Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Исследование экспоненциальной дихотомии линейных почти периодических систем прямым методом Ляпунова

Диссертация: Исследование экспоненциальной дихотомии линейных почти периодических систем прямым методом Ляпунова
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

L х — fit) (/eR), (0.16) где L — оператор (0.7), основанное на предложенном обобщении понятия «установившейся режим»: гак называются в книге ограниченные на всей оси решения системы (0.16). В случае экспоненциально устоичивои системы с постоянной матрицей это определение согласуется с принятым. Рассматривается ситуация, когда система (0.16) — вообще говоря, неустойчивый регулярный элемент более… Читать ещё >

Исследование экспоненциальной дихотомии линейных почти периодических систем прямым методом Ляпунова (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. Предварительные сведения
    • 1. 1. Э-дихотомия решений системы х -с непрерывной ограниченной матрицей
    • 1. 2. Э-дихотомия решений системы хплХ—Апх с ограниченной матрицей
    • 1. 3. Почти периодические функции непрерывного и дискретного аргумента. Критерий компактности С. Бохнера
    • 1. 4. Теорема М. Г. Крейна об операторном неравенстве в банаховом пространстве с конусом
  • Глава 2. Э-дихотомия решений системы х=А (/)х с почти периодической матрицей
    • 2. 1. Формулировка основного результата
    • 2. 2. Подготовительные теоремы
    • 2. 3. Доказательство основного результата
    • 2. 4. Пример. Э-дихотомия решений векторного почти периодического уравнения второго порядка
  • Глава 3. Э-дихотомия решений системы хп^-Лпх с почти периодической матрицей
    • 3. 1. Формулировка основного результата
    • 3. 2. Подготовительные теоремы
    • 3. 3. Доказательство основного результата
    • 3. 4. Пример
  • Глава 4. Э-дихотомия решений задачи Коши для одномерной линейной гиперболической почти периодической системы в гильбертовом пространстве
    • 4. 1. Оператор сдвига вдоль характеристик гиперболической системы
    • 4. 2. Две леммы
    • 4. 3. Достаточное условие э-дихотомии для системы (4.1) с гладкими ограниченными коэффициентами
    • 4. 4. Класс индефинитных функционалов Ляпунова
    • 4. 5. Случай почти периодических по времени коэффициентов

0.2).

1.В последние несколько десятилетий в теории устойчивости интенсивно изучается тип поведения динамических систем, получивший название экспоненциальная дихотомия. Говорят, что для системы x = A (t)x, х: R ^ Е — Сх, (0.1) с непрерывной матрицей А (/) и матрицей Коши U{t) имеет место свойство экспоненциальной дихотомии (')-дихотомии), если фаговое пространство распадается в прямую сумму.

Е = Е{ + Е2 так, что.

1°) при некоторых //, v>0 выполняются оценки х е =>u (t)x < fie v ('" r) U (t)x (t > t), x g E2 n> |?/(/)jc| < // e~v{r ~t]U (t)x (t < t),.

2°) взаимный наклон (см. ri. l § 1.1) движущихся подпространств.

Ek (t) = U (t)Ek отделен от нуля: Sn (E{(t), E2(t))> у > 0. Здесь и далее |-| - эрмитова норма в Л, так же обозначается согласованная с ней матричная норма.

Числа //, V, у называются параметрами дихотомии.

В частном случае A{i)< const требование 2° следует из 1°.

Основным приёмом при изучении систем (0.1) со свойством э-дихотомии является матрица Грина, определяемая формулой.

0.3) г {иг).

U (t)iUr) (t>rU (t)P2Vr) {t.

0.4).

Ек=РкЕ (к -1,2). (0.5).

Имеет место при некотором ¡-и > 0 оценка.

Г (/, г)|<//?Г,/|'" г|. (0.6).

Для систем с ограниченной матрицей свойство э-дихотомии равносильно свойству регулярности, означающему существование ограниченного обратного к оператору = ~А{г) (0.7) в банаховом пространстве Св непрерывных ограниченных функций К —> Е с нормой ||/|| = 5ир|/(. Имеет место формула обращения сс.

7 = Г (1,т)/(т)с1т (/еСд). (0.8).

— X.

Имеет место (получен А. Д. Майзелем [70]) критерий э-дихотомии в терминах эрмитовых форм х^)=(^(/)х, х}. (0.9).

ТЕОРЕМА 1.1. Для э-дихотомичности системы (0.1) с непрерывной ограниченной матрицей А (/) необходимо и достаточно существование индефинитной эрмитовой ограниченной гладкой мат-риг^ы с отделённым от нуля (t-F такой, что производная ф,/) = (С (/)х, х), <7 = Р + РА + А*Р, (0.10) формы (0.9) вдоль траекторий системы (0.1) равномерно отрицательна: при некотором т > 0.

