Модели и вычислительные методы в теории нейтронных полей: Упругое замедление нейтронов

Разработка эффективных численных методов решения задач теории нейтронных полей, исследование этих методов, создание на их основе вычислительных алгоритмов и программ продолжают оставаться одной из актуальных сфер деятельности математиков в связи с бурным развитием вычислительной техники.

Успехи в области вычислительной математики и математической физики, достигнутые в последние десятилетия, позволили значительно расширить и углубить теоретические представления о прохождении излучения через вещество, необходимые для решения практических задач теории ядерных реакторов и защиты, атмосферной оптики, ядерной геофизики, метрологии ионизирующих излучений, биофизики. Если на более раннем этапе развития атомной энергетики уточнение ядерных данных и разработка алгоритмов и программ обработки определяли возможность или целесообразность сооружения ядерных реакторов того или иного типа, то в настоящее время это необходимо в первую очередь для технико-экономической оптимизации объектов аюмной энергетики, качественного решения вопросов ядерной и радиационной безопасности, экологических оценок.

Разработка новых типов, внедрение безопасных ядерных реакторов, анализ аварийных состояний реакторов традиционных конструкций, использование реакторов для наработки ценных радионуклидов и, напротив, для уничтожения долгоживущих радиоактивных отходов методом трансмутации, снятие ядерных установок с эксплуатации, вопросы утилизации запасов плутония оружейного происхождения — эти и другие обострившиеся в последнее время проблемы ядерной физики и атомной энергетики значительно расширяют сферу применения высокоточных численных методов ядерно-физических расчетов и данных, полученных на их основе, и требуют постоянного их совершенствования.

В настоящее время математическая теория ядерных реакторов и, в том числе теория нейтронных полей, представляет наиболее развитую часть математической физики. Практические потребности ядерного реакторостроения явились сильным импульсом развития теории реакторов и соответствующего вычислительного аппарата для их расчета. Сейчас теория реакторов, как комплекс предложений и выводов из них, описывающих физику реакторов, практически завершена. Монографии В. С. Владимирова [ 1 ], С. Б. Шихова [ 2 ], Т. А. Гермогеновой [ 3 ], А. Д. Галанина [ 4 ], Ю. И. Ершова [ 5 ], Б. Дэвисона [ 6 ], Ю. Вигнера и А. Вейнберга [ 7 ], С. Глестона и М.

Эдлунда [ 8 ], отражающие основные положения математической теории реакторов, широко известны. Что касается вычислительных методов решеня задач теории реакторов, представленных достаточно полно в монографиях Г. И. Марчука [ 9 ], Г. И. Марчука и В. И. Лебедева [ 10 ], Г. И. Марчука и В. И. Агошкова [ 11 ], то сами методы и их реализация на современных вычислительных комплексах позволяют заключить, что отличие основных расчетных параметров ядерных реакторов от фактических значений является скорее неточностью наших знаний о ядерных константах, а не погрешностями, присущими численным алгоритмам. Однако широкое использование современных вычисленных методов в последнее время позволило провести не только количественные, но и получить новые качественные результаты в одном из фундаментельных разделов ядерной физики.

— в теории замедления нейтронов в различных средах, в том числе в проблеме замедления и поглощения резонансных нейтронов. Данные разделы ядерной физики базируются на решениях кинетического уравнения Больцмана, при этом задачи замедления нейтронов в гетерогенных средах отличаются сложностью пространственной структуры и энергетической зависимостью коэффициентов. Трудности прямого численного решения таких задач настолько велики, что до настоящего времени решение их в полной постановке, т. е. с учетом реальной геометрии, энергетической зависимости сечений взаимодействия нейтронов с веществом и всех физических эффектов упругого рассеяния нейтронов ядрами среды, не представлялось возможным. При решении задач замедления нейтронов, как правило, использовались два приема разбиения полной задачи на более простые: первый — это многогрупповая аппроксимация по энергетической переменной, второйсведение основного уравнения к задачам (или последовательности задач) меньшей размерности.

