Классификация уравнений Монжа-Ампера

0.1 Общая характеристика работы 0.1.1 Актуальность темы исследования.

Уравнение Монжа-Ампера имеет следующий вид:

АУхх + 2Вуху + СУуу + 0{уххууу — у1у) + Е = 0, (1) где А, В, С, И и Е — функции от независимых переменных х, у, неизвестной функции у = у (х, у) и ее первых производных ух, уу.г.

Класс уравнений Монжа-Ампера выделяется из уравнений второго порядка тем, что он замкнут относительно контактных преобразований и содержит квазилинейные уравнения.

Этот факт был известен еще Софу су Ли, который в серии работ [82, 83] рассматривал проблему классификации гиперболических уравнений Монжа-Ампера и которую в современных терминах можно обобщить следующим образом: найти классы эквивалентности уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.

Важные результаты на пути к решению этой задачи были получены Дарбу [45, 46, 47] и Гурса [53, 55], которые, также как и Ли, преимущественно рассматривали гиперболические уравнения.

1Далее мы полагаем, что функции А, В, С, И и Е принадлежат классу С°°.

В частности, Гурса занимался проблемой эквивалентности уравнений Монжа-Ампера, интегрируемых методом Дарбу [54]. Его идеи были развиты Вессио [100]. Современный подход к проблеме интегрируемости нелинейных уравнений методом Дарбу изложен в работе Андерсона и Журас [37].

Сам Софус Ли сформулировал условия приведения гиперболических уравнений Монжа-Ампера к волновому уравнению vxy = 0 при наличии у них двух промежуточных интегралов. Напомним, что промежуточным интегралом уравнения Монжа-Ампера называется дифференциальное уравнение первого порядка, каждое решение которого является решением данного уравнения Монжа-Ампера.

Заметим, что не все уравнения Монжа-Ампера обладают промежуточными интегралами. Поэтому результаты Ли применимы не ко всем уравнениям Монжа-Ампера, а только к к тем из них, которые такими интегралами обладают. Кроме того, проверка наличия промежуточных интегралов у общего уравнения Монжа-Ампера, а тем более их построение, является не простой задачей. Доказательства полученных результатов Ли так и не опубликовал.

В 1978 году Лычагин предложил геометрическое описание широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка на гладких многообразиях [29]. Если размерность многообразия равна двум, то этот класс совпадает с классом уравнений Монжа-Ампера (1).

Основная идея Лычагина заключается в представлении уравнений Монжа-Ампера и их многомерных аналогов дифференциальными формами на пространстве 1-джетов функций на гладком многообразии.

Преимуществом такого подхода перед классическим является редукция порядка пространства джетов: используется более простое пространство 1-джетов JXM вместо пространства 2-джетов J2M, в котором, будучи уравнениями второго порядка, ad, hoc должны лежать уравнения Монжа-Ампера см. [3]). Такая интерпретация уравнений Монжа-Ампера позволила по-новому взглянуть на проблему их классификации и послужила толчком к появлению множества работ других авторов (см., например, [9, 11, 35, 43, 70, 88]).

В 1983 году Лычагиным и Рубцовым был рассмотрен класс невырожденных уравнений (1) у которых коэффициенты А, В, С, D, Е не зависят от переменной v [31]. Такие уравнения они назвали силтлектическими. Оказалось, что если коэффициенты А, В, С, D, Е такого уравнения — аналитические функции, то локальным симплектическим преобразованием оно может быть приведено к квазилинейному виду, то есть к виду (1), где D = 0.

Кроме того, они нашли условия, при которых симплектические уравнения приводятся к уравнению Монжа-Ампера с постоянными коэффициентами А, В, С, D, Е и показали, что если это условие выполняется, то гиперболические уравнения локально эквивалентны волновому уравнению vxy = 0, а эллиптические — уравнению Лапласа vxx + vyy = 0. Впоследствии Туницкий снял требование независимости коэффициентов уравнения (1) от переменной v и решил проблему приведения уравнений Монжа-Ампера к уравнениям с постоянными коэффициентами в общем виде [35].

В 1979 году Моримото применил методы теории (j-структур для классификации уравнений Монжа-Ампера [91].

Метод подвижного репера Картана применялся для классификации некоторых классов линейных и нелинейных уравнений Морозовым [93, 94, 95, 96] и The [98].