С (/)< -т1 (геК). (0.11).

Здесь и далее /- единичная матрица, (,) — стандартное скалярное произведение вСЛ.

2. Аналогично определяется свойство э-дихотомии для разностных систем х1п]=Лпх", хп:2->Е, (0.12) с отличным от нуля с! с заменой в (0.3) матрицы Коши и моментов времени г их дискретными аналогами 1/п, п, т (см. § 1.2). В этом случае матрица Грина определяется формулой и&bdquoР, и: (п > т), -и"Р2и,"1 {п<�т где Рк — проекторы (0.5). Имеют место оценка, аналогичная (0.6), и формула обращения Г сс.

1 и ~ X Л/./// .1 т 1ц и ?—I п. ш ./ ш тг где Св — банахово пространство ограниченных функций Z —> Е с нормой /п-5ир|/"|,? хп — х/и! — Ап хп, и разностный аналог критерия э-дихогомии в терминах эрмитовой формы и (х, п) = (Епх, х). (0.13).

ТЕОРЕМА 1.2. Для э-дихотомичности системы (0.12) с ограниченной матрицей Ап необходимо и достаточно существование индефинитной эрмитовой ограниченной матрицы Еп с отличным с! е1 Е такой, что разностная производная (см. § 1.2).

6{х, п) = (С7&bdquoX, х), о- = А*пЕпЛ, Ап-Еп, (0.14) формы (0.13) вдоль траекторий системы (0.12) равномерно отриот нуля цательна: при некотором т > 0 —т1 (п е г1).

0.15).

3. Первые результаты по этой проблематике были получены в начале прошлого века в работах Ж. Адамара [109], II. Боля [34], О. Перрона [116], Та Ли [113], где изучались нелинейные возмущения систем (0.1) со свойством регулярности (метод Перрона-Адамара). Эквивалентность свойств регулярности и э-дихотомии для систем с ограниченной матрицей была доказана позднее А. Д. Майзелем [70].

Систематическое изучение систем со свойством э-дихотомии было впервые предпринято в конце 50-х — начале 60-х годов прошлого века в фундаментальных исследованиях X. Масссра и X. Шеффера, изложенных в их книге [71]. При этом в [71] рассматривается существенно более общий случай, когда фазовое пространство Е в (0.1) — произвольное комплексное банаховое пространство и значения коэффициента — линейные ограниченные операторы Е Е.

Круг идей, методов и результатов книги [71] был существенно углублён и расширен в вышедших в 1970 году книгах Ф. Хартмана [101], Ю. Л. Далецкого и М. Г. Крейна [43], М. А. Красносельского, В. Ш. Бурда и Ю. С. Колесова [62].

В [101] построения из [71] перенесены на уравнения высших порядков.

В [43] изучение э-дихотомии для уравнения (0.1) в банаховом пространстве проводится на основе развитого ранее II. Болем |104| и М. Г. Крейном [63] аппарата генеральных показателей. В построениях существенно используется геометрический метод, связанный с применением операторов поворота подпространств [44, 45, 111]. В конечномерном случае приложения этого метода к э-дихотомии были ранее получены В. Коппелем [106−108].

В [62] регулярные системы (0.1) с почти периодической матрицей A (t) и их нелинейные возмущения изучаются методом теории конусов [64J.

4. Укажем основные направления, по которым развивались исследования [43, 62, 71, 101 | в последующем.

4.1. В работах Д. В. Аносова [6−8] э-дихотомия нашла приложения к объяснению механизма возникновения турбулентности. Рассматривается гладкая компактная динамическая система со следующим свойством (даётся нестрогое определение): линеаризация на каждой траектории приводит к системе (0.1) со свойством э-ди-хотомии. Показано, что, несмотря на вытекающую из определения неустойчивость индивидуальных траекторий, система в целом «физически реализуема»: является грубой по A.A. Андронову, JI.C. Понтрягину [5]. Сходство поведения системы Аносова с поведением турбулентной струи: сочетание неустойчивости индивидуальных траекторий с устойчивостью системы в целом и свойство перемешивания (доказано в [9]) — привело к гипотезе: при переходе числа Рейнольдса через критическое значение в фазовом пространстве системы Новье-Стокса рождается конечномерное притягивающее множество («странный аттрактор»), являющееся системой Аносова или системой с близкими свойствами [10, 11, 92, 114]. Эксперименты с вычислением предельных режимов галёркинских приближений системы Новье-Стокса [36, 69,92) согласуются с этой гипотезой.

