Пучковые когомологии и размерности пространств Чу

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Теория пучков на топологических пространствах доказала свою эффективность в решении задач топологии, алгебраической геометрии, теории функций многих комплексных переменных. А. Гротендик ввел понятие топологии на произвольной категории, обобщил и углубил теорию пучков и пучковых когомологий. Однако, приложением (и главной целью) этой теории является теория этальных когомологий, применяемая для решения задач алгебраической геометрии. В то же время, общность исходных понятий позволяет рассчитывать на эффективное применение теории Гротендика и в других ситуациях.

В данной диссертационной работе строится теория пучков и пучковых когомологий нормальных пространств Чу.

Конструкция Чу, которая привела позже к понятию пространства Чу, появилась в магистерской диссертации По Хсианг Чу (Ро-ЬЫаг^-СЬи), относящейся к теории категорий, и была опубликована в 1979 г в качестве приложения к [17]. Название «пространство Чу» предложено М. Барром в 1993 г. Нормальные пространства Чу над алфавитом Е = {0,1} впервые появилась в работе Гупта [22] под названием частично упорядоченные решетки (рсПа^.

В терминах пространств Чу интерпретировались многие понятия и результаты, относящиеся к физике и механике [37]. Пространства Чу изучались также в связи с линейной логикой, структурами событий, информационными системами [23, 34, 35, 42, 43]. В свою очередь структуры событий связывались с асинхронными системами переходов и сетями Петри [30]. Для изучения некоторых из этих объектов удалось применить гомологические методы. В частности, в работах [13, 27] строились и изучались теории гомологий асинхронных систем переходов и сетей Петри. Объектами, связанными с computer science, являются автоматы высшей размерности. Они также изучались методами алгебраической топологии [19, 20, 21].

Тот факт, что при изучении перечисленных объектов оказались эффективными некоторые методы алгебраической топологии делает актуальным вопрос об использовании в этом круге вопросов теории пучков.

Цель исследования. В рамках теории сайтов Гротендика построить теорию пучков и пучковых когомологий на пространствах Чу. Изучить структуры на нормальных пространствах Чу, задаваемые естественно возникающими на них топологиями Гротендика. Применить полученные результаты к информационным системам и структурам событий.

Методы исследования. В диссертационной работе использовались методы гомологической алгебры, теории пучков на сайтах Гротендика и теории пучковых когомологий частично упорядоченных множеств.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими математическими доказательствами всех предложений и теорем, представленных в работе.

Основные результаты:

1. Предложен метод задания топологии Гротендика на нормальном пространстве Чу. С помощью этого метода построена теория пучков и пучковых когомологий на пространствах Чу и введено содержательное понятие размерности.

2. Доказано, что когомологии Гротендика и Чеха пространств Чу изоморфны, а также, что когомологии Чеха с коэффициентами в абелевом предпучке изоморфны когомологиям с коэффициентами в порожденном пучке.

3. Дана когомологическая характеристика размерности и дуальной размерности нормального пространства Чу.

4. Разработана теория вялых пучков и вялых размерностей нормальных пространств Чу. Доказана ацикличность вялых пучков. Доказано неравенство Br < dim + 1, где dim — размерность, а В г — размерность Бредона нормального пространства Чу, определяемая по аналогии с размерностью Бредона топологических пространств.

5. С каждой структурой событий (Е, Con, Ь) ассоциируется нормальное пространство Чу. Доказано, что дуальная размерность ассоциированного с ней нормального пространства Чу интерпретируется как такое число п, что из любого X? Con выводится не более п + 1 событие из Е и существует X е Con из которого выводится п + 1 событие. Таким образом, указанное п характеризуется с помощью пучковых когомологий нормального пространства Чу.

Даны характеристики некоторых свойств сетей Петри аналогично структурам событий. А именно, возможны 4 варианта в зависимости от ассоциированного с сетью Петри пространства Чу:

— дуальная размерность нормального пространства Чу интерпретируется как такое число п, что в любое событие из Е входит не более п +1 условие из В и существует событие, в которое входит n + 1 условие;

— дуальная размерность нормального пространства Чу интерпретируется как такое число п, что в любое условие из В входит не более, чем в п + 1 событие из Е, и существует условие, в которое входит п + 1 событие;

— дуальная размерность нормального пространства Чу интерпретируется как такое число п, что из любого события из Е выходит не более п + 1 условие из В и существует событие, из которого выходит п + 1 условие;

— дуальная размерность нормального пространства Чу интерпретируется как такое число п, что любое условие из В выходит не более, чем из п + 1 события из Е, и существует условие, из которого выходит п + 1 события.

Таким образом, указанное п характеризуется с помощью пучковых когомологий нормального пространства Чу.

