Абелевы универсальные алгебры

Курсовая работа

" Абелевы универсальные алгебры"

1. Основные определения, обозначения и используемые результаты

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

3. Формационные свойства нильпотентных алгебр

4. Классы абелевых алгебр и их свойства Заключение Список литературы

Теория формаций алгебраических систем, как самостоятельное направление современной алгебры, начало развиваться сравнительно недавно, в конце 60-х годов прошлого столетия. Отметим, что за последующие четыре десятилетия в таких классических областях исследования, как группы, кольца, алгебры Ли, мультикольца и т. д. формационные методы получили довольно широкое развитие. В теории же универсальных алгебр формационные методы не находят такого широкого применения, что, в первую очередь, связано со сложностью самого объекта исследований. Поэтому получение новых результатов, касающихся формационных свойств универсальных алгебр, представляет несомненный интерес. Именно этой задаче посвящается настоящая курсовая работа. Здесь на основе определения централизатора конгруэнции, введенного Смитом, дается определение абелевои алгебры и доказывается основной результат, что класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию. Также рассматривается и свойства абелевых универсальных алгебр.

Перейдем к краткому изложению результатов курсовой работы, которая включает в себя введение, четыре параграфа и список цитируемой литературы из восьми наименований.

1 является вспомогательным. Здесь приводятся основные определения, обозначения и результаты, используемые в дальнейшем.

2, 3 носят реферативный характер. Здесь подробно с доказательствами на основании результатов работ и излагается теория централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и рассматриваются формационные свойства нильпотентных алгебр работы[3]. Сразу же отметим, что все рассматриваемые универсальные алгебры принадлежат фиксированому мальцевскому многообразию.

В 4, который является основным, на основании результатов 3 вводится понятие абелевой алгебры. Используя методы исследования работы доказывается следующий основной результат: класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию.

1 Основные определения, обозначения и используемые результаты

Приведем определения основных понятий, используемых в данной работе из источников и[2]. Для введения понятия алгебы необходимо сначала определитьарные операции.

Определение 1.1. Если — непустое множество и, то -арной операцией на множестве назовем отображение прямого произведения в. Рассматриваются иарные операции, которые по определению, отмечают некоторый элемент из .

Определение 1.2. Пара, где — непустое множество, а (возможно, пустое) множество операций на, называется универсальной алгеброй или, короче, алгеброй.

Совокупность операций (или опрерационных символов) будем называть сигнатурой. Часто, при введении алгебры, указывают только множество и не указывают сигнатуру.

Элемент алгебры отмечаемыйарной операцией. будем обозначать через .

Определение 1.3. Подмножество называется подалгеброй, если для всякойарной операции ,

а если и — -арная операция из, то

Определение 1.4. Если , — алгебры сигнатуры, то прямое произведение становиться алгеброй той же сигнатуры, если для каждойарной операции положить, а дляарной операции, где, ;

Возникающая таким образом алгебра называется прямым произведением алгебр .

Приведем некоторые определения из

Определение 1.5. Отображение из алгебры в алгебру называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любойарной операции () справедливо равенство Если же — нульарная операция, то полагаем Взаимнооднозначный гомоморфизм алгебры на называется изоморфизмом и обозначается. Гомоморфизм алгебры в себя называется эндоморфизмом алгебры. Изоморфизм алгебры в себя называется ее автоморфизмом.

Определение 1.6. Конгруэнцией на алгебре называется всякая подалгебра прямого квадрата, обладающая следующими свойствами:

1) (рефлексивность): для всех ;

2) (симметричность): если, то ;

3) (транзитивность): если и, то .

Отметим, что условия 1) — 3) означают, что — эквивалентностъ на множестве .

Определение 1.7. Пусть — гомоморфизм алгебры в. Ядром гомоморфизма называется подмножество В работе приводятся следующие теоремы об изоморфизмах

Теорема 1 Ядро гомоморфизма является конгруэнцией.