4.2. В книге H.H. Розснвассера [80] получено приложение э-ди-хотомии к изучению линейных нестационарных систем управления.

L х — fit) (/eR), (0.16) где L — оператор (0.7), основанное на предложенном обобщении понятия «установившейся режим»: гак называются в книге ограниченные на всей оси решения системы (0.16). В случае экспоненциально устоичивои системы с постоянной матрицей это определение согласуется с принятым. Рассматривается ситуация, когда система (0.16) — вообще говоря, неустойчивый регулярный элемент более широкой системы управления (неустойчивость гасится остальной цепью). В этой ситуации формула обращения (0.8) превращается в правило прохождения установившегося сигнала через объект (0.16) этого класса. В [80] получен ряд приложений аппарата матриц Грина к решению задач управления, новых и для экспоненциально устойчивых систем (в этом случае в (0.4) Г — 0 при /<г).

4.3. Вышедший в 70-е и 80-е годы большой цикл работ В.В. Жи-кова, В. В. Жикова и В. М. Тюрина, Э. Мухамадиева, X. Абдуваито-ва, И. Т. Кигурадзе, В. Г. Курбатова, В. Н. Слесарчука и других авторов посвящен проблеме регулярности — выяснению условий обратимости для различных классов дифференциальных и функцио-нально-диффернциальных операторов [1, 2, 52−54, 57, 67, 75−77, 93−96]. В частности, в работе В. В. Жикова [54] найдены условия обратимости для подкласса операторов (0.7) в банаховом пространстве с неограниченным почти периодическим коэффициентом А (/), доказана эквивалентность свойства регулярности и э-дихогомии в этом классе, получено приложение к обоснованию глобального (на всей оси) принципа усреднения для параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. В работе Э. Мухамадиева [75] найдены условия обратимости оператора (0.7) с почти периодической матрицей Ав терминах поведения решений присоединённых однородных систем, получено приложение к теории Фавара [55].

4.4. В работах Р. К. Романовского [81−84] (см. также книгу [85]) исследован аналог свойства э-дихотомии для гиперболических систем с двумя независимыми переменными id д ^ Lu = — + A (s, t) — + B (s, t) u = 0, w: R2->? = CA, (0.17).

V Э/1 ds).

A = diag (a]I]anln), a, >. > an, ak > const > 0,.

— единичная матрица порядка Nk, Y, = N, (0.18).

A eC1, В eC, A, A’s, A’t, В ограничены, получивший название «экспоненциальная расщепляемость» (э-расщепляемость). В качестве определения принят тип поведения фундаментальной матрицы системы (0.17), наблюдаемый «в эксперименте» в случае постоянных коэффициентов при выполнении некоторого спектрального условия: распад сингулярной и регулярной компонент фундаментальной матрицы в суммы слагаемых, экспоненциально убывающих в соответствующих зонах. Изучение ведётся с помощью составленных из «продуктов распада» матриц двух типов, получивших название матриц Грина 1-го и 2-го рода и представляющих собой в совокупности аналог матрицы Грина системы (0.1) со свойством э-дихотомии. Доказаны грубость свойства э-рас-щепляемости, эквивалентность свойств э-расщепляемости и регулярности, формула обращения для регулярного оператора (0.17), описаны ограниченные в различных областях D a R решения неоднородной систем!, i Lu = /, / еСи (Р). В построениях обе независимые переменные равноправны. Показано, что свойство э-расщепляемости влечёт э-дихотомию в Снорме решений задачи Коши для системы (0.17) с данными на любой гладкой кривой, нигде не касающейся характеристик (вычислено соответствующее разложение единицы). Получены приложения к подклассу задач теории управления, к проблеме глобального усреднения для гиперболических уравнений [86, 87]- усреднение ведётся, но обеим независимым переменным.

В работе [88] исследована детальная структура оператора моно-дромии гиперболической системы (0.17) с периодическими по времени коэффициентами. В пространственно-однородном случае вычислена резольвента оператора монодромии, описан его спектр как объединение спектров семейства матриц, получен в этих терминах критерий э-дихотомии в Снорме решений задачи Коши с данными на прямой? = 0.

4.5. В последние 20 лет интенсивно развивается теория э-дихотомии для уравнения (0.1) с неограниченным оператором при этом широко используются методы теории полугрупп. Важные результаты в этом направлении получены в цикле работ Л. Г. Баскакова и его учеников. В работах [12−15], см. также ссылки в обзоре [14], получен ряд новых результатов по проблеме обратимости в различных функциональных пространствах оператора (0.7) с замкнутым Л (/) и связи обратимости с э-дихотомией с использованием свойств введённой в [12] полугруппы разностных операторов и, более общо, полугруппы разностных отношений [14]. В работе [16] из этого цикла принадлежащий М. Г. Крейну [43] критерий э-дихотомии уравнения х—Ах с ограниченным оператором, А в гильбертовом пространстве Н в терминах разрешимости уравнения Ляпунова.