Первый прием выделяет как особую задачу построение системы усредненных по энергии сечений взаимодействия нейтронов с ядрами вещества — групповых констант, а второй — позволяет воспользоваться упрощенными геометрическими моделями. Однако такая постанока задачи не учитывает всего многообразия явлений при описании процессов замедления и поглощения нейтронов и поэтому параллельно с развитием численных методов решения уравнения замедления разрабатывались способы аналитического учета всех особенностей процесса замедления и поглощения, в том числе и резонансных нейтронов. Однако аналитический подход к решению практических инженерных задач во многих случаях уступает место изучению физических и других процессов на основе математического моделирования с использованем более эффективных численных методов.

Начиная с 40-х годов прошлого века проблема замедления и резонансного поглощения нейтронов является одной из центральных проблем при обосновании возможности цепной реакции деления с использованием природного урана, при этом недостаточные сведения о детальной структуре сечений урана — 238 компенсировались прямыми экспериментальными исследованиями резонансного поглощения в урановых блоках в зависимости от их диаметра, формы, температуры среды и концентрации урана в блоке и их обобщением на основе приближенных теоретических представлений об энергетической структуре как сечений, так и спектра нейтронов в резонансной области [ 12,13 ]. Решение этой проблемы связано с работами Э. Ферми, Я. Б. Зельдовича и Б. Харитона, Е. Вигнера, И. И. Гуревича и И. Я. Померанчука. К концу 60-х годов было в основном закончено построение феноменологической теории резонансного замедления и поглощения в реакторах на тепловых нейтронах, физические основы которой и практические применения были изложены в монографии Л. Дреснера «Резонансное поглощение в ядерных реакторах» (М.: Госатомиздат, 1962).

С переходом к промышленному освоению атомных реакторов на быстрых нейтронах начался новый этап в изучении прохождения излучения через вещество. Именно в реакторах на быстрых нейтронах эффекты, связанные с замедлением и поглощением нейтронов резонансных энергий, оказываются наиболее существенными [ 14,15 ]. Основные работы, выполненные в 60 — 70 годы российскими и зарубежными учеными по всем аспектам теории ядерных реакторов, в том числе по резонансному поглощению нейтронов в сложных гетерогенных системах, учету детальной структуры спектра замедляющихся нейтронов в «промежуточных» резонансах при оценке самоэкранирования, по исследованиям интерференционных особенностей нейтронных сечений и их влияния на самоэкранирование в области разрешенных и неразрешенных резонансов, систематизированы в монографии А. А. Лукьянова «Замедление и поглощение резонансных нейтронов» (М.: Атомиздат, 1974).

Однако разработанные до настоящего времени методы учета резонансных эффектов в теории нейтронных полей не позволяют в полной мере провести детальное исследование поведения потока нейтронов в гетерогенных средах при резонансных энергиях и оценить влияние спектра на резонансное поглощение нейтронов «промежуточными» уровнями, определить зависимость коэффициентов самоэкранирования от концентрации вещества в среде, его температуры, атомного веса замедлителя, граничных эффектов. Ответ на эти вопросы дает только детальное знание нейтронного поля в реальных средах, основанное на численном решении уравнения замедления с учетом детальной энергетической зависимости сечений в резонансной области [ 16,17 ].

В первых же попытках численного решения таких задач традиционными методами было отмечено появление погрешностей, искажающих качественную картину спектра: на участках ожидаемого монотонного изменения приближенное решение оказывалось колеблющимся и эти отклонения не всегда удавалось устранить модернизацией алгоритма или уменьшением расчетной сетки [ 18 ]. Подобные явления порождаются сложностью локальной структуры решений уравнения замедления даже для сравнительно простых ограниченных областей при достаточно гладких коэффициентах в нерезонансной области энергий.

Мощным импульсом к дальнейшему созданию расчетных комплексов и проведению аналитических исследований решения задач теории замедления нейтронов явился Всесоюзный семинар по резонансному поглощению нейтронов (г. Москва, 21 -23 июня 1977 года), на котором не только были рассмотрены вопросы теории, методов расчета, результаты экспериментальных исследований, ядерные данные в области разрешенных и неразрешенных резонансов, но и были намечены пути дальнейшего развития методов решения задач теории замедления, включая задачу о прохождении излучения через вещество в полной постановке, т. е. с учетом всех физических эффектов, связанных с взаимодействием нейтронов с ядрами среды. Хотя основной упор при решении поставленных вопросов делается на использование численных методов, аналитические методы решения уравнения переноса применительно к задачам теории замедления нейтронов продолжают также развиваться. Однако до настоящего времени не найдено аналитического решения уравнения замедления в явном виде для бесконечной среды с тяжелым замедлителем и равномерно распределенными по пространству источниками при произвольных энергетических зависимостях нейтронных сечений рассеяния и захвата.