С частично упорядоченным множеством ассоциируется нормальное пространство Чу. Длина и ширина частично упорядоченного множества интерпретируются как дуальные размерности соответствующих нормальных пространств Чу и характеризуются с помощью пучковых когомологий нормальных пространств Чу.

С каждой информационной системой (А, Con, h) ассоциируются нормальные пространства Чу. Даны характеристики некоторых свойств. В частности, доказано, что дуальная размерность ассоциированного с ней нормального пространства Чу интерпретируется как такое число п, что любой элемент из Con содержит не более п + 1 единицу информации из Л и существует элемент из Con, который состоит из п + 1 единицы информации. Таким образом, указанное п характеризуется с помощью пучковых когомологий нормального пространства Чу.

Новизна и научная значимость работы. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть применены для изучения сайтов Гротендика, пространств Чу, структур событий, информационных систем.

Апробация работы. Результаты диссертации представлялись автором на семинаре «Геометрия, топология и их приложения».

Института математики СО РАН (Новосибирск, 2011), на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики СО РАН (Новосибирск, 2011), на семинаре Института Прикладной математики ДВО РАН (Владивосток, 2010, 2011), Института математики и компьютерных наук ДВГУ (Владивосток, 2010), а также на следующих международных конференциях и школах-семинарах: конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (Москва, 2004), научная конференция «Ломоносовские чтения» (Севастополь, 2005), Дальневосточная математическая школа — семинар им. ак. Е. В. Золотова (Хабаровск, 2005), Российская школа-семинар «Синтаксис и семантика логических систем» (Владивосток, 2008), международная конференция «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, 2009), 3-я Российская школа-семинар «Синтаксис и семаитака логических систем» (Иркутск, 2010), Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова (Владивосток, 2010).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 13 работах, три из которых выполнены в соавторстве с Е. Е. Скурихиным [54, 55, 56].

Содержание работы.

1. Бредон Г. Теория пучков// М. Наука. 1988. С. 312.

2. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков // М. ИЛ. 1961. С. 319.

3. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры // М. ИЛ. 1961. С. 175.

4. Кузьминов В. И. Гомологическая теория размерности // Успехи мат. наук. 1968. Т. 23, № 5. С. 3−49.

5. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирования систем// Мир. Москва. 1984. С. 264.6j Скурихин Е. Е. Нормальные пучки и когомологическая размерность вполне регулярных пространств // Докл. АН СССР. 1982. Т. 265, № 3. С. 541−544.

6. Скурихин Е. Е. Пучковые когомологии и полные брауэровы решетки // Владивосток. Дальнаука. 1993. С. 218.

7. Скурихин Е. Е. Пучковые когомологии и размерность частично упорядоченных множеств // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 2002. Т. 239. С. 289−317.

8. Скурихин Е. Е. Пучковые когомологии и размерность равномерных пространств // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58, № 4. С. 157−158.

9. Скурихин Е. Е. Пучковые когомологии pi размерность частично упорядоченных множеств// Владивосток. Дальнаука. 2004. С. 193.

10. Скурихин Е. Е. Об одном классе категорных топологических пространств // Успехи мат. наук. 2008. Т. 63, № 1. С. 167−168.

11. Скурихин Е. Е. Когомологии и размерности топологических и равномерных пространств// Владивосток. Дальнаука. 2008. С. 204.

12. Хусаинов A.A., Лопаткин В. Е., Трещев И. А. Исследование математической модели параллельных вычислительных процессов методами алгебраической топологии / / Сиб. журнал иидустр. математики. 2008. № 1(33). С. 141−152.

13. Artin M. Grothendieck Topologies // Harvard Math. Dept. Lecture Notes Cambridge, Mass.: Harvard University. 1962.

14. Artin M., Grothendieck A., and Verdier J. L. (eds.) Theorie de Topos et Cogomologie Etale de Shemas (SGA 4) // Seminaire Geometrie Algebriqe BerlinHeidelbergNew York: Springer-Verlag. 1972. (Lecture Notes in Math. Vol. 269, 270).

15. Advanced course on Petri nets // Springer LNCS 254, 255. 1987.

16. Barr M. *-Autonomous Categories // Lecture Notes in Math.- V. 752. Berlin: Springer-Verlag. 1979.

17. Barr M., *-Autonomous categories, with an appendix by Po Hsiang Chu // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1. 1991. P. 159−178.

18. Gaucher P. About the globular homology of higher dimensional automata. // Cahiers Topologies Geom. Differentiele Categ. 2002. Vol. 43, N.2. P. 107 156.

19. Goubault E. The Geometry of Concurrency // PhD thesis, Ecole Normale Superieure. Available at http://www.dmi.ens.fr/goubault.