А*Х + Х, А = С"0 распространен на существенно более общую ситуацию, когда А-генератор сильно непрерывной группы операторов Т&- / (//) и, более общо, — генератор некоторых классов сильно непрерывных полугрупп операторов. В работах Р. Нагеля и Л. Ранди, Ю.Д. Ла-тушкина и С. Монтгомери | 1 12, 115] распространён метод функций Ляпунова па широкий класс уравнений (0.1) с неограниченным А{V). При этом важную роль играет ассоциированная с уравнением.

0.1) полугруппа операторов взвешенного сдвига, введённая ранее в работе Дж. Хоуленда [110] (см. также [13]), использование которой позволяет свести анализ асимптотического поведения — устойчивости, дихотомии — решений неавтономного уравнения (0.1) к такой же задаче для автономного уравнения у —Г у, где Ггенератор полугруппы. Обзор результатов по указанной в этом пункте проблематике содержится в книге К. Чиконе и Ю. Д. Латушкина [ 1 05] и в статье А. Г. Баскакова [14].

4.6. Работы С. К. Годунова и А. Я. Булгакова [35, 39−41], смотри также книгу [42], посвящены разработке эффективно проверяемых критериев э-дихотомии, методов оценки параметров э-дихотомии и алгоритмов их численной реализации для систем (0.1) с постоянной матрицей с фазовым пространством большой размерности, возникающих при конечномерной аппроксимации бесконечномерных систем. В [41] получено приложение к анализу асимптотического поведения решений краевых задач для симметрических гиперболических систем с постоянными коэффициентами. В работе Г. В Де-миденко и Ю. Ю Клевцовой [46] получен критерий э-дихотомии для системы (0.1) с периодическими коэффициентами, основанный на анализе уравнения Ляпунова для матрицы эрмитовой формы (0.10).

5. Одна из проблем теории устойчивости — разработка эффективных методов анализа поведения при большом времени динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. Во второй половине прошлого века получен ряд результатов по этой проблематике в рамках метода малого параметра — работы И. З. Шгокало, II.II. Еругина, В. Н. Фомина, II.II. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, В. Ш. Бурда, Ю. С. Колесова и других авторов [33, 37, 51, 56, 60−62, 65, 74, 99, 102, 103|. Вместе с тем в ряде случаев возникающие в приложениях задачи расчёта динамических систем на устойчивость и дихотомию не вкладываются в схему этого метода.

Некоторое продвижение произошло в последние 20 лет. В цикле работ [34, 48−50, 58, 59, 78, 79, 89, 90, 97, 98] группы сотрудников и аспирантов ОмГТУ получены прямым методом Ляпунова признаки экспоненциальной устогтивости для различных классов почти периодических уравнений — дифференциальных, разностных, функционально-дифференциальных — с существенно ослабленным по сравнению с общим случаем условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы. Б [72, 73, 91] этим методом получены признаки экспоненциальной устойчивости решений задачи Коши и смешанной задачи для гиперболической системы (0.17) с периодическими и почти периодическими по времени коэффициентами с ослабленным по сравнению с рассмотренным ранее в [381 общим случаем условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

Представляет теоретический и практический интерес получение аналогов этих результатов для исследования более сложного типа поведения решений — экспоненциальной дихотомии. Диссертационная работа посвящена этой проблематике.

Цель работы: разработка варианта прямого метода Ляпунова с ослабленным условием на производную функции (функционала) Ляпунова вдоль траекторий системы для трёх классов линейных систем с почти периодическими коэффициентами:

— линейных дифференциальных систем;

— линейных разностных систем;

— линейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными.

Из сказанного выше вытекает актуальность темы диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

Закл ючение.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработан вариант прямого метода Ляпунова для исследования экспоненциальной дихотомии решений системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами. Получен критерий экспоненциальной дихотомии с ослабленным условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы.

2. Получен аналог этого результата для системы обыкновенных линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами.

3. Разработан вариант прямого метода Ляпунова для исследования экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными с гладкими ограниченными коэффициентами. Получен достаточный признак экспоненциальной дихотомии в ½-норме.

4. В частном случае почти периодических по времени коэффициентов получен достаточный признак экспоненциальной дихотомии с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

5. Развит подход к построению класса индефинитных функционалов Ляпунова, отвечающих за свойство экспоненциальной дихотомии.