В 1992 году автор данной диссертационной работы, используя подход Лычагина, решил проблему приведения уравнений Монжа-Ампера переменного типа к обобщенным уравнениям Трикоми и Келдыша [9]. Позднее, в 1998 году, им также была решена проблема эквивалентности уравнений переменного типа для симплектических уравнений общего положения [11]. Для этого был построена e-структура (абсолютный параллелизм), ассоциированная с уравнением Монжа-Ампера.

Проблема локальной эквивалентности симплектических операторов и уравнений Монжа-Ампера гиперболического и эллиптического типов была решена в работах Кругликова [68, 69, 70] и Кушнера [11]. Позднее нами было найдено решение этой проблемы для уравнений общего вида [75, 80], а также проблемы приведения уравнений Монжа-Ампера гиперболического и эллиптического типов контактным преобразованием к линейным уравнениям [77].

Классификационные результаты для частных классов параболических уравнений Монжа-Ампера были представлены в работе Blanco, Manno и Pugliese [43].

0.1.2 Цель работы.

В настоящей диссертационной работе рассматривается задача классификации уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований. В частности, задача приведения уравнений (1) к линейным уравнениям при помощи контактных преобразований.

0.1.3 Основные задачи исследования.

1) Построить дифференциальные инварианты для гиперболических и эллиптических уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.

2) В терминах построенных инвариантов найти необходимые и достаточные условия локальной контактной эквивалентности гиперболических и эллиптических уравнений Монжа-Ампера линейным уравнениям вида vxx ± vyy — а (х: y) vx + Ь (ж, y) vy + с (.т, y) v + д (х, у) (2) и, в частности, линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.

4) Найти необходимые и достаточные условия локальной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера переменного типа обобщенным уравнениям Трикоми и Келдыша.

4) Построить нормальные формы для некоторых классов уравнений Монжа-Ампера.

5) Решить проблему локальной эквивалентности уравнений и операторов Монжа-Ампера общего положения гиперболического, эллиптического и переменного типов относительно контактной и симплектической псевдогрупп преобразований.

0.1.4 Научная новизна.

Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для невырожденных уравнений Монжа-Ампера построены тензорные дифференциальные инварианты относительно псевдогруппы контактных преобразований. В том числе — две дифференциальные 2-формы па пространстве 1-джетов гладких функций, которые мы называем формами Лапласа, и которые являются обобщениями классических инвариантов Лапласа и Коттона, построенных ими для линейных уравнений.

2) С помощью форм Лапласа для регулярных невырожденных уравнений Монжа-Ампера решается проблема их приведения к линейным уравнениям контактными преобразованиями. Указываются нормальные формы для таких уравнений.

3) Для регулярных невырожденных уравнений Монжа-Ампера общего положения решается проблема локальной контактной эквивалентности.

4) Для симплектических невырожденных уравнений и операторов Монжа-Ампера решается проблема локальной эквивалентности относительно симплектических преобразований. Построены нормальные формы для таких уравнений и операторов.

5) Для уравнений Монжа-Ампера переменного типа найдены необходимые и достаточные условия их приведения к уравнениям Трикоми и Келдыша, а так же к уравнениям, их обобщающим.

0.1.5 Методы исследования.

Для решения поставленных задач мы применяем методы современной дифференциальной геометрии. Мы используем подход Лычагина [29], согласно которому с уравнением (1) связывается дифференциальная 2-форма на пространстве 1-джетов гладких функций.

Для построения дифференциальных инвариантов уравнений Монжа-Ампера мы используем разложение комплекса де Рама на пространстве 1-джетов.

Для решения проблемы эквивалентности уравнений переменного типа мы строим е-структуру, однозначно определяющую уравнение Монжа-Ампера. Задача эквивалентности уравнений сводится к задаче эквивалентности е-структур, которая решается известными методами.

0.1.6 Теоретическое и прикладное значение.

