Топология пространств модулей римановых суперповерхностей и вещественных алгебраических суперкривых

На протяжении всего 20 века пространства модулей римановых поверхностей являлись объектом постоянного интереса математиков. В последние два десятилетия эти исследования получили новый стимул в связи с открытием глубоких связей пространств модулей римановых поверхностей с теорией струн —- современного варианта единой теории поля [Ро]. Теория струн приводит к рассмотрению некоммутативного аналога римановых поверхностей: римановых N = 1 суперповерхностей [Бп], [ВБ]. Математическая часть теории при этом сводится к изучению «струнной» меры на пространстве модулей римановых N = 1 суперповерхностей [ВМЕЗ], [118V]. Дальнейшее развитие теории приводит к появлению римановых N = 2 суперповерхностей рЫ], [С].

Согласно стандартным определениям вещественной алгебраической кривой называется комплексная алгебраическая кривая (то есть компактная риманова поверхность) Р, наделенная вещественной структурой (то есть антиголоморфной инволюцией комплексного сопряжения т: Р -? Р). Категория вещественных алгебраических кривых изоморфна категории клейновых поверхностей [АС], [N-15]. Исследования вещественных алгебраических кривых были начаты в работах Клейна [К1]. В дальнейшем на протяжении значительного периода времени исследователи интересовались в основном плоскими (то есть вложенными в аффинную или проективную плоскость) вещественными кривыми. Систематическое изучение «общих» вещественных алгебраических кривых возобновилось лишь в 70-е годы [Еа], [АС], [N-2], [N-3], [N-4], [Яе]. Открытый в 70-е годы в работах С. П. Новикова и его школы метод алгебро-геометрического интегрирования уравнений математической физики поставил перед теорией вещественных кривых ряд новых задач и значительно стимулировал ее развитие [Che], [DN-1], [Du-1], [DN-2], [N-14], [N-20], [N-27]. Другой областью приложения теории вещественных кривых является конформная теория поля и, в частности, теория струн [СН], [VR], [СН].

До недавнего времени значительно меньше внимания уделялось изучению пространств голоморфных отображений римановых поверхностей. В случае тождественных отображений эти пространства совпадают с пространствами модулей римановых поверхностей. В случае отображений на сферу они совпадают с пространствами мероморфных функций, рассматривавшимися в работах Гурвица [Ни-1]. В последние годы выяснилось, что пространства голоморфных отображений играют центральную роль в двумерной топологической теории поля: к ним и к их обобщениям, по-видимому, сводятся полупростые фробениусовы многообразия в смысле Дубровина [Du-З].

Естественной структурой фробениусова многообразия обладают, в частности, пространства квантовых когомологий четной размерности [КМ], [RT]. Для изучения квантовых когомологий нечетной размерности необходим супераналог фробениусова многообразия [КМ], [ММ]. Это делает актуальным исследование пространств суперголоморфных отображений римановых суперповерхностей. Другим источником возникновения суперголоморфных отображений являются суперконформные инстантоны [MN-1], [MN-2], [MN-3].

Вещественные (то есть сохраняющие вещественную структуру) голоморфные отображения вещественных алгебраических кривых также возникают во многих вопросах математики и математической физики. Вещественные отображения на Риманову сферу (вещественные мероморфные функции) играют, например, важную роль в теории матричных конечнозонных дифференциальных операторов.

2Ъ].

Цель работы. Целью работы является исследование топологической структуры пространства модулей римановых суперповерхностей и вещественных алгебраических (супер)кривых. Исследование топологической структуры пространства (супер)голоморфных отображений римановых поверхностей. В том числе отображений, сохраняющих вещественную структуру. Исследование топологических свойств мероморфных тензорных полей на вещественных алгебраических кривых. Исследование топологических свойств в-дивизора вещественных алгебраических кривых. Как правило, мы рассматриваем только случай гиперболических поверхностей и алгебраических кривых рода больше 1. Для негиперболических поверхностей и кривых (сфер с менее чем тремя проколами и торов) соответствующие проблемы проще, но требуют других методов исследования.

Методы исследования. Построение топологических инвариантов римановых суперповерхностей и алгебраических суперкривых основано на исследовании семейств функций Арфа. Вещественно-аналитическая структура компонент связности пространств модулей (супер) римановых поверхностей, алгебраических (супер) кривых и их отображений исследуются с помощью теории (супер) фук-совых групп.

Научная новизна и основные результаты диссертации. В диссертации найдена топологическая структура пространств модулей римановых суперповерхностей, вещественных алгебраических (супер) кривых и связных сними пространств отображений. Развитые при этом методы позволили решить также и некоторые другие актуальные проблемы теории вещественных алгебраических кривых. Все основные результаты диссертации являются новыми. К ним относятся, в частности,.

