Работа посвящена исследованию симметрийных свойств гладких многообразий, заданных обыкновенными дифференциальными уравнениями 3-го порядка, и операторов, допускаемых ими.
Для современного этапа развития науки характерно стремление к всесто роннему исследованию изучаемых объектов с целью получения о них наиболее полной информации. При этом особое значение имеют внутренние свойства, заложенные в самой природе объекта, и, следовательно, влияющие на его поведение. К таким фундаментальным свойствам относится и симметрия, поскольку она в той или иной степени присуща практически всем объектам и явлениям.
В широком смысле слова симметрия означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т. е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики.
Большинство современных моделей в прикладных науках описываются дифференциальными уравнениями, и одним из наиболее перспективных направлений для изучения симметрийных свойств дифференциальных уравнений, построения точных решений и получения нечисловой информации о дифференциальном уравнении является современный групповой анализ, включающий в себя как классический подход С. Ли, так и исследование законов сохранения, дискретных симметрий и (в последнее время) нелокальных аналогов классических симметрий.
Для целей группового анализа оказывается существенной и удобной трактовка дифференциального уравнения как многообразия в продолженном пространстве. Понятие многообразия (впервые предложенное Риманом) является многомерным обобщением понятия поверхности без особых точек. Его первоначальное появление было вызвано потребностями геометрии и топологии. В настоящее время фундаментальное значение (не только в геометрии, но и в анализе) приобрели гладкие многообразия — локально евклидовы пространства, наделённые дифференциальной структурой.
Следуя работам Овсянникова JI.В. [50] и Ибрагимова Н. Х. [39−40], приведем (в формулировках, достаточных для данного исследования) основные понятия, определения и алгоритм классического группового анализа, разработанного в XIX веке норвежским математиком Софусом Ли.
Определение 1 [48]. Топологическим многообразием размерности п называется хаусдорфово (т.е. отделимое) топологическое пространство М, в котором каждая точка х еМ обладает окрестностью U, гом-еоморфной открытому множеству пространства R". Для использования на многообразии понятий математического анализа на нём вводят дополнительную структуру. !
Определение 2 [9,48]. Топологическое многообразие М вместе с- (конечным I или счётным) набором подмножеств UaczM и взаимно однозначных функций фа: £/а—" фа (Uа) (называемых локальными координатами) называется дифференцируемым (или гладким) многообразием, если
1) совокупность всех Ua покрывает М: [jUa = Ма
2) для пересечения любой пары окрестностей UafWp Ф 0 композиция отображений
Фр ° фа-1: фа (?4П?/р) -" Фр (?4П?/р) является гладкой функцией (принадлежит классу С^). Далее под многообразием будем понимать гладкое связное многообразие. Определение 3 [17]. Общим решением ОДУ п-то порядка
F (x, y, y',.,/n)) = 0 (0.1) будем называть «-параметрическое семейство функций класса С^ f (x, y, Ci,.tCJ = 0, (0.2) зависящих от п функционально независимых произвольных констант С1? .Сп и обращающих уравнение (0.1) в тождество по х.
Пусть (0.2) — общее решение уравнения (0.1).
Определение 4 Г171. Формальная кривая J:(x, y) = 0, получающаяся из (0.2) произвольной фиксацией констант Съ ., С&bdquo-, называется частным решением ОДУ (0.1).
Пусть V a R — открытое множество, а, А — интервал в R, симметричный относительно нуля, и пусть задана локальная однопараметрическая группа 2
Ли? [50] точечных преобразований ста: Fx, А —> R :
Г x=g{x, y, a у = п (х, у, а).
