Расчет электрических цепей с помощью систем дифференциальных уравнений

КУРСОВАЯ РАБОТА

Расчёт электрических цепей с помощью систем дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике. Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей и т. д. Ряд физических задач может быть сведён к решению дифференциальных уравнений или системы дифференциальных уравнений.

Методы решения дифференциальных уравнений подразделяются на два класса:

1) аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;

2) численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи.

Решением дифференциального уравнения называется n раз дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее — целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти либо его частное, либо общее решение.

Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши.

Объектом исследования данной работы являются электрические цепи, а предметом исследования — расчёт электрических цепей с помощью систем дифференциальных уравнений.

Цель данной курсовой работы — научиться производить расчёт электрических цепей с помощью систем дифференциальных уравнений. Практическое применение расчета электрических цепей очень важно, а потому важность рассматриваемой темы не вызывает сомнений.

При работе над курсовой работой я пользовался справочными и учебными пособиями, книгами и лекциями.

1. Методы, применяемые для расчета значений и направлений токов на участках электрической цепи

дифференциальный уравнение ток цепь

Целью расчёта электрической цепи является определение некоторых параметров на основе исходных данных, из условия задачи.

Уравнения электромагнитного состояния — это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т. е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники. Количество переменных состояния, следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

Требуемая система уравнений может быть получена из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа. При этом целесообразно записывать напряжения и токи на емкости и индуктивности через переменные состояния.

Рассмотрим пример составления системы дифференциальных уравнений для конкретной электрической цепи, изображённой на рисунке 1.

Рисунок 1. Схема электрической цепи

В этом примере переменными состояния являются напряжения на ёмкостях и ток в индуктивности: и. При этом переменные состояния образуют систему из наименьшего числа переменных, полностью определяющих реакции всех ветвей цепи при заданных начальных условиях и приложенных при внешних воздействиях.

Составим уравнения по законам Кирхгофа:

Исключив из уравнений токи и напряжения, не связанные с переменными состояния, получим систему уравнений по методу переменных состояния, разрешенную относительно первых производных (форма Коши):

В настоящее время централизованное производство и распределение электрической энергии осуществляется на переменном токе. Переменный ток занял господствующее положение в промышленном приводе и электрическом освещении, в сельском хозяйстве и на транспорте, в технике связи и электротермии, а также в быту.

Переменными называют э.д.с., токи и напряжения изменяющиеся с течением времени. Они могут изменяться только по значению или только по направлению, а также по значению и направлению.

Цепи, в которых действует переменный ток — называют цепями переменного тока.

В электроэнергетике наибольшее применение получил переменный ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону.

Переменные электрические величины являются функциями времени, их значения в любой момент времени t называют мгновенными и обозначают строчными буквами. Например, выражение мгновенного значения синусоидального тока определяется тригонометрической функцией i=Isin (t+), единственной переменной в правой части, которой является время t. Амплитуда I равна максимальному значению тока. Аргумент синуса (t+), измеряемый в радианах, определяет фазный угол синусоидальной функции тока в любой момент времени t и называется фазой, а величина, равная фазному углу в момент начала отсчёта времени (t=0), — начальной фазой. Величина определяет число радианов, на которое изменяется фаза колебаний за секунду, и называется угловой частотой.

Для расчета значений и направлений токов на участках электрической цепи при известных параметрах источников тока и напряжения применяются следующие методы:

ь метод непосредственного применения законов Кирхгофа

ь метод контурных токов

ь метод узловых потенциалов (метод узловых напряжений)

ь метод двух узлов

ь метод свертывания

ь метод эквивалентного генератора

ь метод наложения (суперпозиции)

ь метод комплексных амплитуд

ь метод сечений (напряжений ветвей дерева).

1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа для расчета электрической цепи заключается в составлении системы из В уравнений с В неизвестными (B — количество ветвей в рассматриваемой цепи) по двум законам Кирхгофа и последующем их решении.

Рассмотрим расчёт электрической цепи, не содержащей источников тока. Рассматриваемая цепь состоит из В ветвей и У узлов. Её расчёт сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить (У — 1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа и К = (В-У + 1) независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми (т.е. содержащими хотя бы одну ветвь, не принадлежащую другим узлам / контурам).

Для решения составленной системы уравнений можно воспользоваться матричной формой, где

A и B — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка B x B;

I и E — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Решение системы:

где (1.1)

— обратная матрица;? — определитель матрицы A; ?ik — алгебраические дополнения элементов aik (см. способы нахождения обратной матрицы).

