Исследование динамики деления возбужденных ядер в стохастическом подходе, основанном на уравнениях Ланжевена

В последние два десятилетия получено много экспериментальной информации по характеристикам деления атомных ядер, образованных в реакциях с тяжелыми ионами [1−10]. Исследован довольно широкий диапазон ядер (как по массовому числу, так и по зарядовому) при разных энергиях возбуждения. Появилась новая информация о делении нагретых ядер —статические и динамические свойства формирования массово-энергетических распределений (МЭР) осколков, их зависимость от углового момента Ь и нуклонного состава, множественности легких частиц, испущенных из составного ядра и из осколков деления. В работах [4,8, 9] были проведены попытки систематизировать накопленные данные о массово-энергетических распределениях осколков деления, множественностях легких частиц и 7-квантов.

Много экспериментов [3,7] посвящено изучению деления довольно легких ядер (с параметром делимости 2'2/А ^ 31), у которых седловая точка (положение барьера деления) и точка разрыва близки по деформациям и по потенциальным энергиям. В этой области ядер статистическая модель [11] довольно, хорошо описывает поведение массового распределения осколков деления [12].

Предсказанное на основе статических (без рассмотрения динамики процесса деления) расчетов уширение массового распределения осколков деления с приближением к. точке Бусинаро-Галлоне [13] подтвердилось экспериментально [3, 7−9]. В этой точке массовое распределение осколков деления становится плоским, а при меньших значениях па' ра метра делимости оно становиться /У-образным. В зависимости от используемой теоретической модели определения потенциальной энергии ядра положение точки Бусинаро-Галлоне может изменяться в пределах от 22/А ~ 19 до ¡-А ~ 23, поскольку устойчивость ядер к массасиметричным деформациям определяется значением жесткости потенциальной энергии по массасимметричной координате г) определение координаты г дано в параграфе 1.1).

Однако экспериментальное исследование деления легких ядер сталкивается с некоторыми трудностями. В реакциях с тяжелыми ионами образуются ядра с довольно, большим набором угловых моментов составной системы, что затрудняет определение зависимости различных характеристик деления от Ь. К тому же с увеличением заряда налетающего иона увеличивается кулоновский барьер, поэтому экспоненциально падает вероятность (сечение) слияния, а стало быть и сечение деления. В реакциях с легкими заряженными частицами возникает другая проблема — составные ядра образуются с малыми значениями Ь. но при этом вероятность деления чрезвычайно низка вследствие большой величины барьера деления. Увеличение же энергии налетающих частиц зачастую приводит к значительному вкладу прямых реакций и реакций глубоконеупругих передач, которые непросто отделить от событий '•'истинного" деления составного ядра.

Для более тяжелых ядер {Й1 ¡-А > 32) ситуация несколько меняется. Значительно возрастает вероятность деления при малых угловых моментах, становится возможным всестороннее исследование различных характеристик деления. Однако для этих ядер статическое описание становится далеко неполным, поскольку у этих ядер время спуска с барьера до точки разрыва увеличивается и на формирование МЭР осколков и множественности легких частиц оказывают влияние динамические эффекты [4,14]. Чтобы воспроизвести наблюдаемые величины в рамках статистической модели приходится прибегать к достаточно искусственным процедурам — введение некоего времени задержки деления (чтобы описать предразрывную множественность легких частиц), выбор некоей «средней» точки деформации ядра между барьером и разрывом (для описания массового распределения осколков). Поэтому появилась необходимость в создании и разработке моделей, учитывающих динамику процесса и воспроизводящих как можно большее число наблюдаемых величин, используя при этом минимальное число варьируемых параметров.

Хорошо известно, что стохастические методы традиционно широко используются в естественных науках: физике, химии, астрономии, биологии, не говоря уже об их многочисленных технических приложениях в радиофизике, радиотехнике и оптике.

В последние два десятилетия интерес к случайным флуктуациям и описывающим их стохастическим методам чрезвычайно возрос, что нашло отражение в последних монографиях, посвященных этим проблемам [15−17]. Начиная с середины восьмидесятых годов — времени открытия нового класса ядерных реакций: глубоконеупругих столкновений тяжелых ионов [1], стохастические методы широко используются и в ядерной физике. Хотя, следует отметить, что еще в 1940 году Крамере использовал [18] стохастическое уравнение Фоккера-Планка (УФП) для описания динамики деления-атомных ядер. Он предложил рассматривать эволюцию коллективных степеней свободы ядра, отвечающих за деление ядра, по аналогии с движением броуновских. частиц в вязкой среде (термостате), образуемых одночастичными (внутренними) степенями свободы. Используя эту аналогию динамики деления ядра с броуновским движением, Крамере вычислил парциальную ширину деления Г/, связанную со скоростью деления А/ через постоянную.