Развитию численных методов решения задач теории замедления способствуют достаточно высокий уровень экспериментальных результатов о резонансных параметрах основных реакторных матералов (в частности, урана-238, плутония-239 и др.), наличие специальных алгоритмов и программ, позволяющих с высокой точностью восстанавливать истинную энергетическую зависимость нейтронных сечений в резонансной области, а также мощный апппарат современной математической физики, адаптированный к задачам теории переноса нейтронов.

После одной из первых работ [ 17 ] по исследованию пространственно-энергетического распределения потока нейтронов для цилиндрических блоков урана в графитовой решетке при энергии резонансов урана-238 Е = 6,7 и 190 эв, численный алгоритм которой был основан на решении интегрального уравнения Пайерса, появились аналогичные исследования и разработки в нашей стране как в многогрупповом приближении, так и при детальном описании энергетической зависимости сечений [ 19 — 22 ]. Однко они, как правило, разрабатывались для интегральных по спектру величин в ограниченных энергетических интервалах решения по всем переменным и не позволяют решить задачу о замедлении нейтронов в полной постановке, в том числе и задачу о замедлении нейтронов в гетерогенных средах от точечного моноэнергетического источника единичной мощности, важную как в методическом, так и практическом плане не только в проблеме упругого замедления нейтронов, но и во всей теории нейтронных полей.

В настоящее время для исследования тонкой структуры спектра в гетерогенных системах, а также для сравнения эффективности, погрешности и областей применимости расчетных моделей описания сечений взаимодействия нейтронов с ядрами вещества с успехом используются отечественные и зарубежные коды и вычислительные комплексы, в том числе: СПЕКР [ 23,24 ], АРАМАКО [ 25,26 ], АЛЕКСА [ 19,27 ], Р.О.З. [ 28,29 ], MUFT [ 30 ], WIMS [ 31,32 ], ПРАКТИНЕЦ-ЗФ [ 33 -37 ] и другие. (Обзоры современных вычислительных комплексов представлены в работах [ 38 — 44 ]). При этом большое внимание уделяется аттестации программных средств, предназначенных для расчета ядерных реакторов и защиты, опирающихся на современные библиотеки ядерных данных. Среди новых и модернизированных комплексов следует назвать программы ANISN с библиотеками констант VITAMINС и БНАБ, 1ST, САПФИР — ВВР95, САПФИР — ВВРТ, BMVC — Т, PC, БИПР — 8, TBCМ, SADCO, РБМК CONUKS, программые комплексы КАСКАД и ЭНЕРГИЯ. Состояние этих программных комплексов и отдельных программ, а также мероприятия по верификации их достаточно полно обсуждались на семинарах в ГНЦ РФ ФЭИ «Нейтроника -97 «и «Нейтроника — 98» [45, 46 ].

Из-за сложности локальной структуры решений в конкретных задачах, где области состоят из нескольких (часто — из большого числа) зон с различными свойствами, перечисленные выше алгоритмы в большинстве своем не достаточно точно учитывают фундаментальные свойства решений уравнения переноса нейтронов. Успехи в исследовании качественных представлений о поведении решений, его областей непрерывности и дифференцируемости, поведении в окрестности границ области и поверхностей разрыва как самого решения, так и его производных, гладкости решения и интеграла столкновений, дифференцируемости требуют дальнейшего развития и обоснования надежных эффективных вычислительных алгоритмов. В соответствии с общепринятой в настоящее время многогрупповой аппроксимацией уравнения переноса по энергетической переменной основу численного алгоритма обычно составляет метод решения односкоростной задачи. Учет непрерывной энергетической зависимости сечений в уравнении замедления значительно усложняет алгоритм расчета и вносит дополнительные погрешности в результаты нейтронно — физических расчетов.