20. Goubault E., Jensen T.P. Homology of Higer-Dimensional Automata // Lecture Notes in Computer Science 630. 1992. P. 254−268.

21. Gupta V. Chu Spaces: A Model of Concurrency // PhD Thesis. Stanford: Stanford University. 1994.

22. Gupta V., Pratt V. R. Gates accept concurrent behavior // Proc. of the 34th Ann. IEEE Symp. on Foundations of Comp. Sei. 1993. P. 62−71.

23. Grothendieck A. Seminaire Geometrie Algebrique 4 (with M. Artin and J.-L Verdier). Theorie de topos et cohomologie etale de schemas // Lect. Notes in Math. Heidelberg. Springer. 1972. Vol.269. P. 270.

24. Holt A., Commoner F. Events and Conditions (in three parths) // Applied Data Research. New York. 1970. P. 1−52.

25. Holt A.W., Saint H., Shapiro R., Warshall S. Final Report of the Information System Theory Project // Technical Report RADC-TR-68−305. Rome Air Development Center, Griffiss Air Force Base. New York. 1968.

26. Husainov A. On the Homology of small Categories and asynchronous transition system. // Homology Homotopy Appl. 2004. V. 6, N.l. P. 439 471. http: // www.rmi.acnet.ge/hha.

27. Kahn G., Plotkin G. Domaines Concretes // Rapport IRIA Laboria No. 336. 1978.

28. Larsen K.G., Winskel G. Using information systems to solve recursive domain equations effectively // in: Semantics of Data Types. International Symposium Sophia-Antipolis 1984. Springer LNCS 173. 1984. P. 109−129.

29. Nielsen M., Plotkin G., Winskel G. Petri nets, Event structures and Domains, part 1 // Theoretical Computer Science. Vol. 13. 1981.

30. Cech cohomology and covering dimension for topological spaces // Fund. Math. 1975. Vol. 87, № 1. P. 31−52.

31. Paulson L.C. Logic and Computation // Interactive Proof with Cambridge LCF. Cambridge UP. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. 1987.

32. Petri C. Kommunikation mit Automaten // Ph.D. dissertation. University of Bonn. West Germany. 1962.

33. Pratt V. R. Chu spaces as a semantic bridge between linear logic and mathematics // Linear Logic. Tokyo, 1996. Theoret. Comput. Sci. 2003. Vol. 294, N3. P. 439−471.

34. Pratt V. R. Chu spaces and their interpretation as concurrent objects // Lecture Notes in Comput. Sci. 1995. Vol. 1000. P. 392−405.

35. Pratt V. R. Chu Spaces. Notes for School on Category Theory and Applications // Textos Mat. Ser. B Coimbra: Univ. Coimbra. 1999. Vol. 21. P. 39−100.

36. Pratt V.R. Chu Spaces: Automata with Quantum Aspects // Proc. Workshop on Physics and Computation (PhysComp'94). Dallas. 1994. P. 186 195.

37. Scott D.S. Outline of a mathematical Theory of computation // Technical Monograph PR, G-2. Oxford. 1970.

38. Scott D.S. Continuous lattices // Proc. 1971 Dalhousie Conference on Toposes, Algebraic Geometry and Logic. Springer LNM 274. 1971. P. 97 136.

39. Scott D.S. Domains for denotational semantics // Proc. 9th International Coll. on Automata, Languages and Programming. Aarhus. Springer LNCS 140. 1982. P. 577−613.

40. Winskel G. Event structures // in: Springer LNCS. Vol. 255. 1987. P. 325 392.

41. Zhang G.-Q. Chu Spaces, Concept Lattices, and Domain // Electronic Notes. Theoret. Comput. Sci. 2004. Vol. 83.

42. Сухонос А. Г. Когомологическая характеристика длины и ширины частично упорядоченного множества / / Фундаментальная и прикладная математика. Т. 15, № 7. г. Москва. 2009. С. 217−227.

43. Сухонос А. Г. Информационные системы и размерность пространств Чу // Материалы 3-й Российской школы-семинар «Синтаксис и семантика логических систем». г. Иркутск. 2010. С. 105−105.

44. Сухонос А. Г. Структуры событий и размерность пространств Чу // XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова. г. Владивосток. 2010.

45. Скурихин Е. Е., Сухонос А. Г. Когомологии и размерность пространств Чу // Дальневост. мат. сб. 2005. Т. 6, № 1, 2. С. 14−22.

46. Скурихин Е. Е., Сухонос А. Г. Топология Гротендика на пространствах Чу// Математические труды. 2008. Т. 1, № 2. С. 159−186.

47. Skurikhin Е.Е., Sukhonos A.G. Grothendieck Topologies on Chu Spaces // Siberian Advances in Mathematics. 2009. Vol. 19, № 3. P. 192−210.