При проектировании современных строительных конструкций, при расчете элементов машин и механизмов, при создании летательных аппаратов очень важным вопросом является определение напряжений и деформаций, возникающих в материале при действии на него внешних нагрузок. Стремление наиболее полно использовать несущую способность материала, выявить наилучшую форму конструкции, определить необходимые усилия для осуществления процессов пластического деформирования металлов обусловили по вышенный интерес к теории нелинейной упругости и теории пластичности, эффективные методы решения задач которых успешно разрабатываются советскими и зарубежными учеными.
Большой вклад в развитие теории упругости и теории пластичности внесли А. А. Ильюшин [28], Д. Д. Ивлев [ 5], Л.С.Лейбен-зон [50], Н. И. Мусхелишвили [64], А. И. Лурье [51], А. Надаи [55], [56], В. В. Новожилов [9,52], В. Прагер [4,57], Ю. Н. Работнов [8], Л. И. Седов [53,54j, В. В. Соколовский [7], Р. Хилл [3J, Ф. Ходж [4] и другие ученые.
Развитию эффективных методов решения задач теории упругости и пластичности, а также расширению круга решенных практически важных задач способствовало привлечение для этих целей быстродействующих электронно-вычислительных машин. Универсальность их применения для решения любых сложных задач дало толчок к развитию таких методов, которые поддаются большей алгоритмизации и оказываются наиболее удобными для реализации на ЭВМ.
Одним из первых методов, с помощью которого были решены многие важные практические задачи, был метод характеристик или линий скольжения. Он был разработан для решения задач пластического течения при использовании модели жестко-пластического тела. Основные теоретические положения метода разработаны Г. Генки и Л. Прандтлем [ 1,2]. Большой вклад в развитие метода внесли Р. Хилл [3], В. Прагер [4], Ф. Ходж [41, А. Фрейденталь [II], Х. Гейрингер [II] и другие ученые. Общее решение плоской задачи получено С. А. Христиановичем [ 10]. В случае плоской деформации, напряженное состояние в точке полностью определено, если известно направление линий скольжения и величина среднего напряжения. Для частных задач, учитывая свойства линий скольжения и граничные условия, можно определить поля линий скольжения, которые являются характеристиками дифференциальных уравнений плоской деформации. Сравнительная легкость, с которой существующие методы анализа могли быть применены в этом случае, послужила широкому внедрению метода линий скольжения к решению двумерных технологических задач. Одной из первых была рассмотрена задача о начальном те чении при вдавливании плоского жесткого штампа в полубесконечное тело. Полученные Л. Прандтлем и Р. Хиллом решения [2,3] отличаются полем скоростей, но дают одинаковое значение давления штампа. В работах В. Прагера [4] и Г. И. Быковцева [13] по строены решения, являющиеся комбинацией решений Л. Прандтля и Р.Хилла. Это говорит о том, что при использовании схемы идеального жесткопластического тела возможна неоднозначность решения.
В дальнейшем метод линий скольжения получил развитие при исследовании таких технологических процессов как листовая вытяжка, выдавливание, прокатка, ковка, волочение в работах Г. И. Быковцева [6,14,15,25,26], Б. А. Друянова [16,17,19−23], Д. Д. Ивлева [5,6], Р. И. Непершина [24], В. Прагера [4], В. В. Соколовского [ 7,18], Р. Хилла [3], Ф. Ходжа [4], А. Д. Томленова [ 27] и других ученых.
Здесь наибольший интерес представляет предсказание усилий, необходимых для осуществления данного процесса обработки, и анализ происходящих деформаций. Экспериментальные данные подтвервдагот достаточную точность результатов, получаемых методом линий скольжения, по крайней мере, при определении усилий. Однако необходимо отметить, что большие деформации, которыми сопровождаются указанные технологические процессы, вызывают упрочнение материала. Для процессов холодной обработки металлов, при незначительном упрочнении совпадение теоретических и экспериментальных результатов хорошее,.и отклонения рассчитанных усилий от опытных не превышают 10%.
В процессах горячей обработки металлов значительное вли яние оказывает температура, и здесь экспериментальные данные могут заметно отличаться от теоретических.
В указанных вше работах получены решения для начального, установившегося и неустановившегося пластических течений, для однородного и неоднородного материала, с учетом и без учета трения на границе инструмента с деформируемым материалом. Основными и наиболее простыми методами применяемыми для построения полей линий скольжения, являются численные, основанные на переходе к конечно-разностным соотношениям и использовании свойств линий скольжения. Различные варианты таких построений приведены в работах Р. Хилла [з], В. Прагера [4] В. В. Соколовского [7]. Несмотря на широкое развитие, метод имеет ряд допущений при рассмотрении поведения реальных материалов: не учитываются действительные свойства материалов—температура, степень и скорость деформациибольшие затруд нения вызывает построение линий скольжения при исследовании сложной деформации.
