Многошаговые формулы для приближенного вычисления первообразных

§ 1. О СОДЕРЖАНИИ ДИССЕРТАЦИИ.

В настоящей диссертации исследуются многошаговые формулы для приближенного вычисления первообразных функций.

Задача вычисления интеграла с переменными границами изучена в меньшей степени, чем задача вычисления определенного интеграла. Вычисление первообразной с помощью многошаговых формул было рассмотрено В. И. Крыловым в монографии [1].

Им исследовались квадратурные процессы и разностные схемы, связанные с приближенным неопределенным интегрированием, с точки зрения их сходимости на конкретных функциях, как это обычно делается в теории разностных схем [2−5]. Результаты В. И. Крылова приводятся в § 3 настоящего введения.

В данной работе исследуются аналогичные вычислительные процессы, но формулировки и доказательства основных результатов работы связаны с теорией кубатурных формул. Возникновение этой теории связывают с работами С. Л. Соболева.

Одним из наиболее развитых направлений современной теории кубатурных формул является проблематика асимптотической оптимальности решетчатых кубатурных и квадратурных формул. В работах, относящихся к этому направлению, выводятся асимптотические представления норм функционалов погрешностей, строятся асимптотически оптимальные последовательности функционалов погрешно-стей.В связи с этим можно назвать работы Бесова О. В. [ 6−8 ], Поло-винкина В.И. [ 9−14 ], Рамазанова М. Д. [ 15−18 ], Шойнжурова Ц. Б. [ 19−22 ], Носкова М. В. [ 23−25 ], Бойкова И. В. [ 26−27 ], Корытова И. В. [ 28 ], Севастьяновой H.A. [ 29 ] и других.

Многие результаты теории кубатурных и квадратурных формул изложены в монографиях [30−32 ]. Ряд результатов в этом направлении опубликован в сборниках [33−36 ].

Наиболее близкими к тематике автора являются работы [ 9, 12, 14 ] В. И. Половинкина, который обобщил теорию асимптотически оптимальных формул с пространств i/™-* (у Соболева) на пространства типа Lp (Q) (Lp[a, b] в одномерном случае).

Результаты В. И. Половинкина, используемые в диссертации, приводятся в § 3 введения.

Для изложения основных результатов диссертации сформулируем точную постановку задачи и дадим основные определения.

На интервале [а, со) ищем значение функции X у (х) = {ед<�и + у0 (1) а в узлах равномерной сетки: х{=а + у, 1 = 0,1,., (2) где у — постоянный шаг сетки.

Значения у0, у1,., уг1 функции у (х) в первых г узлах сетки считаем известными:

У1 = У (Х|), 1 = 0,1,., г-1. (3).

Вычислительный процесс задается формулой вида г г у 4 =? А УУ1 «+ у ]Г В / (х^ 1), I = г, г +1,. (4).

У=1.

Эта формула использует для нахождения каждого значения уг предшествующих значений функции у (х) и называется гшаговой. Коэффициенты в ней не зависят от шага вычисления и выбираются таким образом, чтобы формула (4) была точна на многочленах степени ниже т. Другими словами, формула (4) имеет алгебраический порядок точности т.

Всюду предполагается, что рассматриваемые функции имеют конечные полунормы.

Ь" [а,=о).

1/р ах.

5).

На линейном многообразии таких функций полунорма (5) индуцирует линейное нормированное пространство со), элементами которого являются классы фикций. Все функции одного класса отличаются друг от друга на многочлен степени меньше т .

Разность между точным значением функции у (х) в точке xi сетки и его приближенным значением у1, найденным по формуле (4), рассматривается в диссертации как результат действия некоторого функционала (функционала погрешностей) 1|(х) :

1-(Х)Д (Х))^У (Х1)-У1, 1 = 0,1,. (6).

В силу того, что формула (4) точна на многочленах степени ниже т, 11(х)еЬр*[а, Х-].

Знание численных значений норм функционалов ^(х) позволяет полнить оценки точности приближенных формул.

