Классификация зацеплений и ее применения

1.1 Введение.

Классической проблемой топологии является проблема классификации вложений данного пространства в данное многообразие (актуальные обзоры по данной теме можно найти в статьях [57, 74]). Эта проблема уже сыграла выдающуюся роль в развитии топологии. Для решения этой проблемы (а также близкой проблемы о существовании вложений) были созданы различные методы такими классиками как Дж. Александер, П. С. Александров, Е. Ван Кампен, К. Куратовский, С. Маклейн, Л. С. Понтрягин, Р. Том, X. Уитни, X. Хопф, и другими. В настоящее время исследование этой проблемы переживает новый расцвет.

Классическими результатами о вложениях являются теоремы классификации (в коразмерности по крайней мере 3) узлов, зацеплений и вложений высокосвязных многообразий (Р. Пенроуз, Дж.Г. К. Уайтхед, К. Зиман, М. Ирвин, Дж. Левин, С. П. Новиков, Дж. Хадсон, А. Хефлигер, М. Хирш). Проблема классификации вложений считается очень трудной, поскольку других случаев, для которых было бы получено полное явное описание (непустого) множества вложений замкнутого многообразия с точностью до изотопии, до последнего времени (например, [75]) не было известно, несмотря на на наличие интересных подходов к данной проблеме (Левин-Новиков-Уолл, Гудвилли-Уайсс).

В данной работе рассматривается главным образом случай зацеплений, то есть вложений несвязного объединения сфер (возможно, различной размерности) в сферу. При этом мы в основном концентрируемся на случае коразмерности по крайней мере 3.

Проблемы существования и классификации вложений являются частными случаями общей проблемы о существовании и классификации отображений с заданными ограничениями на самопересечения: погружений, сингулярных зацеплений, почти вложений [19], а также вложений, аппроксимирующих данное отображение [56, 84]. Эту общую проблему естественно изучать в совокупности с проблемой вложений, поскольку они используют близкие методы, например, препятствие Ван Кампена и его обобщения. Поэтому в настоящей работе рассматриваются не только вложения, но и сингулярные зацепления, почти вложения, а также вложения, аппроксимирующие данное отображение.

Сингулярные зацепления были введены Р. Фоксом и Дж. Милнором. Инвариант Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений (обобщающий препятствие Ван Кампена) применялся в работах У. Кайзера, У. Кошорке, У. С. Масси, В. М. Нежинского, Дж.П. Скотта, Д. Рольфсена и Н. Хабеггера.

В диссертации рассматриваются также такие разделы теории зацеплений, как теория оснащенных зацеплений и рамсеевская теория зацеплений.

Оснащенные зацепления были введены Л. С. Понтрягиным при исследовании гомотопической классификации отображений. Проблема классификации оснащенных зацеплений изучалась в работах X. Хопфа, Н. Стинрода, В. Т. Ву, Р. Гомпфа, У. Кайзера.

Теория Рамсея для зацеплений берет свое начало в работах Дж. Конвея, К. Гордона и X. Закса, и получила развитие в работах А. О. Ловаша, Дж. Се-гала, С. Спеша, Н. Робертсона, П. П. Сеймора, Р. Томаса, С. Негами.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Простое доказательство и усиление формулы Хэфлигера для группы зацеплений (и формулы Хабеггера-Кайзера для группы сингулярных зацеплений) ;

2. Простое доказательство теоремы Понтрягина-Стинрода-Ву о классификации оснащенных зацеплений в многообразиях;

3. Развитие рамсеевской теории зацеплений и ее применение — доказательство гипотезы Менгера 1929 года о том, что произведение N копий полного графа на 5 вершинах не вложимо в евклидово пространство размерности 2 М;

4. Доказательство гипотезы Кавичиолли-Реповша-Скопенкова 1998 года о полноте препятствия Ван Кампена к аппроксимируемости вложениями путей на плоскости.

Первый и второй из указанных результатов являются известными, но подходы к их доказательству являются новыми и содержат новые идеи. Третий и четвертый из указанных результатов являются новыми.

Следующие четыре пункта посвящены формулировке результатов диссертации.

1. P. Akhmetiev, D. Repovs and A. Skopenkov, Embedding products of low-dimensional manifolds in Mm, Topol. Appl. 113 (2001), p. 7−12.

