Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и дифференциальных операторов, определенных интегральными краевыми условиями

В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов и оператора Дирака. Дифференциальные операторы, определяемые нелокальными краевыми условиями возникают, например, при изучении процессов диффузии в химической кинетике [57]. Интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (А.Л.Скубачевский [52], В. В. Власов [16], Л. С. Пулькина [45], Ю. Т. Сильченко [51]).

Изучение оператора Дирака осуществлялось рядом авторов, особенно отметим статью Джакова П, Митягина Б. С. [32]. В ней, в' частности, был приведен ряд общих спектральных свойств оператора Дирака и приведена подробная библиография. Исследования проводились (см. более ранние работы [43],[67]) с привлечением обычных методов теории возмущений [35] (резольвентный метод), а также с использованием матричного представления операторов. В частности, в [32] получены локализационные теоремы (теорема 17 для спектра и теорема 18, предложение 19, для проекторов Рисса). В предложении 20 получено утверждение о сходимости спектральных разложений для функции из L2 ([057г]) С2) п0 системе спектральных проекторов.

При попытке исследования оператора Дирака общими методами теории возмущений [1],[20],[35],[42][58] возникает несколько затруднений, связанных с наличием таких свойств как: a) расстояние между собственными значениями невозмущенного оператора L°dir не уходит в бесконечностьb) возмущение (оператор умножения на потенциал v) не является ограниченным оператором. I.

В данной работе для исследования спектральных рвойств оператора Дирака используется метод подобных операторов [5]- [/], т. е. построение преобразования подобия исследуемого (возмущенного) оператора в оператор, спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам невозмущенного оператора (в данном случае свободного оператора Тем самым существенно упрощается изучение исследуемого оператора Ь<�ьг.

Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, основанный на представлении проекторов Рисса возмущеных операторов с помощью интегральной формулы Коши (см. [21]). Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения данного метода. В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [2] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [19], абстрактным вариантом замены Крылова — Боголюбова [5], [13]. Основная идея, метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора, А — В к другому, подобному ему оператору, А — Вогде Во имеет несложную по отношению к, А структуру. Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К. О. [55] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [69] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе иевозмущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А. Г. Баскакова [5] и его учеников, который стал использовать технику абстрактного.

7 I гармонического анализа линейных операторов.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Получены оценки собственных значений и спектральных проекторов для одного класса дифференциальных оператора с нелокальными краевыми условиями ;

2. Установлено подобие оператора Дирака оператору, матрица которого имеет блочно-диагональный вид;

3. Доказана спектральность по Данфорду оператора Дирака;

4. Получены оценки собственных значений и проекторов Рисса для оператора Дирака;

5. Получена формула регуляризованных следов для оператора Дирака.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации докладывались на конференции «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна» (г. Воронеж, 2008 г.), «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна» (г. Воронеж, 2010 г.) «Воронежская весенняя математическая школа Понтрягипские чтения» (г. Воронеж, 2010 г.) на «21 Крымской осенней математической школе-симпозиуме» (г. Севастополь, 2010 г.), и на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22]-[31].

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется двойная нумерация теорем, лемм, следствий, замечаний, определений и формул. Причем первая цифра означает номер главы, вторая — порядковый номер теоремы, леммы и т. д. в данной главе.

В первой главе диссертации приводятся основные понятия, определения и теоремы из метода подобных операторов, приспособленные к исследуемым во второй главе оператору Дирака.

Далее используется следующее важные определения и теоремы.

Пусть X — комплексное банахово пространство, Епс1Х — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.

Определение 1.1. Два линейных оператора: С X —> X, = 1,2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор и е ЕпЛХ такой, что иО (А2) = 0(А) и А11х = V А2х, х е В{А2). Оператор II называется оператором преобразования оператора Ах в А2.

Сформулированное определение симметрично относительно порядка рассматриваемых операторов, т. е. является оператором преобразования А2 в А. Подобные операторы обладают рядом одинаковых спектральных свойств. Наиболее важные отображены в следующей лемме .