Изучение деформации материала с отражением его действительных свойств может быть осуществлено с применением вариационных методов. Основоположниками их применения к задачам теории пластичности и упругости являются А. А. Гвоздев [751, А. А. Ильюшин [28], А. А. Марков [29], С. Г. Михлин [30], В. В. Новожилов [9], В. Драгер и Ф.-Ходж [4], Р. Хилл [з] и другие ученые.
Вариационные методы основаны на экстремальных принципах механики сплошной среды. Согласно этим принципам интегрирование дифференциальных уравнений при заданных краевых уеловиях можно заменить нахождением функции, которая сообщает минимальное значение некоторому функционалу, соответствующему данной системе дифференциальных уравнений. В механике сплошной среды, в частности, в теории пластичности, этот функ ционал выражает диссипацию энергии деформации.
Решение вариационной задачи представляет большие математические трудности, в связи с чем применяют так называемые прямые (приближенные) методы. Эти методы сводят задачи теории дифференциальных и интегральных уравнений к конечным системам алгебраических уравнений.
Из существующих прямых методов наибольшее распространение получил метод Ритца. Этот метод состоит в том, что решение для перемещений отыскивается в виде ряда, состоящего из подходящих функций, одна часть которых удовлетворяет граничным условиям, другая — нулевым условиям на границе области деформирования. Коэффициенты при координатных функциях находятся из условия минимума функционала. При достаточно боль шом количестве членов ряда можно получить решение близкое к точному, однако трудности, возникающие при выборе координатных функций, громоздкость математических выкладок ив то же время бурное развитие вычислительной техники заставили обратить внимание исследователей на дискретные методы решения задач пластичности.
Развитием вариационного метода в этом направлении является метод локальных вариаций, предложенный Ф. Л. Черноусько [ 31] и развитый в работах [32−35]. Идея этого метода заключается в том, что область, ограниченная контуром, разбивается на прямоугольные ячейки. Уеловия на контуре переносятся на граничные точки полученной прямоугольной области. Интеграл по области переписывается в виде суммы интегралов по каждой ячейке. Этот интеграл приблизительно определяется через усредненные по ячейке значения функций скорости перемещения и ее производных, представленных в конечно-разностном виде. При варьировании функции скорости в узле изменяется не вся сумма интегралов, а только те интегралы, которые включают эту функцию. Поэтому варьирование носит локальный характер.
Этот метод, в отличие от вариационного, прост, экономичен, не связан с выбором координатных функций. Метод локальных вариаций получил распространение в основном при решении задач теории упругости. При использовании этого метода необходимо учитывать, что удовлетворительные результаты получаются тогда, когда уравнения связи меаду параметрами сводятся к граничным условиям. В противном случае обеспечивается только частичная локальность вариаций и при разработке алгоритма решения задачи необходимо учитывать влияние каждого параметра в исследуемой области.
Дня решения дифференциальных уравнений в частных производных был разработан метод конечных разностей — работы В. Ва зова и Дж. Форсайта Г 38], Ш. Е. Микеладзе [37], Л. Коллатца [Зб1 А. А. Самарского [39] и других ученых. Наибольшее распространение этот метод получил при решении плоских задач [40−42]. Внимание к этому методу в последнее время обусловлено внедрением в практику расчетов ЭВМ и успешным использованием аппарата матричной алгебры. Это привело к упрощению записи алгоритма задач и возможности решения задач, имеющих большой объем вычислений.
Идея метода состоит в замене обыкновенных и частных про изводных, входящих в дифференциальные уравнения й соотношения, их приближенными выражениями, в которых дифференциалы заменены конечными приращениями. Для этого на исследуемую область наносится сетка, чаще всего прямоугольная. При этом действующую нагрузку и правые части дифференциальных уравнений представляют в виде факторов, отнесенных к узлам сетки. Для реализации граничных условий они переносятся на аппроксимирующий контур. В случае криволинейного контура исследуемой области граничные условия удовлетворяются путем последовательных приближений, так как для переноса их на контур сеточной области необходимо знать значения функций во внутренних точках области, а последние известны после решения задачи. После аппроксимации получается линейная или нелинейная система алгебраических уравнений и задача состоит в отыскании эффективных методов решений системы. На создание компакт ных, универсальныхэкономичных по затрате машинного времени алгоритмов и сосредоточено внимание исследователей.
К недостаткам метода следует отнести неоднородность ко.
— ю нечно-разностной схемы и то, что его применение к сложным по конфигурации областям связано с индивидуальным подходом к каждой из них.