Планка Г/ — /¿-А/.

Исходным уравнением в рассмотрении Крамерса было одномерное уравнение Ланжевена (УЛ) для броуновской частицы массой т, движущейся в потенциальном поле У (д) и взаимодействующей с термостатом, характеризуемым температурой Т. Это уравнение эквивалентно УФП, которое в литературе принято называть [15,16] уравнением Крамерса. здесь В = 7 Т — коэффициент диффузии, 7 — коэффициент трения (фрикционный параметр).

Для решения задачи о прохождении ансамбля броуновских частиц через одномерный потенциальный барьер Крамере использовал УФП (0.1) в предположении, что коэффициенты инерции т. трения 7 и температура Т не зависят от координаты, а потенциальная энергия У (д) аппроксимируется двумя плавно сшитыми осцилляторами вблизи основного состояния д — до с частотой щ и вблизи вершины барьера д = дь (в многомерном случае — седловой точки) с частотой иь, причем высота барьера Б/ существенно больше температуры системы. Если 7 > 7СГ = (27г)1то-оТ/Б/, а это неравенство почти всегда выполняется, за исключением случая неразумно малой вязкости, то вблизи основного состояния с высокой степенью точности осуществляется распределение Максвелла-Больцмана, т. е. делящаяся система находится в состоянии, близком к статистическому равновесию. Таким образом, равновесная функция распределения в основном состоянии может рассмтриваться как начальное условие для УФП.

С течением времени через вершину барьера будет происходить медленная диффузия, стремящаяся восстановить повсюду равновесные усд р д дУ —Л |—дqm др дд ловия. Начиная с некоторого момента времени, через барьер установится квазистационарный ток, т. е. число частиц за единицу времени, сумевших преодолеть барьер, практически не будет зависеть от времени. При этом квазистационарное решение УФП также не будет зависеть от времени. Явный вид функции распределения, отвечающей этому решению выглядит следующим образом: mojQ wK{q, p) =.

Т. 1 9 9 Р.

— Bf + -rr^W — ^.

1 Х 2.

1+erf.

0TTW-1.

АтТ Р.

0.2).

Много лет спустя стационарное решение и>к{д, р) было использовано В. М. Струтинским в работах [19], в которых было получено выражение для делительной ширины Г/ при произвольном соотношении Т иБ/. Выражения, полученные Крамерсом и Струтинским, уточняют классическую формулу Бора и Уилера для Г^ ^ [20] на случай конечного значения ядерной вязкости.. гК — r-BW xf -¦i" /.

1 + 7 2 s2muJb) 7.

2тшъ шо Т'.

0.3) где Tjw — хорошо известное из химической кинетики выражение аррениусовского вида f -£ехР (-Bf/T).

В случае аномально большого трения уравнение Крамерса (0.1) для функции распределения сводится к уравнению для редуцированной функции распределения й (д,?) = ?(Ирш (д, р^): dt.

7 dq V dq dq) '.

0.4) которое называют уравнением Смолуховского [16,21]. Для свободной броуновской частицы, когда V — 0 уравнение (0.4) есть уравнение диффузии с коэффициентом, диффузии В = Т/7.

Обобщение уравнения Крамерса (0.1) на случай п коллективных координат, когда тензоры инерционных (т^-), фрикционных (7^) и диффузионных'(Д^) параметров являются симметричными недиагональными матрицами и зависят, как и потенциальная энергия V, от координат, имеет вид: дги дт (дУ 1 дъи д / д2т + 7г]Щк-?—Рк'Ш) + Вц.

0.5) дрг дргдр3 и его часто называют обобщенным уравнением Крамерса (здесь ||//г-Цттг^Ц-1, а по повторяющимся в произведениях индексам подразумевается суммирование).

Из выражения (0.5) видно, что УФП является линейным относительно функции распределения (2п+1)-мерным дифференциальным уравнением второго порядка относительно фазовых переменных и первого порядка относительно времени. В случае одной степени свободы для решения УФП используют эффективные конечно-разностные методы [22] или метод пропагатора [23]. Однако, уже в случае двух степеней свободы данные методы использовать невозможно из-за крайней громоздкости вычислений. Деление же является существенно многомерным процессом [24]. Для адекватного его описания необходимо введение, по крайней мере, трех коллективных обобщенных координат: координаты удлиннения, отвечающей разделению ядра на осколки, параметра массовой асимметрии, определяющей массы будущих осколков, и координаты шейки, описывающей толщину перемычки между будущими осколками [24]. В некоторых случаях необходимо вводить также другие обобщенные координаты, описывающие более сложные коллективные движения, например, координату, определяющую разделение заряда между осколками [25,26]. Поэтому для решения многомерного УФП применяются приближенные методы, такие как метод глобального моментного приближения (ГМП) [21,14] и метод редуцированного пропагатора [21, 27,28]. Более. подробное описание метода решения УФП приведено в Приложении I.