Наличие хорошо разработанных и внедренных в практику численных методов решения односкоростных задач, на первом этапе потребовали создания алгортитмов решения модельной энергетической задачи, решениие которой могло бы ответить на самые принципиальные вопросы формирования и влияния спектра плотности столкновений на функционалы, зависящие от него. Попытки разработать эффективный алгоритм для исследования энергетической зависимости потока (плотности столкновений) нейтронов в бесконечной гомогенной среде от точечного источника как первого приближения полной задачи о распространении нейтронов в гетерогенных средах при резонансных энергиях предпринимались рядом авторов [ 13, 47 — 50 ]. Алгоритм, наиболее полно учитывающий особенности распространения нейтронов в бесконечных многокомпонентных средах, был разработан автором и явился основой широкого изучения спектров резонансных нейтронов в гомогенных бесконечных средах [ 16, 51 — 57 ]. На базе данного алгоритма был разработан полуаналитический метод решения задачи упругого замедления нейтронов в гомогенных средах, учитывающий точные связи физических свойств среды и не содержащий никаких приближений [ 58 ]. Полученные соотношения данного метода легко алгоритмизуются для проведения численных расчетов и использовались для подготовки групповых констант в комплексе программ Центра ядерных данных ГНЦ РФФЭИ [59,60].

На основании анализа уравнения замедления, свойств его решения и алгоритма численного решения уравнения замедления в бесконечной гомогенной среде автором предложен эффективный метод решения уравнения Больцмана для описания нейтронных полей в сложных гетерогенных средах в области упругих соударений нейтронов с ядрами среды, основанный на дифференцировании уравнения по энергетической переменной и сведением его к системе дифференциальных уравнений с западывающим аргументом. Повышение порядка исходного уравнения потребовало проведения достаточно полных теоретико — математических и численных исследований модельной задачи (замедление нейтронов в многокомпонентных гомогенных средах), которые позволили бы ответить на основной вопрос о разрешимости указанного алгоритма и оценить возможную его погрешность по энергетической переменной. Постановка такой общей задачи без знания особенностей поведения решения простейшей модельной задачи упругого замедления нейтронов, становится не только затруднительной, а ее решения могут в конечном итоге приводить и к нефизическим результатам.

В основе математических задач как для гетерогенных, так и бесконечных гомогенных сред, решения которых рассматриваются в настоящей работе, лежат представления о близости математического описания процесса упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды с процессами, рассматриваемыми теорией автоматического регулирования, основными уравнениями в которой являются дифференциальные уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом. Естественно предположить, что некоторые общие математические свойства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и решения уравнения упругого замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах, преобразованного к дифференциальной форме, совпадают либо близки, а для исследования уравнения замедления в интегральной форме можно воспользоваться техникой, развитой в теории уравнения восстановления [ 61 ]. Действительно, на энергетическую задачу для уравнения замедления нейтронов в бесконечной среде в области энергий, где основной вклад вносит упругое рассеяние, удается распространить такие характерные для уравнений с запаздывающим аргументом утверждения, как теоремы существования и единственности, сравнения, устойчивости, получить оценки на основе дифференциальных неравенств с запаздывающим аргументом, определить особенности затухания решений и их асимптотическое поведение.

В работе основы теории дифференциально-разностных уравнений в представлении Р. Беллмана и К. Кука [ 61 ], А. Д. Мышкиса [ 62 ], Э. Пинни [ 63 ], С. Б. Норкина [ 64 ], Л. Э. Эльсгольца [ 65 ], В. Хана [ 66 ], А. М. Зверкина [ 67,68 ], А. Халаная [ 69 ], Н. П. Красовского [ 70 ], а также ряда авторов, работы которых представлены в Трудах семинара по теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом при Университете дружбы народов им. П. Лумумбы, применены в комплексе к модельной задаче замедления нейтронов в бесконечных многокомпонентных гомогенных средах.