Она определяет касательное векторное поле г|) с координатами да ^ dh да а=о а= О
Определение 5 [50]. Линейный дифференциальный оператор
X = ф, у) дх + ф, у) ду, (0.4) 2 действующий на дифференцируемое отображение F: V —> R по формуле +Щ, (0.5) называется инфинитезималъным оператором группы Ли? (или, кратко, оператором группы). Переход от группы Ли? к ее касательному векторному полю г|) (или, что-то же самое, к ее оператору X) линеаризует многие задачи, что и создает возможности для эффективного применения группового анализа дифференциальных уравнений. Существует взаимно однозначное соответствие между группой Ли? и ее оператором X: группа «восстанавливается» [41] по заданным координатам Е, и Г| оператора X с помощью так называемых уравнений Ли: dg da dh
Определение 6 [40]. Функция F: R —> R называется инвариантом группы
Ли L точечных преобразований (0.3), если для любых (х, уа) е 2 eR хА выполняется т. е. F постоянна вдоль траектории, описываемой преобразованными точками х, у. Известен (например, [50, 39]) следующий критерий инварианта: Функция F: R —> R класса
C
X[F] = 0. (0.6)
Из (0.6) следует, что всякая однопараметрическая группа Ли. точечных преобразований плоскости имеет один независимый инвариант, в качестве которого можно взять левую часть первого интеграла J (x, у) = С сопряженного с (0.6) ОДУ (уравнения характеристик) dx dy
Ф, У) Л (х, у)' Любой другой инвариант тогда является функцией от J.
Понятие инварианта естественным образом распространяется на дифференциальные выражения F (x, y, y'), F (x, у, у', у") и т. д., если продолжить оператор X на новые переменные у', у" ,. .
Используя оператор полного дифференг^ирования
Ъх = дх + у’ду + у" ду.+(0.7) запишем формулы преобразования производных у', у", у'" ,. под действием точечных преобразований (0.3), рассматриваемых как формулы замены переменных: = = (0.8) dx & +
0.9) оЛя] & + gyy dy" Dм ях+дуУ + дуУ" + дуУ" f, «,» ¦ dx Vx[g] gx+gyy и так далее. Заметим, что в р, q, г,. входят нелинейные комбинации функций g, h и их производных. Добавление формулы (0.8) к группе L преоб-* разований (0.3) даёт продолженную группу ?, действующую в продолженном пространстве 3-х переменных х, у, у'- после добавления формулы- (0.9) получим дважды продолженную группу L, действующую в продолженном пространстве 4-х переменных х, у, у', у", и так далее.
При этом координаты продолженного инфинитезимального оператора
Х = ^дх+Гду+ Qdy +. к раз продолженной группы L могут быть найдены по известным [50, 40] рек куррентным формулам продолжения:
C^Dj^-il-^D.M' Со^Л- (0.10)
Вместо (0.10) можно пользоваться явной формулой: C, k = D*[r| - +, в которой Т) кх — к-я степень оператора (0.7)). В частности, у-Ш-?, УУ'2, (0.11)
С2 = Лхг- + - ЫУ + (У]уу ~ 2ЪуУ2 — W'3 + Ob 3t, yy')y", (0.12)
Сз = Л*** + ОЦхху — ?ит)У + ЧЦхуу — ЪхуУ2 + (Уууу — З^суу)у'Ъ — W4 +
3[Сп^ - U + (тъ, — з^у — Ц"У2 1У" - з^У'2 + 0v — 3^ - 4^УУ". (0.13) т Очевидно, что координаты продолженного оператора X выражаются линейк н о через Т| и их частные производные.
Определение 7 [50]. Инварианты продолженной группы? называются к дифференциальными инвариантами группы ?.
Если обозначить через Z& пространство алгебраически независимых переменных х, у, у',., у (/с) (оно называется к-м продолжением пространства R2(x, у)), то дифференциальные инварианты представляют собой отображения ^Z^PCR.
Определение 8 [50]. Инвариант группы ?, фактически зависящий от у{к нак зывается дифференциальным инвариантом к-го порядка группы L. (В этом смысле все инварианты группы L являются её дифференциальными инвариантами нулевого порядка).
В силу приведенного выше критерия (0.6) все дифференциальные инварианты F не выше k-то порядка группы? являются решениями дифференциального уравнения в частных производных
X[F]= 0. к
Введенное понятие продолженного пространства позволяет рассматривать ОДУ Аг-го порядка х, у, У,-, Л = 0 (0.14) как многообразие Т в пространстве Zk (т.е. множество тех точек пространства Z&, для которых выполняется равенство (0.14). В этом случае равенство (0.14) называют уравнением многообразия VF1). Если ранг отображения. ц>: Zk -" RJ равен s во всех точках пространства Z^ то уравнение вида (0.14) называют регулярным, а задаваемое им многообразие Т —регулярно заданным многообразием.