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический и прикладной характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследований уравнений Монжа-Ампера, а также для изучения нелинейных эффектов типа ударных волн, для построения точных решений уравнений Монжа-Ампера и для упрощения процедуры нахождения симметрий уравнений. В диссертациоиной работе приведены примеры применения полученных результатов к нелинейным уравнениям математической физики: к уравнению Хантера-Сакстона, уравнению Борна-Инфельда и к некоторым уравнениям газовой динамики. Результаты диссертационной работы позволяют по-новому взглянуть на классические инварианты Лапласа для линейных уравнений. На основе этих результатов составлены спецкурсы для студентов и аспирантов, которые читаются в Астраханском госуниверситете, Институте проблем управления РАН и на Международных научных молодежных школах («Лобачевские чтения» в Казанском госуниверситете, I, II и III Международные молодежные школы по дифференциальной геометрии, дифференциальным уравнениям и управлению).

0.1.7 Апробация работы.

Основные результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях: на семинаре по дифференциальной геометрии под руководством профессора В. В. Вишневского (Казань, КГУ им. В. И. Ульянова-Ленина, май 2006 г.) — на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора И. С. Красильщика (Москва, Независимый московский университет, апрель-май 2006, октябрь 2008 г.) — на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора В. В. Лычагина (февраль-март 2002, Тромсе, Норвегия, Университет Тромсе) — на семинаре «Топология и анализ» под руководством профессора А. С. Мищенко (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, ноябрь 2008 г.) — на семинаре по математической физике и геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора В. Н. Рубцова (Анжэ, Франция, Университет Анжэ, июнь — июль 2000 г.) — на семинаре кафедры «Дифференциальная геометрия и приложения» под руководством академика А. Т. Фоменко (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, октябрь 2008 г.) — на Пятом абелевском симпозиуме («Fifth Abel Symposium», Тромсе, Норвегия, 17−22 июня 2008 г.) — па Международной конференции «Лаптевские чтения», посвященной 100-летию Г. Ф. Лаптева (МГУ им. М. В. Ломоносова — Тверской государственный университет, Москва-Тверь, 25−29 августа 2009 г.) — на III Международном конгрессе «Симметрии: теоретический и методический аспекты» (Астрахань, Астраханский госуниверситет, 10−14 сентября 2009 г.) — на Международной конференции «X Белорусская математическая конференция» (Белорусский госуниверситет и Институт математики HAH Беларуси, Минск, 3−7 ноября 2008 г.) на Международной конференции «Geometry and Algebra of PDEs», посвященной 60-летию B.B. Лычагипа (Тромсе, Норвегия, 12−17 августа 2007 г.) на Международной конференции «Анализ и особенности», посвященной 70-летию В. И. Арнольда (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, 20−24 августа 2007 г.) — на Международном семинаре «Идемпотентная и тропическая математика и проблемы математической физики» (Москва, Независимый московский университет, 25−30 августа 2007 г.) — на Международной школе «Geometry of vector distributions, differential equations, and variational problems» (SISSA, Триест, Италия, 13−15 декабря 2006 г.) — на Международной школе «Formal theory of partial differential equations and their applications» (Университет Йонсу, Финляндия, 2−9 апреля 2006 г.) — на Международном коллоквиуме «Mathematics in Engineering and Numerical Physics» (Бухарест, Румыния, 6−8 октября 2006 г.) — на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (МГУ-РГУ, Абрау-Дюрсо, 5−11 сентября 2006 г.) — на Международной конференции «Лаптевские чтения» (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, июль 2006 г.) — на серии ежегодных Международных конференций «Геометрия в Одессе» (Одесса, Украина, 2005;2009 годы) — на серии ежегодных Международных конференций «Геометрия в Астрахани» (Астраханский государственный университет, Астрахань, 20 072 009 годы) — на IX Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» им. Е. С. Пятницкого (31 мая-2 июня 2006 г., Институт проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова, Москва) — на I Международном семинаре «Симметрии: теоретический и методический аспекты» (Астраханский государственный университет, Астрахань, 15−17 сентября 2005 г.) — на V конференции Европейского общества математической и теоретической биологии «Mathematical Modelling and Computing in Biology and.

Medicine" (Milano, Italy, 2002 г.) — на Международной конференции «Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces» (Москва, 1994 г.) иа Международном коллоквиуме «International Geometrical Colloquium (UNESCO)» (Москва-Париж, 10−14 мая, 1993 г.) — на Международном коллоквиуме Ли-Лобачевского (Lie-Lobachevsky Colloquium, Университет Тарту, Тарт}^, Эстония, 26³⁰ октября, 1992 г.).

