Индексы 1-форм, обобщенные результанты и многогранники Ньютона

В этой работе индексы пересечения аналитических множеств некоторого специального вида (результантные циклы, определение 3.1) выражаются через многогранники Ньютона определяющих их наборов функций при условии, что главные части функций находятся в общем положении. Частными случаями результантных циклов являются полные пересечения и множества максимальной коразмерности точек вырождения голоморфных матриц. Частными случаями индексов пересечения таких множеств являются индекс Пуанкаре-Хопфа особенности векторного поля, индекс Гусейн-Заде-Эбелинга набора ростков 1-форм на изолированной особенности полного пересечения ([1], [2]) и вычет Сувы набора сечений векторного расслоения в изолированной точке их линейной зависимости ([10]). Основные результаты работы позволяют вычислять эти инварианты особенностей в терминах многогранников Ньютона, дают описание многогранника Ньютона обобщенного результанта, дополняющее [19] и [26], а также позволяют получить новую форму ответа в некоторых известных формулах для инвариантов особенностей в терминах многогранников Ньютона.

Результаты работы основаны на торическом разрешении особенностей ростка результантного цикла, обобщающем конструкции Хованского [13] в случае гиперповерхности и Ока [9] в случае полного пересечения. Кроме индекса пересечения результантных циклов, с помощью этого обобщения выражены в терминах многогранников Ньютона^{-функция} монодромии голоморфной функции на ростке результантного цикла (что обобщает результаты [5], [7] и [9] в случае полного пересечения), радиальный индекс ростка 1-формы на особенности результантного цикла ([3], [4]), а также перенесены на результантные циклы результаты работы [14] о полных пересечениях в комплексном торе. Получены также вещественные аналоги некоторых методов и результатов работы.

История темы работы такова. В начале семидесятых годов В. И. Арнольд возродил интерес к следующему обобщению понятия старшего члена ряда Тейлора аналитической функции одной переменной. Множество степеней мономов от п переменных — положительный октант Z" решетки Z". Для ростка аналитической функции /: (Кп, 0) —> (К, 0), где К = С или R, рассмотрим множество, А С степеней мономов, входящих в ряд Тейлора / с ненулевыми коэффициентами. Выпуклая оболочка всех степеней вида a + b, а? А, Ь G Щ. называется многогранником Ньютона функции /. Объединение его ограниченных граней называется диаграммой Ньютона функции / и является обобщением степени старшего члена ряда Тейлора одной переменной. Сумма всех мономов ряда Тейлора / со степенями из диаграммы Ньютона называется главной частью функции / (это по определению многочлен) и является обобщением старшего члена ряда Тейлора одной переменной. (Ньютон рассматривал случай п = 2 — многоугольники Ньютонапосле этого многоугольники Ньютона использовались при изучении кривых на плоскости.).

Анализируя эмпирический материал, накопленный теорией особенностей, Арнольд предположил, что целочисленные характеристики диаграмм Ньютона (количества целых точек, объемы граней) геометрически связаны с инвариантами особенностей функций. В 1975 г. А. Г. Кушниренко получил первые общие результаты в этом направлении — в работе [5] он нашел число Милнора ростка аналитической функции с данным многогранником Ньютона и главной частью общего положения. Он также рассматривал глобальный аналог поставленной задачи, когда вместо ростка функции рассматривается многочлен Лорана на комплексном торе, а его многогранником Ньютона называется выпуклая оболочка степеней его мономов. Кушниренко нашел эйлерову характеристику неособого множества уровня многочлена Лорана общего положения с данным многогранником Ньютона, а Д. Н. Бернштейн обобщил этот результат, вычислив эйлерову характеристику совместного множества уровня нескольких многочленов Лорана общего положения с данными (может быть различными) многогранниками Ньютона.

Кушниренко использовал алгебраическую технику. Например, число Милнора в [5] он искал как размерность соответствующего локального кольца. Бернштейн использовал более геометрический подход. Например, в [12] он рассматривал однопараметрическое шевеление исходной системы полиномиальных уравнений, что позволяло от подсчета суммарной кратности решений системы перейти к подсчету однократных кривых, по которым решения распадаются. Количество этих кривых можно найти, подсчитав количество «концов этих кривых на бесконечности», что сводится к решению задачи, аналогичной исходной, в размерности, на единицу меньшей. Поэтому можно применить индукцию по размерности.

Очень полезной оказалась идея А. Г. Хованского решать задачи, связанные с многогранниками Ньютона, на языке торических многообразий. Торические многообразия можно рассматривать как обобщение проективных пространств — они получаются склейкой карт с помощью мономиальных отображений. В работе [13] Хованский построил такое разрешение особенности функции с главной частью общего положения, что пространство разрешения является гладким торическим многообразием и строится по многограннику Ньютона функции (в [13] описан также глобальный аналог этой конструкции). С помощью этой конструкции в глобальном случае Хованский провел подробное исследование [14] полных пересечений на комплексном торе, заданных уравнениями с главными частями общего положения (это исследование далеко обобщает выражение эйлеровой характеристики полного пересечения через многогранники Ньютона уравнений, найденное Берн-штейном).