Лемма 1.1. Пусть А{: -С>(Д-) С X X, г = 1,2,—два подобных оператора, и II € Епс1 X — оператор преобразования оператора, А в оператор А2. Тогда справедливы следующие свойства.

1) а{Аг) = <�г{А2), сгл{А1) = сга (А2), ас (Аг) = <7с (А2),.

7 г (Ах) = сгг (А2), где а (Аг), (тс (А{), ог (А), г = 1,2, —спектр, дискретный, непрерывный и остаточный спектры операторов А{, I — 1,2, соответственно;

2) если оператор допускает разложение A.

P=UPU~.

3) если eg — собственный вектор для оператора А2, отвечающий собственному значению Ло, то вектор Ve о является собственным вектором оператора Ai, отвечающим тому же собственному значению Ло оператора А.

Символом ?а (Х) обозначим банахово пространство операторов, действующих в X и подчиненных оператору А, т. е. линейный оператор В: D (B) С X —" X принадлежит? а (Х), если D (B) Э D (A) и конечна величина \В\А = inf{C > 0: \Вх\ < С (\х\ + \Ах\), х в D (A)}, принимаемая за норму в? а (Х) то есть.

В|| = Ij^iU = inf С.

Далее будет рассматриваться трансформатор (т.е. линейный оператор в пространстве линейных операторовтерминология М.Г. Крейна) ad, а D (adA) С EndX -> EndX adAX = АХ — XA, X е D{adA) с областью определения D (adA), состоящей из операторов X € EndX, обладающих свойствами:

1) XD (A) С D{A).

2) оператор АХ — XA: D (A) —> X допускает ограниченное расширение Y на X (и'полагается adAX = К).

Важнейшим понятием метода подобных операторов является понятие допустимой тройки [5]-[7].

Определение 1.3. Пусть Я —линейное подпространство из? А{Х) и.

J: Я->11, Г: il-^EndX являются трансформаторами. Тройку (Я, J, Г) назовем допустимой тройкой для (невозмущенного) оператора А, а Я — допустимым пространством возмущений, если выполнены следующие условия:

1) IX — банахово пространство (со своей нормой || • ||*), непрерывно вложенное в? А (Х) (т.е. существует постоянная С > 0 такая, что Ц-^Цл < С||Х||*, для любого X е Я);

2) J и Г — непрерывные трансформаторы, причем J — проектор;

3) (ГХ)1}(А) с D (А). Более того, ГХ € D (adA), причем adAГХ = АГХ — (ГХ)А — X — JX /Х? Я. Кроме того, ТХ Е End X — единственное решение уравнения adAY — AY — YA = X — JX, удовлетворяющее условию JY — 0;

4) XTY, (ГХ)У G Я, УХ, Y eil, и существует постоянная 7 > 0 такая, что.

Г|| < т, max{\XFYU, ||(ГХ)У||*} < тИММк.

5) для любого X € Я и любого е > 0 существует число Ае G р{А), такое, что — Л£/)1|| < е.

Теорема 1.1. Пусть (Я, <7, Г) — допустимая для оператора, А: D (A) с X —" X тройка, и В — некоторый оператор из пространства допустимых для, А возмущений П. Тогда если выполнено неравенство.

1И11|я||.||гц < то оператор, А — В подобен оператору, А — JX, где оператор X g IX является решением (нелинейного) уравнения.

X = ВГХ — (rX)(JB) — (TX)J (BTX) +В = Ф (Х), которое можно найти методом простых итераций, полагая с Хо = О, Xi = В, и т. д. (оператор Ф: il —> il является сжимающим в шаре {X 6 it: ||Х — ВII < 3||Б||}). Преобразование подобия оператора, А — В в оператор, А — JX осуществляет оператор I 4- ГХ G End X.

