Когомологии дополнений к наборам координатных подпространств и интегральные представления голоморфных функций

Топология наборов координатных подпространств представляет интерес в различных областях математики: в торической и комбинаторной топологии |5, 7|, в теории торических многообразий, где дополнения к наборам координатных подпространств выступают в роли пространств однородных координат для таких многообразий [16, 17], в теории интегральных представлений голоморфных функций и вычетов в многомерном комплексном анализе, где наборы координатных подпространств выступают в роли сингулярных множеств ядер интегральных представлений [1, 21].

В книге Горески и Макферсона [19] (см. также |8]) был разработан универсальный комбинаторный метод вычисления когомологий для дополнений к произвольным наборам плоскостей, однако этот метод трудно применим для реализации явных конструкций базисных элементов когомологий и часто ведет к довольно громоздким вычислениям. Исследования в области торической топологии, в частности работы Бухштабера и Панова и других авторов [2, 3, 5, б, 7] позволили найти методы вычисления групп когомологий дополнений к координатным, наборам комплексных подпространств, которые в ряде случа. ев проще универсальных методов и позволяют получать некоторую дополнительную информацию. Надо заметить, что топологии дополнении к координатным наборам вещественных подпространств было уделено меньше внимания.

Теория многомерных вычетов, также как и теория интегральных представлений голоморфных функций, основана па некоторых модельных дифференциальных формах и двойственных контурах (циклах) интегрирования [1, 21]. Исторически, первыми были многомерное ядро и интегральное представление Коши, доказанное Пуанкаре в 1887 году, а также ядро и интегральное представление Бохнера-Мартинелли, доказанное в 1938, 1943 годах. Эти интегральные представления явились эталонными, из них впоследствии на основе гомологических и когомологических процедур был построен ряд других интегральных представлений. Цих [23] в 1999 году предложил стратегию построения вычетов для ядер с сингулярностями на наборах координатных плоскостей. Идея заметки [23] получила развитие в более поздних статьях [11] и [21]. Для решения названных выше задач многомерного комплексного анализа важным является изучение топологии дополнений к наборам координатных плоскостей, в частности, изучение групп гомологий и когомологий дополнений к таким наборам.

Задача построения ядер интегральных представлений голоморфных функций также связана с вычислением фильтрации Ходжа на когомо-логиях. Фильтрация Ходжа — это одно из основных понятий теории Ходжа [9, 20]. Для компактных кэлеровых многообразий, в частности, для проективных многообразий теория Ходжа [9, 20] позволяет напрямую связать аналитические свойства пространства, выраженные его когомо-логиями Дольбо, с топологическим свойствами, выраженными когомо-логиями де Ра.ма. Особенную эффективность и завершенность теория Ходжа, получила, для компактных кэлеровых многообразий. Для некомпактных многообразий эта связь устроена сложнее и изучена мало.

Для приложений в комплексном анализе, в частности, в теории многомерных вычетов, полезной оказывается двойственность Александера-Поитрягииа [1|, [4], [13|. На практике она позволяет заменять в интегралах от замкнутых форм циклы на, гомологичные им циклы, по которым интеграл вычисляется проще. Поэтому явное описание двойственности Александера-Понрягина представляет определённый интерес для аналитических приложений.

Целью работы является: изучение когомологий дополнений к наборам координатных подпространств (как комплексных, так и вещественных), а именно, вычисление кольца когомологий дополнения к набору вещественных координатных подпространств, явное описание двойственности Александера-Понтрягина, а. также вычисление фильтрации Ходжа на дополнении к набору комплексных координатных подпространств и построение ядер интегральных представлений голоморфных функций.

В работе используются методы алгебраической топологии, комплексной алгебраической геометрии и многомерного комплексного анализа.

Основные результаты.

• Вычислено кольцо когомологий дополнения к набору вещественных координатных подпространств в Построен изоморфизм между группой когомологий для дополнения к набору вещественных координатных подпространств и группой когомологий дополнения к комплексифика. ции этого набора (Теоремы 2.3 и 2.4).

• Получена конструктивная реализация двойственности Александера-Понтрягина для дополнений к наборам вещественных и комплексных координатных подпространств (Теоремы 2.2 и 2.5).

• Вычислена фильтрация Ходжа на дополнении к набору комплексных координатных подпространств (Теорема 3.1).