Торические разрешения Хованского [13] помогают выражать через многогранники Ньютона инварианты особенности, которые можно определить в терминах разрешения особенности: торическое разрешение сводит локальную задачу к соответствующей глобальной задаче на компонентах исключительного дивизора, которая обычно решается легче исходной. Например, формула Н. А’Кампо [6] выражает число Милнора и^{-функцию} монодромии особенности функции в терминах топологии разрешения особенности. С помощью этой формулы и то-рических разрешений А. Н. Варченко в работе [7] вычислил^{-функцию} монодромии особенности функции с главной частью общего положения в терминах ее многогранника Ньютона, а затем М. Ока обобщил этот результат на изолированные особенности полных пересечений в работе [9]. Также с помощью торических разрешений были выражены через многогранники Ньютона многие другие инварианты особенностей — асимптотика осциллирующих интегралов [8] и т. д.

Глобальный вариант идей Арнольда (многогранники Ньютона) и Хованского (торическая компактификация комплексного тора по многограннику Ньютона) был также использован Гельфандом, Капрановым и Зелевинским при изучении многомерных результантов. В книге [19] о многомерных результантах и дискриминантах описан, например, многогранник Ньютона N' некоторого обобщения дискриминанта многочлена с данным многогранником Ньютона N. Оказывается, N' - вторичный многогранник многогранника N (грубо говоря, вершины N' - это триангуляции N). Доказательство проводится с помощью алгебраической техники. Штурмфельс провел аналогичное исследование [26] для обобщенного результанта п многочленов от п — 1 переменной с данными многогранниками Ньютона.

Последнее время в разных работах (например, [1], [2], [3], [4], [10]) рассматриваются инварианты особенностей наборов сечений векторных расслоений, которые обобщают индекс Пуанкаре-Хопфа особой точки векторного поля (в том смысле, что участвуют в обобщениях формул типа Пуанкаре-Хопфа на многообразия с особенностями, произвольные характеристические числа, произвольные векторные расслоения и т. д.) Исходная цель данной работы состояла в том, чтобы научиться вычислять инварианты такого типа по многогранникам Ньютона компонент ростков сечений.

Идея такого вычисления состоит в следующем. Искомый инвариант особенности набора сечений представляется как индекс пересечения некоторых дивизоров на проективизации расслоения, двойственного к данному — эти дивизоры состоят из гиперплоскостей, ортогональных данным сечениям. Найти индекс пересечения этих дивизоров можно за счет того, что тотальное пространство проективизации ростка векторного расслоения является ростком торического многообразия. Индексы пересечения ростков дивизоров на торическом многообразии можно искать с помощью шевелений, похожих на метод Д. Н. Берн-штейна, при которых пересечения этих дивизоров уходят с «абсолюта» торического многообразия по однократным кривым. Кривые, по которым они уходят, можно подсчитать, найдя количество их «концов» на исключительном дивизоре подходящего торического разрешения «абсолюта» .

Работа состоит из следующих частей. В главе 1 сформулированы следствия основных результатов работы для некоторых известных инвариантов особенностей и многомерных результантов. В разделе 2.1 определяется топологический аналог групп алгебраических циклов многообразий над С, с помощью которого удобно будет проводить некоторые вычисления с индексами пересечений (подробности см. в [18]). В разделах 2.2 и 2.3 вводятся необходимые обозначения и одновременно напоминаются в удобной нам форме и общности некоторые факты о многогранниках и торических многообразиях из работ Хованского [14], [13] и Данилова [16] (факты, которые приводятся без доказательства, доказаны в этих работах). В частности, в разделе 2.2.3 определяется «относительный» вариант смешанного объема, с помощью которого в разделе 2.3.3 (теорема 2.3) индексы пересечения дивизоров на некомпактных торических многообразиях выражаются в терминах многогранников Ньютона.

В разделах 3.1 и 3.2 определяются результантные циклы и изучаются их простейшие свойства. В разделе 3.3.1 индексы пересечения торических результантных циклов представляются как индексы пересечения дивизоров на некомпактных торических многообразиях (лемма 3.6). Применение к этому случаю теоремы 2.3 дает основной результат работы — теорему 3.1. В разделе 3.3.2 строится торическое разрешение изолированной особенности результантного цикла (теорема 3.2) и дается его приложение к вычислению числа Милнора и^{-функции} мо-нодромии функции на особенности результантного цикла (лемма 3.8), а также некоторых дискретных инвариантов результантных циклов в комплексном торе (лемма 3.10). В разделе 3.3.3 объясняется связь индексов пересечения результантных циклов с индексами Гусейн-Заде — Эбелинга, и с помощью результатов разделов 3.3.1 и 3.3.2 выражаются в терминах многогранников Ньютона индекс 1-формы на изолированной особенности полного пересечения (теорема 3.3) и радиальный индекс 1-формы на особенности результантного цикла (теорема 3.4 и замечание после нее).