Справедлив [50] следующий критерий инвариантности: многообразие? cz Zk, регулярно заданное уравнением (0.14), инвариантно относительно группы ?, если и только если
1 Так называемый неявный способ задания многообразия.
Х[1/]|ч>=0, (0.15) где X — оператор группы ?, а знак | заменяет слова &bdquo-на многообразии и означает, что равенство верно для точек (х, у, у',., y^eW. Определение 9 [50]. Говорят, что ОДУ п-го порядка (0.1) допускает группу jС точечных преобразований (0.3), если многообразие Ф czZn, заданное этим уравнением, инвариантно относительно п раз продолженной группы ?, т. е. если п
F (x, у, У.,) = F (x, y, у', ., yin)) (при этом многообразие Ф называют дифференциальным инвариантным многообразием группы ?, а про саму группу X и её оператор X говорят, что они допускаются уравнением (0.1)).
В связи с этим определением возникает одна из основных задач классического группового анализа: найти все группы? точечных преобразований плоскости (все операторы X), допускаемые заданным ОДУ.
Решение этой задачи вытекает из определения 8 и критерия (0.15) инвариантности многообразия: ОДУ (0.1) допускает группу ?, если и только если
X[F] 0, (0.16)
F=0 причем условие инвариантности (0.16) рассматривается как уравнение относительно неизвестного векторного поля (?, Г|). Структура этого уравнения полностью определена алгоритмом его построения и зависит только от заданного уравнения (0.1).
Определение 10 [40]. Уравнение (0.16) называется определяющим уравнением.
Таким образом, процесс формирования определяющего уравнения (0.16) состоит из 3-х этапов: (а) вычисление (по формулам продолжения) координат продолженного оператора X- (Ь) действие полученным оператором на функп цию F- © переход на многообразие, заданное уравнением F — 0 (для.ОДУ в явной форме: у{п)=Лх, У, У':., У (п-])) (0.17) достаточно заменить у (п> на правую часть уравнения — функцию fix, у, у',., У" «1−1)) — после чего результат приравнивается к нулю.
Из-за своего происхождения определяющее уравнение обладает рядом свойств, делающих его самостоятельным объектом исследования.
Во-первых, в силу алгебраической независимости переменных/,., у^'1 оно (при п > 1) всегда «расщепляется» по одной из них, распадаясь на несколько независимых уравнений, становясь переопределенной системой дифференциальных уравнений (в частных производных) для и г.
Во-вторых, все уравнения этой системы линейны и однородны относительно Н, и г), что существенно облегчает её решение.
В-третьих, из линейности и однородности этих уравнений вытекает, что множество решений определяющего уравнения образует линейное векторное пространство, причем оказывается, что это векторное пространство L обладает структурой конечномерной алгебры Ли [40]. Нам потребуется определение разрешимой алгебры Ли.
Определение 11 [40]. Алгебра Ли Lr называется разрешимой, если существует ряд Lrz^Lr-x id. zdLy подалгебр размерностей г, г — 1, ., 1 соответственно, в котором каждая подалгебра Zsj является идеалом в Ls
Поскольку знание оператора X, допускаемого ОДУ порядка п, позволяет понизить порядок этого уравнения на 1 (путем перехода к так называемым каноническим переменным t и и, для которых Х[/] = 1, X[w] = 0, а допускаемая группа Ли L является группой переноса: 7=t + a, и = и), то для интегрируемости такого уравнения в квадратурах (методом понижения порядка) нужно, чтобы оно допускало разрешимую и-мерную алгебру Ли.
Таков (схематично) алгоритм решения прямой задачи группового анализа для ОДУ п-то порядка, позволяющий (при наличии «-мерной разрешимой алгебры Ли) решить уравнение (0.1) в квадратурах, последовательно понижая порядок.
