бесконечными полями, а также большие классические группы в изотропном случае над бесконечными полями развили Борель и Тите [34].

Первый шаг в построении теории автоморфизмов над кольцами, а именно для группы GLn над кольцом целых чисел, сделали Хуа JIo-ген и Райнер [47], а для группы Spn над этим же кольцом Райнер в [G8]. Затем были рассмотрены гауссовы целые числа и области главных идеалов. Автоморфизмы линейных групп над произвольными областями целостности при п ^ 3 описал О’Мира [61]. Автоморфизмы некоторых групп целых точек некоторых расщепляемых групп над иолями алгебраических чисел исследовал Борель [33], при этом автоморфизмы линейных групп над арифметическими областями числовых нолей получаются как частный случай. Метод вычетных пространств, изложенный в «Лекциях» О’Миры, впервые был введен им в одной из его работ об ортогональных группах в 1968 году. Вскоре он был применен в работе [G3] к линейным группам, богатым трапсвекциями, и, в частности, к линейным группам над областями целостности при, п > 3. Затем Солацци [73] описал при п ^ 3 автоморфизмы проективных линейных групп, богатых проективными трансвекциями, а Хан [44] - изоморфизмы таких групп, причем он дал единую трактовку для. линейных, симплектических и унитарных групп в размерностях n ^ 5.

Отметим работы Далла [42], [41], в которых решается проблема описания автоморфизмов двумерных групп GL2, SL2, PGL2, PSL2 над произвольной областью целостности v.

Аналогичные результаты получены в [42] для групп SL2, PGL2 и GL2- Первоначальное предположение, что в характеристике 0 кольцо v должно содержать обратимые элементы, отличные от корней 4-й степени из единицы, ослаблено в [41].

Хан в работе [44] применил метод О’Миры к проективным группам изометрий пространств с рефлексивной формой и развилв размерностях ^ 5 — единую теорию изоморфизмов их подгрупп, богатых проективными сдвигами. Идеи этой работы нашли отражение в главе 5 «Лекций» О’Миры [04]. Из результатов работы [44] отметим < теорию изоморфизмов для линейных, симплектических и унитарных конгруэнц-групп и их проективных образов над областями целостности (в унитарном случае необходимо ограничиться арифметическими областями), не зависящую от характеристики кольца, индекса Витта и ® поля произвольной характеристики (все это в размерностях ^ 5). Для ортогональных групп, не рассмотренных в работе [44], соответствующая теория была развита Ханом в [45].

Автоморфизмы ортогональных групп над полем F характеристики 2 исследовал Коннорс [37], [38]. В работе [37] он рассмотрел полную ортогональную группу, ее группу вращений, коммутант и ядро спинорной нормы. Автоморфизмы этих групп изучались ранее Дьедонне [40], Стейнбергом [75], Сю Чжепь-хао [78] и Хамфрисом [49] при различных ограничениях на поло или геометрию пространства.

Теорию изоморфизмов для конгруэнц-подгрупп классических групп ф продолжал разрабатывать Солацци. В статье [74] он доказал, в частности, что симилектические и унитарные конгруэнц-группы над областями целостности характеристики ф 2 не изомор (1)ны, если их индексы Витта.

В исключительном двумерном случае автоморфизмы конгруэнц-групп исследовал Ю. И. Мерзляков [23]. В этой работе построен также пример, показывающий, что если идеал i не квазирегулярен, то группа может иметь нестандартные автоморфизмы. Это говорит о том, что построение теории автоморфизмов двумерных групп, богатых трансвекциями, является нелегкой задачей. Помфрэ и Макдональд в работе [G7], используя теорему Капланского [51], утверждающую, что проективные модули над локальным кольцом свободны, определили автоморфизмы группы GLn (n ^ 3) над коммутативным локальным кольцом, в котором 2 обратимый элемент.

Продолжая тему, начатую работой [G7], Маккин и Макдональд [60] исследовали автоморфизмы симплектической группы Spn над локальным кольцом. Автоморфизмы этой группы над произвольным полем были найдены Хуа Ло-геном [46], затем Райнер [G8] описал автоморфизмы Spn над кольцом Z, а Янь Ши-цзянь [80] и О’Мира [G2] - над произвольной областью целостности.

