Таким образом, аксиома конгруэнтности имеет место в модели Пуанкаре пространства Лобачевского. Аксиомы, Доказательство этих аксиом аналогично случаю модели Пуанкаре плоскости Лобачевского. Приведемпримера доказательство аксиомы. Из конгруэнтностиотрезков А’В' и АВ следует, что существует последовательность инверсий, котораяотрезок А’В' переводит вотрезок АВ. А из конгруэнтностиотрезков А" В" и АВ следует, что также существует другая последовательность инверсий, котораяотрезок А" В" переводит вотрезок АВ. Тогдасначала применив все инверсии первой последовательности, а затем в обратном порядке инверсии второй последовательности, получим последовательность инверсий, котораяотрезок А’В' переводит вотрезок А" В". Следовательно, -отрезки А’В' и А" В" конгруэнтны, а значит аксиома конгруэнтности имеет место в модели Пуанкаре в полупространстве. Таким образом, аксиомы выполняются в модели Пуанкаре пространства Лобачевского. Аксиомы непрерывности.
Отношение порядка для точекпрямой устанавливается через отношение порядка евклидовых точек полуокружности евклидовой полуплоскости с центром на плоскости. Последнее же легко сводится к отношению «лежать между» для ортогональных проекций точек полуокружности на прямую, лежащую в той же плоскости, что и сама полуокружность, так как в этом случае существует взаимно однозначное соответствие между точками полуокружности и их проекциями на х. Но так как для точек евклидовой прямой аксиома Дедекинда имеет место, то она выполняется и для точек полуокружности. Кроме того эта аксиома выполняется и для точек любого луча евклидовой полуплоскости, то тем самым она имеет место для точек произвольнойпрямой. Отсюда следует, что аксиомы непрерывности выполнены для модели Пуанкаре пространства Лобачевского. Аксиома Лобачевского.
Проверим теперь выполнение аксиомы Лобачевского для модели Пуанкаре пространства Лобачевского. Проверка этой аксиомы аналогична проверке аксиомы Лобачевского в случаи модели Пуанкаре на плоскости. Сформулируем аксиому Лобачевского. Черезточку, не лежащую на даннойпрямой, проходят по крайней мере двепрямые, лежащие с даннойпрямой в однойплоскости и не пересекающие её. Действительно, рассмотримпрямую, представленную открытой полуокружностью конечного или бесконечного радиуса (т.е. либо открытой полуокружностью в обычном смысле, либо лучом) с центром на граничной плоскости и перпендикулярной плоскости .
Проведем полуплоскость, содержащую. Ясно, что представляет собой некоторуюплоскость. Далее, доказательство становится аналогичным случаю модели Пуанкаре плоскости Лобачевского (в качестве полуплоскости возьмем плоскость). Таким образом, в рассматриваемой модели Пуанкаре пространства Лобачевского выполнена аксиома Лобачевского о параллельных прямых.
Можно сделать вывод, что в рассматриваемой модели выполнены все аксиомы абсолютной геометрии, а также аксиома Лобачевского о параллельных прямых, представляющей собой отрицание аксиомы Евклида. Это в очередной раз доказывает, что аксиома о параллельных Евклида не зависит от аксиом абсолютной геометрии.
Заключение
.
Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой геометрии. В геометрии Лобачевского не выполняется аксиома Евклида о параллельных прямых, которая формулируется следующим образом:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её. На ее замену приходит следующая аксиома о параллельных:
На плоскости для каждой прямой, а через каждую не лежащую на, а точку проходит по крайней мере две прямых, не пересекающих данную прямую а. Ясно, что теоремы, связанные с этой теоремой могут касаться странными и непривычными. Последнее связано, в первую очередь, с тем, что окружающее нас видимое пространство является евклидовым. Тем не менее, изучение неевклидовых геометрий представляет особый интерес как для самой математики, так и для других наук. Существуют различные представления (модели) плоскости и пространства Лобачевского. Одной из таких моделей является рассмотренная в этой работе модель Пуанкаре. Важным является вопрос о выполнении аксиом абсолютной геометрии и аксиомы о параллельных Лобачевского. В данной работе рассмотрены все аксиомы абсолютной геометрии, доказана их выполнимость для модели Пуанкаре пространства Лобачевского. Также показано, что в данной модели выполнена аксиома о параллельных Лобачевского, являющаяся отрицанием соответствующей аксиомы Евклида.
Можно сделать вывод, что аксиома Евклида не зависит от аксиом абсолютной геометрии. Последнее дает возможность рассматривать различные неевклидовы геометрии, в которых данная аксиома заменяется другой аксиомой. Таким образом, существует множество различных геометрий, отличающихся друг от друга. Одной из таких неевклидовых геометрий как раз является геометрия Лобачевского. Список использованной литературы[1] Александров А.
Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб.
пособие.— М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 2] Атанасян Л. С., В. Т. Базылев В.Т. Геометрия ч. II. — М.: «Просвещение», 1987.
3] Гильберт Д. Основания геометрии.- М.: ГИТТЛ 1948 г. 4] Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 1971. 5] Каган В. Ф. Лобачевский и его геометрия.-М.: Гостехиздат, 1955. 6] Лаптев. Б. Л. Лобачевский и его геометрия.
Пособие для учащихся.- М.: «Просвещение», 1970 г. 7] Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее /Под ред. А. П. Нордина.
М.: Техкнига.-2001−264с. 8] Подаева.
Н.Г., Жук Д. А. Лекции по основам геометрии.-Елец: 2008 г. 9] Погорелов А. В. Основания геометрии. — М.: Наука, 1979. 10] Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра: Учеб.
пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 11] Соловьев Ю. П. Н. И. Лобачевский // Квант-1992-№ 11-С.2−11. 12] Яглом.
И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. Серия «Библиотека математического кружка» М: 1963 г.