Отметим, что применение уравнения (0.5) к изучению динамики деления до недавнего времени ограничивалось достаточно нагретыми ядрами, энергия возбуждения которых Е* > 25 МэВ и температура Т > 1 МэВ-. Происходящее при таких возбуждениях исчезновение парных корреляций и оболочечных эффектов приводит асимптотически к квазиклассическим значениям характеристик ядра, которые могут быть рассчитаны в макроскопических подходах.

При менее сильных возбуждениях эффекты оболочечной структуры и парное взаимодействие нуклонов существенно влияет [24] на поведение транспортных коэффициентов уранения (0.5) и для их расчета необходимо использовать более сложные микроскопические подходы, например теорию линейного отклика [29].

С другой стороны, динамику деления ядра можно довольно просто и наглядно моделировать при помощи уравнений Ланжевена [30]. Обмен энергией, сосредоточенной в коллективном движении и внутренних степенях свободы происходит за счет феноменологически введенной Ланжевеном случайной силы, действующей со стороны термостата благодаря силам трения, приводящим к повышению температуры системы.

По сравнению с уравнением Фоккера-Планка, являющимся уравнением в частных производных первого порядка по времени и второго порядка по фазовым переменным (координат и сопряженных им импульсов), уравнения Ланжевена — система обыкновенных дифференциальных уравнений в фазовом пространстве, включающих в себя, однако, случайную силу. Кроме того, как было показано выше, решение многомерных УФП получаются только приближенными методами, то—гда как решение УЛ не требует привлечения каких-либо дополнительных соображений по поводу вида функции распределения координат и импульсов.

В общем виде УЛ можно записать так:

У (0.6).

Щ. р к ;

Н ^ т' - ¦,. где Н (д, р) = —дУ/дд—^р/т, V — потенциал, 7 — коэффициент трения среды, т — масса броуновской-частицы, = дТ{Ь) — случайная сила, д — амплитуда случайной силы, Г (£) — случайная величина со свойствами:

Г (0) — 0,.

0.7).

Г = 25(^-1″).

Связь уравнений Ланжевена и уравнения Фоккера-Планка приведена также в Приложении I. Там же приведены численные схемы решения УЛ.. .¦¦':.•.-" .

Для полноты описания реакций с тяжелыми ионами, идущими через образование составного ядра, В последнее время делаются попытки объ-единенния двух стадий этого процесса — стадии слияния двуТионов, образование составного ядра и стадии деления составного ядра с последующим девозбуждением осколков деления. Динамику процесса слияния двух ионов можно также описывать при помощи УФП [1], либо при помощи УЛ, используя при этом модель поверхностного трения [31,32].

Несмотря на то, что численная схема решения УЛ достаточно проста в реализации, моделирование процесса деления сталкивается с трудностями технического характера. Для уменьшения статистической погрешности расчетов в рамках подхода с УЛ требуется разыгрывать большой ансамбль броуновских частиц [33,34], например в работе [34] использовалось до 5 ¦ 106 траекторий.

При этом одна из проблем заключается в том, что ядро может довольно долго находиться в основном состоянии перед тем как разделиться. Времена жизни отдельных ядер порой отличаются в 105 раз. В настоящее время корректно охватить подобный разброс времен жизни в рамках одного подхода представляется затруднительным.

Другая проблема, возникающая при моделировании многомерных УЛ заключается в следующем. Чтобы достичь хорошей точности решения УЛ для трех и более коллективных координат требуются довольно мощные компьютеры, обладающие большим объемом оперативной памяти и быстродействием.

К настоящему времени проведено много расчетов в рамках двухмерных УЛ [33, 35−42]. В этих работах проводились исследования параметров энергетического распределения осколков деления и множест-венностей легких частиц с целью определения типа ядерной вязкости, реализующейся в делении.

В обычных жидкостях и газах средняя длина свободного пробега частиц между столкновениями Л, как правило, меньше размеров системы, в ядре же величина Л сопоставима с размерами ядра (и, порой, даже превышает их). Поэтому, наряду с двухтельным механизмом вязкости [43], обусловленным двухчастичными столкновениями нуклонов, рассматривают, так называемый, однотельный [44−47], который возникает вследствие взаимодействия отдельных нуклонов со средним полем ядра, т. е. нуклоны в ядре как бы сталкиваются с движущейся поверхностью ядра [4,48].