Пусть Л — линейный дифференциальный оператор действующего в L?2 — ?2(0,1), задаваемый областью определения.

Ах = ix, D (A) = {х е W}(0,1): ж (0) = ж (1) + i a (s)x (s)ds},.

J о.

А: D (A) С L2(0,1) ?2(0,1), где функция, а принадлежит гильбертову пространству L2 = 0,1), измеримых и суммируемых с квадратом модуля комплексных функций, определенных на отрезке [0,1].

Лемма 1.2. Оператор, А замкнут и его область определения D{A) плотна в ?2(0,1).

Теорема 1.4. Спектр оператора, А представим в виде двусторонний последовательности чисел {An, п g Z}, для которой выполнено свойство.

У^ |А&bdquo- — 27гп|2 < оо. nez.

Через Рп, Рп, п g Z обозначены проекторы Рисса, отвечающие, соответственно, собственному значению 2ттп невозмущенного оператора, А и собственному значению Ап оператора, А = А — В.

Теорема 1.5. Для систем проекторов {Рп, Рп, п G Z} имеет место свойство.

Ys\Pn-Pn\2 <00. nez.

Таким образом, система проекторов {Рп} является квадратично близкой к системе проекторов {Рп}.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию спектральных свойств оператора Дирака.

Пусть L2 ([0,7г], С2) = L2[0,7г] х ½[0,7г] - гильбертово пространство измеримых на [0, тг] со значениями в С2 функций х = (х, х2) •' [0,тг] —> С2, для которых конечна величина.

Г (Ыт2 + Х2Ш2)^ = \х\.

J0.

Скалярное произведение в Ь2 ([0,7г], С2) определяется формулой.

1 Г — 1 Г х, у) = - xi{T)yiir)dr + - / x2{r)y2®dr, тг Jo к J0 где ж = Оь х2), у = (yi, ?/2) € Ь2 ([0, тг], С2) .

Через VT¹ ([0,7г], С2) обозначим пространство Соболева {у G Ь2 ([0, 7г], С2): у абсолютно непрерывна и у' € Ь2 ([0,тг], С2)} со скалярным произведением < х, у >= (х, у) 4- (x', yr), х^у G W}(10,тг], С2).

Рассматривается оператор Дирака.

Айг: С L2 ([0, тг], С2) — La ([0, тг], С2).

Л 0 Ф ч.

LdirV = г I 1)~dt~Vy' у € D (Ldir)> где г*, тг], Р, Q G I/2[0,7г]. Область определения.

D (L (hr) определяется краевым условий Дирихле:

В{ЬЛгг) = {уе ¥-2г ([0,тг], С2: 2/1(0) = у2(= ЗйМ)}, соответствующий оператор будут обозначаться через Ь (ЦГ¦ Если V = О (нулевой потенциал), то используется запись Ь°й1г. Оператор Ь®1г будет называться свободным оператором Дирака. Он, как правило, при изучении оператора будет играть роль невозмущенного оператора, а оператор умножения на потенциал v — возмущения. Особо отметим, что не делаются ограничения на V, гарантирующие самосопряженность возмущения (см. [43]), и какие-либо дополнительные ограничения (типа гладкости), кроме условия V? Ь2 ([0,тг], С2).

Оператор является самосопряженным с дискретным спектром: сг (1/^г) = Ъ, каждое собственное значение простое и соответствующая нормированная собственная функция имеет вид 5П = + еп)-> гДе г € [о, 7г], лп =.

Спектральные проеторы Рк, к € 2 имеют вид Рп = (х, еп) еп. Всюду в дальнейшем 7{ = ^([0, тг]. Трансформаторы 3, Г: имеют вид.

2тг.

ЗХ)х = [ Т{Ь)ХТ{-Ь)х <11, X е х е П (А),.

27 г У.

2тг.

ГХ)х = 77- / f{t)T (t)XT{-t)xdt, X € D (A),.