В последнее время, наверное, основным численным методом решения прикладных задач стал метод конечных элементов. Возникший в начале 30-х годов, как инженерный метод расчета на прочность металлических конструкций, он получил математическое обоснование в трудах Дж. Аргириса [44,65], О. Зенкевича [43,45,46], Р. Клафа [47], В. Г. Корнеева [58,67]. Согласно это му методу, область, занимаемая телом, разбивается на элементы простой формы. Для плоского случая это чаще всего треугольники, а для пространственного — тетраэдры. По каждому элементу задаются некоторые функции, позволяющие определить перемещения внутри элементов по перемещениям в узлах. Определяя затем деформации и напряжения, получают выражение для энергии, как функцию узловых смещений, при вариации которых формируется система алгебраических уравнений. Из ее ре шения определяются искомые перемещения узлов. Необходимо отметить, что распределенная нагрузка заменяет^сяГэквивалентной узловой. Метод конечных элементов часто трактуется как метод Ритца. Различие между ними заключается в выборе системы координатных функций. В методе Ритца эти функции задаются для всей рассматриваемой области, а в методе конечных элементов-дпя каждого элемента и через множество этих функций определяется состояние всей системы. В первом случае варьируют по параметрам, имеющимся в каждом члене ряда, а во втором — по перемещениям узлов. Необходимо отметить, что метод конечных элементов хорошо разработан для решения упругих и упруго-пла стических задач — работы В. Г. Корнеева [59], Л. А. Розина [60],.
Дж.Аргириса [44], О. Зенкевича [46], Р. Клафа [471 Особенности постановки и конечно-элементной аппроксимации для задач с жестко-пластической и вязко-пластической средами рассмотрена в работах В. Н"Сегала и Г. П. Свирида 48,49, В. Г. Корнеева и С. Е. Пономарева 68 ,.
К достоинствам метода надо отнести свободу расположения узлов внутри исследуемой области, возможность использования физических предпосылок, что позволяет корректировать задачу в процессе счета. В отличие от аналитических методов он позво ляет значительно приблизить расчетную схему к реальной, дает возможность учитывать такие свойства объекта, как анизотропия и слоистость, наличие трещин, а также реальную геометрию тела, Но возможности метода ограничены необходимостью решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, что является, даже при наличии мощных ЭВМ, существенным фактором. Кро ме того, иногда на границах элементов нарушаются условия совместности из-за несоблюдения условий непрерывности перемещений между смежными элементами. И, наконец, сосредоточивая усилия в узлах, мы удовлетворяем уравнения равновесия в среднем по всему телу, но не по каздому элементу*.
Эти недостатки отсутствуют в численном методе решения дифференциальных уравнений пластического течения, предложенным В. И. Одиноковым [61]. Суть его состоит в следующем. Рассматриваемая область делится на элементы конечных размеров, для каждого элемента записывается полная система дифференциальных уравнений пластического течения в конечно-разностной форме через значения скоростей перемещений и напряжений по граням элемента. При записи полной системы уравнения состояния получаются из условия коаксиальности девиаторов напряжений и скоростей деформаций, на наклонных площадках, примыкающих к поверхности области течения, записываются уравнения Ко-ши. С учетом граничных условий получается замкнутая определенная система алгебраических уравнений. Данный метод позволяет построить такие рекуррентные соотношения, при которых значительно уменьшается количество неизвестных (в 6−7 раз). В полученной эквивалентной системе коэффициенты вычисляются численным методом. Весь процесс состоит из нескольких итераций. В каждой из них коэффициент пропорциональности между девиато-рами напряжений и скоростей деформаций, который является функ цией от температуры тела, степени и скорости деформации, принимается постоянным. Для решения системы линейных уравнений используется метод Гаусса. Результат решения — поля напряжений и скоростей перемещений по граням элементов. Решение этим методом ряда модельных и прикладных задач показывает соответствие полученных результатов экспериментальным — работы В. И. Одинокова, Б. Г. Каплунова, Е. И. Макеранца [63, 69−74].
В отличие от метода конечных элементов данный метод прост и при этом количество неизвестных при решении линейных уравнений меньше, чем при использовании метода конечных элементов при одинаковой степени дискретизации рассматривавмой области. Отсюда меньше затраты машинного времени.
Кроме этих достоинств, необходимо отметить возможность единого подхода к различным классам задач, простоту формализации для программирования, независимость постановки и алгоритма задачи от использования различных моделей физического состояния исследуемой среды.
Целью данной работы является разработка на основе численногометода решения дифференциальных уравнений численной схемы решения широкого класса плоских прикладных задач теории пластичности. Эти задачи включают в себя определение напряженно-деформированного состояния в неоднородных телах, находящихся под действием неоднородных нагрузок и температурных полей с учетом свойств упрочняющейся среды.