Святецким с соавторами [44] при целом ряде упрощений механизма соударения нуклонов с поверхностью ядра были получены простые формулы для однотельного механизма вязкости (формулы «стены» и «стены и окна»). Оценки ядерной вязкости по этим формулам приводят к чрезмерно большим ее значениям, и ядра при этом механизме оказываются супервязкими. Квантовое рассмотрение однотельной диссипации показало [49], что ядерная вязкость составляет лишь около 10% значения, рассчитанного по формуле стены, хотя функциональная зависимость однотельной диссипации от изменения формы ядра формулой стены дается правильно. Поэтому в модифицированном варианте однотельного механизма диссипации [47], который получил название «поверхностного» однотельного, вклад в диссипацию от соударений нуклонов о поверхность ядра был уменьшен с помощью коэффициента редукции ks. Сравнение различных рассчитанных характеристик деления с экспериментальными значениями определяет величину ^ ='0.2 -т- 0.5. Выяснение механизма ядерной вязкости в делении и получение надежной оценки его значения до сих пор являются открытыми вопросами.

Расчеты, проведенные в рамках многомерных УФП [25,27,50−52], использовали оба механизма ядерной вязкости. При этом оказалось, что характеристики массово-энергетического и зарядового распределений являются величинами, не чувствительными к используемому типу вязкости. А величинами, критичными к нему, являются времена деления и предразрывные множественности легких частиц [4].

В работах в которых в качестве динамических уравнений использовались УЛ [33,36,37,41] и где учитывалась также эмиссия предразрыв-ных частиц, ситуация стала более определенной — наилучшее согласие с экспериментальными данными дают расчеты, использующие одно-тельный механизм ядерной вязкости.

В одной из последних работ [42] были проведены расчеты массового распределения осколков деления в рамках двухмерных УЛ. Результаты этих расчетов также дают указания на однотельный механизм диссипации.

Дальнейшее развитие динамического подхода к описанию характеристик деления атомных ядер может включать в себя замену механической силы —дУ/дд на термодинамическую — дГ/дд, где Г — свободная энергия [53], а также использование в расчетах механизма «задержанного» трения (см. Приложение I). Существенным шагом в развитии данной модели представляется также рассмотрение эволюции сразу нескольких переменных, что позволит получить одновременно массовые и энергетические распределения осколков деления, а в перспективе и зарядовые.

Комплексное описание наблюдаемых величин на всех стадиях процесса деления (таких как множественности легких частиц, распределения осколков, различные сечения реакции: слияния, деления, остатков испарения и т. д.) позволит решить вопрос об адекватности той или иной модели экспериментальным данным.

В работах Адеева с соавторами [14,25−27,50−52], использующих уравнения Фоккера-Планка для описания динамики процесса деления, был достигнут прогресс в описании маесо-энергетического распределения (МЭР) осколков деления. В этих работах для широкого круга ядер была исследована зависимость параметров МЭР осколков деления от выбора транспортных коэффициентов. Было рассмотрение два типа ядерной вязкости — двухтельный и однотельный. Оптимальное для одновременного описания массового и энергетического распределений (МР и ЭР) значение коэффициента' двухтельной вязкости оказалось равным у = 0.02 • 10~21 МэВ-с-фм" 3. Однако в данном рассмотрении динамики деления не было учтено влияние эмиссии легких частиц.

Описание множественности предразрывных частиц в рамках статистической модели требует введения феноменологического параметра — времени задержки деления — для учета динамических эффектов [4]. При этом в случае тяжелых ядер остается произвол в выборе точки между седлом и разрывом, в которой определяются параметры распределений осколков деления (МР и ЭР).

В работах японской группы [21,30,33] для описания динамики деления использовались уравнения Ланжевена. Для расчета ЭР осколков деления одновременно с множественностью предразрывных частиц динамика деления объединялась со статистической моделью, при этом эмиссия легких частиц определялась непрерывным образом, то есть на каждом шаге интегрирования г происходил вылет дробной части частицы. Исследования проводились также в рамках двух механизмов вязкости. Для описания экспериментальных значений множественности предразрывных нейтронов потребовалось увеличение коэффициента двухтельной вязкости до значения V ~ 0.12 ¦ Ю-21 МэВ-с-фм-3, тогда как лучшее согласие по параметрам ЭР осколков деления получалось-при V ~ 0.036 • 10~21 МэВ-с-фм~3. При этом с увеличением коэффициента V расхождение рассчитанных параметров ЭР с экспериментом увеличивалось. Расчет же в рамках однотельного механизма вязкости показал лучшее согласие с наблюдаемыми величинами.