0.1.8 Публикации автора по теме диссертации.

По теме диссертации автором опубликовано 29 работ и одна монография:

1. Кушнер, А.Г.: Нормальные формы Чаплыгина и Келдыша уравнений Монжа-Ампера. Математические заметки, 52(5) 63−67, (1992).

2. Кушнер, А.Г.: Уравнения Монжа-Ампера и е-структуры. ДАН, 361(5), 595−596 (1998).

3. Кушнер, А.Г.: Приведение гиперболических уравнений Монжа-Ампера к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. ДАН, 423(5), 609−611 (2008).

4. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация уравнений Монжа-Ампера и инварианты Лапласа. ДАН, 422(5), 597−600 (2008).

5. Kushner, A.G.: A contact linearization problem for Monge-Ampere equations and Laplace invariants. «Acta Appl. Math.» 101(1−3), 177−189 (2008).

6. Kushner, A.G.: On contact equivalence of Monge-Ampere equations to linear equations with constant coefficients. «Acta Appl. Math.» — Online First: DOI 10.1007/sl0440−009−9447-z (2009).

7. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера. «Изв. ВУЗов, Математика», № 4, 43−58 (2008).

8. Кушнер, А.Г.: Симилектичеекая классификация гиперболических операторов Монжа-Ампера. Вестник Астраханского государственного технического университета, 1(36), 15−18 (2007).

9. Kushner, A.G., Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N.: Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 101, Cambridge University Press, Cambridge, 2007, xxii+496 pp.

10. Kushner, A.G.: Classification of Monge-Ampere equations. In: «Differential Equations: Geometry, Symmetries and Integrability». Proceedings of the Fifth Abel Symposium, Tromso, Norway, June 17−22, 2008 (Editors: B. Kruglikov, V. Lychagin, E. Straume) 223−256.

11. Kushner, A.G.: Symplectic geometry of mixed type equations. In: Lychagin, V.V. (ed) The Interplay beetween Differential Geometry and Differential Equations. Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 167, 131−142 (1995).

12. Kushner, A.G.: Classification of mixed type Monge-Ampere equations. In: Prastaro, A., Rassias, Th.M. (ed) «Geometry in Partial Differential Equations». Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World Scientific, 173 188 (1993).

13. Doubrov, В., Kushner, A.: The Morimoto problem. In: Prastaro, A., Rassias, Th.M. (ed) «Geometry in Partial Differential Equations». Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World Scientific, 91−99 (1993).

14. Kushner, A.G.: Almost product structures and Monge-Ampere equations. «Lobachevskii Journal of Mathematics», http://ljm.ksu.ru 23, 151−181 (2006).

15. Kushner, A.G.: Symplectic classification of elliptic Monge-Ampere operators. Proceedings of the 4th International colloquium «Mathematics in Engineering and Numerical Physics» October 6−8, 2006, Bucharest, Romania, pp. 87−94. Balkan Society of Geometers, Geometry Balkan Press (2007).

15. Kovalenko, I.В., Kushner, A.G.: Symmetries and exact solutions of nonlinear diffusion equation. Proceedings of the 5th conference of the European society of the mathematical and theo-retical biology «Mathematical Modelling & Computing in Biology and Medicine», Milano, Italy, 239−243 (2002).

17. Kovalenko, I.В., Kushner, A.G.: The nonlinear diffusion and thermal conductivity equation: group classification and exact solutions. «Regular and Chaotic Dynamics» 8(2), 8−31 (2003).

18. Кушнср, А.Г.: Контактная классификация уравнений Монжа-Ампера. Proceedings of the International Workshop «Idempotent and Tropical Mathematics and Problems of Mathematical Phisics» (Moscow, August 2530, 2007) Eds. G.L. Litvinov, B.P. Maslov, 2, 99−104 (2007).

19. Кушнер, А.Г.: Нормальные формы для уравнений Монжа-Ампера: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца. «Геометр1я, тополопя та ix застосуваня», Зб1рник Праць 1н-ту математики НАН Украши Т.6, № 2, 91−122 (2009).

20. Кушнер, А.Г., Манжосова, Е.Н.: Симплектическая классификация гиперболических уравнений Монжа-Ампера. «Proceedings of the International Geometry Center», Odessa, 1(1−2), 41−70 (2008).