Решение такого класса задач является актуальной проблемой.
В первой главе приведено построение математической модели решения плоской задачи теории пластичности. Для этого за писывается полная система дифференциальных уравнений пластического течения, с учетом граничных условий и уравнения Сте-фана-Больцмана, на границе двух сред с разным агрегатным состояниемвыбирается модель деформируемой среды, описывающая поведение изотропно-упрочняющегося вязко-пластического материала. На основе численного метода решения дифференциальных уравнений пластического течения строится численная схема, в которой дается конечно-разностная аппроксимация основополагающих уравнений и приводится алгоритм решения. В конце главы на численных примерах рассматривается вопрос о сходимости решения. Доказывается единственность решения при использовании применяемой разностной схемы.
Во второй главе рассматривается задача о кристаллизации стального двутаврового профиля в свободном, замкнутом и частично-замкнутом пространствах. Результаты решения приведены в виде эпюр напряжений и скоростей перемещений в области деформирования.
В третьей главе рассматривается задача о деформации стальной неоднородной полосы наклонными штампами. Приводятся решения для деформации полосы с учетом неоднородности температурного поля и физических свойств материала. Рассматрива ется случай, когда штамп имеет сложную форму.
В четвертой главе рассматривается задача о деформации стальной полосы под действием системы плоскопараллельных штампов. Здесь приводятся решения в случаях, когда нагрузка приложена несимметрично и когда свойства по какому-либо направлению неодинаковы (биметалл). Дается решение задачи о внедрении штам пов различной конфигурации в ограниченное полупространство.
В пятой главе обсуждаются вопросы применения полученных решений к анализу некоторых технологических процессов, связанных с изготовлением изделий способом непрерывного литья и с оп ределением усилий и формоизменения при горячем деформировании стальных изделий, что определяет практическую важность результатов, полученных в диссертации.
В приложении представлены акты о внедрении результатов теоретических исследований и программа решения задач на языке Фортран.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
1. На основе численного метода решения дифференциальных уравнений пластического течения разработана численная схема решения широкого класса плоских задач теории пластичности.
Предложена блочная структурная схема, позволяющая моделировать пластическую деформацию области, которая может быть описана локальными системами полярных и прямоугольных координат.
Показано, что для описания такой области достаточно че тыре разновидности блоков, характеризующихся направлением осей координат и направлением обхода элементов.
Для каждого блока получены определяющие соотношения, включающиеся в общий алгоритм решения. Записаны условия на границах стыкующихся блоков в различных их сочетаниях.
Разработан общий алгоритм решения плоской задачи при наличии общих граничных условий. Составлена программа на языке «Фортран» .
Алгоритм решения применим к исследованию деформаций не одаородных по структурным и температурным характеристикам сред с учетом истории нагружения.
2. Приведено доказательство единственности решения с учетом используемой разностной схемы.
3. Сходимость численной схемы показана с помощью математического эксперимента. Показано, что по мере сгущения сетки результаты быстро стабилизируются.
4. Применение численной схемы рассмотрено на ряде за — дач, решение некоторых из них стало возможным только при разработке данной численной схемы: а. Задача об определении напряженно-деформированного состояния при кристаллизации двутаврового профиля в свободном, замкнутом и частично замкнутом пространствах. Результаты ее решения позволили исследовать технологический процесс получения двутавровых заготовок на машинах непрерывного литья. Определена наилучшая форма кристаллизатора из критерия наименьших растягивающих напряжений, возникающих в затвердевающей корочке. Рекомендации по данной работе выданы НИИтяжмашу. Ожидаемый экономический эффект 100 тыс. руб. б. Задача о деформации стальной полосы наклонными штампами, совершающими плоско-параллельное движение позволила определить энергосиловые параметры и кинематику течения металла в области деформирования для нового разрабатываемого агрегата периодической деформации. Рассмотрена задача о деформации полосы, имеющей дефектные образования в поверхностных слоях. в. Задача о деформации полосы под действием несимметрично приложенной нагрузки дала возможность рассмотреть процесс резания полосы и определить зависимость между технологическими параметрами этого процесса. Результаты решения задачи позволили выработать рекомендации, которые внедрены на ЧМЗ. Годовой экономический эффект составил 200 тыс. руб. г. Рассмотрена задача о внедрении плоского и фигурного штампов в ограниченную область. Ее решение использовано при исследовании процесса пробивки фигурного паза в рельсовой под кладке. Рекомендации по данному процессу использованы УралНИИЧМ при проектировании штампа на КМК. Ожидаемый экономический эффект 200 тыс. руб.