Определение 1.8. Если — конгруэнция на алгебре и, то множество называется классом конгруэнции. Множество всех классов конгруэнции обозначают через. При этом для каждойарной операции считают, а дляарной операции, где , —. Получившуюся алгебру называют фактор-алгеброй алгебры по конгруэнции .

Теорема Первая теорема об изоморфизмах 2 Если — гомоморфизм алгебры в , то

Теорема Вторая теорема об изоморфизмах 3 Пусть конгруэнция на алгебре , — подалгебра алгебры . Тогда

Определение 1.9. Если , — конгруэнции на алгебре и содержится в, то обозначим и назовем фактором алгебры или фактором на .

Теорема Третья теорема об изоморфизмах 4 Пусть — фактор на алгебре . Тогда

Определение 1.10. Если и — конгруэнции алгебры, то полагают

Теорема 5 Произведение двух конгруэнции является конгруэнцией тогда и только тогда, когда они перестановочны.

Определение 1.11. Класс алгебраических систем называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждый гомоморфный образ любойсистемы принадлежит ;

2) всякое конечное поддекартово произведениесистем принадлежит .

Определение 1.12. Формальное выражение, где и — слова сигнатуры в счетном алфавите, называется тождеством сигнатуры. Скажем, что в алгебре выполнено тождество, если после замены букв любыми элементами алгебры и осуществления входящих в слова и операций слева и справа получается один и тот же элемент алгебры, т. е. для любых в алгебре имеет место равенство

Определение 1.13. Класс алгебр сигнатуры называется многообразием, если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества. Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

Напомним, что класс алгебр сигнатуры называется многообразием, если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества .

Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.

Все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевcкому многообразию. Используются стандартные обозначения и определения из[2].

В данной работе конгруэнции произвольной алгебры будем обозначать греческими буквами.

Если — конгруэнция на алгебре, то смежный класс алгебры по конгруэнции. или — диагональ алгебры .

Для произвольных конгруэнции и на алгебре будем обозначать множество всех конгруэнции на алгебре таких, что тогда и только тогда, когда Так как, то множество не пусто.

Следующее определение дается в работе[2].

Определение 2.1. Пусть и — конгруэнции на алгебре. Тогда централизует (записывается:), если на существует такая конгруэнция, что:

1) из всегда следует

2) для любого элемента всегда выполняется

3) если то Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом[3], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть. Тогда:

1) существует единственная конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1;

2) ;

3) если то Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая. Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается .

В частности, если, то централизатор в будем обозначать .

Лемма 2.2. Пусть , — конгруэнции на алгебре, ,,. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2), где ;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

4) из всегда следует Доказательство:

1) Очевидно, что — конгруэнция на, удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2) — конгруэнция на, удовлетворяющая определению 2.1. Значит

3) Пусть. Тогда Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что Тогда получим т. е.

Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно, где — мальцевский оператор.

Тогда то есть .

Так как-то .

Таким образом. Лемма доказана.

Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

Лемма. 2.3. Любая подалгебра алгебры, содержащая диагональ, является конгруэнцией на алгебре .

Доказательство:

Пусть Тогда из следует, что Аналогичным образом из получаем, что Итак, симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

Доказательство следующего результата работы содержит пробел, поэтому докажем его.

Лемма 2.4. Пусть. Тогда для любой конгруэнции на алгебре .

Доказательство:

Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда где Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что — конгруэнция на алгебре, причем Пусть то есть Тогда и, значит Пусть, наконец, имеет место Тогда справедливы следующие соотношения:

применяя мальцевчкий оператор к этим трем соотношениям, получаем Из леммы 2.2 следует, что

Так как-то Значит, Но, следовательно, .

Итак, и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5. Пусть , — конгруэнции на алгебре, и — изоморфизм, определенный на .

Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру, при котором .

В частности, .

Доказательство.

Очевидно, что — изоморфизм алгебры на алгебру, при котором конгруэнции, изоморфны соответственно конгруэнциям и .

Так как-то определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1.

Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов и, принадлежащих. Но тогда легко проверить, что — конгруэнция на алгебре, изоморфная конгруэнции .

Это и означает, что Лемма доказана.

Определение 2.2. Если и — факторы на алгебре такие, что-то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .

Напомним, что факторы и назыавются перспективными, если либо

либо Докажем основные свойства централизаторов конгруэнции.

Теорема 6 Пусть , , , — конгруэнции на алгебре . Тогда:

1) если, то

2) если, то

3) если, и факторы, перспективны, то

4) если — конгруэнции на и, то где, .

Доказательство.

1) Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и, то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что, а в силу леммы 2.4 получаем, что Пусть — изоморфизм. Обозначим По лемме 2.5, а по определению Следовательно,

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции и на алгебре имеет место равенство Покажем вналале, что Обозначим. Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция, что выполняются следующие свойства:

а) если, то б) для любого элемента ,

в) если то Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и Покажем, что — конгруэнция на. Пусть для. Тогда и

Так как — конгруэнция, то для любойарной операции имеем Очевидно, что и

Следовательно, Очевидно, что для любой пары

Значит, Итак, по лемме 2.3, — конгруэнция на. Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует. Пусть Тогда Так как, и, то. Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.

Если, то значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и Тогда

Так как и, то, следовательно,. Из (2) следует, что, а по условию. Значит, и поэтому Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .

Докажем обратное включение. Пусть Тогда на алгебре определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда и, .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что — конгруэнция на алгебре. Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что. Покажем поэтому, что централизует .

Так как-то то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если, то следовательно, Пусть имеет место (3) и .

Так как-то Из (4) следует, что, следовательно, то есть На основании леммы 2.2 заключаем, что Следовательно, .

А так как, то, то есть

4) Обозначим. Пусть и удовлоетворяет определению 2.1.

Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что — конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.

Это и означает, что Теорема доказана.

Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.

3. Формационные свойства нильпотентных алгебр

Как уже отмечалось, все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевскому многообразию и используются стандартные обозначения и определения из[1].

Напомним, что для и — конгруэнции на алгебре — говорят, что централизует (записывается:), если на существует такая конгруэнция, что:

1) из всегда следует

2) для любого элемента всегда выполняется

3) если, то Очевидно, что для любой конгруэнции на алгебре конгруэнция централизует. В этом случае .

Заметим, что если и — конгруэнции на группе и, то для нормальных подгрупп и группы и любых элементов, имеют место следующие соотношения:

Тогда и в силу транзитивности из этих соотношений следует, что По определению 2.1 получаем, что Следующее определение центральности принадлежит Смиту .

Определение 3.1., если существует такая, что для любого ,

Докажем, что определение 2.1. эквивалентно определению 3.1. означает условие 1) из определения 2.1. И наоборот, условие 1) означает, что .

Пусть и — конгруэнции, удовлетворяющие определению 2.1. Из условия 2) следует, что для любого элемента ,

Докажем обратное включение.

Пусть. Так как, то из условия 2) следует, что В силу транзитивности имеем и, значит, в силу условия 3). Итак Покажем, что из определения 3.1. следуют условия 2) и 3) определения 2.1. Если, то

Это означает .

Для получаем, что откуда .

Согласно работе

Определение 3.2. Алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнции называемый центральным, что

Лемма 3.1. Любая подалгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.

Доказательство:

Пусть — подалгебра нильпотентной алгебры. Так как обладает центральным рядом то для любого на алгебре существует конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. А именно, из

всегда следует и

1) для любого элемента всегда выполняется

2) если и

то Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что тогда и только тогда, когда Построим следующий ряд конгруэнции на алгебре :

где Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре для любого определим бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда Покажем, что — конгруэнция на алгебре. Пусть

Тогда и для любойарной операции имеем Следовательно, Итак, — подалгебра алгебры .

Очевидно, что для любого элемента имеет место Таким образом, согласно лемме 2.3, — конгруэнция на алгебре .

Пусть Тогда и так как, то Если, то и, значит, т. е.