• Доказана теорема существования интегральных представлений голоморфных функций в поликруге, ядра которых имеют сингулярности на заданном наборе комплексных координатных плоскостей (Теорема 3.2).

• Построен явный базис в группах сингулярных гомологий и когомо-логий де Рама для дополнений к набору комплексных координатных подпространств, заданных многоугольником (Теорема 4.2).

Содержание работы.

Первая глава является вспомогательной и содержит различные математические конструкции, факты и теоремы, которые используются в основной части работы. Глава состоит из четырёх разделов. В первом разделе собраны различные факты из алгебраической топологии: описаны конструкция двойного комплекса и различные теоремы, касающиеся их когомологий. дано определение индекса пресечения и коэффициента зацепления, сформулирована теорема двойственности Александера-Понтрягина, описана конструкция умножения в когомологиях клеточного комплекса. Во втором разделе собраны основные факты из торической топологии и топологии дополнений к наборам координатных плоскостей: дано описание набора координатных плоскостей 2 в терминах комбина.-торикм симплициального комплекса /С, определен момент-угол комплекс и алгебра его клеточных коцепей, сформулирована теорема о том, что кольцо когомологий С'1 изоморфно кольцу когомологий Як. В третьем разделе собраны факты из комплексной геометрии и дифференциальной топологии: даётся определение двойного комплекса Чеха-де.

Рама, фильтрации Ходжа на когомологиях комплексного многообразия и конструкция резольвенты цикла. В четвертом разделе собраны основные известные факты об интегральных представлениях Коши, Бохнера-Мартинелли и др.

Вторая глава посвящена когомологиям дополнений к наборам координатных подпространств в С" и Мп. Сформулируем результаты первого раздела второй главы и необходимые для их формулировки факты из первой главы.

Зафиксируем множество [п] = {1,., п}. Пусть /С есть симплици-альный комплекс на множестве вершин [тт.], т. е. вершинами симплексов из /С служат элементы из [п]. Пусть дано некоторое подмножество, а = {{],., ц} С [п], будем писать, а € /С, если (д — 1)-мерный симплекс натянутый на вершины {¿-ь. ., ?,(у} лежит /С, в случае когда симплекс па вершинах {?1,., г9} не лежит в /С, будем писать о ^ /С. Любой набор комплексных координатных подпространств в С’г может быть задан с помощью подходящего спмплициального комплекса /С на множестве вершин [п]. А именно, рассмотрим конфигурацию плоскостей где для, а = {гь. ., гт} С [п.

К = {г е С": = г||П = 0}.

В нашем исследовании важную роль будет играть следующее понятие.

Определение. Кольцом, Стенли-Райснера (или кольцом граней) спмплициального комплекса 1С па мноэюестве [/?] называется факторкольцо.

ЦК ] = Щиъ., упух^ где Т/с ~ однородный идеал, порожденный мономами ит — П? ет для которых т ^ 1С.

В терминах кольца, Z[/C] Бухштабер и Панов [7] (см. также Теорему 1.5) доказали, что имеет место изоморфизм колец когомологий где Як, — есть дифференциальная градуированная алгебра.

Як: — к{иъ.Л1п]®Ъ{К]и.

Здесь. г] — внешняя алгебра, — кольцом Стенли-Ра, иснера, 3 — подходящий идеал, (точное определение см. в разделе 1.2).

Мы начинаем раздел 2.1 с того, что строим аналог двойного комплекса Чеха-де Рама для алгебры Як-. В разделе 3.1 этот комплекс связывается с комплексом Чеха,-де Рама для подходящего покрытия С" Этот комплекс весьма схож с тем. который использовался в работе Данилова [10, параграф 12] для вычисления когомологий произвольного торического многообразия.

Также в разделе 2.1 строится явная конструкция для двойственности Александера.-Понтрягина в терминах когомологий алгебры Я/с. Разобьем С" ' на клетки вида.

Ми := {г е С": 2 г € М<0, г е I, = 0, ] е 3, гк еСЕ<0, к I и 3}, сопоставленных парам подмножеств I. 3 С [п], I П 3 = 0.