21. Кушнер, А.Г., Манжосова, E.H.: Контактные инварианты и линеаризация уравнения Хантера-Сакстона. «Обозрение прикладной и промышленной математики» № 3, 536−537 (2009).

22. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера. В сб. «Движения в обобщенных пространствах», Изд-во ПГПУ, Пенза, 56−65 (2005).

23. Кушнер, А.Г.: Контактная геометрия уравнений Монжа-Ампера и структура почти произведений. Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5−11 сентября 2006 г., стр. 51.

24. Кушнер, А.Г.: ДР-структуры и тензор Хаантиеса. «Лаптевские чтения-2006», Сб. трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. Пенза, 57−62 (2007).

25. Кушнер, А.Г.: Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема Со-фуса Ли контактной линеаризации. Сборник научных трудов I Международного семинара «Симметрии: теоретический и методический аспекты», Астрахань, 20−23, (2005).

26. Кушнер, А.Г.: Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений и проблема Софуса Ли. Труды конференции «Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения», Рязань, РГПУ, 17−22 июня, 1996, 31−34.

27. Кушиер, А.Г.: Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема контактной эквивалентности. Естественные науки, № 10, 101−104 (2005).

28. Кушнер, А.Г.: Тензорные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера. Естественные науки, № 10, 143−146 (2005).

29. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация нелинейных уравнений в частных производных. Труды Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, ИПУ, 31 мая — 2 июня 2006 г. стр. 146.

30. Kushner, A.G.: The problem of equivalence of non-linear partial differcntial equations of mixed type. «Proceedings of the Lie-Lobachevsky Colloq.», Tartu, Estonia, 26 — 30 October 1992, 28−30.

В работах, выполненных в соавторстве, вклад автора составляет от 40% до 75%.

0.1.9 Структура диссертации.

Диссертация изложена на 245 страницах, состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 101 наименование. Диссертация содержит 16 таблиц, 2 диаграммы и 2 рисунка.

1. Алексеевский, Д.В., Виноградов, A.M., Лычагин В. В.: Основные понятия дифференциальной геометрии. Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». — Т. 28. М.: ВИНИТИ, 1988, 297 С.

2. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: «Наука». 1981. — 336 С.

3. Виноградов, A.M., Красильщик И. С., Лычагин В. В.

Введение

в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: «Наука». 1986. -336 С.

4. Ибрагимов, Н. Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение проблемы Лапласа // Прикладная механика и техническая физика. 45(2). — С. 11—21 (2004).

5. Имшенецкий, В. Г. Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными 1-го и 2-го порядков. М.: Издание Московского матем. общества. 1916. — 412 С.

6. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 77(2). — С. 181−183 (1951).

7. Кошляков, Н.С., Глинер, Э.Б., Смирнов, М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: «Высшая школа». 1970. — 710 С.

8. Курант, Р. Уравнения с частными производными. М.: «Мир». 1964. -830 С.

9. Кушнер, А. Г. Нормальные формы Чаплыгина и Келдыша уравнений Монжа-Ампера // Математические заметки. 52(5) С. 63−67. — (1992).

10. Кушнер, А. Г. Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема контактной эквивалентности // Естественные науки. № 10. — С. 101−104 (2005).

11. Кушнер, А. Г. Тензорные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера // Естественные науки. № 10. — С. 143−146 (2005).

12. Кушнер, А. Г. Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера // В сб. «Движения в обобщенных пространствах». Пенза: Изд-во ПГПУ. — С. 56 65 (2005).

13. Кушнер, А. Г. Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема Софуса Ли контактной линеаризации // Сборник научных трудов I международного семинара «Симметрии: теоретический и методический аспекты». Астрахань. — С. 20−23. — (2005).

14. Кушнер, А. Г. Контактная линеаризация нелинейных уравнений в частных производных // Труды Международной конференции «Устойчивостьки колебания нелинейных систем управления». Москва, ИПУ, 31 мая -2 июня 2006 г. — С. 146.

15. Кушнер, А. Г. Контактная геометрия уравнений Монжа-Ампера и структура почти произведений // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5−11 сентября 2006 г. С. 51.