— матрица собственных gii и взаимных gik проводимостей (см. метод наложения).

— система уравнений, определяющих токи ветвей.

Зачастую при расчёте цепей подобным методом возникает необходимость составления большого количества уравнений и последующего расчёта матриц большого порядка. Поэтому на практике применяются и другие методы расчёта.

2. Метод контурных токов — метод сокращения размерности системы уравнений, описывающей электрическую цепь.

Любая электрическая цепь, состоящая из Р рёбер (ветвей, участков) и У узлов, может быть описана системой уравнений в соответствии с 1-м и 2-м законами Кирхгофа. Число уравнений в такой системе равно Р, из них У-1 уравнений составляется по 1-му закону Кирхгофа для всех узлов, кроме одного; а остальные Р-У+1 уравнений — по 2-му закону Кирхгофа для всех независимых контуров. Поскольку независимыми переменными в цепи считаются токи рёбер, число независимых переменных равно числу уравнений, и система разрешима.

Существует несколько методов сократить число уравнений в системе. Одним из таких методов является метод контурных токов.

Метод использует тот факт, что не все токи в рёбрах цепи являются независимыми. Наличие в системе У-1 уравнений для узлов означает, что зависимы У-1 токов. Если выделить в цепи Р-У+1 независимых токов, то систему можно сократить до Р-У+1 уравнений. Метод контурных токов основан на очень простом и удобном способе выделения в цепи Р-У+1 независимых токов.

Метод контурных токов основан на допущении, что в каждом из Р-У+1 независимых контуров схемы циркулирует некоторый виртуальный контурный ток. Если некоторое ребро принадлежит только одному контуру, реальный ток в нём равен контурному. Если же ребро принадлежит нескольким контурам, ток в нём равен сумме соответствующих контурных токов (с учётом направления обхода контуров). Поскольку независимые контура покрывают собой всю схему (т.е. любое ребро принадлежит хотя бы одному контуру), то ток в любом ребре можно выразить через контурные токи, и контурные токи составляют полную систему токов.

Для построения системы уравнений необходимо выделить в цепи P — У + 1 независимых контуров. По каждому из этих контуров будет составлено одно уравнение по 2-му закону Кирхгофа. В каждом контуре необходимо выбрать направление обхода (например, по часовой стрелке).

Ток во всех рёбрах схемы необходимо представить как сумму (с учётом знаков) контурных токов, которые протекают по этим рёбрам.

При наличии в цепи источников тока, их предварительно преобразовывают в источники напряжения.

Правило построения уравнения таково. Обходя контур в соответствии с выбранным направлением, записываем в левую часть уравнений сумму (с учётом знаков) токов в рёбрах, умноженных на сопротивление ребра. В правой части уравнения записываем все источники ЭДС, имеющиеся в контуре (со знаком «плюс», если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС, и наоборот).

Составив уравнения для всех независимых контуров, получаем совместную систему P — У + 1 уравнений относительно P — У + 1 неизвестных контурных токов.

3. Метод узловых потенциалов — метод расчета электрических цепей путем записи системы линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются потенциалы в узлах цепи. В результате применения метода определяются потенциалы во всех узлах цепи, а также, при необходимости, токи во всех ветвях.

Очень часто необходимым этапом при решении самых разных задач электроники является расчет электрической цепи. Под этим термином понимается процесс получения полной информации о напряжениях во всех узлах и о токах во всех ветвях заданной электрической цепи. Для расчета линейной цепи достаточно записать необходимое число уравнений, которые базируются на правилах Кирхгофа и законе Ома, а затем решить полученную систему.

Однако на практике записать систему уравнений просто из вида схемы удается только для очень простых схем. Если в схеме более десятка элементов или она содержит участки типа мостов, то для записи системы уравнений уже требуются специальные методики. К таким методикам относятся метод узловых потенциалов и метод контурных токов.

Метод узловых потенциалов не привносит ничего нового к правилам Кирхгофа и закону Ома. Данный метод лишь формализует их использование настолько, чтобы их можно было применить к любой, сколь угодно сложной цепи. Иными словами, метод дает ответ на вопрос «как использовать законы для расчета данной цепи?». Методика состоит в следующем:

1) Записывают уравнения для токов в ветвях схемы по обобщенному закону Ома.

2) Записывают для всех узлов, кроме одного, уравнения по 1 закону Кирхгофа.

