Многообразия Калуцы-Клейна и двухконцевые задачи для гироскопических систем

1″ Цели и задачи диссертации. Основные конструкции".

Диссертация посвящена проблеме существования решений двухкон-цевых задач для гироскопических систем.

Гироскопической системой называется четверка Г = (B, h, F, u), где В — гладкое многообразие, h — риманова или лоренцева метрика, Fзамкнутая 2-форма имгладкая функция на В. В случае, когда hриманова (то есть положительно определенная) метрика, мы называем Г системой классического типа. Такие системы рассматриваются в классической механике [Ко 1- Хар 3]. При этом В называется конфигурационным многообразием, 1г/2 — формой кинетической энергии, и — потенциальной энергией и F — формой гироскопических сил.

В работе рассматриваются также системы релятивистского типа, в которых h — лоренцева метрика с сигнатурой (—[-••¦+)• В общей теории относительности гироскопические системы релятивистского типа описывают движения заряженных пробных частиц в гравитационных и электромагнитных полях. При этом В играет роль пространственно-временного многообразия, h — гравитационного потенциала, F — формы электромагнитного поля, и = const [Л-Л, с.317−332].

Всюду далее предполагается, что функция и не обращается в нуль, а форма гироскопических сил имеет представление.

1) где в G Hom (Em, E), т G N, а Ф замкнутая 2-форма со значениями в Мт, интегралы от которой по двумерным сфероидам многообразия В принадлежат подгруппе.

Zm = /!Zx.x/mZcMm,.

1,., lm G { 0,1}. Все используемые объекты считаются, если не оговорено противное, гладкими класса С°°.

Пусть а, Ь? В ж Qab ~ пространство кусочно-гладких путей в Б, идущих из точки, а в точку Ъ. Действием гироскопической системы.

Г = (В, /г, Р, и) является, вообще говоря, многозначный функционал Новикова 1.

5(<5, х) = 56(яг) = I (М^) б2и (х)) ?8 + <51 ^ (2).

О с где х? Оаь, х' — (1х/с1 В, <5? М и с: I2 —> В — кусочно-гладкая гомо-топия, связывающая путь ж с некоторым фиксированным (опорным) путем хр жз содержащего х гомотопического класса О Е 7Гд (Паь) — Если ж — экстремаль функционала: Паг> —> Ж/69(Шт), то пара (6,х) называется нами экстремалью функционала.

5: К х ПаЬ -> 7 г = У (Ш/66(№т)). (3) ем.

При <5 > 0 мы называем экстремаль (6, ж) положительно ориентированной. В этой ситуации определенная формулой = х{1/6) кривая Хё '¦ [0, <5] -гВ является движением гироскопической системы классического типа Г из положения, а в положение Ь за время 6.

Для гироскопической системы классического типа Г = (В, к, Г, и), произвольных точек а, Ь Е В и гомотопического класса В? 7Го (У1аь) в работе ищутся условия существования положительно ориентированных экстремалей (6,х)? К. х И функционала Б с заданным значением.

55 55 энергии е (6,х)=1^^ + 62и (х). (4).

Для системы Г = (В, /г, Р, и) такого же типа с компактным конфигурационным многообразием В и точной формой гироскопических сил Р исследуется вопрос о существовании движений из положения, а Е В в положение Ь? В, принадлежащих произвольно выбранному гомотопическому классу идущих из, а в Ъ кривых, со скоростями, ограниченными сверху заранее заданным положительным числом.

В релятивистском случае физический смысл имеют только те экстремали (6, х) функционала 5, для которых е (6, х) = 0. Выбрав и = ½ и положив Хб (сг) = х (а/6), указанное условие можно свести к тождеству д, с1хё с1х? ^ с1сг ' ¿-а.

Последнее означает, что, а — собственное время частицы, мировая линия которой совпадает с траекторией движениея х$: [ 0, <5 ] —" В системы Г [Л-Л, с.303].

Вообще говоря, мы не ограничиваемся случаем, когда и = const. Но предполагаем, что для системы релятивистского типа функция и положительна. При этом тождество е (<5, х) = 0 обеспечивает времени-подобность движения х?(а) = х{а/6). соответствующего положительно ориентированной экстремали (S, x).

Поэтому двухконцевая задача для гироскопической системы релятивистского типа Г = (В. h, F, и) в диссертации формулируется как проблема существования для произвольной точки, а? В, точки b из ее хронологического будущего 1+(а) и гомотопического класса D G 7г0(Оаб) положительно ориентированных экстремалей (6, х) функционала 5, удовлетворяющих условиям: х Е D и е (6, х) = 0.