Другой путь изучения симметрий ОДУ предоставляют первые интегралы.
Определение 12 [48]. Первый интеграл ОДУ — отличная от постоянной непрерывно дифференцируемая функция, (полная) производная которой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для ОДУ 1-го порядка первый интеграл есть функция Ф (х, у), находящаяся в левой части общего решения Ф (х, у) = С, где С — произвольная постоянная.
Для ОДУ 72-го порядка вида (0.17) первый интеграл есть функция Ф (х, у, у',.У" -1), С), удовлетворяющая уравнению
В,[Ф]|,<.)=/ = <> (0.18) с частными производными 1-го порядка.
Первый интеграл определяется не единственным образом (так как любая функция от первого интеграла есть снова первый интеграл) и может не существовать во всей области задания уравнения (0.17), однако в любой окрестности точки, в которой функцияДх, у, у',., У'непрерывно дифференцируема, он всегда существует [9, 48].
Порядок ОДУ может быть понижен на к единиц, если известны к независимых первых интегралов этого уравнения, путем исключения старших производных из системы г -, к, к < п.
Функцииfvf2,., fk от п переменных каждая называются фунщиоиалъно незаd (ff f) висимыми, если матрица Якоби 1 2)" имеет ранг к).
Расширение понятия точечных преобразований (0.3) приводит к касательным (или контактным) преобразованиям: х = <�р (х, у, у'-а), у = ц/(х, у, у'-а), у' = %(х, у, у'-а), действующим в пространстве VxA (где V dZx), и к преобразованиям Ли— Беклунда (порядка к): z = g (x, y, y',., yik)), у = h (x, y, y',., yw) (0.19) с соответствующими условиями обратимости. В общем случае обращением локального преобразования (0.19) будет нелокальное преобразование, которое, наряду с переменными х, у, у',., у^ продолженного пространстваZk, будет содержать нелокальные переменные, возникающие при нелокальной операции — интегрировании.
Нелокальные переменные не представимы в виде конечной суммы натуральных степеней оператора полной производной D «[>>, но могут быть представлены бесконечными рядами по степеням Dx[y]. Более удобным, однако, часто оказывается интегральное представление нелокальных переменных, эквивалентное отрицательным степеням оператора полной производной Бл. у]: f (x,.У, у',., yw) dx s d-1 [f (x, y, у',., yw)], Dx[d-1 [/]] EE /. Определение 13. Преобразование вида = g (x, y, y',., y (k f/-(*, у, y (l))dx),
0.20) у = Цх> У, У', ¦ - •> Уw, f2(x, y, y',., y (l})dx) называется нелокальным преобразованием.
Частным случаем нелокального преобразования (0.20) является преобразование, характеризуемое экспоненциальным нелокальным оператором. Определение 14. Оператор вида
X = е№(&х, у) дх + Ц (х, у) ду), (0.21) где С> = С,(х, у, у',., у{к)), будем называть экспоненциальным нелокальным оператором (ЭНО) /с-го порядка.
Очевидно, что ЭНО является линейным дифференциальным оператором, действующим по формуле, аналогичной формуле (0.5) для точечного оператора (0.4). Отличие его от точечного состоит в том, что оператор (0.4) действует на плоскости (х, у), а оператор (0.21) — в продолженном пространстве Zk переменных х, у, у',., у{к).
С момента появления ЭНО в научной литературе эффективность их применения ставилась под большое сомнение. В известных работах Н. Х. Ибрагимова [40, 41] на примере поясняется один из путей возникновения ЭНО и кратко обсуждаются его свойства. При этом Ибрагимов называет неудачной попытку понижения порядка, приведшую к появлению ЭНО.
В монографии П. Олвера [51] имеются конструктивные идеи по использованию ЭНО для понижения порядка и интегрирования дифференциальных уравнений, но высказана опрометчивая мысль, что с ЭНО можно обращаться так же, как и с операторами точечных преобразований.