Обозначим через замыкание Zкв одноточечной (сферической) компактификацпи 52п = С’г и {оо}. Зададим линейное отображение р: Ric —> C*(S2n, Zfc), определённое на образующих R^ следующим образом: p{ujvj) := ±-Ми, знак ± определяется из комбинаторики / и J, точное определение дано в разделе 2.1.

Теорема 2.2. Отображение dp: HS (R>с) —> Н2П-ь-{%к) корректно определено и является из ом, орфизмом двойственности Александера-Понтрягина.

Пусть Р С Мш — m-мерный простой многогранник, F-,.. , Fn — его гиперграни. Будем использовать обозначения з e. i jeJ где ^ KIполагаем i7^ = Р. Сопоставим многограннику Р симплици-альный комплекс /С (Р), состоящий из всех симплексов / С [п] таких, что F1 ф 0. Справедливо следующее.

Предложение 2.1. Имеют место следующие из ом, орфизмы:

Я* (С" ZK (p)) — 0 H*~W{P, Fv),.

VC[n].

H,(C"ZK{F])= 0 Hs{vl (P, Fv).

VC ["].

Во втором разделе второй главы рассматриваются когомологии дополнений к вещественным наборам подпространств. Как и в комплексном случае, любой набор вещественных координатных подпространств может быть задан при помощи подходящего симплицпального комплекса /С :

Ук. ¦= U ь°> crg/C где для, а = {гь. .., г.,&bdquo-} С [п].

Ьа = {х е Мп: х{1 = ¦¦¦ = х1т = 0}.

Рассмотрим дифференциальную градуированную алгебру, порождённую как свободный Ж-модуль элементами а>]Ьи:1, 3 С [тф/П 3 = 0, мы полагаем а.060 = 1. Степень элементов равна degarbJ = 3, дифференциал выражается суммой, а умножение определено следующим образом если 3 П 3' = 0, /' П 3 = 0 а/0.7 ¦ = <

0: если 3 П 3' Ф 0 или ГПЗ ^ 0.

Рассмотрим дифференциальную градуированную подалгебру J? c алгебры С}', аддитивно порожденную элементами а/6. такими, что множество 3 не образует симплекса в комплексе /С. Алгебра, Jj (i является идеалом С/. Введем фактора л гебр.у.

Я 1С = Я’и К,¦

Теорема 2.3. Имеет место изоморфизм, колец когомолоаий.

МП Ук) =.

Определим подгруппу С}кр'м в Ср, как аддитивную группу с образующими а/бл такими, что 1 = = Я V• Имеет место разложение = 0 д-р=в.

Группы образуют подкомплекс в комплексе <5д) '¦ А, д-Р-1-? А, д-м д-Р+1.9 .

Следовательно, когомологии Н*(С}к-) раскладываются в прямую сумму.

— Р+Ч=N где Н~рл,{С}]с) есть когомологии комплекса,.

Оказывается, имеется не сохраняющий градуировку и умножение изоморфизм между Н*(11к) и Н*(С>1с), и, соответственно, изоморфизм между Н*(С" ' Z? c) и Я~*(МП Ук). Зададим линейное отображение /л •' —> по формуле хде знак ±, определен исходя из комбинаторики /.,/.

Теорема 2.4. Отобраглсение /л устанавливает, изоморфизм между цепными комплексами • ¦ д-р-1"' ., и.

6К-. г>-р-1−2</ ¿-я, п-Р, 2ц <5 я, о-р+1,2г/ ¿-я.

• • • > /С ' ' ' ' и как следствие /.а индуцирует изоморфизмы и н*ш= 0 н-^шй 0 = р>0,д>0 р>0.д>0.

Для простого т—мерного многогранника Р с множеством гиперграней Г,. имеем.

Предложение 2.3. Имеет место следующий изоморфизм.

УС[п].

Аналогично комплексному случаю мы описываем двойственность Александера-Понтрягина в терминах алгебры (^¡-с. Разобьем Мп на клетки вида.

С/+У-.У := {.г € М": х, е Ж>(). г е 1 + • хк € М<0, к € zJ = 0, э е 3], здесь /+, /", 3 С [я] /+ П /" = /+ П 3 = Г П 3 = 0, /+ и Г и 3 = [га]. Добавляя к данному клеточному разбиению одну 0-мерную клетку {оо}, получаем клеточное разбиение сферы = Ж, г и {оо}.

