О топологических и категорных свойствах функторов единичного шара борелевских мер

Знаменитая теорема Рисса об интегральном представлении линейных функционалов позволила перевести многие вопросы теории меры на язык функционального анализа и топологии. Эта теорема последовательно была доказана самим Ф. Риссом (1909 г) для отрезка, И. Радоном (1913 г) для компактов из Rn, С. Банахом (1937 г) и С. Саксом (1938 г) для метризуемых компактов и С. Какутани (1941 г) для произвольных компактов. Теорема Рисса была перенесена и на некомпактные пространства. Для нормальных пространств это сделал А. Д. Александров [7], для тихоновских — B.C. Варадарайн [7].

Эта теорема и теоремы А. Н. Тихонова о произведениях топологических пространств позволили начать интенсивные исследования слабой сходимости мер или *-с, лабой топологии на множествах мер, которую мы будем называть просто слабой топологией.

Широкий прорыв в исследованиях по топологической теории меры произошел в 50-е годы XX столетия. В 1957 году J1. Ле Кам [13] ввел понятие т-аддитивной меры (под названием т-гладкой) и слабо радоновой меры. Годом ранее Ю. В. Прохоров [14] получил ряд глубоких результатов, из которых отметим два, придав им современные формулировки:

1) Пусть, А С Мл (Х) — плотное семейство радоновых мер на тихоновском пространстве X. Тогда оно относительно компактно в Мц (Х). Если X гомеоморфно полному метрическому пространству, то верно и обратное: из относительной компактности семейства, А С Mr (X) вытекает его плотность (знаменитая теорема Прохорова). Напомним, что семейство, А С М (Х) называется плотным, если для каждого е > 0 существует такое компактное множество К£ С X, что? л (Х Ке) < е для всех /i (Е А.

2) Функторы Pji и Рт (радоновых и т-аддитивных вероятностных мер соответственно) переводят полные метризуемые пространства в полные метризуемые (метрика Прохорова индуцирует слабую топологию и сохраняет полноту метрических пространств).

Я. Маржик [41] доказал, что всякая конечная бэровская мера на нормальном счетно паракомпактном пространстве однозначно продолжается до регулярной борелевской меры. Эта теорема позволила перенести хорошо разработанный аппарат исследования бэровских мер на борелев-ские меры.

В 1961 году появилась обстоятельная статья В. С. Варадарайна [7]. В ней, в частности, теорема Прохорова о сохранении полных метризуе-мых пространств функторами вероятностных мер была обобщена следующим образом: положительный конус М+ т-аддитивных бэровских мер сохраняет класс полных метризуемых пространств.

Большую роль сыграла теорема С. Дитора и Л. Эйфлера [33] о сохранении открытых отображений компактов различными функторами неотрицательных, в частности вероятностных, мер. Эта теорема была использована Р. Хэйдоном [39] для доказательства адекватности класса пространств Дугунджи и класса нуль мягких отображений, совпадения классов пространств Дугунджи и Л?'(0)-компактов и того, что всякое пространство Дугунджи является пространством Милютина. С. Дитор и Р. Хэйдон [34] доказали, что компакт Р (Х) является абсолютным ре-трактом тогда и только тогда, когда X является пространством Дугунджи веса ^ и).

В дальнейшем значительная часть исследований по топологической теории меры все более принимала категорно-функториальную форму. Этому во многом способствовало введение Е. В. Щепиным [29], [30] класса нормальных функторов в категории компактов. Систематическое описание полученных в 70-е и 80-е годы результатов в этом направлении содержится в обзорах [24] и [25]. Эти обзоры хорошо дополняются статьями [38] и [6].

Детальное исследование функторов Рц и Рт вероятностных радоновых и т-аддитивных мер в категории Туск тихоновских пространств было проведено Т. О. Банахом [3], [4]. Этому предшествовали работы автора [15], [16], [17], в которых аналогичные результаты получены для функтора Рр вероятностных мер с компактными носителями. В.В. Фе-дорчук [23], [37] в основном завершил программу Т. О. Банаха исследования функторов Рт и Рд, связанную с их поднятиями на категории метрических и равномерных пространств.

В настоящей работе основными являются более общие объекты: единичный шар [?Т (Х) и неотрицательных т-аддитивных и радоновых мер соответственно на тихоновском пространстве X и функторы ит и Исследуются категорные и топологические свойства функторов ит и 11 в. Эти функторы поднимаются на категории равномерных и метрических пространств. Исследуются вопросы сохранения топологической и равномерной полноты функтором 1/т. Показано также, что выход за пределы неотрицательных мер в область знакопеременных мер существенно ухудшает свойства функторов 11 т и ¿-/д.

Диссертация состоит из введения и пяти глав. В первой главе даются предварительные сведения о функторах единичного шара борелевских мер и пространствах знакопеременных мер. Вторая глава посвящена категорным свойствам функторов 11 т и Доказывается, в частности, что функторы ит и IIя обладают основными свойствами нормальности, кроме свойства сохранения точки, которая под воздействием этих функторов переходит в единичный отрезок [0, 1]. Основными результатами второй главы являются:

1. Канторович Л. В. О перемещении масс // ДАН СССР. 1942, Т.37, вып.7−8, с.227−229.