У (х-)*У1, 1 = 0,1,. (7) на элементах выбранного пространства.

В отличие от задач, рассмотренных в [1, стр. 377 — 435 ], в диссертации исследуются вычислительные процессы, задаваемые формулой (4), с точки зрения сходимости к нулю последовательности функционалов (6) по норме, т. е. в смысле сильной сходимости.

Пусть [а, Ь] — конечный промежуток, N — натуральное число, у = (Ь — а) / N — шаг сетки 8 Г.

Определение 1. Вычислительный процесс, задаваемый формулой (4), называется сходящимся по норме, если при N —" оо.

М*)|| т* Ч а, Ъ].

-> 0.

Так как всякая последовательность функционалов, сходящаяся по норме, сходится поэлементно [37, с. 187 ], то вычислительный процесс, сходящийся в смысле определения 1, будет сходиться и для каждой конкретной функции выбранного пространства.

Кроме изучения вопросов сходимости вычислительного процесса, задаваемого многошаговыми формулами (4), существенная часть диссертации посвящена изучению асимптотической оптимальности таких формул.

Определение 2. Пусть формула г г у=1 j=0.

9) вида (4) определяет последовательность функционалов погрешностей л (х), * (*)) = | + Уо — У. а приближенных формул у (х-)"у}, 1 = 0,1,.

Формула (9) называется Ь&trade- - асимптотически оптимальной, если для любой формулы вида (4) и соответствующей ей последовательности (х)} функционалов погрешностей выполняется неравенство:

Иь-Па^] -ЬИьГ^х,]}-1- (10).

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В главе 1 рассматриваются многошаговые формулы вида (4), для которых соответствующее характеристическое уравнение.

1. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Наука, 1967. — 500 с.

2. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975. — 632 с.

3. Бабенко К. И Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

4. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 440 с.

5. Самарский A.A.

Введение

в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 552 с.

6. Бесов О. В. Межъячеечные усреднения и оценка ошибок кубатур-ных формул в пространствах С. Л. Соболева и их обобщениях. // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1977. Т.143. с. 42—56.

7. Бесов О. В. Оценки ошибок кубатурных формул по гладкости функций. // Докл. Болг. АН. 1978. Т. 31, № 8. с. 949—952.

8. Бесов О. В. Оценки ошибок кубатурных формул весового интегрирования. // Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. № 1. с. 36—45.

9. Половинкин В. И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных m. // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 2. с. 328—335.

10. Половинкин В. И. Последовательности квадратурных формул с Пограничным слоем. // Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1977. № 1 с. 149—158.

11. Половинкин В. И. Сходимость последовательностей квадратурных формул с пограничным слоем на конкретных функциях. // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978. с. 183—191.

12. Половинкин В. И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори. // Квадратурные и кубатурные формулы. Решение функциональных уравнений. Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1981. с. 7—25.

13. Половинкин В. И. Асимптотически наилучшие кубатурные формулы. // Сиб.мат. журн. 1989. Т. 30, № 2. с* 151—160.

14. Половинкин В. И. Асимптотически оптимальные последовательности функционалов в L" pa, b. при больших т. II Кубатурныеформулы и их приложения. Доклады семинара совещания. УфаКрасноярск, 1996. с. 64−69.

15. Рамазанов М. Д. Построение асимптотически оптимальных формул в JV2m (u). // Докл. АН СССР. 1972. Т. 202, № 2. с. 290—293.

16. Рамазанов М. Д. Асимптотически оптимальный функционал ошибки над неизотропным гильбертовым пространством. // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1972. Вып. 14. с. 72—82.

17. Рамазанов М. Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых ку-батурных формул на гильбертовых пространствах. // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216, № 1. с. 44—45.

18. Рамазанов М. Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на пространствах непрерывно дифференцируемых функций. // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216, № 2. с. 270—273.

19. Носков М. В. О декартовых произведениях кубатурных формул. // Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980. с. 114—116.