Определим линейное отображение па образующих следующим образом: c/Kar&j) := ^ ±G,.

— J.

D7 /- = [7г](/ + и, У).

Будем обозначать дц>{и) — границу </?(и-) в сферической компактифика-ции S'1 = R" и {оо}.

Теорема 2.5. Отображение dtp: Hs (Q/c) Hn-s-i (Y/c), корректно определено и является изоморф’азмом двойственности Александера-Понтрягина.

1 о 1 о.

В третьей главе мы вычисляем фильтрацию Ходжа на когомологи-ях дополнения к набору комплексных координатных подпространств и применяем этот результат для построения ядер интегральных представлений голоморфных функций.

В первом разделе этой главы вычисляется фильтрация Ходжа на ко-гомологиях Сп.

Обозначим Ер — пучок С^-дифференциальных форм степени р, — пучок С^-дифференциальных форм бистепени (р, д), О, 1' — пучок голоморфных форма степени р.

Определение. Убивающая фгыьтрация па комплексе де Рама {?', с1) вида р>к называется фильтрацией Ходэюа.

Фильтрация Ходжа индуцирует фильтрацию ЕкН*(Х,<�С) на когомо-логиях де Рама, а именно.

Ffctfi'(С" С) = 1 т (Щ (Ек?'(Сп ЗД) Щ (Г (Сп ЗД)), где Щ{?9{Сп гК)) и Щ[Рк?'{Сп г^)), соответственно, з-тые кого-мологии комплекса, де Рама на Сп Z/c и А—го члена его фильтрации Ходжа,.

Возьмём в качестве покрытия Сд набор Ы^ = {иа}а€К.-, где.

Ыо = сп 1){гг = 0}. г^ст.

Рассмотрим двойной голоморфный комплекс Чеха-де Рама, для этого покрытия.

С1(иц, С1р), с1,6). Определим в нём подкомплекс состоящий из коциклов ир,(> следующего вида с1г! гч = Е.

1Л=р с[п](сг0П Па&bdquo-).

Когомологии Чеха этого подкомплекса обозначим Нч{Ы)с¹{0ГТ). Тогда фильтрация Ходжа вычисляется следующим образом. Теорема 3.1. Имеют место изоморфизмы р+ц=ь р>к.

Комбинируя эти два изоморфизма, получаем,.

Также в этом разделе мы объясняем взаимосвязь между двойным комплексом для алгебры В ¡-с и двойным комплексом Чеха-де Рама для покрытия Ык.

Во втором разделе третьей главы мы занимаемся применением результатов о фильтрации Ходжа для изучения интегральных представлений голоморфных функций таких, что ядра этих представлений имеют сингулярности на наборах координатных плоскостей Обозначим и единичный поликруг в С": и = {г =. гп) € С": г, < 1, г = 1,.. ., д}. .

Заметим, что момент-угол комплекс 2^ лежит на границе ди поликруга.

Теорема 3.2. Для, любого нетривиального элемента из ЕпНь (С1 2¡-с, С) существуют представитель в виде замкнутой (п. 5 — п)-формы со и в-мерный цикл Г е С ^ с носителем в момент-угол комплексе такиечто для всякой голоморфной в окрестности 13 функции f имеет место интегральное представление.

В четвертой главе подробно рассматриваются конфигурации плоскостей, соответствующие многоугольникам. А именно, пусть Р есть п-угольник, тогда ему соответствует набор плоскостей гР = и = ^ = в С" '. Для С" Zp мы явно вычисляем базисные циклы в гомологиях, двойственные им по Александеру-Понтрягину циклы в гомологиях Z ?>, а также формы, являющиеся базисом в когомологиях де Рама для (CnZp.

Обозначим .Рп грани многоугольника Р. Всякому множеству С [п] можно однозначно сопоставить иа. бор граней Р[ = {)1еГ РгБудем говорить, что 3 С I является связной компонентой I, если pJ является связной компонентой Р[. Для любого множества 7 С [п] зафиксируем некоторую его связную компоненту и обозначим ее /у С 7. Обозначим через С/ — множество всех связных компонент 3 С 7. а через Си0 — множество всех связных компонент 3 С I. кроме /о-Рассмотрим (|7| -I- 1)-мерные циклы.