27 Г J о где Т: Ш —> EndTi — группы изометрий, заданная формулой T (t)x = Xmez eintPn%: х i периодическая периода 27 г функция вида /(i) = i (t — 7г), t 6 [0,27г).

Так как возмущение В может не принадлежать Я, то делается предварительное преобразование подобия оператора, А — В в оператор вида, А — В где В € 11. Такое преобразование возможно в условиях следующего предположения.

Предположение 1.1. Операторы ТВ, J В, В удовлетворяют следующим условиям: a) ТВ? End X и \ТВ\ <1- b) (TB)D (A) С D (A) — c) ВТ В, (ТВ) J В е Иd) А (ТВ)х — (ТВ)Ах = Вх — (JB)x, re <= D (A)e) для любого е > 0 существует число Аг Е р (А), такое, что \В (А — vr’iK*.

Теорема 1.2. При выполнении предположения 1.1 оператор, А — В подобен оператору, А — JB — В0: где В0 = (I + ТВ)-1 (ВТ В — (ТВ) J В), причем имеет место равенство.

АВ)(1-Ь ТВ) = (I + ТВ)(АJBB0)t где / — тождественный оператор.

Рассмотрим последовательности трансформаторов (Jm), (Гт), га Е N (J{0} = определяемые равенствами:

JmX = P (m)XP (m) + PkXPk = J (X — P (m)XP (m)) + P (m)XP (m), fc|>m+l.

ГтХ = T (X — F (m)JIP (m)), X e? a (H), где P (m) = рк> k.

В условиях следующей теоремы рассматриваются операторы «Д-В, -ВГ/bS, (TkB)(JkB), В, допускающие ограниченное расширение до операторов Гильберта-Шмидта из ©-2(-^2,тг) — Отметим, что /гт&>оо||Г&#||2 = 0.

Теорема 2.4. Если число к € таково, что ЦГ^БЦг < 1, (т.е. оператор I + Г^Б обратим), то оператор Ldir = А — В, где, А = L°dir, В — оператор умножения на v, подобен оператору.

Ldir = Ldir — Б, где.

B = JkB + (I + ГкВ)-ВГкВ — (TkB)JkB), причем имеет место равенство.

Л — B)(I + ТкВ) = (I + гкВ)(А — В).

Оператор Б представим в виде.

В = JB + ВТ В — (TB)JB + С <= 62(L2j7r), где оператор С принадлежит идеалу (c)i (I/2)7r) ядерных операторов, определенных на ½?7Г.

Приводимые далее результаты основаны на Теореме 2.5, в которой оператор, А — В = L°dir — В преобразуется в оператор блочно-диагонального вида.

Теорема 2.6. Существует число т Е такое, что спектр оператора Ldir представим в виде.

Ldir) = ^(m) U I U Сп I, п|>ш+1 / где сг (т) — конечное множество (с числом точек не превосходящим 2т+ 1), а множества ап, п > т + 1, одноточечны, сгп = {An}, п > m + 1, причем.

6>2.

An = ?г — 02п — У^ J+?lL? |n|> 771+1, z—' 7 je ъ J m где (?n), |п| >ш + 1, — абсолютно сходящаяся последовательность. Пусть Pm, qm — коэффициенты Фурье функций Р и Q, т. е.

Р (х) = Y, Prn^2mxMx) = Y, qmei2mx. m€Z те Z.

Матричные элементы оператора В (возмущения у) представим в виде: Ьщ = п, 3 ^ где-то есть матрица оператора В является ганкелевой.

Определение 2.2 Пусть, А: В (А) С Л, —> И — линейный оператор, спектр которого представим в виде объединения взаимно непересекающихся компактных множеств сгк, к Е ЛГ. Пусть Р-. -проектор Рисса, построенный по множеству, а кОператор, А называется спектральным относительно разложения (2.22) (или обобщенным спектральным) если ряд ^ РкХ безусловно сходится для любого вектора.