20. Носков М. В. Приближенное интегрирование функций, периодических по некоторым переменным. // Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. № 1. с. 83— 102.

21. Носков М. В. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы на решетчатых поверхностях. // Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. № 2. с. 103—112.

22. Шойнжуров Ц. Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в пространстве УУ&trade-. // Сиб. мат. журн. 1967. Т. 7, № 2. с. 433—446.

23. Шойнжуров Ц. Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в неизотропных пространствах С. Л. Соболева. // Докл. АН СССР. 1973. Т. 209, № 5. с. 1036—1038.

24. Шойнжуров Ц. Б. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы с узлами в криволинейной решетке. // Тр. семинара акад. СЛ. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1976. № 1. с. 157— 164.

25. Шойнжуров Ц. Б. Норма функционала погрешности в пространстве?? ртЕп). // Кубатурные формулы и их приложения. Доклады семинара совещания. Уфа — Красноярск: 1996. с. 123—127.

26. Бойков И. В. и др. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений. // Пенза. 1996.

27. Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. // Пенза. 1995.

28. Корытов И. В. Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в пространствах Соболева. дисс. канд. физ.-мат. наук (Вост.- Сиб.гос.технол.ун-т. — Улан-Удэ, 1996.).

29. Севастьянова H.A. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах функций с дробными производными. // Ворпосы математического анализа: Сборник научных статей. Вып. 2 // Красноярск: Изд-во КГТУ, 1997. с. 106 — 119.

30. Соболев C.JT.

Введение

в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. — 808 с.

31. Соболев СЛ., Васкевич ВЛ. Кубатурные формулы. Изд-во ИМ СО РАН, 1996.— 484 с.

32. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.— 336 с.

33. Кубатурные формулы и их приложения: Сборник статей семинара совещания. // Красноярск, 1994. 184 с.

34. Кубатурные формулы и их приложения: Доклады, представленные на III семинар-совещание «Кубатурные формулы и их приложения» // Уфа. ИМВЦ УНЦ РАН, 1996. 132 с.

35. Кубатурные формулы и их приложения: Сборник трудов IYсеминара-совещания. // Улан-Удэ, 1997. 220 с.

36. Вопросы математического анализа: Сборник научных статей. Вып. 2 // Красноярск: Изд-во КГТУ, 1997. 151 с.

37. Когмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. — 496 с.

38. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1972. -223 с.

39. Шейко Г. Е. Рекуррентные формулы для приближенного вычисления первообразных. Деп. ВИНИТИ, № 2084 — 80. — 13 с.

40. Шейко Г. Е. Асимптотическая оптимальность двухшаговых формул для приближенного вычисления первообразных. Деп. ВИНИТИ, № 4048 82. — 18 с.

41. Шейко Г. Е. Многошаговые формулы для приближенного вычисления первообразных. В кн.: Качественный анализ решений дифференциальных уравнений с частными производными. Новосибирск, 1985, с. 126 — 139.

42. Михальченко Г. Е. Построение l)-, l}2- асимптотическиоптимальных формул для приближенного вычисления первообразных. Деп. ВИНИТИ, № 812 В97. — 9 с.

43. Михальченко Г. Е. Одношаговые и двухшаговые асимптотически оптимальные формулы для приближенного вычисления первообразных. // Вопросы математического анализа. Сборник научных статей. Вып. 2: Красноярск, изд-во КГТУ, 1997. с. 69—78.

44. Хэмминг Р. В. Численные методы. М.: Наука, 1972. — 400 с.

45. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. — 432 с.

46. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1972. -400 с. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.-512 с.

47. Polovinkin V.I. Approximations of the Bernoulli polynomials by constans and appications to theory of quadrature formulas. Siberian Advances in Mathematics, 1998, V 8, № 2, 110 — 121.

48. Половинкин В. И. Квадратурные формулы и приближения коне тантами полиномов Бернулли. // Актуальные проблемыинформатики, прикладной математики и механики. Ч. 1. Математика и вычислительные методы. Новосибирск Красноярск. Изд. СО АН, 1996.