2. P. Akhmetiev, D. Repovs and A. Skopenkov, Obstructions to approximating maps ofn-surfaces to R2n by embeddings, Topol. Appl. 123:1 (2002), p. 3−14.

3. D. Auckly and L. Kapitanski, Analysis of the Faddeev model, preprint, arXiv: math-ph/403 025.

4. A. Bartels, P. Teiclmer, All two dimensional links are null homotopic, Geom. Topol. 3 (1999), p. 235−252.

5. R. Benedetti and C. Petronio, Branched Standard Spines of 3-Manifolds, Lect. Notes Math. 1653, Springer-Verlag, Berlin.

6. J. L. Bryant, Approximating embeddings of polyhedra in codimension 3, Trans. Amer. Math. Soc. 170 (1972), p. 85−95.

7. A. Blakers and W. Massey, Homotopy groups of a triad II, Ann. Math. (1952).

8. A. Cavicchioli, D. Repovs and A. B. Skopenkov, Open problems on graphs, arising from geometric topology, Topol. Appl. 84 (1998), p. 207−226.

9. M. Cencelj, D. Repovs and M. Skopenkov, Classification of framed links in 3-manifolds, Preprint Series Univ. of Ljubljana 41:906 (2003).

10. M. Cencelj, D. Repovs and M. Skopenkov, Classification of framed links in 3-manifolds, preprint, arXiv: math-gt/0705.4166vl.

11. M. Cencelj, D. Repovs and M. Skopenkov, Classification of framed links in 3-mamfolds, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 117:3 (2007), 301−306, arXiv:0705.4166v2math.GT].

12. M. Cencelj, D. Repovs, M. Skopenkov, Homotopy type of the complement to an immersion and classification of embeddings of tori, Rus. Math. Surv. 62:5 (2007), p. 985−987, arXiv:0803.4285vlmath.GT].

13. M. Cencelj, D. Repovs, M. Skopenkov, Knotted tori and the beta-invariant, preprint.

14. J. Conway and C. Gordon, Knots and links in spatial graphs, Jour. Graph Theory 7 (1983), p. 445−453.

15. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия: методы и приложения, Наука, Москва (1979).

16. Е. Dufraine, Classes d’homotopie de champs de vecteurs Morse-Smale sans singularite sur les fibres de Seifert, Enseign. Math. (2) 51:1—2 (2005), p. 3−30.

17. P. Eccles, Multiple points of codimension one immersions, Lect. Notes Math. 788 (1980), p. 23−38.

18. A. T. Фоменко и Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Наука, Москва (1989).

19. M. H. Freedman, V. S. Krushkal and P. Teichner, Van Kampen’s embedding obstruction is incomplete for 2-complexes in M4, Math. Res. Letters 1 (1994), p. 167−176.

20. M. Galecki, On embeddability of CW-complexes in Euclidean space, preprint Univ. of Tennessee, Knoxville (1992).

21. M. Galecki, Enchanced Cohomology and Obstruction Theory, Doctoral Dissertation, Univ. of Tennessee, Knoxville (1993).

22. E. Giroux and N. Goodman, On the stable equivalence of open books in three-manifolds, Geom. Topol. 10 (2006), p. 97−114.

23. R. Gompf, Handlebody construction of Stein surfaces, Ann. of Math. (2) 148 (1998), p. 619−693.

24. M. Gromov, Partial differential relations, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), Springer Verlag, Berlin-New York (1986).

25. N. Habegger, Knots and links in codimension greater than 2, Topol. 25:3 (1986), p. 253−260.

26. N. Habegger, U. Kaiser, Link homotopy in the 2-metastable range, Topol. 37:1 (1998), p. 75−94.

27. A. Haefliger, Dijferentiable embeddings of Sn in Sn+g forq > 2, Ann. Math., Ser.3 83 (1966) p. 402−436.

28. A. Haefliger, Enlacements de spheres en codimension superiure a 2, Comm. Math. Helv. 41 (1966;67), p. 51−72 (in French).

29. J. F. P. Hudson, Piecewise-linear topology, Benjamin, New York-Amsterdam 1969.

30. J. F. P. Hudson, Concordance, isotopy and diffeotopy, Ann. Math. 91:3 (1970), p. 425−448.

31. I. M. James, On the iterated suspension, Quart. J. Math. Oxford 5 (1954), p. 1−10.

32. U. Kaiser, Link Theory in Manifolds, Lect. Notes Math. 1669, SpringerVerlag, Berlin.

33. E. R. van Kampen, Komplexe in euklidische Raumen, Abb. Math. Sem. Hamburg 9 (1932), p.72−78, berichtigung dazu, 152−153.