Г/ - {zг'¿- + Ы2 = 1. гч2 = 1, ^ = 1- <7 € 7 {г, к $ /}, где г, 7 € 7. Эти циклы лежат в дополнении к Z-> и они диффеоморфны 53 х (51)'7'" 2. Выберем произвольные индексы г Е 7о, 7 € 7 из соответствующих связных компонент и обозначим через Г'/ класс гомологий цикла Г'^ (мы покажем, что он корректно определен, т. е. не зависит от выбора г € /о, j € J).

Зададим следующие формы бистепени (|i|, 1) X] П zsdzqdzj+ Y, П zsdzqdz?

J ' qeJselq q€lJb€lq (2тп)т (ПкР+ П l-l2)2.

J s? l. J здесь dzj = fdz,), J С / С [п].

Теорема 4.2. Пусть 3 < s < п — 1. Тогда следующие наборы циклов и форм.

Г/}|./|=А-ыеСу v W}|/|=.s-i./eCii/0- образуют двойственные по де Раму базисы, групп Нч (С" Zp) м //s (С" Zp) соответственно, т. е.

I и] = bvl где oj! j = 1 'при J' = J и Г = 1, в остальных случаях 5f, j — 0.

В теореме 4.1 мы доказываем аналогичное утверждение для базиса группы гомологии Hs{Сп Zp) и двойственного ей по Александеру-Понтрягину базиса группы гомологий Н2П-ч-{Zp).

Основные обозначения.

В диссертации, в случае если это не указывается специально, мы рассматриваем группы когомологий и гомологпй пространства с целыми коэффициентами. В диссертации используются следующие обозначения.

• Ъ — кольцо целых чисел.

• К — поле вещественных чисел.

• М<�оК<�о, К>о, К>о, ~ подмножество вещественных чисел, соответственно, меньших, меньших или равных, больших или равных, больших нуля.

• С — поле комплексных числе.

• С* — мультипликативная подгруппа поля С, тоже самое, что С{0}.

• Т — подгруппа в С*- состоящая из г = 1, группу Т можно отождествить с окружностью 51, Т" с п-мерным тором.

• Н*(Х) — приведённые гомологии пространства. Л'.

• х{и. V) — индекс пересечения цепей и и V.

• к (и, V) — коэффициент зацепления циклов и и V.

• 1п] — {!)¦••)п} множество из п элементов.

• |/| — мощность множества I.

• (г,/) — номер элемента г. г б I. в множестве / при естественном упорядочение, т. е. пусть I = {?!.'¡->1>}-, Ч < •¦• < Ц>, тогда 7'] — перестановка вида.

1 л Л а'1 -?Р+Ч где з < • • ¦ < к = 1, 2. 3, иУ = ., У = (Л,. и/^О?.=.

7] — чётность перестановки [</, </'], 1 если [</, 7'] — чётная, —1 если — не чётная. |/|— форма вида с1гт ¿-г, аЬ.,. = —Л—-Л — где / = {?1,. .. , г-с} и ?1 < • • ¦ < г/—. йг] 1—форма вида с1гч Л • • ¦ Л с1гч. где / = {?1.. ., и-} и г1 <�¦¦¦ < гк.

С симплициальный комплекс на множестве [п].

X. И^)^ — /С-степеныо пары (X, Ж), определение 1.1.

Z|Q — набор комплексных координатных подпространств заданных комплексом /С. уравнение (12).

Д^— — момент-угол комплекс, определение 1.2. х — цепь вида х = {|г,.| < 1: г <Е а- = 1: ] е 7. г). — 1: /с ^ 7 и а}, уравнение (1.3). д: «дифференциальная биградуированная алгебра, (1.5).

R^ — биградуированная компонента бистепени (—р, 2q) алгебры Rjc.

8д — дифференциал на R/c. ujVj — элемент Rjc. urvj: и,.. .. ulq v3l.. vJp, где i = {гх.?-(/}- ?:<�¦••< ?-(/, J = {jL,. ., jv} и in J = 0,1, J C n], (полагаем — 1), уравнение (1.9).

P — простой m-мерный многогранник в IR’n, F.. FVi его гиперграни. Fj = (J3ej F. j, FJ = f|jeJ Fv где J C [n], причем F0 = P, a Fi/i = 0, уравнение (1.12).