Показать весь текст

Список литературы

  1. , X. Об условиях обратимости дифференциального оператора второго порядка / X. Абдуваитов, Э. М. Мухамадиев // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 1 3, № 1 2. — С. 21 1 5−21 23.
  2. , X. Об ограниченной обратимости одного дифференциального оператора второго порядка / X. Абдуваитов // Успехи матем. наук. 1986. — Т. 41, вып. 2(248). — С. 181−182.
  3. , Н.В. Устойчивость решений почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа / Н. В. Алексенко // Изв. вузов. Матем. 2000. -№. 2.- С. 3−6.
  4. , Н.В. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Н. В. Алексенко, Р. К. Романовский // Дифе-ренц. уравнения. 2001. — Т. 37, № 2. — С. 147−153.
  5. , A.A. Грубые системы / A.A. Андронов, Л.С. Понтря-гин // Докл. АН СССР. 1937. — Т. 14, № 5. С. 247−250.
  6. , Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны / Д. В. Аносов // Докл. АН СССР. 1962. — Т. 145, № 4. — С. 707−709.
  7. , Д.В. Эргодические свойства геодезических потоков на замкнутых многообразиях отрицательной кривизны / Д. В. Аносов // Докл. АН СССР. 1963. — Т. 151, № 6. — 1250−1252.
  8. , Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны / Д. В. Аносов. М.: Труды МИ АН СССР им. В. А. Стеклова, — 1967. Т. 90. — 210с.
  9. Д.В. Некоторые гладкие динамические системы / Д. В. Аносов, Я. Г. Синай // Успехи матем. наук. 1967. — Т. 22, № 5137. С. 107−172.
  10. , Д.В. Вступительная статья. В кн.: Гладкие динамические системы / Д. В. Аносов. М.: Мир.- 1977. С. 7−31.
  11. , В.И. Теория катастроф / В. И. Арнольд. М.: Изд-во МГУ, 1983. 80 с.
  12. , А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Функц. Анализ и его приложения. 1996. — Т. 30, вып. 3. — С. 1−1 1.
  13. , А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А. Г. Баскаков, А. П. Пастухов // Сиб. матем. журн. 2001. — Т. 42, № 6. — С. 1231−1243.
  14. , А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А. Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. 2009. — Т. 73, вып. 2. — С.3−68.
  15. , А.Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов- оценки решений / А. Г. Баскаков, Ю. Н. Синтяев // Дифференц. уравнения. 2010. — Т. 46, № 2. -С. 210−219.
  16. , А.Г. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова / А. Г. Баскаков, A.A. Воробьёв, М. Ю. Романова // Матем. заметки. 201 1. — Т. 89, № 2. — С. 190−203.
  17. , Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Л. В. Бельгарт, Р. К. Романовский // Материалы VI МН-ТК «Динамика систем, механизмов и машин», посвященной 65-летию ОмГТУ. Омск. 2007. — Книга 3. — С. 74−80.
  18. , Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л. В. Бельгарт, Р. К. Романовский // Матем. заметки. 2008. — Т. 84, № 4. — С. 638−640.
  19. , Л.В. Прямой метод Ляпунова для линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л. В. Бельгарт,
  20. P.K. Романовский // Материалы VI МН-ПК «Повышение конкурентоспособности российской экономики в современных условиях: управленческие, финансовые, коммерческие аспекты» Омский институт (филиал) РГТЭУ 20 ноября 2008 г. Омск. 2008. -С. 215−220.
  21. , Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / J1.B. Бельгарт, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журн, — 2009.- Т. 50, № 1.- С. 190−198.
  22. , Л.В. Исследование экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости прямым методом Ляпунова / Л. В. Бельгарт, Р. К. Романовский // Деп. в ВИНИТИ 16.04.2009, № 223-В2009, ОмГТУ, 2009, 12 с.
  23. , Л.В. Прямой метод Ляпунова для линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л. В. Бельгарт, Р. К. Романовский // Материалы VII МНН-ТК «Динамика систем, механизмов и машин», 10−12 ноября 2009. Книга 3. Омск.- 2009. С. 115−118.
  24. , Л.В. Дихотомия решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости / Л. В. Бельгарт, Р. К. Романовский // Материалы VII МНН-ТК «Динамика систем, механизмов и машин», 10−12 ноября 2009. Книга 3. Омск. 2009. -С. 118−122.
  25. , Л.В. Об экспоненциальной дихотомии решенийзадачи Коши для гиперболической системы на плоскости / J1.B. Бельгарт, Р. К. Романовский // Дифференц. уравнения. 2010. -Т. 46, № 8. С.1125−1134.