Своё дальнейшее развитие теория ЭНО получила в работах В. Ф. Зайцева [23, 24, 30, 31]. В частности, показано, что наличие ЭНО позволяет факторизо-вать ОДУ к системе специального вида, что позволяет классифицировать случаи интегрируемости, не прогнозируемые классическим алгоритмом Ли.
Известно [39−41], что теория Ли позволяет классифицировать классические случаи интегрируемости ОДУ. В то же время существуют [41] интегрируемые уравнения, не подпадающие под классификацию Ли, причём поиск первых интегралов и симметрий более высокого порядка также не приводит к интегрированию таких уравнений. В соответствии с общим симметрийным принципом [23, 24] они должны обладать некоторыми симметриями, отличными от классических (точечных, касательных, Ли-Беклунда). Поэтому вопрос о применимости неклассических симметрий можно начать с исследования ЭНО как (простейшего) нелокального аналога классических симметрий.
Актуальность темы
В работе изучаются свойства гладких многообразий, заданных ОДУ 3-го порядка, и операторов, допускаемых ими.
Давно замечено, что такие уравнения, имея нечетный порядок, по своим свойствам (в том числе и симметрийным) существенно отличаются от уравнений четного порядка. В частности, уравнения нечетных порядков не позволяют выделить гамильтоновые структуры [51] и, насколько известно, попытки расширения для них понятия гамильтоновости не привели к осязаемым резуяьта-. там.
Исследования последних лет еще более подтвердили эти особенности. Так, например, исследование первых интегралов для ОДУ 3-го порядка значительно более трудоемко, чем для уравнений четного порядка. И вообще, уравнения нечетных порядков заметно беднее симметриями, чем уравнения четных порядков. Например, Ланкеровичем М. Я. [46] показано, что существует един
3 и" 2 ственное (с точностью до эквивалентности) ОДУ 3-го порядка: и'" =—, не
2 и' эквивалентное уравнению и'" = 0 и допускающее 6-мерную алгебру Ли L6 (на 1 меньше максимально возможной размерности) — 5-мерную же алгебру Ли L5 допускают лишь ОДУ 3-го порядка, эквивалентные линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами.
В то же время уравнения нечетных порядков весьма актуальны в приложениях (достаточно вспомнить, что именно к ним сводятся так называемые уравнения пограничного слоя [34]). Поэтому для симметрийного анализа необходимо использовать все возможные методы, которые доступны в современной математической практике.
К настоящему времени эффективность прямых методов классического группового анализа (теория Ли) оказывается недостаточной для решения ряда прикладных задач. Поэтому возникла потребность в алгоритмах 3-го поколения, которые позволяют найти все дифференциальные уравнения выбранного класса, априорно обладающие некоторой симметрией заданного вида {обратная задача группового анализа). При этом оказывается, что для довольно широких классов уравнений обратная задача решается в общем виде полностью, давая нам одновременно и решение прямой задачи (так как она в ней содержится) и обширные классы моделей, которые можно просто строить по наличию априорной симметрии.
Так как задача поиска первых интегралов, описывающих законы сохранения, для уравнения (0.17) сводится к решению уравнения (0.18) в частных-производных, то, как известно, не существует общих методов его решения и, соответственно, общих приёмов нахождения первых интегралов, в том числе и для уравнений нечётного порядка. Поэтому и здесь разработка регулярных методов описания классов уравнений, обладающих первыми интегралами заданной структуры, представляется весьма важной задачей. Существенным является также исследование взаимодействия инфинитезимальных операторов и законов сохранения, так как в тех случаях, когда первый интеграл «наследует» точечную симметрию, порядок ОДУ может быть понижен сразу на 2 единицы. (В этом случае мы имеем некоторый аналог вариационной симметрии).
Что касается уравнений 3-го порядка, то они (помимо всего прочего) могут быть хорошим модельным примером группового анализа уравнений нечетных порядков — в отличие от уравнений 1-го порядка, которые столь специфичны, что требуют особого подхода.
Цели и задачи работы. Целью исследования является современный групповой анализ ОДУ 3-го порядка. Поэтому в работе ставятся и решаются следующие задачи:
1. Разработка алгоритмов решения обратной задачи группового анализа для точечных операторов и ЭНО.