В этой связи данная работа, исходя из практики теории замедления и поглощения резонансных нейтронов, направлена на создание для реальных задач в полной постановке эффективных схем численного расчета высокого порядка точности. Необходимость исследований и реализации новых подходов к задачам такого класса диктуется еще и тем обстоятельством, что более полная постановка задачи методом Монте — Крало не дает ответов на все возникающие вопросы теории нейтронных полей. Очень трудно, или даже невозможно, вычислить малые дифференциальные эффекты статистическим методом. Потребность же знания этих эффектов на практике всегда имеется, например, в теории атомных реакторов для вычисления всякого рода коэффициентов реактивности [ 7, 8 ]. Одной из особенностей данной работы является использование для схем расчетов пространственно-углового распределения замедляющихся нейтронов хорошо разработанных численных методов (например, метода сферических гармоник) и алгоритмов, применяемых для решения односкоростного уравнения переноса, при этом используются, в основном, только те методы, которые реализованы в программных комплексах, прошли всестороннюю апробацию в реакторных расчетах и вошли составной частью основных монографий по теории нейтронных полей и ядерных реакторов.

Отметим, что автор не ставил своей целью вписать предложенные схемы численного решения уравнения замедления во все многообразие численных методов, схем и алгоритмов, используемых в настоящее время для решения односкоростного уравнения Больцмана, а предпринял попытку продемонстрировать возможности предложенного метода к расчетам спектров замедляющихся нейтронов с учетом всех физических эффектов, возникающих при упругом рассеянии нейтронов ца ядрах среды, на примере различных модельных задач для уравнения переноса, а также показать возможную практическую реализацию расчетных формул предложенных схем, используя конечно-разностные аналоги полученных дифференциальных уравнений. При этом, как указано в работе, схема численного решения дифференциальных уравнений первого порядка с запаздыванием по энергетической переменной, основанная на методе типа Адамса, является чисто иллюстративной и в практических расчетах с успехом может быть заменена любым методом численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка достаточной точности. В то же время, помимо классических конечно-разностных методов решения односкоростной задачи в работе рассмотрены возможности применения разработанных схем и для других, получивших развитие в последнее время, численных методов решения односкоростного уравнения Больцмана в гетерогенных средах, таких как метод конечных элементов и метод расщепления. Метод конечных элементов, который начал интенсивно разрабатываться с середины 60-годов, является в настоящее время наиболее эффективным способом численного решения инженерных задач и задач математической физики. Он показал свое преимущество при решении эллиптических уравнений по сравнению с конечно-разностными методами. Метод очень удобен для программирования и позволяет учитывать дополнительную информацию о решаемой задаче в тех случаях, когда удается получить теоретическое обоснование его применения [10,11,71,72 ]. Метод конечных элементов является одним из вариационно-сеточных методов, основы применения которого к задачам теории переноса нейтронов достаточно полно рассмотрены в работах Г. И. Марчука, В. И. Лебедева [ 10 ], Г. И. Марчука, В. И. Агошкова [11], где указан ряд трудностей применения численных методов, обусловленных «неприятными» особенностями этих задач — в первую очередь их существенной многомерностью. В то же время предложенные подходы к решению уравнения переноса с помощью вариационно-сеточных алгоритмов позволяют эти особенности трансформировать в положительные стороны методов. Это в полной мере относится к решению уравнения замедления нейтронов в гетерогенных средах, где кроме пространственно-угловых координат появляется еще одна переменнаяэнергия.

Во многих случаях, когда требуется решить сложную задачу математической физики, оказывается возможным свести ее к последовательному решению ряда более простых задач, эффективно решаемых с помощью ЭВМ. Успех такого подхода связан с именами Дугласа, Письмена и Рэчфорда [ 11,73 ], которые предложили метод переменных направлений, оказавший существенное влияние на построение алгоритмов в различных отраслях прикладной математики.

Редукция сложных задач к более простым обычно возможна в тех случаях, когда исходный положительно полуопределенный оператор задачи представим в виде суммы положительно полуопределенных простейших операторов. Такие методы получили название методов расщепления и в теории переноса нейтронов на первом этапе применялись для решения нестационарного уравнения Больцмана, однако в дальнейшем методы расщепления стали использоваться как мощный инструмент для итерационного решения стационарного уравнения переноса [ 10, 11, 73, 74 ]. Привлекательной стороной использования метода расщепления в задачах замедления нейтронов является возможность построения симметричного и положительно определенного оператора, з ависящего только от энергетической переменной. Так как в данной работе преследуются не только методические цели, но и построение необходимых для практики схем алгоритмов, то наряду с рассмотрением задачи о возможности учета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в существующих схемах реакторных расчетов методом расщепления построены схемы численных алгоритмов решения практических задач в (Х, У) — и (Я, Ъ) — геометрии в Рз — приближении. Значительный методический интерес представляет задача о решении уравнения замедления в самосопряженной форме как прием решения сим метризованных уравнений с использованием методов интегральных тождеств и расщепления оператора на более простые.