Пусть, наконец, Тогда и так как Следовательно, Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. для любого. Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть и — конгруэнции на алгебре ,

и — изоморфизм, определенный на алгебре .

Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру, при котором Доказательство:

Очевидно, что — изоморфизм алгебры на алгебру, при котором конгруэнции и изоморфны соответственно конгруэнциям и .

Так как, то существует конгруэнция на алгебре, удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов, .

Но тогда легко проверить, что — конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции. Это и означает, что Лемма доказана.

Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.

Доказательство:

Пусть центральный ряд алгебры. Покажем, что для любой конгруэнции на алгебре ряд является центральным, т. е.

для любого. В силу известных теорем об изоморфизмах для алгебр (см., например, теоремы II.3.7, II.3.11) и леммы 3.2., достаточно показать, что Пусть — конгруэнция на алгебре, удовлетворяющая определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы, что и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что — конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.

Пусть тогда из соотношения следует, что Так как

то. Итак, Пусть. Тогда для некоторого элемента, и .

Таким образом, следовательно, Так как, то это означает, что Пусть где Покажем, что. В силу определения найдутся, что и

При этом имеют место следующие соотношения:

Следовательно, Но тогда по определению 3.2.

А так как, то Теперь из того, что следует, что Лемма доказана.

Доказательство следующего результата осуществляется простой проверкой.

Лемма 3.4. Пусть — конгруэнция на алгебре,. Пологая тогда и только тогда, когда для любого, получаем конгруэнцию на алгебре .

Лемма 3.5. Прямое произведение конечного числа нильпотентных алгебр нильпотентно.

Доказательство:

Очевидно, достаточно показать, что если, и — нильпотентные алгебры, то — нильпотентная алгебра.

Пусть центральные ряды алгебр и соответственно. Если, то, уплотнив первый ряд повторяющимися членами, получим центральный ряд алгебры длины. Таким образом, можно считать, что эти ряды имеют одинаковую длину, равную .

Построим теперь ряд конгруэнции на алгебре следующим образом:

где тогда и только тогда, когда, , .

Покажем, что последний ряд является центральным, т. е. для произвольного. Так как-то на алгебрах и соответственно заданы конгруэнци и, удовлетворяющие определению 2.1.

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

и только тогда, когда и

Легко непосредственной проверкой убедиться, что — конгруэнция на алгебре. Осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.

Пусть имеет место Тогда согласно введенному определению

и откуда следует, что т. е.

Пусть Это означает

Но тогда и

Следовательно, Пусть имеет место Это означает, что и

Значит, и, т. е.. Лемма, доказана.

Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр.

Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 7 Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.

Определение 3.3. -арная группа называется нильпотентной, если она обладает таким нормальным рядом что и

для любого .

Так как конгруэнции наарных группах попарно перестановочны (смотри, например,), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп.

Лемма 3.6. Пусть — -арная группа. и — нормальные подгруппы группы и .

Тогда, где и конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами и на группе .

Доказательство:

Подгруппы и индуцируют на группе конгруэнции и, определяемые следующим образом:

— -арная операция.

Определим на бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов и из и соответственно, что Покажем, что — подалгебра алгебры. Для сокращения записи будем в дальнейшем опускатьарный оператор .

Пусть Так как, то Так как, то Поэтому в силу того, что ,

Итак, — подалгебра алгебры .

Пусть — нейтральная последовательность группы, а, следовательно, и группы. Тогда из определения бинарного отношения следует, что Тем самым доказало, что — конгруэнция на .

Тo, что удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана.

Лемма 3.7. Пусть — нильпотентнаяарная группа. Тогда удовлетворяет определению 2.1.

Доказательство:

Так как для любого, то индуцирует конгруэнцию на. Таким образом обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет являться центральным. Лемма доказана.

В частности, для произвольной бинарной группы отсюда следует, что нильпотентна тогда и только тогда, когда, удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию.

4. Классы абелевых алгебр и их свойства

Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций называемый центральным, что для любого .