Для коммутативного кольца R с элементом при п ^ 3 изоморфизм группы GLn ® был описан в [77]. В. М. Петечук [28] получил тот же результат при условии п ^ 4. Особый интерес представляет случай? R, п = 3, когда могут возникнуть нестандартные изоморфизмы. Для локальных колец они рассмотрены В. М. Петечуком в [27], для любого коммутативного кольца — Ф. Ли и 3. Ли [54].

Ю.В. Сосновский [29] распространил теорию О’Миры [G5] изоморфизмов линейных групп на случай размерностей п = 3,4. В.

— работе [30] описаны изоморфизмы богатых подгрупп симплектической группы над нолем.

Г. А. Носков [26] описал автоморфизмы группы GLn (v), где v — коммутативное кольцо с единицей и обратимым элементом 2, не порождаемое делителями нуля, причем пространство Мах (г-) его максимальных идеалов, снабженное топологией Зарисского, нётерово и имеет конечную комбинаторную размерность, а п ^ 2 + dim Мах (г-).

Глубокие результаты получены Михалевым А. В., Голубчиком И. З. и Зельмановым^Е.И. Ими исследованы изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами матриц. Голубчиком И. З. и Михалевым А. В. в [8] получено описание изоморфизмов линейных групп над ассоциативными кольцами с Аналогичный результат получен Е. И. Зельмановым в [15] при условии га ^ 2. В [12] описан изоморфизм группы GL 1 и п ^ 5. Для локального кольца этот результат получен Д. Джеймсом [50]. При п = 2к, к ^ 3 и гиперболический ранг формы q максимален, автоморфизмы унитарной группы описаны.

Е.И. Зельмановым с помощью специализаций некоторых йордановых систем..

— Систематическое изложение полученных результатов об автоморфизмах классических групп можно найти в обзорных статьях Ю. И. Мерзлякова и О. О’Миры..

Основная цель диссертации — пользуясь методом инволюций описать изоморфизмы линейных и унитарных групп над ассоциативными кольцами, содержащими плотную систему идемпотептов..

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы..

1. Автоморфизмы классических групп (сб. переводов с англ. и франц.). — М.: Мир, 197G. 264 с..

2. Атья М., Макдональд И.

Введение

в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972. 160 с..

3. Блощицин В. Я. Автоморфизмы общей линейной группы над коммутативным кольцом, не порождаемым делителями нуля // Алгебра и логика. 1978. Т. 17, К0- 6. С. 639−642..

4. Блощицин В. Я. Канонический вид автоморфизмов группы над кольцами, близкими к полям // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 2. С. 175 181..

5. Боревич З. И., Вавилов Н. А. Об определении сетевой подгруппы // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 132. С. 26−33..

6. Боревич З. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Труды МИАН СССР. 1984. Т. 165. С. 24−42..

7. Голубчик И. З., Михалев А. В. Об изоморфизме полных линейных групп / Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тез. докл. С. 40. Новосибирск, 1982..

8. Голубчик И. З., Михалев А. В. Изоморфизм полной линейной группы над ассоциативным кольцом // Вест.Моск.ун-та. Математика. Механика. 1983. Сер. 1, № 3. С. 61−72..

9. Голубчик И. З., Михалев А. В. Изоморфизм унитарных групп над ассоциативными кольцами // Зап. науч. семинаров Лепингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. 1983. Т. 132. С. 97−109..

10. Голубчик И. З., Михалев А. В. Представление группы SL3 (Z) в группах с разложимыми инволюциями / X Всес. сими, по теории групп. Тез. докл. С. 56. Минск, 1986..

11. Голубчик И. З., Михалев А. В. Гомоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами / Тезисы сообщений XIX Всес. алгебр, конф. С. 64. Львов, 1987..

12. Голубчик И. З. Изоморфизм группы GL2 (Я) над ассоциативным кольцом R // Ученые записки: Сб. научн. трудов. Изд-во БГПУ: Уфа, 2003. С. 21−34..

13. Голубчик И. З. Изоморфизмы проективных групп над ассоциативными кольцами // Ученые записки: Сб. научн. трудов. -Изд-во БГПУ: Уфа, 2005. Вып. 7. С. 77−93..

14. Дроботенко B.C., Погориляк Е. Я. Автоморфизмы полной линейной группы над некоммутативным полулокальным кольцом // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32, № 3. С. 157−158..

15. Зельманов Е. И. Изоморфизм линейных групп над ассоциативным кольцом // Сиб.мат.журнал. 1985. Т. 26, № 4. С. 49−67..