34. M. Kervaire, An interpretation of G. Whitehead’s generalization of H. Hopf’s invariant, Ann. Math. 69 (1959), p. 345−362.

35. U. Koschorke, Link maps and the geometry of their invariants, Manuscripta Math. 61:4 (1988), p. 383−415.

36. U. Koschorke, Multiple point invariants of link maps, Lect. Notes Math., Springer-Verlag 1350 (1988), p. 44−86.

37. U. Koschorke, On link maps and their homotopy classification, Math. Ann. 286:4 (1990), p. 753−782.

38. U. Koschorke, A generalization of Milnor’s fi-invariants to higher dimensional link maps, Topology 36:2 (1997), p. 301−324.

39. U. Koschorke, B. Sanderson, Geometric interpretation of the generalized Hopf invariant, Math. Scand. 41 (1977), p. 199−217.

40. V. Krushkal, P. Teichner, Alexander duality, gropes and link homotopy, Geom. Topol. 1 (1997), p. 51−69.

41. G. Kuperberg, Noninvolutary Hopf algebras and 3-manifold invariants, Duke Math. Journal 84:1 (1996), p. 83−129.

42. A. 0. Lovasz and A. Schrijver, A Borsuk theorem for antipodal links and a spectral characterization of linklessly embeddable graphs, Proc. of AMS 126:5 (1998), p.1275−1285.

43. S. Melikhov, Pseudohomotopy implies homotopy for singular links of codimension > 3, Uspekhi Mat. Nauk 55:3 (2000), p. 183−184 (in Russian). English transl: Russian Math. Surv. 55:3 (2000).

44. S. Melikhov, Link concordance implies link homotopy in codimension > 3, preprint.

45. K. Menger, Uber plattbare Dreiergraphen und Potenzen nicht plattbarer Graphen, Ergebnisse Math. Kolloq. 2 (1929), p. 30−31.

46. P. Mine, On simplicial m, aps and chainable continua, Topol. Appl. 57 (1994), p. 1−21.

47. P. Mine, Embedding simplicial arcs into the plane, Topol. Proc. 22 (1997), p. 305−340.

48. S. Negami, Ramsey-type theorem for spatial graphs, Graphs and Comb. 14 (1998), p. 75−80.

49. V. Nezhinsky, A suspension sequence in link theory, Izv. Akad. Nauk 48:1 (1984), p. 126−143 (in Russian).

50. G.F. Paechter, The groups тгг (Уп>т), Quart. J. Math. Oxford, Ser. 2, 7 (1956), p. 249−268.

51. L. S. Pontryagin, Classification des transformations d’un complexe (n+1)-dimensionel dans une sphere n-dimensionelle, C. R. Paris 206 (1938), p. 1436−1438.

52. L. S. Pontryagin, A classification of mappings of the 3-dimensional complex into the 2-dimensional sphere, Rec. Math. (Mat. Sbornik) 9:51 (1941), p. 331−363.

53. Jl. С. Понтрягин, Гладкие многообразия и их применения в теории го-мотопий, Наука, Москва 1976.

54. V. Prasolov and М. Skopenkov, Ramsay theory of knots and links, Matemati-cheskoe Prosveschenie 3rd series 9 (2005), p. 108−115 (in Russian).

55. D. Repovs and A. B. Skopenkov, Embeddability and isotopy of polyhedra in Euclidean spaces, Proc. Steklov Math. Inst. 212 (1996), p. 163−178.

56. D. Repovs and A. B. Skopenkov, A deleted product criterion for approximability of maps by embeddings, Topol. Appl. 87 (1998), p. 1−19.

57. D. Repovs and A. Skopenkov, New results on embeddings of polyhedra and manifolds into Euclidean spaces, Uspekhi Mat. Nauk 54:6 (1999), p. 61−109 (in Russian). English transl.: Russ. Math. Surv. 54:6 (1999), p. 1149−1196.

58. D. Repovs and A. B. Skopenkov, The obstruction theory for beginners, Mat. Prosv. 4 (2000), p. 154−180 (in Russian).

59. D. Repovs and A. Skopenkov, On contractible n-dimensional compacta, non-embeddable into R2n, Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), p. 627−628.