Определение 4.1. В случае, если для нильпотентной алгебры в центральном ряде, то есть если для нее, то алгебра называется, абелевой.

Лемма 4.1. Любая подалгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство:

Пусть подалгебра абелевой алгебры .

Так как по определению, то на существует такая конгруэнция, что:

1) из всегда следует

2) для любого элемента всегда выполняется

3) если то Рассмотрим конгруэнцию Действительно, если для, то и для любойарной опеации имеем, Но поскольку подалгебра алгебры, получаем Значит, подалгебра алгебры .

Очевидно, что для любого элемента имеет место Таким образом, конгруэнция ня алгебре .

Пусть тогда то Если, то и, значит, т. е.

Пусть, наконец, Тогда и значит .

Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 4.2. Фактор-алгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство:

Пусть алгебра — абелева, то есть. Покажем, что для любой конгруэнции на выполняется Пусть — конгруэнция на алгебре, удовлетворяющая определению 2.1.

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда найдуться такие элементы, ,, , что

и Непосредственной проверкой убеждаемся, что — конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть тогда Пусть Тогда, и по определению 2.1

При этом и. Согласно нашим обозначениям получаем, что Пусть Тогда найдутся, что и

При этом Следовательно, Но тогда по определению 3.1.. А так как, то Теперь из того, что

следует, что Лемма доказана.

Лемма 4.3. Прямое произведение конечного числа абелевых алгебр абелево.

Доказательство:

Очевидно, достаточно показать, что если, и — абелевы алгебры, то — абелева алгебра.

Пусть и. Это означает, что на алгебрах и заданы cоответсвенно конгруэнции и удовлетворяющие определению 2.1.

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что — конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.

Пусть тогда Пусть. Это означает, что и. Но тогда и

Следовательно, Пусть тогда

и Это означает, что и. Таким образом Лемма доказана.

Результаты, полученные в леммах 4.1, 4.2, 4.3 можно теперь сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 8 Класс всех абелевых алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.

Пусть — конгруэнция на алгебре. — подалгебра алгебры, и. Тогда введем новое обозначение

Лемма 4.4. Пусть определено множество. Тогда — конгруэнция на ,

Доказательство:

Так как, то для любого элемента всегда найдется такой элемент, что. Следовательно,

где .

Таким образом .

Пусть теперь,. Тогда где. Следовательно, для любойарной операции получаем Теперь, поскольку, то по лемме 3.2 — конгруэнция на .

Пусть. Тогда, очевидно, т. е.. Так как-то Покажем теперь, что. Допустим противное. Тогда найдется такая пара, что и. Из определения следует, что существует такая пара, что Так как-то применяя мальцевский оператор получаем Из леммы 2.2. теперь следует, что .

Итак,. Лемма доказана.

Подалгебра алгебры называется нормальной в, если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .

Лемма 4.5. Любая подалгебра абелевой алгебры является нормальной.

Доказательство:

Пусть — подалгебра абелевой алгебры. Так как, то по лемме 4.4. на существует такая конгруэнция, что Лемма доказана.

Заключение

Таким образом, в данной работе мы подробно с доказательствами на основании результатов работ и изложили теорию централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и рассматрели формационные свойства нильпотентных алгебр работы[2], на основании результатов 3 ввели понятие абелевой алгебры. Используя методы исследования работы доказали следующий основной результат: класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию.

Скорняков, Л.А., Элементы общей алгебры. — М.: Наука, 1983. — 272 с.

Шеметков Л.А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. — М.: Наука, 1989. — 256 с.

Smith J.D. Mal’cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.

Русаков С.А., Алгебраическиеарные системы. Минск, 1987. — 120 с.

Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.-351 с.

Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр // Вопросы алгебры. — 1996.-Вып.10 с. 144−152

Ходалевич А. Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. — 1992. — Вып.7.-с. 76−85

Ходалевич А. Д. Прикладная алгебра // Лекции по спецкурсу «Универсальные алгебры». Ч1.-Гомель. 2002. — с. 35.