Если сгк = {А/-}, к? Л, одноточечные множества, и проекторы Рк? I обладают свойством АРк = АкРк для всех к Е 1, исключая конечное число, то спектральный относительно разложения (2.22) оператор, А является спектральным (по Данфордусм. [20]) оператором, причем, А — спектральный оператор скалярного типа, если АРк = ХкРк, к Е Л.

Теорема 2.7. Существует число т? Z+ такое, что оператор Ь (цг спектрален по Данфорду относительно разложения из теоремы 2.6.

Пусть Рп, |п| > т + 1, — спектральные проекторы Рисса, построенные по множествам сгп, |п| > т + 1 для оператора участвующем в разложении из теоремы 2.6. п Е 2Z, {рм + Qn±i), n? l + 2Z, а.

А) = Ijcrfc, Je{N, Z} (2.22) хеН.

Теорема 2.8. Существует такое число т € что ||Рк — к>т+1.

Рк? < оо.

Теорема 2.10. Для несамосопряженного оператора Дирака с краевыми условиями Дирихле, справедлива следующая формула регулязированных следов к&г, кф 0.

Следствие 2.2 Если ряд абсолютно сходится, то для регуляризованного следа несамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле справедлива формула :

1. Агранович М. С. Спектральные свойства задач дифракции./ В кн.: Войтович Ы. Ы., Кацелембаум Б. З. Сивов А.Ы./М.С. Агранович // Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. -М.: Наука, 1977. — С.289−416.

2. Арнольд В. И. Малые знаменатели. I. Об отображении окружности на себя / В. И. Арнольд // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. — Т.25, вып. I. — С.21−86.

3. Архипов Г. И. Лекции по математическому анализу /Г.И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубарников // Москва <Высшая школа> 1999. 345 с.

4. Ахиезер Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. // М. :Наука, 1966. -543 с.

5. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов./ А. Г. Баскаков // Воронеж: изд-во Воронежского государственного университета, 1987. 165с.

6. Баскаков А. Г. Теория о расщеплении оператора и некоторые, смежные вопросы аналитической теории возмущений./А. Г. Баскаков // Известия АН СССР. сер. матем. 1986. — Т.50.т.

7. Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущённых неквазианалитических и спектральных операторов./А.Г. Баскаков // Известия РАЫ.сер.матем. 1994. — Т.58. — № 4. — С.3−32.

8. Баскаков А. Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений./А.Г. Баскаков / / Дифференциальные уравнения, 2003, т39,№ 3- С.413−415.

9. Баскаков А. Г. Метод подобных операторов и формулы и ре-гуляризованных следов / А. Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. ма.тем.- 1984. № 3. — С.3−12.

10. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа оператора в теории возмущений линейных операторов/ А.Г. Баскаков// Сибирский математический журнал 1983 — Т.24, № 1- С.21−39.

11. Баскаков А. Г. Спектральный анализ относительно конечномерных возмущений спектральных операторов/ А. Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1991. № 1. — С.3−11.

12. Баскаков А. Г. Спектральные свойства дифференциального оператора с неограниченным оператором / А. Г. Баскаков // Дифф. уравнения. 1991. — Т.27, № 1. — С.2162- 2164.

13. Баскаков А. Г. Замена Крылова-Боголюбова в теории нелинейных возмущений линейных операторов / А. Г. Баскаков. // Препринт80 -19. Киев, 1981.

14. Бирман М. Ш. Яфаев Д.Р. Функция спектрального сдвига. Работы М. Г. Крейна и их дальнейшее развитие / М. Ш. Бирман Д.Р. Яфаев // Алгебра и анализ, 4:5 (1922) С. 1−44.

15. Бугров Я. С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский.// Ростов-на Дону: Феникс. 1998. -512 с.

16. Власов В. В. О некоторых спекральных вопросах, возникающих «в теории дифференциально-разностных операторов / В. В. Власов // Успехи матем. наук. 1998. — Т. 53, № 4. — С. 217−218.

17. Гохберг И. Ц.