16. Исмагилова А. С. Изоморфизмы групп обратимых элементов над ассоциативными кольцами / в сб. «ЭВТ в обучении и моделировании», Третья Всероссийская научно-теоретическая конференция. С. 143 145. Бирск. гос. пед. ин-т: Бирск, 2004..

17. Исмагилова А. С. Гомоморфизм группы GL2 ® // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, N5 3. С. 95−108..

18. Исмагилова А. С. Изоморфизм линейных групп над ассоциативными кольцами с четырьмя идемнотептами // Ученые записки: Сб. научн. статей. Изд-во БГПУ: Уфа, 2005. Вып. 7. С. 150−160..

19. Исмагилова А. С. Об изоморфизме унитарных групп над кольцами / Тез. докл. Международной алгебраической конференции. С. 10G-108. Изд-во Урал, ун-та: Екатеринбург, 2005..

20. Исмагилова А. С. Изоморфизмы групп обратимых элементов ассоциативного кольца // Вестник Башкирского университета. 2005. № 4. С. 8−11..

21. Исмагилова А. С. Развитие метода инволюций в теории линейных групп над кольцами / Тез. докл. XXXVII Региональной молодежной школы-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», С. 45−49. Екатеринбург, 200G г..

22. Исмагилова А. С. Изоморфизмы унитарных групп над кольцами // Фундаментальная и прикладная математика. 200G. Т. 12, № 2..

23. Мерзляков Ю. И. Автоморфизмы двумерных конгруэнц-групн. // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, ДО 4. С. 4G8−477..

24. Мерзляков Ю. И. Обзор новейших результатов об автоморфизмах классических групп. В сб.: Автоморфизмы классических групп. М.: Мир, 197G. С. 250−259..

25. Петечук В. М. Автоморфизмы групп SL3(K), GLS (K) // Мат. заметки. 1982. Т. 31. С. 335−340..

26. Петечук В. М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами // Математика. 1983. Т. 45. С. 527 542..

27. Сосновский Ю. В. К общей теории изоморфизмов линейных групп. В сб.: Изоморфизмы классических групп над целостными кольцами, М.: Мир, 1980. С. 259−2G8..

28. Сосновский Ю. В. Изоморфизмы симплектичесих групп над телами харакеристики не равной 2 // Алгебра и логика. 1980. Т. 19, № G. С. 726−739..

29. Artin Е. The orders of the linear groups // Comm. Pure Appl. Math. 1955. V. 8, № 3. P. 355−365..

30. Artin E. The orders of the classical simple groups. // Comm. Pure Appl. Math. 1955. V. 8, № 4. P. 455−472..

31. Borel A. On the automorphisms of certain subgroups of semi-simple Lie groups. // Proc.Conf.Alg.Geom. 1968. P. 43−73..

32. Borel A., Tits J. Homomorphismes «abstraits» de groupes algebrigues simples // Ann.Math. 1973. V. 97, № 3. P. 499−571..

33. Colin P.M. On the structure of the GL2 of a ring. // Pubis math.IHES. 1966. № 30. P. 5−53..

34. Colm P.M. Automorphisms of the two-deinensional linear groups over Euclidean domains // J.Lond.Math.Soc. 1969. V. 1, № 2. P. 279−292..

35. Connors E. A. Automorphisms of the orthogonal groups in characteristic 2 // J. Number Theory. 1973. V. 5, № 6. P. 477−501..

36. Connors E. A. Automorphisms of the orthogonal group of a defective space // J.Algebra. 1974. V. 29, № 1. P. 113−123..

37. Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups // Mem.Amer.Math.Soc. 1951. № 2. P. 1−95..

38. Dieudonne J. La geometric des groupes classiques. Springer Verlag. Berlin-New York, 1971. Русский перевод: Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. М.: Мир, 1974.]..

39. Dull M.H. Automorphisms of PSL2 over domains with few units // J.Algebra. 1973. V. 27, № 2. P. 372−379..

40. Dull M.H. Automorphisms of the two-demensional linear groups over integral domains // Amer.J.Math. 1974. V. 96, № 1. P. 1−40..

41. Golubchik I.Z. Isomorphisms of the General Linear Group GLn ®, n ^ 4 over an Associative Ring // Amer. Math. Soc. 1992. V. 131. Part 1. P. 123−13G..