Для описания ЭР осколков деления и множественности предразрыв-ных частиц Тиллак с соавторами [39] также применял УЛ к расчету-динамики деления. К сожалению, в этой работе исследовалась лишь двухтельная вязкость.

В работе [54] был предложен способ объединения ланжевеновской динамики деления и статистической модели в котором эмиссия частиц рассматривалась дискретным образом. На каждом шаге интегрирования динамических уравнений вылет легкой частицы определялся монте-карловской процедурой, исходя из отношения шага интегрирования к полному времени жизни составного ядра до вылета какой-либо из легких частиц. Выбор конкретной частицы осуществлялся в соот-ветсвии с парциальной шириной по данному каналу распада. Однако способ расчета долгоживущей компоненты тока вероятности через барьер деления, а также сечения остатков испарения вызывает сомнения. Динамическая модель используемая в последующих работах [55] представляется весьма скудной в том смысле, что в ней рассматривается эволюция лишь одной коллективной координаты в рамках редуцированного уравнения Ланжевена. Кроме того, что в рамках данной модели невозможно получить ни массовое, ни энергетическое распределения осколков деления. Стоит отметить еще один существенный недостаток этого подхода-— координатная зависимость ядерной вязкости, введеннная ради описания множественности предразрывных нейтронов никак не обоснована с физической точки зрения и используется как подгоночный параметр теоретических результатов к экспериментальным данным.

В связи со всем вышесказанным, целью настоящей работы являлось:

• расчет массового распределения осколков деления, используя для описания динамики деления уравнения Ланжевёна в рамках двух моделей жидкой капли (МЖК) — МЖК с резким краем ядра и МЖК с диффузным краем ядра;

• разработка способа перехода от предразрывных форм составного ядра к разделенным конфигурациям — двум осколкам деления, определение энергии деформации осколков для последующего вычисления множественности послеразрывных частиц, объединение этого подхода с динамической частью модели;

• изучение влияния эмиссии предразрывных частиц на формирование МР осколков деления, также в рамках двух моделей МЖК;

• исследование поведения МР в зависимости от типа и величины ядерной вязкости, попытка определить тип вязкости, реализующийся в делении;

• используя полученные результаты выяснить какой из двух вариантов МЖК наиболее точно описывает экспериментальные данные.

В первой главе данной диссертации приводится общее описание моделей, используемых в расчетах динамики деления составного ядра. В первом параграфе описываются варианты описания формы поверхности делящегося ядра. Во втором показаны варианты расчета консервативной силы, действующей на коллективные координаты ядра. В третьем — расчет транспортных коэффициентов, входящих в динамические уравнения эволюции делящейся системы. В последнем параграфе показан возможный выбор начальных и граничных условий решения динамических уравнений.

Во второй главе рассматривается статистическая модель для учета эмиссии легких частиц из составного ядра и осколков деления. В первом параграфе кратко изложено описание стандартной статистической модели, описан способ объединения ее с динамикой деления. Предложен подход, позволяющий описывать множественности послеразрыв-ных частиц, используя при этом результаты динамических расчетов. Во втором разделе приведены результаты расчетов в рамках вышеописанного подхода. Получено довольно хорошее согласие с экспериментальными данными по множественностям легких частиц. Расчеты показали ощутимое влияние эмиссии послеразрывных легких заряженным частиц на множественность нейтронов из осколков деления .

В третьей главе обсуждаются проблемы расчета энергетического и массового распределений осколков деления. Для широкого круга ядер в рамках упрощенной модели рассчитаны параметры массового распределения. Расчеты проведены в рамках двух моделей жидкой капли, получено качественное согласие с экспериментом в области тяжелых ядер.

В заключительной четвертой главе представлены основные результаты данной диссертации. Дан анализ влияния эмиссии легких частиц на массовое распределение осколков деления. Исследованна зависимость параметров массового распределения и предразрывной множественности нейтронов деления от типа и величины вязкости ядерного вещества.

В Заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертации и выводы.

Заключение

80.

Хочу выразить искреннюю благодарность Прохоровой Елене Владимировне за моральную поддержку во время написания диссертации.

Благодарю также Коляри Игоря Генриховича и Надточий Павла Николаевича за совместную работу.

И, наконец, выразить сердечную благодарность своим родителям, взявших на свои плечи большую часть моих бытовых забот во время выполнения данной работы.