3) В уравнения 1-ого закона Кирхгофа подставляют токи из уравнений обобщенного закона Ома, раскрывают скобки и проводят подобие относительно потенциалов узлов.

Метод узловых потенциалов применяется к эквивалентной схеме. Если изначально дана реальная схема, то для нее необходимо составить эквивалентную схему и дальнейший расчет производить с ней. Таким образом, схема, к которой применяется метод узловых потенциалов, не содержит никаких реальных элементов (транзисторов, диодов, ламп, гальванических элементов, пассивных элементов с паразитными параметрами и т. д.).

Перед началом расчёта выбирается один из узлов, потенциал которого считается равным нулю. Затем узлы нумеруются, после чего составляется система уравнений.

Слева от знака равенства записывается потенциал заданного узла, умноженный на сумму проводимостей ветвей, примыкающих к нему, минус потенциалы узлов, примыкающих к данному, умноженные на проводимости ветвей, соединяющих их с данным узлом.

Справа от знака равенства записывается сумма всех источников токов, примыкающих к данному узлу, если источник направлен в сторону рассматриваемого узла, то он записывается со знаком «+», если же он направлен от узла-то со знаком «?». Если это источник ЭДС, то он записывается как значение ЭДС, умноженное на проводимость ветвей, соединяющей их с данным узлом.

4. Метод двух узлов — метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем и токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы.

Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов.

Формула для расчета напряжения между двумя узлами:

(1.2)

5. Под эквивалентными преобразованиями в электрической цепи подразумевается замена одних элементов другими таким образом, чтобы электромагнитные процессы в ней не изменились, а схема упрощалась. Одним из видов таких преобразований является замена нескольких потребителей, включённых последовательно или параллельно, одним эквивалентным.

Несколько последовательно соединённых потребителей можно заменить одним, причём его эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений потребителей, включённых последовательно. Для n потребителей можно записать:

rэ = r1 +r2+ … +rn, (1.3)

где r1, r2,…, rn — сопротивления каждого из n потребителей.

При параллельном соединении n потребителей эквивалентная проводимость gэ равна сумме проводимостей отдельных элементов, включённых параллельно:

gэ= g1 + g2 + … + gn. (1.4)

Учитывая, что проводимость является обратной величиной по отношению к сопротивлению, можно эквивалентное сопротивление определить из выражения:

1/rэ = 1/r1 + 1/r2 + … + 1/rn, (1.5)

где r1, r2,…, rn — сопротивления каждого из n потребителей, включённых параллельно.

В частном случае, когда параллельно включены два потребителя r1 и r2, эквивалентное сопротивление цепи:

rэ = (r1 х r2)/(r1 + r2) (1.6)

Преобразования в сложных цепях, где отсутствует в явном виде последовательное и параллельное соединение элементов (рисунок 2), начинают с замены элементов, включённых в исходной схеме треугольником, на эквивалентные элементы, соединённые звездой.

Рисунок 2. Преобразование элементов цепи:

а — соединённых треугольником, б — в эквивалентную звезду

На рисунке 2, а треугольник элементов образуют потребители r1, r2, r3. На рисунке 2, б этот треугольник заменён эквивалентными элементами ra, rb, rc, соединёнными звездой. Чтобы не происходило изменение потенциалов в точках a, b, с схемы, сопротивления эквивалентных потребителей определяются из выражений:

(1.7)

Упрощение исходной цепи можно также осуществить заменой элементов, соединённых звездой, схемой, в которой потребители соединены треугольником.

В схеме, изображённой на рисунке 3, а, можно выделить звезду, образованную потребителями r1, r3, r4. Эти элементы включены между точками c, b, d. На рисунке 3, б между этими точками находятся эквивалентные потребители rbc, rcd, rbd, соединённые треугольником. Сопротивления эквивалентных потребителей определяются из выражений:

(1.8)

Рисунок 3. Преобразование элементов цепи:

а — соединённых звездой, б — в эквивалентный треугольник

Дальнейшее упрощение схем, приведённых на рисунках 2, б и 3, б, можно осуществлять путём замены участков с последовательным и параллельным соединением элементов их эквивалентными потребителями.

При практической реализации метода расчёта простой цепи с помощью преобразований выявляются в цепи участки с параллельным и последовательным соединением потребителей, а затем рассчитываются эквивалентные сопротивления этих участков.

Если в исходной цепи в явном виде нет таких участков, то, применяя описанные ранее переходы от треугольника элементов к звезде или от звезды к треугольнику, проявляют их.