42. Halm A.J. The isomorphisms of certain subgroubs of the isometry groups of reflexive spaces // J.Algebra. 1973. V. 27, № 2. P. 205−242..

43. Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of the unimodular group // Trans.Amer.Math.Soc. 1951. V. 71. P. 331−348..

44. Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of the projective unimodular group // Trans.Amer.Math.Soc. 1952. V. 72, № 3. P. 4G7−473..

45. Humphreys J.E. On the automorphisms of infinite Chevalley groups // Canad.J.Math. 19G9. V. 21, № 4. P. 908−911..

46. James D.G. Unitary geometry over local rings // J.Algebra. 1979. V. 56, № 1. P. 221−234..

47. Kaplansky. Projective modules // Ann.Math.Ser.2. 1958. V. 68, № 2. P. 372−377..

48. Landin J., Reiner I. Automorphisms of the Gaussian unimodular group. // Trans. Amer.Math.Soc. 1958 V. 87, № 1. P. 76−89..

49. Lanolin J., Reiner I. Automorphisms of the two-dimensional general linear group over a Euclidean ring // Proc.Ainer.Math.Soc. 1958. V. 9, № 2. P. 209−21G..

50. Li F.L. and Li Z.X. Isomorphisms of GL3 over commutative rings // Amer. Math. Soc. 1984. V. 82. P. 47−52..

51. Fu-an Li. The automorphisms of non-defective orhogonal groups (V) and Og (V) in characteristic 2 // Chinese Ann. Math. 1986. V. 7B. P. 113..

52. Fu-an Li and Zunxian Li. Isomorphisms of GL3 over commutative rings I I Scientia Sinica. 1988. V. 31. P. 7−14..

53. McDonald B.R. Geometric algebra over local rings. New York and Basel, 197G..

54. McQueen L., McDonald B.R. Automorphisms of the syinplectic group over a local ring // J.Algebra. 1974. V. 30, № 1−3. P. 485−495..

55. O’Meara O.T. The automorphisms of the linear groups over any integral domain // J. reine angew.Math. 1966. V. 223. P. 56−100..

56. O’Meara O.T. The automorphisms of the standard symplcctic group ower any integral domain // J. reine angew.Math. 1968. V. 230. P. 104−138..

57. O’Meara O.T. Group-theoretic characterization of transvections using CDC // Math.Z. 1969. V. 110, № 5. P. 385−394..

58. Reiner I. Automorphisms of the symplectic modular group // Trans.Amer.Math.Soc. 1955. V. 80, № 1. P. 35−50..

59. Reiner I. A new type of automorphism of the general linear group over a ring // Ann.Math. 1957. V. 66, № 3. P. 461−466..

60. Rickart C.E. Isomorphic groups of linear transformations // Amer.J.Math. 1950. V. 72. P. 451−464..

61. Rickart C.E. Isomorphisms of infinite-dimensional analogues of the classical groups // Bull.Amer.Math.Soc. 1951. V. 57, № 6. P. 435−448..

62. Schreier O., Van der Waerden B.L. Die Automorphisinen der projektiven Gruppen. Abh.Math.Sem.Univ. Hamburg, 1928. P. 303−322..

63. Solazzi R.E. The automorphisms of certain subgroups of PGLTl (K) // Illinois J.Math. 1972 V. 16, № 2. P. 330−348..

64. Solazzi R.E. On the isomorphisms between certain congruence groups // Canad.J.Math. 1973. V. 25, № 5. P. 1006−1014..

65. Steinberg R. Automorphisms of finite linear groups // Canad.J.Math. 1960. V. 12, № 4. P. 606−615..

66. Steinberg R. Lectures on Chevalley groups. Yale Lecture Notes, 1967. Русский перевод: Стейпберг P. Лекции по группам Шевалле. -М.:Мир, 1975.].

67. Waterhouse W.C. Automorphisms of GLn ® // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. № 79. P. 347−351..

68. Xu C.H. On the automorphisms of orthogonal groups over perfect fields of characteristic 2 // Chinese Math. 1966. V. 8, № 4. P. 475−523..

69. Yan S.J. Linear groups over a ring // Chinese Math. 1965. V. 7, № 2. P. 163−179. Русский перевод в сб.: Автоморфизмы классических групп. М.: Мир, 1976. С. 226−249]..

70. Yien S.C. Symplectic groups over a commutative ring. J. Peking Normal Univ.Nat.Sci., 1957. P. 23−46..