Я благодарен своему научному руководителю профессору С. М. Гусейн-Заде за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

1. W. Ebeling, S. M. Gusein-Zade- 1. dices of 1-forms on an isolated complete intersection singularityMosc. Math. J. 3 (2003), 439−455.

2. W. Ebeling, S. M. Gusein-ZadeIndices of vector fields or 1-forms and characteristic numbersarXivrmath. AG/303 330.

3. W. Ebeling, S. M. Gusein-Zade, J. SeadeHomological index for 1-forms and a Milnor number for isolated singularitiesInternational Journal of Mathematics, 15 (2004), 9, 895−905.

4. W. Ebeling, S. M. Gusein-ZadeRadial index and Euler obstruction of a 1-form on a singular varietyPreprint, arXivrmath. AG/402 388.

5. A. G. KouchnirenkoPolyedres de Newton et nombres de MilnorInventions Math. 32 (1976), 1−31.

6. N. A’CampoLa fonction z6ta d’une monodromieComment. Math. Helvetici- 50 (1975), 233−248.

7. A. N. VarchenkoZeta-Function of Monodromy and Newton’s DiagramInventiones Math. 37 (1976), 253−262.

8. A. H. ВарченкоМногогранники Ньютона и оценки осциллирующих интеграловФунк. Ан. и Прил., 10 (1976), 3, 13−38.

9. М. OkaPrincipal zeta-function of non-degenerate complete intersection singularityJ. Fac. Sci. Univ. Tokyo 37 (1990), 11−32.

10. T. SuwaResidues of Chern classes on singular varietiesThe Proc. Franco-Japaneze Seminar, Luminy, 1992.

11. C. Bivia-AusinaThe index of analytic vector fields and Newton poly-hedraProceedings Mathematical Society of Japan, 12th InternationalResearch Insitute, Singularity Theory and Its Applications, Sapporo Convention Center, Sapporo, Japan, 2003.

12. Д. H. БернштейнЧисло корней системы уравненийФунк. Ан. и Прил., 1975, 3, 1−4.

13. А. Г. ХованскийМногогранники Ньютона и торические многообразияФунк. Ан. и Прил., 1977, 4, 56−67.

14. А. Г. ХованскийМногогранники Ньютона и род полных пересеченийФунк. Ан. и Прил., 1978, 1, 51−61.

15. В. И. Данилов, А. Г. ХованскийМногогранники Ньютона и алгоритм вычисления чисел Ходжа-ДелиняИзвестия АН СССР, серия математическая, 50 (1986), 5, 925−945.

16. В. И. ДаниловГеометрия торических многообразийУМН, 1978, 2, 85−134.

17. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-ЗадеОсобенности дифференцируемых отображений, том IIМосква, «Наука», 1985.

18. У. ФултонТеория пересеченийМосква, «Мир», 1989.

19. I. М. Gelfand, М. М. Kapranov, A.V.ZelevinskyDiscriminants, Resultants, and Miltidimensional Determinants. Birkhauser, Boston Basel Berlin, 1994.

20. X. ХиронакаРазрешение особенностей алгебраических многообразий над полями характеристики нульМатематика, 1965, 9, 6, 2−70- 1966, 10, 1, 3−89- 1966, 10, 2, 3−58.

21. М. HochsterGrassmanians and their Schubert subvarieties are arithmetically Cohen-MacaulayJ. Algebra, 25, (1973), 40−57.

22. В. П. ПаламодовО кратности голоморфного отображенияФунк. ан. и прил., 1967, т.1, вып. З, с.54−65.

23. Jle Д. Т. Вычисление числа Милнора изолированной особенности полного пересеченияФунк. ан. и прил.- т.8, вып.2 (1974), 45−52.

24. G.-M. GreuelDer Gaufi-Manin-Zusammenhang isolierter Singular-itaten von vollstandigen DurchschnittenMath. Ann.- 214 (1975), 235 266.

25. E. Becker, J.P.Cardinal, M.-F.Roy, Z. SzafraniecMultivariate Be-soutians, Kronecker symbol and Eisenbud-Levine formulaProgress in Math., 143 (1996), 79−104.

26. B. SturmfelsOn the Newton polytope of the resultantJournal of Algebraic Combinatorics, 3 (1994), 207−236.

27. Задачи В.И.АрнольдаМосква, «Фазис», 2000. Публикации автора по теме диссертации:

28. А. И. ЭстеровИндекс вещественной особой точки и ее диаграмма НьютонаВестник МГУ. Механика, математика, серия 1, 2003, 1, с.8−12.

29. А. И. ЭстеровИндексы 1-форм, результанты и многогранники НьютонаУМН, т.60 (2005), N.2, с. 181−182.

30. A. EsterovIndices of 1-forms and Newton polyhedraRevista Matematica Complutense, Vol.18 (2005), No. l, p. 233−242.