  26. , Л.В. Об экспоненциальной дихотомии решений систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / JI.B. Бельгарт, Р. К. Романовский // Изв. Вузов. Математика. 2010. — № 10. — С. 51−59.
  27. , Л.В. Дихотомия решений задачи Коши для почти периодической гиперболической системы на плоскости / JI.B. Бельгарт, Р. К. Романовский // Доклады АН BLII РФ 2010. — № 2 (15). С. 14−24.
  28. Л.В. Об одном классе индефинитных функционалов Ляпунова / Л. В. Бельгарт // Омский науч. Вестник. Серия Приборы, машины и технологии. 2010. № 3 (93). С. 1 1−13.
  29. , H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H.H. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. М.: Наука, 1974. — 504 с.
  30. , П. О некоторых дифференциальных уравнениях общего характера, применяемых в механике / П. Боль. Юрьев. 1900.
  31. , А.Я. Обоснование гарантированной точности выделения инвариантных подпространств несамосопряженных матриц / А. Я. Булгаков // Тр. ИМ СО АН СССР. 1989. — Т. 15. -С.12−92.
  32. , Л.А. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца. / Л. А. Бунимович, Я. Г. Синай. В кн.: Нелинейные волны. М.: Наука. — 1979. — С. 212−226.
  33. , В.Ш. Бифракция почти периодических колебаний дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа, с быстрым и медленным временем / В. Ш. Бурд // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр.-Ярославль, 1976. С. 143−153.
  34. , Е.В. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / Е. В. Воробьёва, Р. К. Романовский // Сиб. матем. журн. 1998.- Т. 39, № 6. С. 1290−1292.
  35. , С.К. Задача о дихотомии спектра матрицы / С. К. Годунов // Сиб. матем. журн. 1986. — Т. 27, № 5. — С. 24−37.
  36. , С.К. Дихотомия спектра и критерий устойчивости для секториальных операторов / С. К. Годунов // Сиб. матем. журн.- 1995. Т. 36, № 6. — С. 1 328−1335.
  37. , С.К. Метод расчета инвариантных подпространств для симметрических гиперболических уравнений // С. К. Годунов, В. Т. Жуков, О. В. Феодоритова // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. — Т. 46, № 6. — С. 1019−1031.
  38. , С.К. Современные аспекты линейной алгебры / С. К. Годунов. Новосибирск: Науч. книга, 1997. — 390 с.
  39. , Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. М.: Наука, 1970. 534 с.
  40. , Ю.Л. Деякш властивост1 оператор1 В, що залежать в1д параметра / Ю. Л. Далецкий, С. Г. Крейн // ДАН УРСР. -1950. Т. 6. — С. 433−436.
  41. , Ю.Л. О непрерывном вращении подпространств в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий // Успехи матем. наук. 1957. — Т. 12, вып. 3(75). — С. 147−154.
  42. , Г. В. Экспоненциальная дихотомия линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / Г. В. Демиденко, Ю. Ю. Клевцова // Вестник НГУ. Серия: матем., механика, информ.- 2008. Т. 8, № 4. С. 40−48.
  43. .П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М.: Наука, 1967. — 472 с.
  44. , С.М. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей / С. М. Добровольский, A.C. Котюргина, Р. К. Романовский // Матем. заметки. 1992. — Т. 52, вып. 6. — С. 10−14.
  45. , С.М. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем / С. М. Добровольский, Р. К. Романовский // Матем. заметки. 1997. — Т. 62, вып. 1. — С. 151−153.
  46. , С. М. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте / С. М. Добровольский, A.B. Рогозин // Сиб. матем. журн. 2005. — Т. 46, № 1. — С. 98−105.
  47. , Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н. П. Еругин. Минск: Изд-во АН БССР, 1963. — 273 с.
  48. , В.В. Принцип усреднения на всей оси для параболических уравнений с переменным главным членом / В. В. Жиков // Докл. АН СССР, — 1973.- Т. 208, № 1.- С. 32- 35.
  49. В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В. В. Жиков // Изв. АН СССР. Серия матем. 1976. — Т. 40, вып. 6. — С. 1380- 1408.
  50. , В.В. Об обратимости оператора A(t) в пространствеограниченных функций / В. В. Жиков, В. М. Тюрин // Матем. заметки. 1976. — Т. 19, вып. 1. С. 99−104.
  51. , В.В. Теория Фавара / В. В. Жиков, Б. М. Левитан // Успехи матем. наук. 1977. — Т. 32, № 2(194). — С. 123−171.
  52. , A.C. Об устойчивости почти периодических систем относительно части переменных / A.C. Игнатьев // Дифференц. уравнения. 1989. — Т. 25, № 8. — С. 1446−1448.
  53. , И.Т. Об ограниченных и периодических решениях линейных дифференциальных уравнений высших порядков / И. Т. Кигурадзе // Матем. заметки. 1985. Т. 37, вып. 1. — С. 48−62.