Данные операции позволяют упростить цепь. Применив их несколько раз, приходят к виду с одним источником и одним эквивалентным потребителем энергии. Далее, применяя законы Ома и Кирхгофа, рассчитывают токи и напряжения на участках цепи.

Для проверки правильности вычисления токов необходимо составить баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что алгебраическая сумма мощностей всех источников питания цепи равна арифметической сумме мощностей всех потребителей.

Мощность источника питания равна произведению его ЭДС на величину тока, протекающего через данный источник. Если направление ЭДС и тока в источнике совпадают, то мощность получается положительной. В противном случае она отрицательна.

Мощность потребителя всегда положительна и равна произведению квадрата тока в потребителе на величину его сопротивления.

Математически баланс мощностей можно записать в следующем виде:

(1.9)

где n — количество источников питания в цепи; m — количество потребителей.

Если баланс мощностей соблюдается, то расчет токов выполнен правильно.

В процессе составления баланса мощностей можно выяснить, в каком режиме работает источник питания. Если его мощность положительна, то он отдает энергию во внешнюю цепь (например, как аккумулятор в режиме разряда). При отрицательном значении мощности источника последний потребляет энергию из цепи (аккумулятор в режиме заряда).

2. Описание математических методов решения систем дифференциальных уравнений

Конкретная прикладная задача может привести к дифференциальному уравнению любого порядка или к системе таких уравнений. Произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно привести к некоторой эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Среди таких систем выделяют класс систем, разрешённых относительно производной неизвестных функций:

(2.1)

Дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип — это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения в некоторой точке a должны быть заданы начальные условия, т. е. значения функции u1 (a),…, um (a):

u1 (a)=,…, um (a)= (2.2)

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x[a, b], то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.

Третий тип задач для систем дифференциальных уравнений — это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций u1 (x),…, um (x) в уравнения входят дополнительно n неизвестных параметров ₁, ₂,…, _n, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале [a, b] необходимо задать n + m граничных условий.

Рассмотрим подробнее задачу Коши. Воспользуемся компактной записью задачи (2.1), (2.2) в векторной форме:

(2.3)

Требуется найти на интервале [a, b].

Задачу Коши удобнее всего решать методом сеток. Метод сеток состоит в следующем:

1) Выбираем в области интегрирования упорядоченную систему точек a=x1

(2.4)

где n_x — количество узлов заданной сетки.

2) Решение ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной сетки, для чего дифференцирование заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах. Такую систему уравнений принято называть конечно-разностной схемой.

Для получения конечно-разностной схемы удобно использовать интегроинтерполяционный метод, согласно которому необходимо проинтегрировать уравнение (2.3) на каждом интервале [xk, xk+1] и разделить полученное выражение на длину этого интервала:

(2.5)

Далее апроксимируем интеграл в правой части одной из квадратурных формул и получаем систему уравнений относительно приближенных неизвестных значений искомых функций, которые в отличие от точных обозначим. При этом возникает погрешность ?, обусловленная неточностью апроксимации:

?(h)=|| || (2.6)

Согласно основной теореме теории метода сеток (теорема Лакса), для устойчивой конечно-разностной схемы при стремлении шага h к нулю погрешность решения стремится к нулю с тем же порядком, что и погрешность апроксимации:

(2.7)

где С0 — константа устойчивости, p — порядок апроксимации.

Поэтому для увеличения точности решения необходимо уменьшить шаг сетки h.

На практике применяется множество видов конечно-разностных схем, которые подразделяются на одношаговые, многошаговые схемы и схемы с дробным шагом.

Одношаговые схемы

— Метод Эйлера

Заменяем интеграл в правой части уравнения (2.5) по формуле левых прямоугольников:

(2.8)

Получим:

(2.9)

где k=0,1,2,…, n.

Схема явная устойчивая. В силу того, что формула для левых прямоугольников имеет погрешность второго порядка, точность ?(h) первого порядка.

— Неявная схема 1-го порядка

Используя формулу правых прямоугольников, получим:

(2.10)

Эта схема неразрешима в явном виде относительно, поэтому проводится итерационная процедура:

(2.11)

где s=1,2,… — номер итерации. Обычно схема сходится очень быстро — 2−3 итерации. Неявная схема первого порядка эффективнее явной, так как константа устойчивости С0 у неё значительно меньше.

— Метод Эйлера-Коши

Вычисления проводятся в два этапа: этап прогноза и этап коррекции.