16. Кушнер, А. Г. Симплектическая классификация гиперболических операторов Монжа-Ампера // Вестник Астраханского государственного технического университета. 1(36). — С. 15−18 (2007).

17. Кушнер, А.Г. ЛР-структуры и тензор Хаантиеса // «Лаптевские чтения-2006» Сб. трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. Пенза. — С. 57−62 (2007).

18. Кушнер, А. Г. Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера // Изв. ВУЗов. Математика. № 4. — 43−58 (2008).

19. Кушнер, А. Г. Контактная линеаризация уравнений Монжа-Ампера и инварианты Лапласа // ДАН. 422(5). — С. 597−600 (2008).

20. Кушнер, А. Г. Приведение гиперболических уравнений Монжа-Ампера к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами // ДАН. -423(5). С. 609−611 (2008).

21. Кушнер, А. Г. Нормальные формы для уравнений Монжа-Ампера: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца // ТеометрЬт, тополопята1. застосуваня". 36ipnnK Праць 1н-ту математики НАН Украши Т.6,№ 2 (2009). — С. 91−122.

22. Кушиер, А.Г., Маижоеова, Е. Н. Симилектическая классификация гиперболических уравнений Монжа-Ампера // «Proceedings of the International Geometry Center». Odessa. — 1(1−2). — C. 41−70 (2008).

23. Кушнер, А.Г., Манжосова, Е. Н. Контактные инварианты и линеаризация уравнения Хантера-Сакстона // «Обозрение прикладной и промышленной математики» № 3 С. 536−537(2009).

24. Ларькин, Н.А., Новиков, В.А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: «Наука». 1983.

25. Ларькин, Н. А. Гладкие решения уравнений трансзвуковой газовой динамики. Новосибирск: «Наука». 1991.

26. Лычагин, В. В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // ДАН СССР 238(5). С. 273−276 (1978).

27. Лычагин, В. В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // УМН. -34(1 (205)). С. 137−165 (1979).

28. Лычагин, В.В., Рубцов В. Н. О теоремах Софуса Ли для уравнений Монжа-Ампера // ДАН БССР 27(5). С. 396−398 (1983).

29. Лычагин, В.В., Рубцов В. Н. Локальная классификация уравнений Монжа-Ампера. ДАН СССР 272(1). С. 34−38 (1983).

30. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: «Наука». 1978. 399 С.

31. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат.- 1947.

32. Туницкип Д. В. О контактной линеаризации уравнений Монжа-Ампера // Изв. РАН. Серия матем. 60(2). С. 195−220 (1996).

33. Чаплыгин, С.А. О газовых струях // Ученые записки Московского университета. Отделение физмат наук. 21 (1904).

34. Anderson, I.M., Juras, M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke J. Math. 89. C. 351−375 (1997).

35. Alekseevskij D. V., Lychagin V. V and Vinogradov A. M., Basic Ideas and Concepts of Differential Geometry. Geometry-I. — P. 1−264. — Berlin: Springer Verlag (1991).

36. Banos, B. Nondegenerate Monge-Ampere structures in dimension 3 // Lett. Math. Phys. 62(1). P. 1−15 (2002).

37. Banos, B. On symplectic classification of effective 3-forms and Monge-Ampere equations // Differential Geom. Appl. 19(2). P. 147−166 (2003).

38. Bers, L. Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics. -John Wiley and Sons (1958).

39. Born M., Infeld L. Foundation of a New Field Theory // Proc. Roy. Soc. 144. P. 425−451 (1934).

40. Blanco, R.A., Manno, G., Pugliese, F. Contact relative differential invariants for non generic parabolic Monge-Ampere equations // Acta Appl. Math. -101(1−3).-P. 5−19 (2008).

41. Cotton, E. Sur les invariants differentiels de quelques equations linearies aux derivees partielles du second ordre // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 17. P. 211—244 (1900).

42. Darboux, G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. Vol. I. Paris, Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. 1887. — vi+514 P.

43. Darboux, G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. Vol. II. Paris, Gauthier-Villars, 1915. 579 P.

44. Darboux, G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. Vol. III. Paris, Gauthier-Villars at fils, ImprimeurLibraire. 1894. — viii-j-512 P.