  54. , О.В. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / О. В. Кириченова, A.C. Котюргина, Р. К. Романовский // Сиб. матем. журн. 1 996. — Т. 37, № 1. — С. 1 70−1 74.
  55. О.В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений / О. В. Кириченова // Сиб. мат. журн. 1 998. — Т. 39, № 1. — С. 45−48
  56. , Ю.С. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии решений линейных почти периодических уравнений с последействием / Ю. С. Колесов // Вестн. Яросл. ун-та. 1973. — № 5. — С. 28−62.
  57. , Ю.С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Ю. С. Колесов // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр. Ярославль, 1977. — С. 82−141.
  58. , М.А. Нелинейные почти периодические колебания. / М. А. Красносельский, B.III. Бурд, Ю. С. Колесов. -М.: Наука, 1970. -352 с.
  59. , М.Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (отредактированные и дополненные Ю.Л. Далецким) / М. Г. Крейн. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1964. 186.
  60. , М.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха / М. Г. Крейн, М. А. Рутман // Успехи матем. наук. 1948. — Т. 3, вып.1(23). — С. 3−95.
  61. , Е.П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении / Е. П. Кубышкин // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр. Ярославль, 1978.-С. 110−117.
  62. , В.Л. Квадратичные формы и дихотомия решений системы дифференциальных уравнений / B.JI. Кулик // Укр. ма-тем. журн. 1982. — Т. 34, № 1. — С. 43−49.
  63. , В.Г. Об ограниченных решениях дифференциально-разностных уравнений / В. Г. Курбатов // Сиб. матем. журнал. -1986. Т. 27,№ 1. С. 86−99.
  64. , Б.М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / Б. М. Левитан, В. В. Жиков. М.: Изд-во МГУ, 1978. — 205 с.
  65. , Э.М. Детерминированное непериодическое движение / Э. М. Лоренц. В кн.: Странные аттракторы. М.: Мир. 1981. -С. 88−116.
  66. , А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений / А. Д. Майзель // Тр. Ур. Пи. Сер. мат. 1954. № 51. С. 20−50.
  67. , Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х. Л. Массера, Х. Х. Шеффер. М.: Мир, 1970.-458 с.
  68. , М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем на плоскости с периодическими rio времени коэффициентами / М. В. Мендзив, Р. К. Романовский // Дифференц. уравнения. 2008. — Т. 44, № 2. — С. 257−262.
  69. , М. В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами / М. В. Мендзив // Омский научный вестник. 2006. — № 3 (36). — С. 75−78.
  70. Митрополъский, 10.А. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами / Ю. А. Митрополъский, A.M. Самойленко, Д. И. Мартынюк. -Киев: Наукова думка, 1984. 213 с.
  71. , Э.М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций / Э. М. Мухамадиев // Докл. АН СССР. 1971. — Т. 196, № 1. — С. 47−49.
  72. , Э.М. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций / Э. М. Мухамадиев // Матем. заметки.- 1972, — Т. 1 1, вып. 3.- С. 269−274.
  73. , Э.М. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений / Э. М. Мухамадиев // Матем. заметки. 1981. — Т. 30, вып. 3. — С. 443−460.
  74. , A.B. Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем в банаховом пространстве / A.B. Рогозин, Р. К. Романовский // Доклады АН ВШ РФ. 2005. — № 2(5). — С. 65−72.
  75. , A.B. Об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве с почти периодическим оператором / A.B. Рогозин // Доклады АН ВШ РФ. 2006. — № 1(6). — С. 24−32.
  76. , E.H. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления / E.H. Розенвассер. М.: Наука, 1977. 344с.
  77. , Р.К. Об экспоненциальной дихотомии решений уравнений гиперболического типа / Р. К. Романовский // Успехи матем.наук. 1976. — Т. 31, № 1(187). — С. 259−260.
  78. , Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // ДАН СССР. 1982. — Т. 267, № 3. — С. 577−580.
  79. , P.K. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Матем. сб. 1985. — Т. 127(169), № 4(8). — С.494−501.
  80. , Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р. К. Романовский // Матем. сб. 1987. — Т. 133(175), № 3(7). С. 341−355.
  81. , Р.К. Метод Римана для гиперболических систем. / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьева, E.H. Страгилатова. Новосибирск: Наука, 2007. — 170 с.