2. Канторович JI.В., Рубинштейн Г. Ш. Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах // ДАН СССР. 1957, Т.115, № 6, с.1058−1061.

3. Канторович Л. В., Рубинштейн Г. Ш. Об одном пространстве вполне аддитивных функций // Вестник ЛГУ 1958, № 7, вып. 2, с.52−59.

4. Ле-Кам Л. Сходимость по распределению случайных процессов // Математика. 1960, Т.4, № 3, с.107−142. (перевод статьи: Convergence in distribution of stochastic processes // Univ. Calif. Pubis Statist. 1957, V.2, № 11, P.207−236.

5. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятн. и ее примен. 1956, Т. 138, № 1, с. 177−238.

6. Садовничий Ю. В. О метрике на пространствах вероятностных мер // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994, JV^ 4, с.31−35.

7. Садовничий Ю. В. О пополнении метрических пространств вероятностных мер // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994, № 5, с.28−33.

8. Садовничий Ю. В. О равномерности на пространствах вероятностных мер // Общая топология. Отображения, произведения и размерность пространств. М., 1994, с. 119−131.

9. Садовничий Ю. В. О норме Канторовича для знакопеременных мер // Доклады РАН. 1999, Т.368, № 4, с.459−461.

10. Садовничий Ю. В. О некоторых категорных свойствах функтора UT // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999, № 3, с.38−42.

11. Садовничий Ю. В. Поднятие функторов UT и Ur на категорию ограниченных метрических пространств и категорию равномерных пространств // Матем. сб. 2000, Т.191, № 11, с.79−104.

12. Садовничий Ю. В. О свойствах полноты функторов единичного шара борелевских мер // Труды семинара им. И. Г. Петровского, 200.3, Т.23, с.59−78.

13. Садовничий Ю. В., Федорчук В. В. О некоторых топологических и категорных свойствах знакопеременных мер // Фунд. и прикл. матем-ка. 1999, Т.5, вып.2, с.597−618.

14. Федорчук В. В. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1990, Т.54, № 2, с.394−418.

15. Федорчук В. В. Вероятностные меры в топологии // УМН. 1991, Т.46, вып. 1(277), с.41−80.

16. Федорчук В. В. Функторы вероятностных мер в топологических категориях // Итоги науки и техн. Сер. Алг. Топол. Геом. 1996, Т.36.

17. Федорчук В. В. Топологическая полнота пространств мер // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1999, Т.63, № 4, с.207−223.

18. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции // М.: Изд-во МГУ, 1988.

19. Федорчук В. В., Чигогидзе А. Ч. Абсолютные ретракты и бесконечномерные многообразия // М.: Наука, 1992.

20. Щепин Е. В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров // УМН. 1976, Т.31, вып.5, с. 191−226.

21. Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов // УМН. 1981, Т.36, вып. З, с.3−62.

22. Cziszar I. Some problems concerning measures on topological spaces and convolution of measures on topological groups // Les Probabilites sur les Structures Algebraiques, Clermont-Ferrand, 1969, P.75−98. Colloques Internationaux du CNRS, Paris, 1970.

23. Dieudonne J. Sur les espaces uniformes complets // Ann. Sci. Ecole Normale Sup. 1939, V.56, P.277−291.

24. Ditor S., Eifler L. Some open mapping theorems for measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1972, V.164, P.287−293.

25. Ditor S., Haydon R. On absolute retracts, P (S) and complemented subspaces oiC (D^) // Studia Math. 1976, V.56, № 3, P.243−251.

26. Engelking R. General Topology. Berlin, 1989.

27. Federer G. Geometric Measure Theory // Springer, Berlin, 1969.

28. Fedorchuk V. V. On a preservation of completeness of uniform spaces by the functor PT U Topol. and Appl. 1999, V.91, P.25−45.

29. Gardner R.G., Pfeffer W.F. Borel measures // Handbook of set-theoretic topology. Elsevier Science Publishers B.V. 1984, P.961−1043.

30. Haydon R. On problem of Pelczynski: Milutin spaces, Dugundji spaces and A?(dimO) // Studia Math. 1974, V.52, № 1, P.23−31.

31. Hewitt E. Rings of real-valued continuous functions I // Trans. Amer. Math. Soc. 1948, V.64, P.45−99.

32. Marik J. The Baire and Borel measure // Czechoslovak Math. Jorn. 1957, 7(82), № 2, P.248−253.

33. Nagata J. On topological completeness // J. Math. Soc. Japan 1950, V.2, P.44−47.

34. Sadovnichy Yu.V. On some categorical properties of the functor Ur // Topol. and Appl. 2000, V.107, P.131−145.

35. Shirota T. A class of topological spaces // Osaka Math. J. 1952, V.4, P.23−40.

36. Solovay R., Tannenbaum S. Iterated Cohen extensions and Suslin’s problem // Ann. of Math. 1971, V.94, P.201−245.

37. Tychonoff A.N. U ber die topologisc. he Erweiterung von Raumen // Math. Annalen. 1930, V. 102, P. 544−561.