1. Характеризация компонент связности пространств модулей N = 1 и N = 2 римановых суперповерхностей и вещественных алгебраических суперкривых.

2. Описание топологической структуры каждой компоненты связности пространств модулей N = 1 ж N = 2 римановых суперповерхностей и вещественных алгебраических суперкривых.

3. Описание топологической структуры компонент связности пространств (супер) голоморфных отображений римановых (супер) поверхностей.

4. Характеризация компонент связности пространства вещественных мероморфных функций.

5. Описание топологических свойств 0-дивизора многообразия Прима вещественных алгебраических кривых. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Построенная в диссертации параметризация пространства фуксовых групп позволяет эффективизировать построение квазипериодических решений важных уравнений математической физики [Во-1], [Во-2], [N-14]. Исследование^{-дивизора} позволяет отобрать среди них важные для приложений неособые решения [1Ж-2], [N-14]. Топологическая классификация вещественных мероморфных функций также используется в методе алгебро-геометрического интегрирования дифференциальных уравнений.

Zh]. Результаты о пространствах голоморфных отображений рима-новых поверхностей могут найти применение в теории особенностей [Агп]. Пространства супермероморфных отображений используется для конструкций супер сг-моделей [MN-1], [MN-2], [MN-З]. Построенная в диссертации параметризация пространства модулей N = 1 суперкривых может оказаться полезной при вычислении «струнной» меры Полякова по формулам [BMFS].

Апробация полученных результатов. Основные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [N-l], [N-3], [N-4], [N-8], [N-9], [N-10], [N-12], [N-13], [N-14], [N-15], [N-16], [N-17], [N-18], [N-21], [N-22], [N-23], [N-24], [N-25], [N-26], [N-27], [N-28], [N-29], [N-31], [N-32], [N-33], [N-34]. Результаты докладывались и обсуждались на многих семинарах и конференциях, среди которых: «Нелинейные процессы и турбулентность в физике», 1989, Киев, СССР- «Методы теории групп в физике», 1990, Москва, СССР- «Real Algebraic Geometry», 1991, Rennes, France- «College on Singularities», 1991, Trieste, Italy- «Workshop on Problems of calculation in Theory of Riemann Surfaces and Algebraic Curves», 1992, Finlande- «Rencontres Franco-Russes de Geometrie», 1992, Marseille, France- «Семестр Лобачевского», Санкт-Петербург, 1992, Россия- «The 8-th Workshop on Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems», 1992, Дубна, Россия- «4-ая международная конференция по топологии и ее приложениям», 1993, Киев, Украина- «Conference sur les problemes de calcul dans la theorie des surfaces de Riemann et des courbes algebriques», 1993, Luminy, France- «Международная конференция по геометрии», 1993, Москва, Россия- «Topology of Moduli Spaces of Algebraic Curves», 1993, Kyoto, Japon- «Real and Complex Algebraic Geometry» ,.

— ю.

1994, Amsterdam, Netherlands- «Workshop on Problems of calculation in Theory of Riemann Surfaces», 1994, Helsinki, Finland- «International Congress of Mathematics», 1994, Zurich, Switzerland- «Real Algebraic and Analytic Geometry meeting», 1995, Segovia, Spain- «Conference on Quantum Invariants and Low-Dimensional Topology including Special Holonomy and Twistor Theory», 1995, Aarhus, Danmark- «2nd European Congress of Mathematics», 1996, Budapest, Hungary- «Congress on Computational Conformal Geometry and Riemann Surfaces», 1996, Lanzarote, Spain- «Summer Workshop on Algebraic Geometry and Physics, 1997, Medina del Campo, Spain- «Geometrie Niedrig-Dimen-sionaler Mannigfaligkeiten», 1997, Bochum, Germany- «Conference on Riemann Surfaces», 1998, Madrid, Spain- «International Congress of Mathematicians», 1998, Berlin, Germany- «Workshop on Discrete Groups and Conformal Geometry», 1998, Vasteras, Sweden- «Conference on Real Analytic and Algebraic Geometry», 1998, Trento, Italy- «International Conference on Geometry», 1999, Porto, Portugal- «VHIth Oporto Meeting on Geometry, Topology and Physics», 1999, Porto, Portugal- «Topology and Dynamics: Rokhlin Memorial», 1999, Санкт-Петербург.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Первая глава состоит из 15 параграфов, вторая — из 14 параграфов, а третья глава — из 5 параграфов. Нумерация параграфов и формул своя для каждой главы. При ссылках на параграфы и формулы в рамках одной главы номер главы не указывается.