  82. , Р.К. Прохождение случайных процессов через регулярные распределенные системы. В кн. Стохастические процессы и информационные системы / Р. К. Романовский // Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР. — 1987. — С. 1 18−127.
  83. , Р.К. Усреднение гиперболических уравнений / Р. К. Романовский // Докл. АН СССР. 1989. — Т. 306, № 2. -С. 286−289.
  84. , Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами. В кн. Методы функционального анализа в задачах математической физики / Р. К. Романовский // Киев: Изд-во ИМ АН УССР. — 1987. — С. 47−52.
  85. , Р.К. Прямой метод Ляпунова для уравнений с почти периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский, Н. В. Алексенко, С. М. Добровольский, О. В. Кириченова. -Омск: Изд-во ОмГТУ, 2001. 80 с.
  86. , Р.К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский,
  87. Г. А. Троценко // Сиб. матем. журн. 2003 — Т. 44, № 2. — С. 444−453.
  88. , Р.К. Устойчивость решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости с периодическими по времени коэффициентами / Р. К. Романовский, М. В. Мендзив // Сиб. матем. журн. 2007. — Т. 48, № 5. — С. 1134−1 141.
  89. , Д. О природе турбулентности. В кн.: Странные аттракторы / Д. Рюэль, Ф. Такенс. М.: Мир. — 1981. — С. 1 17−151.
  90. , В.Е. Обратимость функционально дифференциальных операторов / В. Е. Слюсарчук // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1980. — № 9. — С. 29−32.
  91. , В.Е. Обратимость почти периодических с-непрерывных функциональных операторов / В. Е. Слюсарчук // Матем. сб. 1981. — Т. 1 16(158), № 4(12) — С. 483−501.
  92. , В.Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов / В. Е. Слюсарчук // Матем. сб. 1986. — Т. 130(172), № 1(5). — С. 86−104.
  93. , Т.М. Об устойчивости линейных стахостических разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Т. М. Стругова // Матем. заметки. 2005. — Т. 78, № 3. — С. 472−475.
  94. Г. А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / Г. А. Троценко // Изв. вузов. Матем. 2003.6. С. 77−81.
  95. , В.И. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах / В. И. Фомин. -Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1972. 237 с.
  96. , А. Качественная теория импульсных систем / А. Ха-ланай, Д. Векслер. М.: Мир, 1 971. -309 с.
  97. , Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир. 1970. — 720 с.
  98. , В.Ф. Экспоненциальная дихотомия решений линейных периодических уравнений с последействием с медленным временем / В. Ф. Чаплыгин // Исслед. по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. Тр. Ярославль, 1975.
  99. И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // И. З. Штокало // Матем. сб. -1946. Т. 19(61), №> 2.- С. 263−268.
  100. Bohl, P. Uber Differentialungleichungen / P. Bohl // J. f. Reine und Agew. Math. 1913. — V. 144. — P. 284−318.
  101. Chicone, C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Y. Latuskin. Math. Surv. Monogr. — V. 70. — AMS. — Providence. — 1999. — 361 p.
  102. Coppel, W.A. Stability and asymptotic behaviour of differential equations / W.A. Coppel // Boston. DC Heath., 1965. 176 p.
  103. Coppel, W.A. Almost periodic properties of ordinary differential equations / W.A. Coppel // Ann. Math. Рига Appl. 1967. — 4(76) — P. 27−50.
  104. Coppel, W.A. Dichotomies and reducibility / W.A. Coppel // J. Diff. Equations. 1967. — V. 3. — P. 500−521.
  105. Hadamard J. Sur l’iteration et les solutions asymptotiques des equations differentialles / J. Hadamard. Bull. Soc. Math. — 1901.- V. 29. P. 224−228.
  106. Howland, J.S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians / James S. Howland // Math. Ann. 1974. — V. 207.- P. 315−335.
  107. Kato T. On the perturbation theory of closed linear operators / T. Kato It J. Math. Soc. Japan. 1952. — V. 4, № 3−4. P. 323−337.
  108. Latushkin, Y. Evolutionary semigroups und Lyapunov theorems in Banach space / Y. Latushkin, S. Montgomery-Smith // J.Funct. Anal. 1995. — V. 127. — P. 173−197.1 13. Li Ta. Die Stabilitatsfrage bei Differenzengleichungen. / Ta Li. //
  109. Perron, O. Die Stabilitatsfrage bei Differenzengleichungen. / O. Perron // Math. Z. 1930.-V. 32, № 5.-P. 703−728.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!