45. Doubrov, B., Kushner, A. The Morimoto problem // In: Prastaro, A., Rassias, Th.M. (ed) Geometry in Partial Differential Equations. Singapore New-Jersey London Hong-Kong. World Scientific. — P. 91−99 (1993).

46. Ernst, F.J. Black holes in a magnetic Universe // J. Math. Phys. 17. P. 5456 (1976).

47. Euler, L. Calcvli integralis. Vol.3. Petropoli, Impenfis Academiac Imperialis Scientiarium. 1770.

48. Forsyth, A.R. Theory of differential equations. Part 4. Partial differential equations. Vol.6. Cambridge University Press. — 596 P. (1906).

49. Frolicher A., Nijenhuis A. Theory of Vector Valued Differential Forms. Part 1: Derivations in the Graded Ring of Differential Forms // Indag. Math. 18. P. 338−359 (1956).

50. Goursat, E. Lecon sur l’integration des equations aux derivees partielles du second ordre a deux variables independantes. Vol. 1. Paris. 1896. -viii+226 P.

51. Goursat, E. Recherches sur quelques equations aux derivees partielles du second ordre // Annales de la Faculte de Toulouse (deuxieme serie) 1. P. 31−78 (1899).

52. Goursat, E. Sur les equations du second ordre a n variables analogues a l’equation de Mongc-Ampere // Bull. Soc. Math. France 27. P. 1−34 (1899).

53. Haantjes, A. On Xni-forming sets of eigenvectors // Indagat. iones Mathematical 17(2). — 158−162 (1955).

54. Hunter, J.K., Saxton, R. Dynamics of director fields // SIAM J. Appl. Math. 51(6). P. 1498−1521 (1991).

55. Hurt, N. Geometric Quantization in Action: Applications of Harmonic Analysis in Quantum Statistical Mechanics and Quantum Field Theory. D. Reidel Pub. Co. Dordrecht-Boston (1983).

56. Ibragimov, N.H. Group classification of second order differential equations // Doklady Akademii Nauk SSSR 183(2). P. 274−277 (1968) (Russian) — English translation in Soviet Math. Dokl. 9(6). — P. 1365−1369 (1968).

57. Ibragimov, N.H. Equivalence groups and invariants of linear and nonlinear equations // Archives of ALGA. Blekinge Institute of Thechnology. Karlskrona, Sweden 1. — P. 9−65 (2004).

58. Jakobsen, P., Lychagin, V., Romanovsky, Y. Symmetries and non-linear phenomena I. Preprint. — Tromso Univ. (1997).

59. Jakobsen, P., Lychagin V., Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena II. Applications to Nonlinear Acoustics. Preprint. — Tromso Univ. (1998).

60. Karman, T. The similarity law of transonic flow // Journal of Math, and Phys. 26. P. 182−190 (1947).

61. Kovalenko, I.В., Kushner, A.G. The nonlinear diffusion and thermal conductivity equation: group classification and exact solutions // Regular and Chaotic Dynamics 8(2). P. 8−31 (2003).

62. Krasilshchik, I.S. Some new cohomological invariants for nonlinear differential equations // Differential Geom. Appl. 2(4). P. 307−350 (1992).

63. Krasilshchik, I.S., Lychagin, V.V., Vinogradov, A. M. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. New York: Gordon and Breach. (1986).

64. Кругликов, B.C. О некоторых классификационных задачах в четырехмерной геометрии: распределения, почти комплексные структуры и обобщенные уравнения Монжа-Ампера // Матем. сб. 189(11). Р. 61−74 (1998).

65. Kruglikov, В.S. Symplectic and contact Lie algebras with application to the Monge-Ampere equations // Tr. Mat. Inst. Steklova 221. P. 232−246 (1998).

66. Kruglikov, B.S. Classification of Monge-Ampere equations with two variables // CAUSTICS'98 (Warsaw), Polish Acad. Sci. Warsaw. — P. 179−194 (1999).

67. Kruglikov, B.S., Lychagin, V.V. Mayer Brackets and PDEs solvability I. // Differ. Geom. Appl. 17(2−3). — P. 251−272 (2002).

68. Kushner, A.G. Classification of mixed type Monge-Ampere equations // In: Prastaro, A., Rassias, Th.M. (ed) Geometry in Partial Differential Equations. Singapore New-Jersey London Hong-Kong:" World Scientific". P. 173−188 (1993).