60. D. Repovs, A. B. Skopenkov and E. V. Scepin, On embeddability of X x I into Euclidean space, Houston J. Math 21 (1995), p. 199−204.

61. D. Repovs, M. Skopenkov and F. Spaggiari, On the Pontryagin-Steenrod-Wu theorem, Israel J. Math. 145 (2005), p. 341−348. Перевод на русский язык: arXiv:0808.1209vl math. GT].

62. N. Robertson, P. P. Seymor and R. Thomas, Linkless embeddings of graphs in 3-space, Bull. Am. Math. Soc. 28:1 (1993), p. 84−89.

63. N. Robertson, P. P. Seymor and R. Thomas, Sach’s linkless embedding conjecture, Jour, of Comb. Theory, Series В 64 (1995), p. 185−227.

64. H. Sachs, On spatial representation of finite graphs, in «Finite and infinite sets», Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai 37 (1981).

65. K. S. Sarkaria, A one-dimensional Whitney trick and Kuratowski’s graph planarity criterion, Israel J. Math. 73 (1991), p. 79−89.

66. G. P. Scott, Homotopy links, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 32 (1968), p. 186−190.

67. J. Segal, A. Skopenkov and S. Spiez, Embeddings of polyhedra in 3Rm and the deleted product obstruction, Topol. Appl. 85 (1998), p. 335−344.

68. J. Segal and S. Spiez, On transversely trivial maps, Questions and Answers in General Topology 8 (1990), p. 91−100.

69. J'. Segal and S. Spiez, Quasi-embeddings and embedding of polyhedra mRm, Topol. Appl. 45 (1992), p. 275−282.

70. M. Shirai, K. Taniyama, A large complete graph in a space contains a link with large link invariant, J. of Knot Theory and Its Ramifications 12:7 (2003), p. 915−919.

71. K. Sieklucki, Realization of mappings, Fund. Math. 65 (1969), p. 325−343.

72. A. Skopenkov, A geometric proof of the Neuwirth theorem on thickenings of 2-polyhedra, Mat. Zametki 56:2 (1994), p. 94−98 (in Russian). English transl.: Math. Notes 58:5 (1995), p. 1244−1247.

73. A. Skopenkov, Classification of embeddings below the metastable dimension, submitted, arXiv: math/60 7422v2math.GT].

74. A. Skopenkov, Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces, in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes 347 (2007), p. 248−342, arXiv: math/60 4045vlmath.GT].

75. A. Skopenkov, A new invariant and parametric connected sum of embeddings, Fund. Math. 197 (2007), p. 253−269, arXiv: math/509 621 math. GT].

76. М. Skopenkov, A formula for the group of links in the 2-metastable dimension, Algebraic Topology: old and new. M.M. Postnikov memorial conference. Abstracts. Bedlewo (2007), p. 28.

77. M. Skopenkov, Embedding products of graphs into Euclidean spaces, Fundamenta Mathematicae 179 (2003), p. 191−197. Перевод на русский язык: arXiv:0808.1199vlmath.GT].

78. М. Skopenkov, On approximability by embeddings of cycles in the plane, Topology and Its Applications 134:1 (2003), p. 1−22. Перевод на русский язык (только §§ 1−3): arXiv:0808.1187vlmath.GT].

79. S. Spiez and H. Torunczyk, Moving compacta in Mm apart, Topol. Appl. 41 (1991), p. 193−204.

80. N. Steenrod, Products of cocycles and extensions of mappings, Ann. math. 48:2 (1947), p. 290−320.

81. A. Sziics, Cobordism group of l-immersions, Acta Math. Hungar. 28 (1976), p. 93−102 (in Russian).

82. E. V. Scepin, Soft mappings of manifolds, Russian Math. Surveys 39:5 (1984), p. 209−224 (in Russian).

83. E. V. Scepin and M. A. Stanko, A spectral criterion for embeddability of compacta in Euclidean space, Proc. Leningrad Int. Topol. Conf., Nauka, Leningrad (1983), p. 135−142 (in Russian).

84. K. Taniyama, Higher dimensional links in a simplicial complex embedded in a sphere, Pacific Jour, of Math. 194:2 (2000), p. 465−467.

85. B. R. Ummel, The product ofnonplanar complexes does not imbed in 4-space, Trans. Amer. Math. Soc. 242 (1978), p. 319−328.