Введение

в теорию несамосопряженных линейных операторов./ И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн // М.: Наука, 1965. 448 с.

18. Туровская М. С. Метод подобных операторов в спектральном анализе одного класса дифференциальных операторов / М. С. Туровская // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2003, № 1. — С.59- 62.

19. Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве./Ю.Л. Далецкий, М. Г. Крейн // М.:1970. 346 с.

20. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральные операторы. Т III./H. Данфорд Дж.Т. Шварц // М.: Мир, 1974. 661с.

21. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория. T.I. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц — М.: ИЛ. — 1962 — 657с.

22. Дербушев A.B. Спектральные свойства одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевым условием // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж: ВГУ-2007 т.- С.143−147.

23. Дербушев A.B. Спектральные свойства классов дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с потенциаломс нелокальным краевым условием // Труды математического факультета. Воронеж: ВГУ.- 2007 .- № 11. С.77−87.

24. Дербушев A.B. Спектральные свойства одного класса дифференциальных операторов с нелокальным краевым условием // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2008. Тезисы докладов.- Воронеж: ВГУ.- 2008, — С.48−49.

25. Дербушев A.B. Приложения к исследованию дифференциальных операторов с потенциалом с нелокальным краевым условием // Труды Воронежской зимней математической школы. С. Г. Крейна 2008. Воронеж: ВГУ.- 2008. С.110−113.

26. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе иесамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле // Воронежская зимняя математиче-ская школа С. Г. Крейна. Тезисы докладов Воронеж: ВГУ.- 2010. С.51−52.

27. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле / / Воронежская весенняя математическая школа." Понтрягинские чтения XXI" .- Воронеж: ВГУ.- 2010.-С.79−80.

28. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле// Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж: ВГУ.- 2010. № 2. С.61−72.

29. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с краевым условием Дирихле // Сборник тезисов. КРОМШ-2010: Таврический национальный университет.- 2010 г.- С. 15−16.

30. Дербушев A.B. Исследование оператора Дирака с краевыми условиями Дирихле. Формулы регуляризованных следов. // Вестник факультета ПММ. Воронеж: ВГУ.- 2010, — С.176−203.

31. Дербушев A.B. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом / Баскаков А. Г. Дербушев A.B. Щербаков А. О. // Известия Российской Академии Наук .сер.матем.- 2011 Т.75. — № 3 — С.3−28.

32. Джаков П. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака./П. Джаков, B.C. Митягин // УМЫ. 2006. — Т.61. — № 4. — С.77−182.

33. Зигмунд А. Тригонометрические ряды /А. Зигмунд // Издательство «Мир Москва 1965. Т.1 616 с.

34. Иосида К. Функциональный анализ. / К. Иоеида.// М.: Мир, 1967. -624 с.

35. Теория возмущений линейных оператров. /Т. Като // М.:Мир, 1972. 740с.

36. Кахан Ж. П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье/ Ж. П. Кахан. М.: Мир, 1976. — 204 с.

37. Колмогоров А. Ы. Элементы теории функций и функционального анализа./А.Н. Колмогоров C.B. Фомин // -Москва 1976. 544 с.

38. Крейн М. Г. О формулах следов в теории возмущений/М.Г. Крейн// Матем.сб., 33(75):3 1953. С 597−626.

39. Либ Э. Анализ / Э. Либ, М. Лосс. // Новосибирск. :Научная книга.- 1998. 258 с.

40. Левитан Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б. М. Левитан, И. О. Саргсян.// М.: Наука, 1988. — 475с.

41. Лифшиц И. М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статистикой/И.М. Лифшиц // УМН б 7:1 (1952) — С.171−180.

42. Маркус A.C., Мацаев В. И. О сходимости разложений по собственным вектором оператора, близкого к самосопряжённому./А.С. Маркус, В. И. Мацаев // В сб. Мат. исслед. Линейные операторы и интегральные уравнения. Кишинёв, 1981. — С.104−129.