Yic — набор вещественных координатных подпространств заданных комплексом /С, уравнение (2.6). ffiLZx- : — ([—1, 1], { — 1} U {1})*" — вещественная часть момент-угол комплекса Z/c, уравнение (2.7).

8* — пучок Сто°-дифференциальных форм степени s. ?р, ч пучок С°°-дифференциальных форм бистепени (p, q). i~lp — пучок голоморфных форма, степени р. Utc — покрытие Сл U^ = {Uo}at/с, где.

Uo = С" = 0}- igo уравнение (3.2).

1. Айзенберг Л. А. Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексеом анализе, Новосибирск, Наука, 1979, Збб с.

2. Баскаков И. В. Когомологии А'-степеней пространств и комбинаторика симплициальных разбиений // УМН, 20U2, т.57, № 5, 147−148.

3. Бухштабер В. М., Панов Т. Е. Действия тора и комбинаторика многогранников // Труды МИ РАН им. В. А. Стеклова, 1999, Т.225, 96−131. № 2. С.358−371.

4. Бухштабер В. A4., Панов Т. Е. Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра // УМН, 2000; т.55, № 5, 3−106.

5. Бухшта. бер В.М., Панов Т. Е. Торические действия в топологии и комбинаторике, М., МЦНМО, 2004, 272 с.

6. Васильев В, А Топология наборов плоскостей и их дополнений // УМН. 2001. т 56. № 2, 167−203.

7. Вуазеп К Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия: В 2-х т. Т.1, М. МЦНМО, 2010, 344 с.

8. Данилов В. И. Геометрия торических многообразий // УМН, 1978, т 33, № 2, 85−134.

9. Кытманов, А А Об аналоге представления Бохнера-Мартинелли в cí—круговых полиэдрах пространства // Изв вузов. Матем., 2005. № 3, 52−58.

10. Фоменко AT. Фукс ДБ Курс гомотопической топологии, М. Наука, 1989, 494 с.

11. Южаков, А П О вычегах функций многих комплексных переменных // Изв. вузов Матем, 1964, № 5, 149−161.

12. Bosio F, Meeisseman L. Real quadncs in C", complex manifolds and convex polytopes // Acia Math 2006. vol 197, no 1, 53−127.

13. Bott R, Tu LW Difteiential Foims m Algebiaic Topology, Beilm, Spnngei-Veilag, 1982. 350.

14. Cox DA The homogeneous cooidmate img ol tone vanety // J Algebiaic Geometry, 1995, vol 4, 17−50.

15. Cox D A. Recent developments m tone geometiy, Algebiaic geometiySanta Ciuz 1995, 389−436 Volume 2. AMS, Piovidence, RI, 1997, 389 436.

16. Gleason A.M. The Cauehy-Weil theorem // J. Math. Mech, 1963, vol. 12, 429−444.

17. Goresky M., MacPherson R. Stratified Morse Theory, Berlin, SpringerVerlag, 1988.

18. Griffiths P., Harns J. Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1994, 832.

19. Shchuplev A.V., Tsikh A.K., Yger A. Residual kernels with singularities on coordinate planes // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2006, Vol. 253, 256−274.

20. Sorani G. Integral representations of holomorphic functions // Amer. J. Math., 1966, vol. 88, 737−746.

21. Tsikh A.K. Toriska residyer (Swedish) // Proc. Con I'. «Nordan 3» / Stockholm, 1999, 16. Публикации автора по теме диссертацииСтатьи в журналах из перечня ВАК.

22. Казанова A.B. Элияшев Ю. В. О гомологиях наборов комплексных плоскостей коразмерности два // Изв. вузов. Матем., 2009. № 10. 33−39.

23. Элияшев Ю. В. Гомологии и ко гомологии дополнения к некоторым наборам комплексных плоскостей коразмерности два // Сиб. матем. журн., 2011, т.52, № 3, 702−712.

24. Eliyashev Yu.V. The Hodge filtration on complements of complex subspa. ce arrangements and integral representations of holomorphic functions // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2013, т.6, № 2, 174−185Тезисы конференций.

25. Элияшев Ю. В. Гомологии дополнения к набору комплексных координатных плоскостей, заданных простым многогранником // Тезисы международной конференции «Аналитические функций многих комплексных переменных», 2009, Красноярск, С. 17.