Данная диссертационная работа является обобщением результатов проведенных по данной проблеме исследований и разработок автора. Резюмируя изложенное, отметим следующие основные положения представленной работы.

Актуальность темы

.

Краткий анализ современого состояния теории упругого замедления нейтронов и резонансного поглощения их в гетерогенных средах позволяет сформулировать как одну из важнейших проблем математической теории нейтронных полей проблему создания эффективного метода численного решения возникающих в теории упругого замедления нейтронов в сложных гетерогенных средах задач, основанных на углубленном понимании закономерностей поведения искомых функций, которые могли бы быть использованы при оценках достоверности результатов и получаемой точности, используемых в настоящее время, приближенных методов численного расчета распределения нейтронов в сложных средах при их замедлении. Для определения особенностей локальной структуры и точности получаемых решений многомерной задачи теории замедления нейтронов необходимы математические и численные исследования простейших модельных задач по каждой переменной и, в том числе по энергетической переменной. В качестве такой модельной задачи для уравнения замедления нейтронов в сложных гетерогенных системах выступает задача замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах. Исследование вопросов существования и единственности решения, его асимптотического поведения, устойчивости, затухания, получение различных оценок областей существования физических решений, а также нахождение численными методами некоторых специфических особенностей поведения решения уравнения замедления в бесконечных средах является неотъемлемой частью проблемы построения схем численных алгоритмов расчета нейтронных полей в сложных гетерогенных системах.

Таким образом, проблема создания эффективного метода численного расчета пространственно-энергетического распределения замедляющихся нейтронов в сложных гетерогенных системах с учетом всех особенностей закона рассеяния при упругом столкновении нейтронов с ядрами среды, а также детальные исследования фундаментальных свойств спектра замедляющихся нейтронов в гомогенных бесконечных средах как основной модельной задачи теории упругого замедления нейтронов, является для атомной физики и, в том числе теории нейтронных полей, не только актуальной, но и своевременной. Цель работы.

Построение на основе фундаментальных свойств уравнения Болыдмана метода численного решения уравнения замедления нейтронов с различными типами источников в сложных гетерогенных системах при 5 — образном законе рассеяния нейтронов, отвечающем полной физической модели упругого столкновения нейтронов с ядрами среды, и с использованием для нахождения пространственно — угловых зависимостей современных численных методов, а также его теоретикоматематическое и численное исследование на модельной задаче замедления нейтронов в гомогенной бесконечной среде, обеспечивающее не только теоретическое обоснование метода и открывающее точные связи физических свойств среды и нейтронных полей в области резонансных энергий при упругом замедлении нейтронов в сложных системах, но и являющееся основой для непосредственного выхода в область построения конкретных вычислительных алгоритмов решения различных задач теории нейтронных полей.

Основные результаты по теме диссертационной работы опубликованы в работах [ 16,51 — 57, 75−94].

В работе принята сквозная нумерация параграфов в каждой главе. Так запись § 4.6 означает, что это параграф 6 главы 4, а запись (4.6) соответствует формуле (6) главы 4. Системы уравнений имеют один номер, но для обозначения строки применяется запись (31.2), что соответствует строке 2 формулы (31). Ссылки такого рода применяются только внутри одной главы. N.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Сформулируем в обобщенной форме основные выводы и новые результаты, полученные в диссертации :

1. Предложен метод численного решения уравнения замедления нейтронов от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности в сложных гетерогенных системах при 5 — образном законе рассеяния нейтронов на ядрах среды при упругом столкновении.

2. Показана дифференцируемость интеграла упругих соударений по энергетической переменной в конечных средах с учетом 5 — образного закона упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды и найдены явные выражения для первой и последующих производных.