69. Kushner, A.G. The problem of equivalence of non-linear partial differential equations of mixed type // Proceedings of the Lie-Lobachevsky Colloq. -Tartu, Estonia, 26−30 October 1992. P. 28−30.

70. Kushner, A.G. Symplectic geometry of mixed type equations // In: Lychagin, V.V. (ed) The Interplay beetween Differential Geometry and Differential Equations. Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 167. P. 131−142 (1995).

71. Kushner, A.G. Almost product structures and Monge-Ampere equations // Lobachevskii Journal of Mathematics. http://ljm.ksu.ru 23. — P. 151 181 (2006).

72. Kushner, A.G. A contact linearization problem for Monge-Ampere equations and Laplace invariants // Acta Appl. Math. 101(1−3) P. 177−189 (2008).

73. Kushner, A.G. On contact equivalence of Monge-Ampere equations to linear equations with constant coefficients // Acta Appl. Math. 109(1) P. 197−210. Online First: DOI 10.1007/sl0440−009−9447-z (2009).

74. Kushner, A.G., Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N. Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 101. Cambridge: Cambridge University Press. — 2007. -xxii+496 P.

75. Lie, S. Ueber einige partielle Differential-Gleichungen zweiter Orduung // Math. Ann. 5. P. 209−256 (1872).

76. Lie, S. Begrundung einer Invarianten-Theorie der Beruhrungs-Transformationen // Math. Ann. 8. P. 215−303 (1874).

77. Lie, S. Classification und integration von gewohnlichen differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten // Math. Ann.32. P. 213−281 (1888).

78. Lychagin, V.V. Lectures on geometry of differential equations. Vol. 1,2. «La Sapienza». Rome. — 1993.

79. Lychagin, V. V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differential equations and nonlinear Phenomena // Acta Appl. Math. 3. P. 135−1 731 985).

80. Lychagin, V. V. Differential Equations On Two-Dimensional Manifolds // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 5. — P. 43−57 (1992).

81. Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N., Chekalov, I.V. A classification of Monge-Ampere equations // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. (4) 26(3). P. 281−308 (1993).

82. Malakhaltsev, M.A. De Rham cohomology // In: Handbook of Global Analysis (Eds. D. Krupka, D. Saunders). Elsevier. — 2008. — P. 953−982.

83. Morimoto, T. La geometrie des equations de Monge-Ampere // C. R. Acad. Sci. Paris Sr. A-B 289(1). P. A25-A28 (1979).

84. Morimoto, T. Open Problem in Str. Theory of Non-Linear Integrable Differential and Difference Systems // The 15 International Symposium Held at Katata. P. 27−29 (1984).

85. Morozov, O.I. Contact equivalence problem for linear parabolic equations // Preprint arXiv: mathph / 30 4045vl. P. 1−19 (2003).

86. Morozov, O.I. Contact equivalence problem for nonlinear wave equations. // Preprint arXiv mathph / 30 6007vl. P. 1−13 (2003).

87. Morozov, O.I. Contact equivalence of the generalized Hunter-Saxton equation and the Euler-Poisson equation // Preprint arXiv: matli-ph / 406 016. P. 1−3 (2004).

88. Morozov, O.I.: Contact equivalence problem for linear hyperbolic equations // Journal of Mathematical Sciences 135(1). P. 2680−2694 (2006).

89. Newlender, A., Nirenberg, L. Complex analitic coordinates in almost complex manifolds // Ann. Math. 65. P. 391−404 (1954).

90. The, D. Contact geometry of hyperbolic equations of generic type // SIGMA. -4(058).- 52 P. (2008).

91. Tricomi, F. Sulle equazioni lineari aile derivate parziali di secondo ordine di tipo misto // Rendiconti Atti dell' Accademia Nazionale dei Lincei 5(14). -P. 134−247 (1923).

92. Vessiot, E. Sur les equations aux derivees partielle du second ordre integrables par la methode de Darboux // J. Math Pures Appl. 18. P. 1−61 (1939) and 21. — P. 1−66 (1942).

93. Vinogradov, A.M., Krasil’shchik, I.S., Lychagin, V.V. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. Advanced Studies in Contemporary Mathematics. 1. — New York: Gordon and Breach Science Publishers. — 1986. — xx+441 P.