2. Поиск уравнений 3-го порядка, допускающих классические симметрии Ли (обратная задача группового анализа) и ЭНО.
3. Разработка алгоритмов поиска первых интегралов для ОДУ 3-го порядка определённой структуры (прямая задача) и поиска уравнений с первыми интегралами заданной структуры (обратная задача).
4. Поиск ОДУ 3-го порядка, обладающих первыми интегралами некоторой заданной структуры. 5. Исследование взаимодействия лиевских симметрий и первых интегралов.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Доказательство необходимых и достаточных условий существования лиевских симметрий и ЭНО, допускаемых ОДУ 3-го порядка.
2. Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, допускающих 1- и 2-мерную алгебру Ли Lx и L2- j I
3. Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го i порядка, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами. i I
4. Алгоритм поиска первых интегралов, квадратичных по у", для ОДУ 3-го порядка с правой частью, известным образом зависящей от у" .
5. Доказательство необходимых и достаточных условий существования первого интеграла при наличии точечной симметрии для уравнений вида у'" -fix, у). В частности, доказано, что существует только 24 подкласса нелинейных уравнений (без промежуточных производных), одновременно обладающих квадратичными по у" первыми интегралами и допускающих точечную симметрию с оператором X = гдх + (г' + а) уду (г Ф 0). Среди нелинейных уравнений с указанным свойством выделены все уравнения, первые интегралы которых &bdquo-наследуют" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением.
6. Полное решение обратной задачи группового анализа уравнений вида у'" = fix, у, у'), допускающих ЭНО вида X = г (х, у, у')е^х'У'У)скду.
Апробация работы. Основные материалы данной работы докладывались и обсуждались на:
— научных семинарах кафедры высшей математики ОрёлГТУ;
— ежегодных конференциях’Терценовские чтения", С.-Петербург, 1994;99;
— Международной конференции «Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений», Орёл, 1996; - Международной конференции «Средства математического моделирования», С.-Петербург, 1997.
Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций [1−6]. В публикациях [1, 4, 6], сделанных в соавторстве, научному руководителю (соавтору) принадлежит постановка задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решение обратной задачи группового анализа уравнений вида У" =fix> У, У) позволило исчерпывающим образом описать все уравнения этого класса, допускающие 1- и 2-мерную алгебру Ли. В частности, показано, что существует только 15 подклассов уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, допускающих понижение порядка на 2 единицы с помощью точечных преобразований.
Решение обратной задачи поиска первых интегралов, полиномиально зависящих от у", выявило структуру всех уравнений 3-го порядка, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами.
С помощью разработанного алгоритма изучено взаимодействие квадратичных по у" первых интегралов и классических (лиевских) симметрий для уравнения вида у'" =fix, у). Выявлены все подклассы уравнений без промежуточных производных (среди них 24 подкласса нелинейных уравнений), одновременно допускающих точечную симметрию (с. оператором X = гдх + (г' + о1) уду, где г (х) Ф 0) и первый интеграл вида Р = Qy" 2 + Ry" + S.
Доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях, при которых нелинейные уравнения вида у'" = fix, у) обладают квадратичными по у" первыми интегралами, &bdquo-наследующими" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением. Порядок таких уравнений (их оказалось 10 из 24) может быть понижен на 2 единицы с помощью точечного преобразования. Два из этих уравнений (у'" = Ху~514 и У" = ЪГ3/2у~5/4) имеют первые интегралы, наследующие обе точечные симметрии, допускаемые самими уравнениями, и, следовательно, интегрируются в квадратурах с помощью точечных преобразований.
Получено полное решение обратной задачи симметрийного анализа уравнений вида у'" = fix, у, у'), допускающих канонический ЭНО 1-го порядка. Наличие нелокальной симметрии позволяет нам факторизовать уравнения этого класса к системе 2-х уравнений специального вида. Если решается именно 1-е уравнение такой системы, то мы получаем понижение порядка исходного уравнения, принципиально не сводящееся к лиевскому понижению порядка с помощью точечного (и вообще локального) преобразования.