3. Сформулированы и конструктивно описаны алгоритмы численного расчета спектров замедляющихся нейтронов в Рь Рз и Рп — приближениях.

4. Сформулирован и доведен до возможного практического использования алгоритм численного расчета пространственно-энергетического распределения быстрых нейтронов в водороде и воде от изотропного моноэнергетического точечного источника единичной мощности, как одной из основных задач теории нейтронных полей.

5. Сформулирован и детально описан алгоритм на базе схем метода расщепления численного расчета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в сферической, — и X — У — геометриях, а также алгоритм решения уравнения замедления в самосопряженной форме.

6. Сформулирован и всесторонне рассмотрен алгоритм численного решения уравнения замедления в ячейках сложной формы на базе метода конечных элементов.

7. Проведен углубленный математический анализ уравнения Больцмана, описывающего модельную задачу формирования нейтронных полей в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах (разрешимость уравнения замедления, существование и единственность его решения, асимптотические равенства, устойчивость, оценки роста решения, методы шагов, Лапласа и Фурье, теория сопряженного уравнения в общей постановке и т. д.) на основе общей теории дифференциально — разностных уравнений первого порядка.

8. Найдены условия, сформулирована и доказана теорема эквивалентности решений уравнения замедления, записанного в интегральной (естественной) форме и в форме дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом, для модельной задачи замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах.

9. Кратко описаны созданные автором программы СПЕКТР и ПЕРСЕЙ, реализующие метод численного решения уравнения замедления для модельной задачи.

10. Приведены результаты численных исследований и рассмотрены основные особенности формирования нейтронных полей в многокомпонентных бесконечных средах в области резонансных энергий, а также показано влияние полученных спектров на дифференциальные характеристики среды.

Суммируя результаты данной работу автор защищает:

1. Метод численного решения уравнения замедления нейтронов при 8 — образном законе упругого рассеяния в гетерогенных средах от источников различных типов, в том числе от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности.

2. Алгоритмы численного расчета нейтронных полей в резонансной области энергий в гетерогенных средах на основе разработанного метода с учетом методов решения односкоростного уравнения Больцмана в различных координатных системах, широко внедренных в практику расчетов атомных реакторов и защиты, в том числе конечно-разностного метода, Рпприближения, методов расщепления и конечных элементов в одномерной, сферической, Я — Ъ — и X — У — геометриях.

3. Положения и выводы математического исследования дифференцируемости по энергии интеграла упругих соударений в интегро-дифференциальном уравнении Больцмана для задач замедления нейтронов в гетерогенных средах и интегрального уравнения модельной задачи, описывающего формирование нейтронных полей в бесконечных гомогенных средах, полученные на основе общей теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом первого порядка.

4. Обоснованный и реализованный в программах СПЕКТР и ПЕРСЕЙ алгоритм численного расчета спектров плотности столкновений резонансных нейтронов при их упругом рассеянии в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах и численные исследования спектров плотности столкновений и функционалов на их основе, обеспечившие получение новой информации о влиянии физических свойств среды на формирование нейтронных полей в области резонансных энергий.

Таким образом, в настоящей работе получила развитие и практическую реализацию, имеющая важное значение в прикладной нейтронной физике, проблема построения высокоэффективных алгоритмов численного расчета нейтронных полей в сложных гетерогенных средах с учетом всех физических особенностей упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды, обеспечивающих простые схемы реализации на современных ЭВМ и обладающих высокой устойчивостью и достаточной точностью счета. Проведенные математические и численные исследования решений уравнения замедления нейтронов в бесконечных гомогенных средах (модельная задача), позволили выявить не только основные математические особенности поведения решений задач теории упругого замедления нейтронов, но и получить качественные картины поведения спектров замедляющихся нейтронов в области резонансных энергий, а также оценить эффективность и точность предложенных численных алгоритмов по энергетической переменной.

Следует отметить, что результаты настоящей работы, в частности, предложенные алгоритмы численного решения задач теории упругого замедления нейтронов в сложных гетерогенных системах, позволили также значительно расширить класс методов и приемов решения многоскоростных задач теории нейтронных полей, которые могут быть с успехом использованы для решения конкретных задач физики атомных реакторов и защиты.