43. Митягин B.C. Сходимость разложенный по собственным функциям оператора Дирака./Б.С. Митягин // Докл. РАН. Т.393. — № 4. -С.456−459.

44. Ыаймарк М. А. Линейные дифференциалные операторы / М. А. Ыаймарк. М.: Наука. 1969. -528 с.

45. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными уеловиями для квазилинейного гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Матем. заметки. 2001. — Т.70, № 1. — С. 88−95.

46. Пыркова М. С. Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов и некоторых классов дифференциальных операторов/М.С. Пыркова // диссертация канд. физ. мат. наук /М.С. Пыркова 110 с.

47. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин // М: Мир. 1975.-245с.

48. Садовничий В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий // Москва.: Высшая школа, 1999 -367с.

49. Садовничий В. А. Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов/ В. А. Садовничий, В. А. Любишкин // Дифференц.уравнения. 1982, Т. 18, N1. С 109−116.

50. Садовничий В. А. Подольский В.Е. Следы операторов /В.А. Садовничий, В. Е. Подольский // Москва.: Успехи математических наук, 2006, Т.61.вып.5(371)-С.89−156.

51. Сильченко Ю. Т. Резольвента оператора дифференцирования второго порядка с параметром в нелокальных условиях. / Ю. Т. Сильченко // Труды математического факультета ВГУ. 2005. -Т.9. — С.51−56.

52. Скубачевский А. Л. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в ½(0- 1) / А. Л. Скубачевский, Г. М. Стеблов // Докл. АН СССР. 1991. — Т.321, № 6. — С. 1158−1163.

53. Томин Н. Г. О регуляризованных следах операторов с ядерной резольвентой/Н.Г. Томин// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам/Тезисы докладов.Владимир.2000; С. 189−190.

54. Ускова Н. Б. Метод подобных операторов в проблеме собственных значений и собственных векторов линейных операторов: дисс. канд. физ.- мат. наук / Н. Б. Ускова.// Воронеж, 1994. -131 с.

55. Фридрихе К. О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К. О. Фридрихе.// М.: Мир, 1969. 232 с.

56. Яфаев Д. Р. Математическая теория рассеяния/ Д. Р. Яфаев //изд. Санкт-Петербургского университета, СПб., 1944; 345с.

57. Cardanobile S. Semigroup methods for population equation with delayed birth process / S. Cardanobile, G. Fragnelli, E. Galdino, K. Leicht, L. Scardia // final Workshop of the 6th TULKA Internet Seminar. -2003. 46.p.

58. Markus A.S. Intruduction to Spectral Theory of Polynomial Opera-tor.//Pensil, Transl. Math. Monographs. Vol.71. — Amer.Math.Soc. Providence R.I. — 1988. — 312 p.

59. Cross R. Moltivalued Linear Operators / R. Cross // New York: M. Dekker, 1998. 421p.

60. Cardanobile S. Semigroup methods for population equation with delayed birth process / S. Cardanobile, G. Fragnelli, E. Galdino, K. Leicht, L. Scardia // final Workshop of the 6th TULKA Internet Seminar. -2003. 46.p.

61. Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favi-ni, A. Yaggi // New York: M. Dekker. 1998. 251.p.

62. Herz C. S. The spectral theory of bounded functionen / C. S. Herz // Trans. Am. Math. Soc.- 1960. 94. — P.181−232.

63. Huang S.-Z. Spectral theory for non-quasianalytic representation of locally compact Abelian groups / S.-Z. Huang.- Ph.D. Thesis, 1995.

64. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Marinus A.Kaashoek. Classes of Linear Operators Vol.1. Birkhauser Verlag Basel Boston /Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Marinus A. Kaashoek // Berlin. 1990 468.p.

65. Loornis L. H. Spectral characterezation of almost periodic functions / L. H. Loomis // Ann. Math. 1960. — 72. — 2.-P.362−368.