Сформулированные двухконцевые задачи решаются как для систем общего вида, так и для конкретных систем, имеющих физические интерпретации. В частности, рассматривается задача о движениях заряженной пробной частицы по поверхности из одной заданной точки этой поверхности в другую под действием постоянного магнитного поля, включающего поля конечного числа магнитных зарядов (монополей Дирака). Соответствующая гироскопическая система имеет классический тип. Кроме того, изучаются движения заряженной пробной частицы в различных гравитационных и электромагнитных полях. При этом в качестве конфигурационного лоренцева многообразия (В, К) соответствующей системы релятивистского типа Г = (В, h, F, и) выбираются четырехмерные пространства Робертсона-Уокера, внешнее пространство-время Райсснера-Нордстрема и пространство-время Шварцшильда-Эрнста. Электромагнитное поле в общем случае предполагается состоящим из нескольких полей. Одно из них является произвольным внешним полем без магнитных монополей. В пространстве Райсснера-Нордстрема к нему добавляются электрическое и магнитное поля заряженной черной дыры, а в пространстве Шварцшильда-Эрнста — магнитное поле вселенной Мелвина.

Одна из основных целей диссертации — разработка метода решения двухконцевых задач для гироскопических систем. Предлагаемая нами схема исследования распадается на две части. Первая из них состоит в построении расслоения р: Е В, риманова слоения Т на Еу его метрики Рейнхарта д и связности Эресмана Нив редукции вариационных задач с закрепленными концами для многозначного функционала Новикова 3 к задачам с фиксированным началом и, вообще говоря, подвижным концом для функционала длины (или действия) псевдорима-нова многообразия (Е, д) — при этом концевые подмногообразия — слои риманова слоения Т. Вторая часть предлагаемой схемы предусматривает вывод условий разрешимости модельных задач и их выражение через исходные объекты: гироскопическую систему Г = (В, /г, .Р, г/.), концевые точки, а и Ь и гомотопический класс О Е 7Го (Паь).

Разработка этого метода привела к необходимости построения и изучения ряда вспомогательных конструкций. В частности, в диссертации определяются и исследуются почти главные П х Т-расслоения, где П — фундаментальная группа базы, а Т — конечномерная связная абелева группа Ли. Изначально они были построены для того, чтобы решать двухточечные краевые задачи в каждом гомотопическом классе О Е тго (Паь) по отдельности. Однако в процессе работы обнаружилось, что их использование расширяет область применимости метода, а в ряде случаев приводит к выводу менее обременительных условий существования экстремалей, чем применение обычных главных Т-расслоений.

Пусть п: N —> В — универсальное накрытие и д: Е N — главное расслоение со структурной группой Т. Тогда р = п одлокально тривиальное расслоение со стандартным слоем С = П х Т. На его пространстве Е определено глобальное действие т: ЕхТ —" Е: (и, ?) —> и4 группы Т. Карта Фи: II х С Ец расслоения р: Е —" В определяет локальное действие тгц: Ец х П —" Ец группы П. Если фу '¦ V х С Еу — другая карта и и П V ф 0, то на пересечении Еи П Еу действия ж и и 7 г у, вообще говоря, не совпадают. Мы называем композицию р = п о д почти главным П X Т-расслоением, если для некоторого ассоциированного с открытым покрытием Ы атласа Л (р, 14) расслоения р, любых карт фи-, Фу? Л (р, Ы) с непустым пересечением V (IV, элемента 7 6 Пи компоненты связности К пересечения Еи ГЕу найдется элемент ?(7, К) Е Т, при всех V Е К удовлетворяющий равенству.

7ги{у, у) = тгу (у, у)^(у, К). (5).

Сформулированное в этом определении условие необходимо и достаточно для существования на пространстве Е рассматриваемого локально тривиального расслоения р = п о д С-связностей, то есть Т-связностей, инвариантных относительно всех локальных действий ж и: Еи X П —> Еи, Ьт е Ы, группы П.

Последнее равносильно существованию на Е метрик Калуцы-Клей-на, каковыми мы называем псевдоримановы метрики, невырожденные на слоях расслоения р: Е В и инвариантные относительно действия группы Т и всех локальных действий группы П. Именно такие метрики используются в теореме редукции в качестве метрики Рейнхарта д риманова слоения Т. По этой причине значительная часть диссертации посвящена исследованию римановых и лоренцевых многообразий Калуцы-Клейна.

При рассмотрении римановых многообразий Калуцы-Клейна основное внимание уделяется изучению секционных кривизн и влиянию их знакоопределенности на топологические инварианты соответствующих почти главных расслоений. Для лоренцевых многообразий Калуцы-Клейна исследуется причинная структура. В частности, решается вопрос об условиях их глобальной гиперболичности.