На этапе прогноза определяется приближенное решение на правом конце интервала по методу Эйлера:

(2.12)

На этапе коррекции, используя формулу трапеций, уточняем значение решения на правом конце:

(2.13)

Так как формула трапеций имеет третий порядок точности, то порядок погрешности апроксимации — равен двум.

— Неявная схема 2-го порядка (метод Эйлера-Коши)

Используя в (2.5) формулу трапеций, получим:

(2.14)

Схема не разрешена в явном виде, поэтому требуется итерационная процедура:

(2.15)

где s=1,2,… — номер итерации. Обычно схема сходится за 3−4 итерации.

Так как формула трапеций имеет третий порядок точности, то погрешность апроксимации — второй.

Схемы с дробным шагом

— Схема предиктор-корректор (Рунге-Кутта) 2-го порядка

Используя в (2.5) формулу средних, получим:

(2.16)

где — решение системы на середине интервала [xk, xk+1]. Уравнение явно разрешено относительно, однако в правой части присутствует неизвестное значение. Поэтому сначала расчитывают (предиктор):

. (2.17)

Затем расчитывают (корректор) по формуле (2.16). Схема имеет первый порядок погрешности.

— Схема Рунге-Кутта 4-го порядка

Используя в (2.5) формулу Симпсона, получим:

(2.18)

Наиболее часто рассчитывают неявное по уравнение по следующей схеме:

Сначала рассчитывают предиктор вида:

(2.19)

затем корректор по формуле:

(2.20)

Поскольку формула Симпсона имеет пятый порядок погрешности, то точность ?(h) — четвёртого порядка.

Многошаговые схемы

Многошаговые методы решения задачи Коши характеризуются тем, что решение в текущем узле зависит от данных не в одном предыдущем или последующем узле сетки, как это имеет место в одношаговых методах, а зависит от данных в нескольких соседних узлах.

Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точности использовать вычисленные уже на предыдущих шагах значения

Если заменим в (2.5) подинтегральное выражение интерполяционным многочленом Ньютона, построенного по узлам, то после интегрирования на интервале получим явную экстраполяционную схему Адамса. Если заменим в (2.5) подинтегральное выражение на многочлен Ньютона, построенного по узлам, то получим неявную интерполяционную схему Адамса.

— Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка

(2.21)

Схема двухшаговая, поэтому необходимо для расчётов найти по схеме Рунге-Кутта 2-го порядка, после чего, , … вычисляют по формуле (2.21)

— Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка

(2.22)

Схема двухшаговая, поэтому необходимо сперва найти и по схеме предиктор-корректор 4-го порядка, после чего, , … вычисляют по формуле (2.22).

Заключение

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие физические величины, но сравнительно легко устанавливается зависимость между теми же величинами, их производными или дифференциалами.

Таким образом, большинство физических явлений описывается на языке дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные функции под знаком производной или дифференциала.

Для расчета значений и направлений токов на участках электрической цепи при известных параметрах источников тока и напряжения применяются следующие методы: метод непосредственного применения законов Кирхгофа; метод контурных токов; метод узловых потенциалов (метод узловых напряжений); метод двух узлов; метод свертывания и другие.

Методы решения дифференциальных уравнений можно условно разбить на точные, приближенные и численные. К точным относятся методы, с помощью которых можно выразить решение дифференциального уравнения через элементарные функции. Приближенные методы — это методы, в которых решение получается как придел некоторой последовательности. Численные методы — это алгоритмы вычисления приближенных значений искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Решение при этом получается в виде таблицы.

Для решения систем дифференциальных уравнений разработаны различные аналитические методы: классический, оперативный, метод интеграла Фурье и другие. Наиболее распространенными я являются классический и оперативный методы. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчёта простых цепей, а второй упрощает расчёт сложных цепей.

Список использованной литературы

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1996.

2. Бычков Ю. А., Золотницкий В. М., Чернышев Э. П. Основы теории электрических цепей. ЛАНЬ. — Москва, 2002.

3. Зевеке Г. В. и др. Основы анализа цепей. — М.: Энергоатомиздат, 1989. 5-е изд. — 528 с.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 6-е изд. — СПб.: Изд. Лань, 2003. — 832 с.

5. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.

6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т.2. М.: Наука, 2001.

7. Фриск В. В. Основы теории цепей. Солон-Пресс. — Москва, 2004.

8. Электротехника: Учеб. для вузов/А.С. Касаткин, М. В. Немцов. — 7-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003. — 542 с.